Modelos de Transporte: Problemas de asignación Problemas de

Problemas de Asignació
Asignación
Modelos de Transporte:
Problemas de asignación
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
2
Problemas de Asignación:
Son problemas balanceados de transporte en los cuales
todas las ofertas y todas las demandas son iguales a
1.
Q
Consiste en determinar la asignació
asignación óptima de agentes
u objetos indivisibles a n tareas.
Son indivisibles en el sentido de que ningú
ningún agente se
puede dividir en varias tareas.
Q
La restricció
restricción importante, para cada agente, es que
será
será designado a una y solo una tarea.
Uno de los problemas que utilizan el modelo
de transporte, es el de asignació
asignación, el cual se
refiere a la disposició
disposición de algunos recursos
(equipos o personas) para la realizació
realización de
ciertos productos o tareas a un costo
diferenciado.
El problema consiste en minimizar los costos
por asignació
asignación de recursos para el
desempeñ
desempeño de actividades.
3
Problemas de Asignació
Asignación
4
Supuestos restricciones
* El nú
número de trabajadores es igual al nú
número de empleos.
Definició
Definición del Problema
* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.
* Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i
que realizara el trabajo j.
* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la
la
asignació
asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le
corresponde a cada uno, tratando de que esta asignació
asignación
sea la óptima posible.
* Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es
asignado só
sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo
trabajador.
* Para un problema desbalanceado se debe agregar un
trabajador “ficticio”
ficticio” (en el caso de que existan má
más trabajos que
trabajadores) o un empleo “ficticio”
ficticio” (en el caso de que existan
más trabajadores que trabajos), quedando así
así el problema
balanceado.
1
Pasos del mé
método hú
húngaro:
Pasos del mé
método hú
húngaro:
1. Reducció
Reducción en renglones: Elabore una nueva
matriz eligiendo el costo mí
mínimo de cada
rengló
renglón y restá
restándolo de cada costo de ese
rengló
renglón.
2. Reducció
Reducción en columnas: Elija el elemento de
costo mí
mínimo en cada columna y ré
réstelo a
cada elemento de la columna.
3. Determine si la matriz es reducida:
Encuentre el nú
número mí
mínimo de lí
líneas rectas
que se pueden trazar sobre los renglones y
las columnas para cubrir todos los ceros. Si
este nú
número es igual al de los renglones (o
columnas), se dice que la matriz es reducida.
Continú
Continúe al paso 5. Si el nú
número de rectas es
7
menor que el de renglones (o columnas)
continú
continúe con el paso 4.
4. Reducciones posteriores: Encuentre la menor
de las celdas no cubiertas (sin lí
línea recta).
Reste el valor de esta celda a todas las celdas
no cubiertas. Agré
Agréguelo al valor de las celdas
que se encuentran en las intersecciones de
las restas dibujadas en el paso 3.
5. Localizació
Localización de la solució
solución óptima: Las
celdas de costo cero se eligen, una por
columna y rengló
renglón a fin de hallar una
asignació
asignación óptima. Se suman los sotos
originales de las celdas con asignació
asignación para
saber el costo total.
8
Solució
Solución mediante el mé
método
Húngaro
Problema:
El profesor Michell ha terminado 4 capí
capítulos de su libro y esta
pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4
secretarias que podrí
podrían tipearle cada uno de sus capí
capítulos. El
costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud
exactitud
con la que realiza el trabajo. Ademá
Además los capí
capítulo difieren en la
cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué
Qué puede hacer el
profesor si conoce la siguiente tabla:
EJEMPLO 1
El profesor Michell
Problema de asignació
asignación
Secretarí
Secretaría
Juana
Marí
María
Jackeline
Edith
13
96
116
120
114
Capí
Capítulos
14
99
109
102
105
15
16
105 108
107
96
113 111
118 115
9
Restricciones del Mé
Método
Matriz de Costos
Secretarí
Secretaría
Juana
Marí
María
Jackeline
Edith
Capí
Capítulos
13
14
96
99
116
109
120
102
114
105
Restar el Menor valor de cada fila
Secretarí
Secretaría
Juana
Marí
María
Jackeline
Edith
* Solo problemas de minimizació
minimización.
* Nú
Número de personas a asignar m es igual al nú
número de
lugares m.
* Todas las asignaciones son posibles
* Una asignació
asignación por persona y una persona por asignació
asignación
10
11
Capí
Capítulos
14
15
3
9
13
11
0
11
0
13
16
12
0
9
10
Restar el menor valor de cada columna en la matriz
anterior
Secretarí
Secretaría
Juana
Marí
María
Jackeline
Edith
15
16
105 108
107
96
113 111
118 115
13
0
20
18
9
13
0
20
18
9
Capí
Capítulos
14
15
3
0
13
2
0
2
0
4
16
12
0
9
10
12
2
Trazar el mí
mínimo nú
número de lílíneas que cubran los
ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.
Secretarí
Secretaría
Juana
Marí
María
Jackeline
Edith
13
0
20
18
9
Capí
Capítulos
14
15
3
0
13
2
0
2
0
4
Secretarí
Secretaría
Juana
Marí
María
Jackeline
Edith
16
12
0
9
10
Si el nú
número de lílíneas es igual al nú
número de filas se
esta en la solució
solución óptima, sino identificar el menor
valor no rayado restarselo a los demá
demás nú
números no
rayados y sumarlo en las intersecciones.
Capí
Capítulos
14
15
5
0
13
0
0
0
0
2
16
14
0
9
10
Se obtuvo la asignació
asignación óptima.
Las asignaciones corresponde a los valores donde
existen 0
Juana
Marí
María
Jackeline
Edith
Para este caso corresponde al valor 2
13
0
18
16
7
Cap.
Cap. 13
Cap.
Cap. 16
Cap.
Cap. 15
Cap.
Cap. 14
*Costo Asignació
Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410
13
14
Casos especiales
* Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en
particular
EJEMPLO 2
* Un problema de maximizació
maximización.
Electró
Electrónica Ballston
Problema de asignació
asignación
15
16
Electró
Electrónica Ballston
Datos
* Tiempo de inspecció
inspección en minutos para la lílínea de
ensamble de cada área de inspecció
inspección.
Existen 5 diferentes proyectos elé
eléctricos sobre 5
líneas de producció
producción que necesitan ser
inspeccionadas.
El tiempo para realizar una buena inspecció
inspección de un
área depende de la lílínea de producció
producción y del área de
inspecció
inspección.
Linea
Ensamble
1
2
3
4
5
A
10
11
13
14
19
B
4
7
8
16
17
Area de Inspección
C
6
7
12
13
11
D
10
9
14
17
20
E
12
14
15
17
19
La gerencia desea asignar diferentes áreas de
inspecció
inspección a inspectores de productos tal que el
tiempo total utilizado sea mí
mínimo.
3
RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA
Línea de ensamble
10
S1=1
1
12
4
Área de Inspección
A D1=1
10 6
S2=1
2
B
D2=1
S3=1
3
C D3=1
S4=1
4
D
D4=1
S5=1
5
E
D5=1
SOLUCIÓN CON WINQSB
20
21
22
23
24
4
EJEMPLO 3
PROBLEMA DE ASIGNACIÓ
ASIGNACIÓN
25
Q
Q
Q
La gerencia general de la compañí
a
compañía
PROTAC, como parte de su auditoria
anual, decidió
decidió que cada uno de los
cuatro vicepresidentes visite e
inspeccione una de las 4 plantas
durante las 2 primeras semanas de
octubre.
Se desea generar una asignació
asignación
óptima.
Indique el costo asociado.
26
F = vicepresidente de finanzas
M = vicepresidente de mercadotecnia
O = vicepresidente de operaciones
P = vicepresidente de personal
Pi =Plantas 1, 2, 3 y 4
27
28
Solución
Enumeració
Enumeración completa
Q Usar el mé
método hú
húngaro
Q
SOLUCIÓN
a) Por enumeració
enumeración completa, se
hace una lista de las posibles
soluciones, se calcula su costo
asociado y se escoge la mejor.
29
30
5
a) Enumeración completa
b) Método Húngaro
F puede asignarse a cualquiera de
las 4 plantas
M puede enviarse a cualquiera
Q
de las 3 plantas restantes
O puede enviarse a cualquiera
Q
de las 2 planta restantes
P se asigna a la única planta
Q
disponible
Q
31
32
33
34
Formulació
Formulación matemá
matemática del
modelo de Asignació
Asignación
35
Existen n personas las cuales pueden
desempeñ
desempeñar cualquier actividad de un
conjunto de n actividades y conocemos
el costo cij de asignació
asignación de la actividad
i a la persona j.
i = 1,…
j = 1,…
1,…, m
1,…, n
El problema es determinar de todas las
asignaciones posibles, las de costo total
mínimo.
36
6
3. Restricciones:
1. Variables de decisió
decisión:
xij = 1, si la actividad i es asignada
a la persona J
0, si i no es asignada a j
2. Funció
Función objetivo:
m
Mín
n
Z = ∑∑ Cij xij
i =1 j =1
37
38
39
40
41
42
7
43
44
45
46
47
48
OFERTA
DEMANDA
8
49
50
51
52
Este ejemplo ilustra por qué
qué la
minimizació
minimización de costos de oportunidad
conduce a una solució
solución que maximiza
las utilidades.
Q Ahora podemos aplicar el mé
método
húngaro en la manera acostumbrada
sobre la matriz de costos de
oportunidad.
Q
Para maximizar utilidades, aun deseando
escoger el rengló
renglón 1, optarí
optaríamos por el
rengló
renglón D porque 25 es ahora la mayor
utilidad disponible (ver figura 7.44).
Para minimizar costos de oportunidad,
tambié
también elegirí
elegiríamos el rengló
renglón D
porque 15 es el menor costo disponible
(ver figura 7.45)
53
54
9
Programación de pilotos
PROBLEMA DE ASIGNACIÓ
ASIGNACIÓN
55
56
57
58
59
60
SOLUCIÓN
10
7
7
61
62
EJERCICIO PARA RESOLVER
Problema de asignació
asignación
63
64
Desarrolle una representación de red para el problema.
Indique el modelo de programación lineal asociado y resuélvalo por simplex.
Resuélvalo por el método húngaro.
Q
Q
Q
Q
Q
Q
El gerente de la lílínea de producció
producción de una empresa
electró
electrónica debe asignar personal a cinco tareas.
Existen cinco operadores disponibles para
asignarlos.
El gerente de lílínea tiene a su disposició
disposición datos de
prueba que reflejan una calificació
calificación numé
numérica de
productividad para cada uno de los cinco trabajos.
Estos datos se obtuvieron a travé
través de un examen de
operació
operación y prueba administrado por el
departamento de ingenierí
ingeniería industrial (vé
(véase la tabla
siguiente).
Suponiendo que un operador puede ejecutar un solo
trabajo, plantee un modelo que conduzca a la
asignació
asignación óptima de tareas.
65
Resué
Resuélvalo.
Número
de
operador
Número de trabajo
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
12 16 24 8
6
8 20 14
10 6 26 18
2
4
2 24
7 10 6
6
2
6
12
20
18
66
11
SOLUCIÓN
67
68
69
70
Problemas de Transbordo
71
72
12
Problemas de Transbordo
Son problemas de transporte en los que
se agregan puntos de transbordo.
transbordo.
Q Los puntos de transbordo son puntos
que pueden tanto recibir mercaderí
mercadería de
otros puntos como enviar mercaderí
mercadería a
otros puntos.
puntos.
Q
73
Q
Q
Es una extensió
extensión al problema de
transporte en el cual se agregan nodos
intermedios (nodos de transbordo),
transbordo),
para tomar en consideració
consideración
localizaciones, como por ejemplo
almacenes.
En este tipo má
más general del problema
de transporte de distribució
distribución, los
embarques pueden ser efectuados entre
cualquier par de tres tipos generales de
nodos: de origen, de transbordo o de
74
destino.
Características
Q
Q
Q
La oferta o suministro disponible en
cada origen es limitada.
En cada destino la demanda está
está
definida o especificada.
El objetivo en el problema de
transbordo es de determinar cuantas
unidades deberá
deberán embarcarse por cada
uno de los arcos de la red, de manera
que todas las demandasdemandas-destino se
satisfagan al costo de transporte
mínimo posible.
Ejemplo
75
76
SOLUCIÓN
Encontrar la formulación de programación lineal para el problema
de transbordo planteado en el modelo de redes, tal que
minimice los costos de transporte.
77
78
13
Oferta
Almacenes
(transbordo)
Plantas
(origen)
2
600
1
Distribuidores
(destino)
Demanda
200
5
2
3
6
3
3
6
150
6
3
400
4
2
4
1
4
7
350
6
3. Restricciones
a) De los nodos origen:
5
300
8
1. Variables de decisió
decisión: xij = nú
número de unidades
embarcadas del origen i al destino j, pasando por
los nodos de trasbordo que se especifican.
i = 1, 2, 3, 4
j = 5,.., 8
2. Funció
Función objetivo:
Z = 2 x13 + 3x14 + 3 x23 + x24 + 2 x35 + 6 x36 + 3 x37 + 6 x38 + 4 x45 + 4 x46 + 6 x4779+ 5 x48
Mín
x13 + x14 ≤ 600
x23 + x24 ≤ 400
b) De los nodos de transbordo:
transbordo:
− x13 − x23 + x35 + x36 + x37 + x38 = 0
− x14 − x24 + x45 + x46 + x47 + x48 = 0
80
c) De los nodos destino:
x35 + x45 = 200
x36 + x46 = 150
Ejemplo
x37 + x47 = 350
x38 + x48 = 300
Problemas de transbordo
xij ≥ 0
∀ij
81
82
83
84
14
85
86
87
88
Variantes del problema de
trasbordo
Igual que en los problemas de transporte
se pueden formular problemas de
trasbordo con varias variantes:
Q Suministro total no igual a la demanda
total
Q Maximizació
Maximización de la funció
función objetivo
Q Rutas con capacidad limitada
Q Rutas inaceptables
89
90
15
Variantes al problema de
transporte
Q
Las modificaciones a los modelos
de programació
programación lineal requeridas
para aceptar estas variaciones son
idé
idénticas a las que se mencionaron
para el problema de transporte.
Oferta no igual a la demanda total: Se agrega
una columna de holgura en la tabla de
transporte y se le asignan ceros en los
costos.
Rutas con capacidad limitada: En la formulació
formulación
de programació
programación lineal del problema de
transporte tambié
también puede tomar en
consideració
consideración capacidades o cantidades
mínimas para una ruta. Así
Así :
Para capacidad xij <= 1000
Para montos mí
mínimos de ruta xij >= 2000
91
Rutas no aceptables: Quizá
Quizás no pueda ser posible
establecer una ruta desde cualquiera de los
orí
orígenes hasta cualquiera de los destinos.
A fin de manejar esta situació
situación, hacemos
desaparecer el arco correspondiente en la
formulació
formulación de la programació
programación lineal.
Maximizació
Maximización de la funció
función objetivo: En algunos
problemas de transporte, el objetivo es
encontrar una solució
solución que maximice la
utilidad o los ingresos.
92
Q
Q
Q
Q
Empleando valores de la utilidad o de ingresos
unitarios como coeficientes de la funció
función
objetivo, resolvemos un problema lineal de
maximizació
maximización en vez de uno de minimizació
minimización.
Este cambio no afecta a las restricciones.
Otro mé
método empleando la tabla de transporte
es construir la matriz de costos de
oportunidad.
Costo de oportunidad es el costo en que se
incurre por no haber tomado la mejor decisió
decisión
o por no haber hecho la mejor elecció
elección posible.
93
Q
Q
En el contexto de un problema de
transporte que impide maximizació
maximización, el
costo de oportunidad para una celda es
la diferencia entre su utilidad y la
utilidad de la celda de esa columna que
sea mayor.
El costo de oportunidad es el costo en
que se incurre al no transportar todo
por la ruta que arroje las mayores
utilidades.
95
94
EJEMPLO 1
Maximizació
Maximización
96
16
Maximizar las utilidades totales de
la ruta de transporte que se
muestra.
Q Aquí
Aquí los valores de los recuadros
son utilidades (dó
(dólares por
unidad).
Q
SOLUCIÓN
97
98
99
100
Se construye la tabla de transporte con los costos de
oportunidad, se encuentra una SBFI y se procede
con el cá
cálculo de los índices de mejoramiento.
0
1
Problema para resolver
Los valores de las variables en la tabla óptima se
multiplican por las utilidades de la tabla original y se
suman para calcular la utilidad total.
x11 = 200 * 5 = 1000
x12 = 50 * 3 = 150
x22 = 200 * 2 = 400
x23 = 150 * 4 = 600
Z= 2150
Transbordo
101
102
17
4
5
6
7
8
9
4
5
103
18