Radiación acústica por superficies planas: aplicación a altavoces

Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dis. Ing.
Vol. 19, 1, 65–74 (2003)
Revista Internacional de
Métodos Numéricos para
Cálculo y Diseño en Ingenierı́a
Radiación acústica por superficies planas:
aplicación a altavoces
Jesús Alba, Jaime Ramis, Vı́ctor Espinosa y Vı́ctor Sánchez
Departamento de Fı́sica Aplicada
Escuela Politécnica Superior de Gandı́a
Universidad Politécnica de Valencia
Carretera Nazaret – Oliva s/n
46730 Grao de Gandia, Valencia, España
Tel.: 34-96-284 93 14, 34-96-284 93 00
Fax: 34-96-284 93 09
e-mail: [email protected], [email protected]
e-mail: [email protected], [email protected]
Resumen
En los sistemas de reproducción sonora es habitual la utilización de altavoces dinámicos. Sin embargo,
en aplicaciones especı́ficas, puede ser necesaria y/o conveniente la utilización de altavoces alternativos con
c . Estos
superficies planas como diafragma, como los electrostáticos o los basados en la tecnologı́a NXT
altavoces generan el campo acústico mediante la vibración de una superficie rectangular. Se puede suponer,
en una primera aproximación, que todos los puntos sobre su superficie se mueven con la misma amplitud y
fase. En este trabajo se analiza el comportamiento directivo de este tipo de superficies para la generación
del campo acústico y se simula su comportamiento, comparándolo con medidas experimentales.
ACOUSTIC RADIATION OF PLANE RECTANGULAR PLATE: APLICATION TO
LOUDSPEAKERS
Summary
In this work we present the results of application of numerical techniques of integration for the determination
of directivity of loudspeakers with rectangular and plain surfaces of diaphragm. In order to demonstrate the
accuracy of the prediction a comparative between predicted and experimental results is presented.
c
Universitat
Politècnica de Catalunya (España).
ISSN: 0213–1315
Recibido: Noviembre 2001
66
J. Alba, J. Ramis, V. Espinosa y V. Sanchez
INTRODUCCIÓN
c 2 generan el
Los altavoces electrostáticos1 y los altavoces basados en la tecnologı́a NXT
campo acústico mediante el movimiento de una superficie plana rectangular. Estos sistemas
están caracterizados por una rigidez a flexión alta, por lo que puede considerarse que se
mueven aproximadamente con la misma amplitud y fase.
La obtención de caracterı́sticas direccionales de este tipo de altavoces en laboratorio
puede ser complicada. Por un lado, siempre está justificado el esfuerzo en disponer de
una herramienta matemática con la que predecir sus caracterı́sticas directivas antes incluso
de construirlo. Por otro, los altavoces cuadrados o rectangulares basados en la tecnologı́a
c están pensados para funcionar en condiciones difı́cilmente reproducibles en una
NXT
cámara anecoica: montados en el techo como si fuesen paneles de membrana, con diferentes
cámaras de aire detrás, u ocultos tras una fotografı́a colgada en la pared. El montaje en
pantalla plana infinita, es decir, en una superficie rı́gida de tamaño mucho mayor que el del
altavoz dentro de la cámara anecoica, recomendado para otros altavoces, no parece adecuado
para estos.
En este trabajo se analiza el comportamiento directivo de este tipo de superficies para la
generación del campo acústico y se simula numéricamente su comportamiento, comparándolo
con medidas experimentales. En particular, para la simulación de la directividad se ha
escogido un altavoz electrostático comercial QUAD ESL-63 y se comparan las medidas
experimentales. Además, se predice el comportamiento directivo de un altavoz basado en la
c (Wharfedale LoudPanel3 ) diseñado para poder ser instalado, entre otros
tecnologı́a NXT
sitios, en el techo.
PRESIÓN RADIADA POR SUPERFICIES RECTANGULARES
Para la modelización del comportamiento de los altavoces comerciales mencionados desde
el punto de vista de la radiación generada, se utiliza el modelo de pistón plano y rectangular.
Este modelo consiste en una superficie en la que todos sus puntos vibran con la misma
amplitud e idéntica fase. Diversos autores señalan las condiciones en las cuales esta hipótesis
se puede aplicar4,5 .
P
Z
r
h
Y
Lx
r0
dS
Ly
X
Figura 1. Pistón rectangular vibrante
El modelo de pistón parte de la hipótesis de que, en general, la radiación producida por la
vibración de una superficie extendida, tal como un pistón, diafragma, etc., se puede obtener
Radiación acústica por superficies planas: aplicación a altavoces
67
como la suma de presiones que producirı́an una asociación de fuentes simples de superficie
dS. La presión producida en un punto por una fuente simple viene dada por (Figura 1)
dp = −j
ρ0 f u0 dS jh(h−ct)
e
h
(1)
√
siendo j = −1 la unidad imaginaria, ρ0 la densidad del aire, f la frecuencia de la onda
emitida por la fuente simple, u0 la amplitud de velocidad de la superficie vibrante, h la
distancia del elemento diferencial al punto en el que se quiere evaluar la presión, c la
velocidad de propagación de la onda en el aire, t el tiempo y k el número de onda. El
valor de h viene dado por el módulo de la magnitud vectorial
h = r − r0 = (x0 , y0 , z0 ) − (x, y, 0) = (x0 − x, y0 − y, z0 )
(2)
siendo r el vector de posición del punto de observación y r0 el vector de posición del
diferencial de superficie. Por tanto
(3)
h = (x0 − x)2 + (y0 − y)2 + z02
Si la velocidad de vibración u0 es constante y en la dirección del eje OZ, es decir, la
superficie elemental estará contenida en el plano transversal a OZ, con lo que dS = dxdy,
y la expresión asociada a la fuente simple puede escribirse en coordenadas cartesianas como
√
ρ0 f u0 dxdy
jk (x0 −x)2 +(y0 −y)2 +z02 −ct)
dp = −j e
(4)
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 + z02
Si la superficie rectangular tiene por dimensiones Lx y Ly , la presión total se obtendrá, a
partir de (4), como
x= L2x
−jωt
Ly
2
y=
x=− L2x
L
y=− 2y
p = −jρ0 f u0 e
√
2
2
2
ejk (x0 −x) +(y0 −y) +z0
dxdy
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 + z02
(5)
La integral dada por (5) carece de solución analı́tica exacta, por lo que, aún en el caso
más simple en que la velocidad de vibración es constante en todos los puntos de la superficie,
se requiere de una integración numérica. Otros trabajos abordan con más detalle el estudio
anterior y su resolución numérica6,7 .
En el caso concreto de que la velocidad de vibración de la superficie no sea constante
en todos sus puntos la expresión (5) ya no es válida, puesto que la velocidad es función del
punto, u0 (x, y), en la superficie considerada. Sin embargo, suponiendo que la velocidad de
vibración sea perpendicular a la superficie, el producto escalar que aparece en la expresión
(1) se puede escribir como producto de módulos, con lo que se reduce a
dp = −j
ρ0 f u0 (x, y)dS j(h−ct)
e
h
(6)
En este caso, la presión total radiada por una superficie rectangular con velocidad de
vibración u0 (x, y) armónica queda
x= L2x
p = −jρ0f u0 e−jωt
Ly
2
y=
x=− L2x
L
y=− 2y
√
2
2
2
u0 (x, y)ejk (x0 −x) +(y0 −y) +z0
dxdy
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 + z02
(7)
68
J. Alba, J. Ramis, V. Espinosa y V. Sanchez
que es una generalización de la ecuación (5). Sustituyendo en (7) la velocidad de vibración
de la superficie, se puede obtener la presión radiada en un punto del espacio, lo que permite
predecir el campo de presiones generado por la placa.
RESOLUCIÓN NUMÉRICA PROPUESTA
Las expresiones que permiten obtener la presión en cualquier punto del espacio vistas en
el apartado anterior requieren de algoritmos numéricos de cálculo de integrales, ya que este
tipo de expresiones carece de solución analı́tica exacta. Existen diferentes métodos numéricos
que permiten realizar la integración, desde algunos tan simples como reemplazar la integral
por un sumatorio (método de los rectángulos) hasta aquellos que realizan desarrollos en serie
de distintas funciones tipo trigonométricas, hiperbólicas, etc.8,9 . La ventaja de reemplazar
la integral por un sumario es obvia: la sencillez de la expresión. Sin embargo, el error
cometido en esta aproximación es grande y para su disminución se necesita un elevado
número de puntos.
Por otro lado, la realización de desarrollos en serie de funciones tiene un alto coste
computacional, por lo cual es conveniente elegir un método no demasiado complicado y cuyo
error no sea demasiado elevado. El método elegido en este caso ha sido el de Romberg8 .
Este método combina la regla del trapecio para la obtención de las aproximaciones iniciales
de la integral y luego aplica el proceso de extrapolación de Richardson para la obtención de
correcciones a las aproximaciones. Los pasos del algoritmo de Romberg son los siguientes:
Paso 0: Inicialización de variables (introducción de los extremos del intervalo de integración [a,b], la función a integrar f (x) y el número de bucles del algoritmo N )
• h=b−a
• R11 = h2 (f (b) + f (a))
Paso 1: Bucle (Rij simboliza las distintas aproximaciones de la integral)
• desde i = 2, . . .
,n
i−2
2
1
R11 + h
R21 =
f (a + (k − 0, 5)h)
2
k=1
desde j = 2, . . . , i
4j−1 R2j−1 − R1j−1
R2j =
4j−1 − 1
fin
h = h2
desde j = 1, . . . , i
R1j = R2j
fin
El valor último de Rij obtenido es la mejor aproximación de la integral. Se puede
demostrar que el error del método es del orden O(h2N
k ), siendo N el número de pasos del
algoritmo y hk = b − a/2k−1. Dicho error asegura que, al duplicar el número de pasos, el
error decrece de forma cuadrática.
Para la resolución de las integrales de superficie anteriores, será necesario aplicar dos
veces el algoritmo, evaluando en cada paso una variable.
En el siguiente apartado se muestran los resultados de la integración numérica para
distintos valores de los parámetros.
69
Radiación acústica por superficies planas: aplicación a altavoces
RESULTADOS
Distribución de niveles de presión en función de la distancia
Se han obtenido distintos diagramas de niveles de presión en función de la frecuencia
para una superficie rectangular de 38 × 30 cm2 . En la Figura 2 se representan los niveles de
presión normalizados respecto al máximo, a una distancia de 1 mm de la superficie y para
una frecuencia de oscilación de 125 Hz, en módulo y fase. En la Figura 3 se muestra el mismo
caso, a la frecuencia de 1 kHz. Se puede observar en estas figuras cómo la presión radiada no
es constante a una distancia fija de la fuente, sino que presenta modulaciones o variaciones
de presión en la dirección transversal. Estas modulaciones están más acentuadas conforme
se aumenta la frecuencia, aumentando por tanto la directividad del campo radiado.
Módulo (dB)
Fase (grados)
Figura 2. Niveles de presión a 1 mm de la superficie. Vibración a 125 Hz
Módulo (dB)
Fase (grados)
Figura 3. Niveles de presión a 1 mm de la superficie. Vibración a 1 kHz
En la Figura 4 se representan los niveles de presión normalizados respecto al valor máximo
a la distancia de 1 mm respecto a la superficie anterior, en función de la distancia, para
estudiar su propagación, a una frecuencia de 125 Hz. Se puede observar que, duplicando la
distancia de 34 a 68 cm, el nivel de presión disminuye en 5 dB. Este resultado revela que el
punto de observación está situado en una región aún no comprendida en el campo lejano,
ya que este se considera habitualmente como la distancia a la cual la disminución de presión
es 6 dB5 . Se puede observar cómo la distribución de niveles tiende a una forma definida,
como debe ocurrir en campo libre cuando la distancia es mayor que las dimensiones de la
superficie vibrante.
70
J. Alba, J. Ramis, V. Espinosa y V. Sanchez
Nivel de presión (dB) a 1 mm de la superficie
Nivel de presión (dB) a 10 cm de la superficie
Nivel de presión (dB) a 17 cm de la superficie
Nivel de presión (dB) a 34 cm de la superficie
Nivel de presión (dB) a 68 cm de la superficie
Figura 4. Niveles de presión en función de la distancia de una superficie de 38 × 30 cm2 .
Vibración a 125 Hz
Radiación acústica por superficies planas: aplicación a altavoces
71
Todos los cálculos anteriores se han realizado en un ordenador Pentium II a 333 MHz.
Se ha realizado un mallado de 65 × 65 puntos para cada caso. El método de Romberg evalúa
en cada punto el valor de la presión realizando un barrido sobre 257 × 257 valores de la
superficie de integración. En total se realizan 4,3 millones de integrales de superficie para
cada gráfica, en un tiempo medio de 5 horas y media.
Directividad del QUAD ESL-6310
Se presentan en este apartado resultados de directividad para una superficie de
92, 5 × 66 cm, dimensiones que coinciden con la de la superficie rectangular del altavoz
electrostático Quad ESL-6310 . En la Figura 5 se muestran las directividades obtenidas
mediante la simulación a frecuencias de 125, 500, 2000 y 8000 Hz y un metro de distancia.
En la Figura 6 se muestran las medidas experimentales.
Figura 5. Simulación de la directividad para un Quad ESL-63
Figura 6. Medidas experimentales del Quad ESL-63
En la Figura 7 se estudia la influencia con la distancia. El diagrama de directividad
tiende a una forma determinada cuando se realizan las medidas en campo lejano, donde
la distancia a la fuente es mucho mayor que su tamaño. Se han realizado simulaciones a
distancias de 1, 2, 4, 8 y 16 m. En la Figura 8 se muestra la evolución del nivel de presión
al aumentar la distancia a una frecuencia de 8 kHz. Se puede observar que, para este caso,
72
J. Alba, J. Ramis, V. Espinosa y V. Sanchez
la distancia a la fuente, a partir de la cual se puede suponer que estamos en campo lejano
(donde el nivel de presión empieza a decrecer), es de 10 m.
90
90
0
0
60
60
-5
-5
-10
-10
30
30
-15
-15
-20
-20
-25
-25
0
0
-30
-30
-60
-60
-90
-90
125 Hz
500 Hz
90
90
0
0
60
-5
-5
-10
-10
60
30
-15
30
-15
-20
-20
-25
-25
0
0
-30
-30
-60
-60
-90
-90
2000 Hz
8000 Hz
Figura 7. Simulación de la directividad para un Quad ESL-63 en función de la distancia
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Figura 8. Evolución del nivel de presión con la distancia a 8 kHz. Se ha normalizado respecto
al valor más cercano a la fuente
c
Predicción de la directividad de un altavoz NXT
Por último, se ha simulado mediante el método propuesto el campo radiado por un
c 2 con dimensiones 60 × 60 cm. En la Figura 9 se
altavoz basado en la tecnologı́a NXT
muestran los resultados de la simulación. Se han realizado simulaciones a 1, 2, 4, 8 y 16 m.
Nótese que las curvas se hacen más directivas conforme se aumenta la frecuencia. Además,
al aumentar la distancia, las curvas se estrechan hasta converger (campo lejano).
73
Radiación acústica por superficies planas: aplicación a altavoces
90
0
90
0
60
-5
-5
-10
-10
60
30
30
-15
-15
-20
-20
-25
-25
0
0
-30
-30
-60
-60
-90
-90
125 Hz
500 Hz
90
0
90
0
60
-5
60
-5
-10
-10
30
30
-15
-15
-20
-20
-25
-25
0
0
-30
-30
-60
-90
2000 Hz
-60
-90
8000 Hz
c de superficie cuadrada (60 × 60 cm)
Figura 9. Simulación de la directividad para un NXT
en función de la distancia
CONCLUSIONES
Las diferentes simulaciones muestran un buen acuerdo con las mediciones experimentales
del campo radiado por diferentes altavoces comerciales. Existen divergencias en los ángulos
cercanos a 90 grados que se pueden asociar a las condiciones de fijación de los altavoces
comerciales. Estos elementos pueden pegarse o colocarse a una distancia cercana a la pared
o al techo. Pueden estar fijados con elementos rı́gidos o elásticos. En posteriores trabajos
se abordará este problema.
La directividad viene determinada por las dimensiones de la superficie y la frecuencia.
Normalmente la medida de directividad debe realizarse en cámara anecoica, recinto en el
cual se simulan las caracterı́sticas de campo libre, por lo que no será posible alejarse 10 m de
la fuente como serı́a necesario, por ejemplo, en el caso del altavoz QUAD ESL-63 a 8 kHz.
Por último, cabe resaltar el interés de la predicción de la directividad de altavoces como
los estudiados, ya que para poder caracterizar este tipo de altavoces en laboratorio serı́a
necesario reproducir exactamente las condiciones de montaje (colocación de un falso techo,
etc.), lo que puede tener un coste elevado o no ser representativa.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo forma parte de un proyecto financiado por la Consellerı́a de Educación y
Ciencia de la Generalitat Valenciana (GV00-107-1).
REFERENCIAS
1 J. Jouhaneau, “Notions élémentaires d’acoustique. Electroacustique”, Technique &
Documentation-Lavoisier, Collection CNAM, Paris, pp. 486–493, (1994).
2 http://www.nxtsound.com
3 http://www.wharfedale.com
74
J. Alba, J. Ramis, V. Espinosa y V. Sanchez
4 A.L. Goldstein y S.N.Y. Gerges, “Numerical modelling and measurement of the vibroacoustic characteristics of loudspeakers”, InterNoise’97 , pp. 1691–1694, (1997).
5 P.M. Morse, “Vibration and sound”, Acoustical Society of America, 5a edición, (1991).
6 J. Alba y J. Ramis, “Estudio de superficies vibrantes para la predicción de su radiación
acústica”, II Congreso Iberoamericano de Acústica, Tecniacústica 2000 .
7 J. Alba y J. Ramis, “Influencia del perfil de los conos para altavoces en la radiación
sonora”, Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingenierı́a, Vol. 16, No 3, pp. 359–367, (2000).
8 W.H. Press, A.S. Teukolsky, W.T Vetterling y B.P. Flannery, “Numerical recipes in C ”,
2a edición, Cambridge University Press, (1992).
9 G. Lindfield y J. Penny, “Numerical methods using matlab”, L. Ellis Horwood, (1995).
10 http://www.euronet.nl/users/temagm/audio/esl63