VII Jornadas de ASEPUMA 70 1.- Introducción La Programación

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1.- Introducción
La Programación Matemática Clásica puede definirse como el conjunto de
técnicas con las que la Matemática aborda el estudio general de los problemas de
optimización mono-objetivo. El problema clásico de la teoría de la optimización
consiste en determinar o elegir, de entre todas las alternativas posibles, aquella que
posee un mayor grado de deseabilidad para el decisor, siendo ésta la solución óptima.
Este planteamiento supone implícitamente que el criterio en el que están recogidas las
preferencias del decisor se puede representar matemáticamente a través de una función,
llamada “función objetivo”, que nos permitirá ordenar las decisiones posibles mediante
la asignación, a cada una de ellas, de un índice de deseabilidad. Muchos de los
problemas que se plantean en la vida real tienen esta estructura lógica común: la
búsqueda de la mejor solución de cierto problema bajo determinadas restricciones.
Ahora bien, pocas veces es posible evaluar una situación y decidir en base a un criterio
único; son muchos los problemas de naturaleza económica que se caracterizan porque
en la elección de la mejor decisión se han de tener en cuenta varios criterios y, por tanto,
se desea alcanzar más de un objetivo. La programación multiobjetivo y, en general, la
teoría de la decisión multicriterio, se encargan de la resolución de este tipo de
problemas.
En la formulación clásica, los problemas de Programación Matemática
establecen las funciones objetivo y las restricciones con criterios de lógica binaria, aún
cuando en la realidad los problemas de decisión no suelen plantearse en esos términos.
La información con que cuenta el modelizador matemático respecto de los objetivos y
preferencias del decisor empresarial, suele estar expresada en términos imprecisos,
relajados y, por tanto, idóneos para ser tratados con herramientas de la Teoría de los
Subconjuntos Difusos, que proporciona una lógica flexible y mejor adaptada al
pensamiento humano que la clásica. En este trabajo nos apoyaremos en la teoría de los
Subconjuntos Difusos y en la Teoría de la Posibilidad para modelizar los modos de
razonamiento no preciso, que juegan un papel esencial en la toma de decisiones
racionales en entornos de incertidumbre e imprecisión.
Presentaremos una serie de algoritmos que nos permitirán resolver problemas de
programación multiobjetivo con coeficientes difusos utilizando como resolutor de
problemas el entorno MATLAB y su Toolbox de Optimización.
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Arenas, Bilbao, Jimenez y Rodriguez
2.- Programación Multiobjetivo
La Programación Multiobjetivo puede definirse como una parte de la
Investigación Operativa que trata de proporcionar métodos útiles –eficientes- para la
toma de decisiones sobre problemas que incluyen diversidad de objetivos, a veces
contradictorios, que son evaluados de acuerdo a múltiples criterios y donde no es
evidente la mejor u óptima alternativa.
Las llamadas técnicas para la toma de decisión multicriterio se suelen dividir en
dos grandes bloques, según las características de los problemas que afronten. Si el
número de alternativas a considerar por parte del decisor es finito, el problema
multiobjetivo será discreto y los métodos para su resolución se engloban en las Técnicas
de Decisión Multiatributo; de la búsqueda de alternativas óptimas dentro de un conjunto
de decisiones continuo se encargan las Técnicas de Decisión Multiobjetivo. El trabajo
que vamos a desarrollar se centra en este último tipo de técnicas, concretamente,
trabajaremos con problemas de maximización de una función vectorial lineal cuyo
conjunto factible viene definido por funciones lineales.
2.1.- Conceptos básicos en Programación Multiobjetivo.
Precisamos, a continuación, algunos conceptos fundamentales en la toma de
decisiones multiobjetivo:
Centro decisor: es la persona o grupo de personas que debe tomar la decisión
final, teniendo en cuenta los objetivos y sopesando, según su criterio, la importancia
relativa de cada uno de ellos. El Modelizador es el agente encargado de seleccionar el
método cuantitativo de decisión, extrayendo del mismo las consecuencias o propiedades
que permitan, conocidas las preferencias del Decisor, tomar la decisión o decisiones que
más se ajusten a ellas. En función del flujo de información que se establezca entre estos
dos agentes aparecen las distintas técnicas para la resolución del problema.
Atributo El término atributo hace referencia a las características que describen
cada una de las alternativas disponibles en una situación de decisión. Para Hwang y
Masud (1979), los atributos son las características, cualidades o parámetros de
comportamiento de las alternativas.
Objetivos: Los objetivos representan direcciones de mejora o preferencia de los
atributos. Es decir, el objetivo recoge los deseos del decisor indicando en qué dirección
debe caminarse para encontrar una alternativa adecuada. Para estas direcciones de
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mejora sólo se admiten dos posibilidades: maximizar (se desea más del atributo) o
minimizar (se desea menos del atributo).
Criterio: El término criterio engloba los conceptos anteriores de atributos y
objetivos haciendo referencia a todos ellos. Podemos considerar que criterios son todos
aquellos atributos y objetivos que han sido juzgados relevantes en una cierta situación
decisional.
Matriz de pagos: La matriz de pagos es una matriz que se construye a partir de
los óptimos individuales de cada uno de los objetivos y nos permite cuantificar el nivel
de conflicto existente entre los objetivos que estamos considerando. El proceso a seguir
para su construcción es el siguiente: en primer lugar, se optimiza cada uno de los
objetivos f r ( x ) separadamente, a la solución obtenida la denominaremos xr. Con las
soluciones de estos k problemas construimos un vector formado por las evaluaciones de
las funciones objetivo en estos puntos, este vector será el punto ideal positivo y lo
denotaremos por f = ( f 1 ( x 1 ), f 2 ( x 2 ),L , f k ( x k )) . Este punto representa los valores
óptimos de cada uno de los objetivos que en la mayoría de los casos es inalcanzable,
debido al conflicto existente entre los objetivos. A partir del punto ideal positivo se
calculan los valores que toman el resto de las funciones objetivo en los puntos máximos
individuales. Obteniendo así una matriz cuadrada en cuya diagonal principal se
encuentra el punto ideal positivo. También podemos determinar el peor valor de cada
función objetivo en la matriz, con estos valores se define un nuevo vector llamado punto
anti-ideal que denotaremos por f . De esta forma conoceremos para cada función
objetivo su rango de variación dentro del conjunto factible:
f r ≤ f r ( x ) ≤ f r , ∀ r = 1,K ,k
∀x / Ax ≤ b , x ≥ 0
La optimalidad juega un papel muy importante en la resolución de problemas
con un único objetivo en los que se persigue determinar la solución óptima, que es una
solución factible (o más de una) que da el mejor valor a la función objetivo, siendo este
valor único. Sin embargo, en el caso de múltiples objetivos no es aplicable este
concepto de óptimo ya que una solución que maximice un objetivo en general no
maximizará los restantes objetivos. Esta observación lleva a un nuevo concepto
denominado “punto eficiente”, también conocido como punto no inferior o no
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dominado y en vez de buscar una solución óptima buscaremos un conjunto de
soluciones eficientes.
Soluciones Pareto-óptimas o eficientes: Se dice que una solución es eficiente o
Pareto-óptima cuando es una solución factible tal que no existe otra solución factible
que proporcione una mejora en un atributo cualquiera sin que produzca, de forma
simultánea, un empeoramiento en, al menos, otro de los atributos.
3.- Teoría de los Subconjuntos Difusos
Nuestro objetivo es suministrar modelos matemáticos para la toma de decisiones
que se adapten a situaciones en las que las vagas evaluaciones humanas no permiten una
rígida formulación matemática.
Para determinar los distintos elementos que definen un modelo de decisión es
necesario procesar los datos disponibles transformándolos en información relevante
para el problema. Es frecuente que el hombre efectúe sus decisiones en un contexto de
incertidumbre e imprecisión. Sucede por tanto, que los valores que se asignan a los
parámetros que intervienen en el modelo, son estimaciones de los mismos hechas por
los expertos en el tema objeto de estudio.
Para tratar cuantitativamente la imprecisión, generalmente se han empleado los
conceptos y técnicas de la teoría de la probabilidad. De esta forma se estaba aceptando
que la imprecisión, cualquiera que sea su naturaleza, puede ser considerada como
aleatoriedad. Esto, desde el punto de vista de muchos autores, es una afirmación
cuestionable. Consideran que es necesario diferenciar los conceptos de “aleatorio” y
“difuso”, siendo este último un término que describe mejor la imprecisión presente en
muchos procesos de decisión. Por “difusidad” se entiende un tipo de imprecisión que
está asociada con los subconjuntos difusos, es decir, con aquellos para cuyos elementos
no es clara la transición entre la pertenencia y no pertenencia a cierta clase.
La Teoría de los Subconjuntos Difusos, introducida por Lofti A. Zadeh en 1965,
y la Teoría de la Posibilidad (Zadeh, 1978) asociada a ella, nacen como una solución
matemática a la multitud de problemas y situaciones de la vida real a los que las teorías
clásicas -conjuntista o probabilística- no podían dar cobertura.
En relación con los procesos de decisión, desde que en 1970 Bellman y Zadeh
publicaran su trabajo “Decision Making in a Fuzzy Environment”, la aplicación de la
Teoría de los Subconjuntos Difusos a los mismos ha sido el objetivo al que han dirigido
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sus esfuerzos gran cantidad de investigadores (Lai y Hwang, 1992 y 1994). El interés
por un mayor realismo de los modelos de decisión ha obligado a construir nuevos
programas surgiendo así, los modelos que se encuandran en la Programación
Matemática en Ambiente Difuso.
3.1.- Conceptos básicos en la Teoría de los Subconjuntos Difusos
Subconjunto difuso: Sea U un determinado universo, entonces un subconjunto
~
difuso A de U es un conjunto de pares {(x ,α) / x ∈U , α ∈ M } donde cada elemento de
U, debe ser miembro de un par y sólo de uno, y M es un conjunto arbitrario totalmente
ordenado. En el presente trabajo vamos a considerar M=[0,1].
Un subconjunto difuso puede ser definido igualmente a partir de una aplicación
denominada función de pertenencia: µ A~ : U → [0,1] , que asigna a cada elemento x ∈U
~
un número real µ A~ (x ) entre 0 y 1 indicando el grado de pertenencia de x a A . Como se
puede observar esta definición coincide con la anterior sin más que considerar
α = µ A~ ( x ) .
~
Un número difuso es un subconjunto difuso de la recta real, N , cuya función de
pertenencia es de la forma:
x ∈ (− ∞ ,nl ]
0
 f ~ ( x ) x ∈ [nl ,npl ]
 N
µ N~ ( x ) = 1
x ∈ [npl ,npr ]
 g ~ ( x ) x ∈ [npr ,nr ]
 N
x ∈ [nl ,npl ]
0
donde f N~ ( x ) es una función creciente y g N~ ( x ) es una función decreciente. Cuando
nl = npl = npr = nr = n se trata de un número ordinario (crisp).
Conjunto de nivel α : Dado α ∈ [0,1]definiremos el α -corte o conjunto de nivel
~
α de un subconjunto difuso A , que denotaremos por Aα como el subconjunto no
~
difuso de U formado por todos aquellos puntos cuyo grado de pertenencia a A , es
mayor o igual que α, es decir: Aα = {x ∈U / µ A~ ( x ) ≥ α}, ∀α ∈ (0,1] .
~
Los α -cortes de un número difuso N son intervalos cerrados de la recta real y
[
]
los denotaremos a partir de sus extremos, es decir, N α = nαL ,nαR .
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Distribución de posibilidad: Si A es una variable que toma valores en un
universo U, entonces la distribución de posibilidad de A, π( A) , es el subconjunto
difuso de todos los valores posibles de A. Más especificamente, si π( A )( u ) , denota la
posibilidad de que A pueda tomar un valor u ∈ U entonces la función de pertenecia de A
es numéricamente igual a la distribución de posibilidad π( A) : U → [0 ,1] que asocia a
cada elemento u la posibilidad de que A pueda tomar un valor u.
Teorema de descomposición de subconjuntos difusos: Dado un universo U todo
~
subconjunto difuso A definido en él, es asociable biunívocamente a una familia de
subconjuntos ordinarios de U, totalmente ordenada, que es la familia de sus α -cortes,
~
con el orden natural en [0,1] de modo que el subconjunto difuso A puede ser
~
representado por A = U α Aα donde α Aα representa el producto algebraico de un
α∈[0,1]
escalar α por el α-corte Aα cuya función de pertenencia viene definida como:
µ αAα ( x ) = αµ Aα ( x ) = αχ Aα ( x ),
∀x ∈ U
siendo χ Aα la función característica del conjunto de nivel α.
Principio de extensión: Dada una aplicación: f : U → V para un subconjunto
~
~
difuso A de U podemos construir un subconjunto difuso B en V a partir de la
~
aplicación f como sigue: B = { ( y ,µ B~ ( y )) / y = f ( x ), x ∈U } con:
 sup µ A~ ( x ) si
 −1
µ B~ ( y ) =  x∈ f ( y )
 0
si
f −1 ( y ) ≠ φ
f −1( y ) ≠ φ
4.- Programación Multiobjetivo en Ambiente Difuso
Nuestro objetivo es resolver un problema lineal multiobjetivo con coeficientes
difusos que da lugar a una solución difusa en el espacio de objetivos definida por su
distribución de posibilidad. Demostramos que bajo ciertas condiciones, la solución es
un número difuso.
Para obtener esta solución difusa nos apoyamos: 1) en el principio de extensión
de Zadeh (1975) que proporciona un método general para trasladar conceptos
matemáticos no difusos al marco difuso; en particular, dada un función ordinaria
podemos aplicar este principio y extenderla a una función con argumentos y valores
difusos; y 2) en el teorema de descomposición de subconjuntos difusos, que nos
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permiten: determinar la distribución de posibilidad de la solución a partir de la
distribución de posibilidad conjunta de todos los parámetros y definir la solución difusa
a partir de sus conjuntos de nivel α , respectivamente. De esta forma reducimos el
problema lineal difuso a un conjunto de problemas lineales no difusos que son
fácilmente resolubles aplicando el algoritmo del simplex.
En este trabajo se desarrolla un soporte matemático adecuado para la toma de
decisiones multiobjetivo en un contexto de incertidumbre. Trabajaremos en el caso
lineal donde los datos del modelo vienen representados por números difusos definidos
por sus distribuciones de posibilidad (la interpretación semántica del grado de
pertenencia que manejaremos será la de grado de posibilidad), es decir, abordaremos el
problema de la Programación Multiobjetivo Lineal con parámetros difusos mediante la
Teoría de la Posibilidad.
Lógicamente esto obliga a trabajar con modelos que se basan en la estimación de
los posibles valores que pueden alcanzar las magnitudes que intervienen en el mismo, y
por lo tanto, los resultados contendrán un mayor o menor grado de imprecisión y de
incertidumbre -dado que trabajamos con datos inciertos, los resultados que obtendremos
serán también inciertos-.
Proponemos un método de resolución de un programa multiobjetivo lineal con
coeficientes difusos que da lugar a soluciones difusas en el espacio de objetivos,
definidas por su distribución de posibilidad. Se trata por tanto de resolver el siguiente
problema de programación multiobjetivo lineal con coeficientes difusos (FP-MOLP):
k = 1,L ,m
Optimizar ~
z k = ~ck1 x1 + ~ck2 x 2 + L + ~
ckn x n1
~
~
sujeto a
Ax ≤ b
donde los símbolos con ‘tilde’ representan coeficientes difusos.
De un modo muy general podemos resumir este método en los siguientes pasos:
convertimos el problema FP-MOLP en una familia de problemas de decisión
multiobjetivo no difusos formada por pares de problemas “peor-mejor” asociados a cada
conjunto de nivel α. Mediante técnicas de programación multiobjetivo adecuadas
resolveremos el problema “peor” para α = 0 , de esta forma obtenemos una solución
Pareto-óptima en el espacio de objetivos de dicho problema.
A partir de esta solución y aplicando un test de optimalidad se obtienen las
soluciones óptimas de todos los problemas no difusos que formaban la familia inicial.
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Empleando de nuevo el teorema de descomposición generamos, a partir de la
familia de soluciones obtenidas, un vector difuso de IR k que será considerado como la
solución difusa del problema FP-MOLP.
La solución obtenida no va a depender de la linealidad de las funciones de
pertenencia que se consideren. Sin embargo, desde el punto de vista práctico hemos
optado por considerar distribuciones de posibilidad triangulares y/o trapezoidales.
Una característica importante del modelo que proponemos y que merece ser
reseñada, es que la solución difusa se construye a partir de una solución Pareto-óptima
de un problema multiobjetivo lineal no difuso asociado a los parámetros A0R , b0L y C0L ,
y como el conjunto de soluciones Pareto-óptimas de un problema multiojetivo ordinario
es infinito podremos obtener infinitas soluciones difusas del FP-MOLP.
Además, nuestro modelo permite al decisor obtener mayor información que en
los propuestos por otros autores, ya que para la construcción de cualquiera de las
soluciones difusas del FP-MOLP nos apoyamos en toda la información contenida en las
distribuciones de posibilidad de los coeficientes difusos.
Finalmente, hemos de mencionar que no es necesario definir explícitamente una
relación de orden entre números difusos en el conjunto factible. La desigualdad ( ≤ ) que
aparece definiendo el conjunto factible del problema FP-MOLP se ha de interpretar
como un simbolismo que hace referencia a la desigualdad ordinaria que define un
conjunto factible de un problema no difuso. El método propuesto se recoge en el
artículo “Solving the multiobjective possibilistic linear programming problem” (Arenas
y otros, 1998), publicado en la revista European Journal of Operational Research.
Nuestro modelo admite como caso particular la resolución de un problema no
difuso. Téngase en cuenta que un número no difuso, N, es un caso particular de número
difuso que cumple: nl=npl=npr=nr=n.
5.- Soporte Lógico de la Aplicación
En este epígrafe presentaremos, de forma no exhaustiva, el programa
informático que hemos diseñado e implementado para resolver el problema central de
este trabajo, el FP-MOLP; mediante el mismo se obtiene una solución que es un número
difuso, componente a componente, en el espacio de objetivos, así como una solución
difusa (no necesariamente, número difuso componente a componente) en el espacio
factible.
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DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA:
El programa tiene como objetivo la resolución de problemas de programación
multiobjetivo lineal con parámetros difusos:
Optimizar
(cl,cpl,cpr,cr) x
Sujeto a:
(al,apl,apr,ax) x ≤ (bl,bpl,bpr,br),
x≥ 0
donde cl, cpl, cpr y cr son los extremos: inferior del conjunto de nivel alfa=0, inferior
del conjunto de nivel alfa=1, superior del conjunto de nivel alfa=1 y superior del
conjunto de nivel alfa=0, respectivamente, de la matriz de los coeficientes de la función
objetivo; al, apl, apr y ar son los extremos: inferior del conjunto de nivel alfa=0, inferior
del conjunto de nivel alfa=1, superior del conjunto de nivel alfa=1 y superior del
conjunto de nivel alfa=0, respectivamente, de la matriz de las restricciones; y bl, bpl,
bpr y br son los extremos: inferior del conjunto de nivel alfa=0, inferior del conjunto de
nivel alfa=1, superior del conjunto de nivel alfa=1 y superior del conjunto de nivel
alfa=0, respectivamente, del vector de los términos independientes de las restricciones.
independientes de las restricciones.
PASO I: Introducción de los datos en un fichero. En primer lugar se deben introducir
los parámetros relativos al problema que se desea resolver.
PASO II: Lectura de los datos mediante la función programada ENTRADA.
PASO III: Cálculo de la matriz de pagos mediante la función programada IDEAL.
PASO IV: Obtención de la solución Pareto-óptima de partida (solución del problema
“peor”) mediante uno de los dos métodos siguientes:
•
Método de obtención de metas (con o sin ponderaciones para los
objetivos). Función Attgoal del toolbox de optimización del entorno
MATLAB.
•
Método máx-mín ampliado de Lee y Li. Función programada AGREGA.
Estos dos métodos transforman el problema multiobjetivo no difuso “peor” en
un problema mono-objetivo no difuso equivalente.
PASO V: Test de optimalidad. Una vez obtenida la solución de partida hay que resolver
los problemas “peor” y “mejor” para cada α ∈ [0,1] para ello se resuelve un problema de
programación lineal mono-objetivo en cada paso que se apoya en la solución obtenida
en el paso anterior. Empezando por el peor para α=0 se sigue con los peores hasta α=1,
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a continuación se resuelven los problemas mejores para valores de α desde 1 hasta 0.
Este último corresponde al problema “mejor”.
A partir de estas soluciones construimos la distribución de posibilidad de la
~
solución difusa en el espacio de objetivos: Z .
~
Los resultados ( ~
x ,Z ) obtenidos aparecen recogidos en la variable RESUL.
6.- Ejemplo
Como ejemplo de aplicación del algoritmo anterior vamos a resolver el siguiente
problema:
Máx (40,50,80) x1 + 100 x2 + 17.5 x3
Máx 92 x1 + (70,75,90) x2+ 50 x3
Máx (10,25,70) x1 1 + 100 x2 + 75 x3
sujeto a:
(6,12,14) x1 + 17 x2 ≤ 1400
3 x1 + 9 x2 + (3,8,10) x3 ≤ 1000
10 x1 + (7,13,15) x2 + 15 x3 ≤ 1750
(4,6,8) x1 + 16 x3 ≤ 1325
(7,12,19) x2 + 7 x3 ≤ 900
9.5 x1 + (3.5,9.5,11.5) x2 + 4 x3 ≤ 1075
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Este problema lo resolveremos con el método AGREGA que utiliza el método
difuso máx-mín aumentado para obtener la solución z *0 del MOLP( A0R ,b0L ,C 0L ), que será
el punto de partida.
 6436
La matriz de pagos que se obtiene es:  4548
 3135

7224 5162 
10785 3484 

5321 7897 
La solución de partida que se obtiene es: x=(57.5668, 28.6613, 49.6274) y
Z=(6037.3, 9783.8, 7163.9) que como podemos observar está muy próxima al punto
ideal. Esta misma solución se obtendría si aplicásemos el método de obtención de
metas, ATTGOAL, sin ponderar los objetivos.
Tomaremos cinco α-cortes para determinar la distribución de posibilidad de la
solución Pareto óptima difusa. La solución obtenida (variable resul) está recogida en la
siguiente tabla:
resul: 1.0e+004 *
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Problemas
X1
X2
X3
Z1
Z2
Z3
Peor α =0
0.0058
0.0029
0.0050
0.6037
0.9784
0.7164
Peor α =0.2
0.0056
0.0031
0.0049
0.6345
0.9812
0.7533
Peor α =0.4
0.0054
0.0035
0.0048
0.6690
0.9846
0.7935
Peor α =0.6
0.0052
0.0039
0.0047
0.7059
0.9901
0.8354
Peor α =0.8
0.0049
0.0043
0.0045
0.7483
0.9969
0.8820
Peor α =1
0.0045
0.0050
0.0044
0.7984
1.0057
0.9356
Mejor α=1
0.0045
0.0050
0.0044
0.7984
1.0057
0.9356
Mejor α=0.2
0.0045
0.0054
0.0044
0.8670
1.0561
1.0224
Mejor α=0.4
0.0058
0.0050
0.0043
0.9308
1.1501
1.0675
Mejor α=0.6
0.0064
0.0051
0.0042
1.0161
1.2253
1.1572
Mejor α=0.8
0.0070
0.0053
0.0041
1.1161
1.3071
1.2636
Mejor α=0
0.0076
0.0056
0.0040
1.2325
1.3984
1.3880
Bibliografía
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