Apuntes fundamento Calculo Integral

APUNTES DOCENTES
ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL
PROFESOR: ING. EDGAR VARGAS RUIZ
Ing. Edgar Vargas Ruiz
II- 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
UNIDAD 1
LA INTEGRAL
El análisis matemático está constituido por dos grandes ramas: El Cálculo Diferencial y El Cálculo
Integral. Estas dos grandes ramas, surgieron en distintas épocas, por distintos matemáticos y para
resolver distintos problemas.
¿Qué problema motiva el concepto de integral?
El cálculo integral se basa en el concepto de la integral.
La definición de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región
que se encuentra entre la gráfica de una función de valores positivos f y el eje x en un intervalo
cerrado [a, b].
Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a su aplicación a muchos problemas
que aparentan tener poca relación con dicha motivación original: problemas que implican
movimiento, velocidad, crecimiento de poblaciones, volumen, longitud de arco, área de una
superficie y centro de gravedad, entre otros.
INTEGRAL INDEFINIDA
1. Antiderivadas o primitivas
El lenguaje del cambio es el lenguaje natural para establecer las leyes y principios científicos.
Por ejemplo la ley de enfriamiento de Newton dice que la razón de cambio de la temperatura T
de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura del medio ambiente. Es decir,
dT
= − k (T − A )
dt
Donde K es una constante positiva y A, que normalmente se considera constante, es la
temperatura ambiente.
La ley de torricelli dice que la razón de cambio del volumen V de agua de un tanque que se vacía
es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad h del agua
dV
= −K h
dt
Los modelos matemáticos de las situaciones del mundo real implican con frecuencia ecuaciones
con derivadas de las funciones conocidas. Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales. El tipo
mas sencillo de una ecuación diferencial tiene la forma:
dy
= f ( x)
dx
Cuando se resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribirla en su forma diferencial
equivalente dy = f ( x ) dx
La operación que permite hallar todas las soluciones (o solución general) de esta ecuación se
llama integración y se denota por el símbolo
∫
El proceso de determinar una función a partir de su derivada es opuesto a la derivación y por eso
se llama antiderivación.
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Si podemos determinar una función F(x) cuya derivada sea f(x), entonces decimos que F(x) es
una primitiva(o antiderivada) de f(x)
Definición de Primitiva o antiderivada
Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal que F ′ ( x ) = f ( x) , siempre
y cuando f ( x ) esté definida en un intervalo [ a, b] .
Así como la derivada de una función es única, su primitiva no lo es, sino que a una función f ( x )
le asignamos infinitas primitivas. Al conjunto de todas las primitivas de una función dada se le
llama Integral Indefinida y se denota:
∫ f ( x)dx = F ( x) + k
Donde:
∫
⇒ signo de integral
f ( x) ⇒ Integrando
F ( x) ⇒ Antiderivada o primitiva
k ⇒ Constante de integración
d ( x ) ⇒ Diferencial (identifica a x como la variable de integración)
Ejemplo
F ( x ) = x 2 − 3 , es una antiderivada de f ( x ) = 2 x
F ' ( x ) = 2x = f ( x ) .
Y
Algunas primitivas son:
F ( x ) = x 2 + 1, c = 1
F ( x ) = x 2 − 4, c = − 4
1
F ( x ) = x2 , c = 0
3
3
F ( x ) = x2 − , c = −
4
4
0
X
-3/4
-4
Propiedades de la integral
∫ f ' ( x)dx =
f ( x)
1)
Si f es derivable
2)
Si f es integrable
3)
La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las
integrales de dichas funciones. O sea, [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx.
d
f ( x ) dx = f ( x)
dx ∫
∫
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∫
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∫
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4)
La integral del producto de un número por una función es igual al producto del número por la
integral de dicha función, es decir, c ⋅ f ( x) dx = c ⋅ f ( x) dx.
∫
∫
La utilización de estas propiedades constituye el llamado método de descomposición en el que
como principio conviene descomponer el integrando lo más posible, aplicando las propiedades
anteriores; a veces, conviene hacer un hábil manejo de constantes, sumar y restar una misma
cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo número.
Ejemplo:
x3 − 7 x
∫ x2 dx =
x3
7x
1
1 2
∫ x 2 dx − ∫ x 2 dx = ∫ xdx − 7 ⋅ ∫ x dx = 2 ⋅ x − 7 ⋅ ln x + C
2. Condiciones Iníciales y Soluciones Particulares
Hemos dicho que la ecuación y =
∫ f ( x)dx
admite infinitas soluciones que difieren en una
constante. Esto significa que las graficas de dos primitivas cualesquiera de f son traslaciones
verticales una de la otra.
Por ejemplo en la figura de la izquierda mostramos varias graficas
de primitivas de la forma
y = ∫ (3 x 2 − 1) dx = x 3 − x + C (Solución general) para diversos
valores enteros de C.
Una solución particular de esta ecuación será una única
primitiva, es decir, conocemos el valor de la constante C.
En muchas aplicaciones de la integral, hay información suficiente
como para conocer este valor particular de C. Esta información se
llama condición inicial.
Por ejemplo, en el caso anterior, una condición inicial sería que la
curva debe pasar por el punto (2,4).
Para hallar esta curva en particular, usamos la información
F ( x) = x3 − x + C (solución general)
(Condición inicial)
F (2) = 4
Resulta que C = − 2 , como puede deducirse fácilmente
3. Fórmulas Básicas de Integración
Se obtienen en forma directa de las fórmulas de derivación, por la misma naturaleza inversa de la
integración y la derivación. Para poder usarlas es conveniente expresar el integrando en una forma
que se adopte a las fórmulas básicas.
A continuación, resumimos las fórmulas básicas más comunes de integración:
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Cuadro de integrales inmediatas
FORMAS
TIPOS
1. Factor de integración
Simples
∫ dx = x + K
2. Potencial (n≠ −1)
n
∫ x dx =
Compuestas
∫ a dx = ax + C
( x − a)n + 1
+C
n +1
1
Ln ax ± b
dx
+C
∫ x dx = ln x + K
∫ ax ± b =
a
x
x
e ax
ax
∫ e dx = e + K
.
=
+ C ,(∀a ≠ 0)
e
dx
∫
a
x
a
x
abx
bx
∫ a dx = ln a + K
.
=
+ C , (∀a > 0, b ≠ 0)
a
dx
∫
b.Lna
cos ax
∫ sen x dx = − cos x + K
∫ sen(ax).dx = − a + C , (∀a ≠ 0)
senax
∫ cos x dx = sen x + K
∫ cos ax.dx = a + C , (∀a ≠ 0)
ln ( sec ax )
∫ tanxdx = ln sec x + K
∫ tg (ax).dx = a + C
ln sen ax
∫ cot anxdx = ln sen x + K
∫ cot anxdx = a + K
tan ax
2
2
∫ sec x dx = tanx + K
∫ sec ax dx = a + K
2
∫ cos ec x dx = − cot an x + K ∫ cos ec 2ax dx = − cot ax + K
a
1
dx
x
∫ 1 − x 2 dx = arc sen x + K ∫ a 2 − x 2 = arcsen a + C , (∀a ≠ 0)
3. Logarítmico
4. Exponencial
5. Seno
6. Coseno
7. Tangente
8. Cotangente
9. Secante
10. Cosecante
11. Arco seno
1
∫1+ x
12. Arco tangente
2
x n +1
+K
n +1
n
∫ ( x − a) dx =
dx = arc tan x + K
∫a
2
dx
1
x
= arctg + C , (∀a ≠ 0)
2
+x
a
a
Ejemplo
Determine las integrales de las siguientes funciones:
4

a. ∫  x +  dx
x

 1 4
= ∫  x 2 +  dx =
x

4
∫ x dx + ∫ x dx =
1
2
3
x 2
+
3
2
4Lnx + k
3
=
b.
sex
∫ cos
2
x
dx =
2x 2
+ 4Lnx + k
3
sex
1
∫ cos x ⋅ cos x dx
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=
∫ tan x sec x dx
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sec x + k
=
c.
−1
−1
3 + 5 ) dx = 4 x dx − 2 x 3 dx − 5 x −2 dx
x
−
x
(4
2
∫
∫
∫
∫
2
x
2
x2
x 3
5 x −1
= 4 ∫ xdx − 2 ∫ x dx −5∫ x dx = 4
−2
+
+C
2
2
−1
3
2
5
= 2 x 2 − 3x 3 − + C
x
−1
4.
−2
3
Aplicaciones Económicas de la integral indefinida
a. Costo
El costo total de producir y comercializar x unidades de cierto producto está dado por la función
C = f ( x ) , donde CT = CF + CV (costos fijos más costos variables).
El costo promedio por unidad será C p =
C ' ( x ) = CM =
C f ( x)
, y el costo marginal está dado por
=
x
x
dC
= f ′( x) . Entonces el costo total será: C = ∫ f ′ ( x) dx = ∫ C ' ( x) dx
dx
b. Ingreso
Dada una cierta función de demanda p ( x ) , en donde p es el precio y x el número de unidades a
vender. Si el ingreso total es I = p ⋅ x , el ingreso promedio será I p =
será
I
= p , el ingreso marginal
x
dI
= I ' ( x ) y el ingreso total estará dado por I = ∫ I ' ( x )dx .
dx
c. Utilidad
La utilidad de producir y vender x unidades viene dada por U ( x ) , donde U = I − CT (ingreso
menos costos totales). La utilidad marginal será
dU
= U ' ( x ) y la utilidad o beneficio estará dado
dx
∫
por U = U ' ( x ) dx
d. Ingreso Nacional, Consumo Nacional y Ahorro
Sea la función de consumo C = f (Y ) en donde C es el consumo, Y el ingreso nacional total. La
dC
propensión marginal al consumo está dada por
= f ' (Y )
dY
Sea la ecuación Y = C + S en donde S es el ahorro. La propensión marginal al ahorro será
dS
dS
dC
, y con ella se tiene que
. Entonces, el consumo nacional estará dado por
=1 −
dY
dY
dY
C = ∫ f ' (Y ) dY
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Si el dato es la propensión marginal al ahorro, el consumo se halla despejando
dC
de la ecuación
dY
respectiva.
e. Formación de capital
Es el proceso de incrementar la cantidad acumulada de los bienes de capital. Si el proceso es
continuo en el tiempo, la función de capital se puede expresar en términos del tiempo.
Así, K (t ) será el capital y la tasa de formación de capital estará dada por
dK (t )
= K ' (t ) . El
dt
término K ' (t ) se denomina flujo de la inversión neta con respecto al tiempo, que se representa
por I (t ) , esto es, K ' (t ) = I (t ) .
Entonces se tendrá lo siguiente:
K (t ) = ∫ K ' (t ) dt = ∫ I (t ) dt
dK (t )
= K ' (t ) y
dt
también la integral del flujo de la inversión neta ∫ I (t ) dt = K (t ) + C , en donde C es una constante.
La acumulación de bienes de capital es la integral con respecto al tiempo de
Ejemplo
El costo marginal para la producción es C ' ( x ) = 40 + 36 x − 2 x 2 . Si el costo total de producir una
unidad es 50 dólares, determine el costo total y el costo promedio.
Solución:
C ( x ) = ∫ C ' ( x ) dx
C ( x ) = ∫ (40 + 36 x − 2 x 2 ) dx
2 3
x +K
3
Ahora, utilizando la condición inicial C (1) = 50 , calculamos el valor de K,
2
C (1) = 40(1) + 18(1)2 − (1)3 + K
3
2
22
⇒ K =−
50 = 40 + 18 − + K
3
3
2
22
Reemplazando el valor de K:
C T = 40 x + 18 x 2 − x 3 −
3
3
2
22
40 x + 18 x 2 − x3 −
C
3
3
El costo promedio será C p = , es decir C p =
x
x
2 22
C p = 40 + 18 x − −
3 3x
= 40 x + 18 x 2 −
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INTEGRAL DEFINIDA
Hasta ahora trabajamos con las Integrales indefinidas o antiderivadas desarrollando el proceso
inverso al de derivación.
Este proceso inverso a veces fue sencillo e inmediato, cuando a partir de las fórmulas de
derivación reconocimos la primitiva y en otros casos debimos recurrir a técnicas que nos
permitieran transformar la integral en una de reso
resolución más sencilla o inmediata
inmediata.
Así como la diferenciación fue un trabajo directo que requirió el uso sistemático de reglas, la
integración es un asunto completamente diferente que implica recurrir no solamente a reglas sino
también a innumerables conoci
conocimientos matemáticos.
En esta segunda parte aprenderemos a calcular el área de una región en el plano y si bien a
primera vista parece no tener ninguna conexión con lo que estudiaste en el primera parte, verás
que son conceptos que están íntimamente relacionados.
relacio
Definición general
Se quiere determinar el área limitada por la curva y = f(x) , el eje x y las rectas verticales x = a
y x = b (Inicialmente f(x)>0),
f(x)>0
Podemos dividir la región bajo la curva en rectángulos y luego aproximar el área buscada
sumando las superficies de los rectángulos.
Será posible obtener cada vez mejores aproximaciones, incrementando el número n de los
rectángulos considerados
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El procedimiento general consiste en:
•
•
dividir el intervalo en n partes de igual longitud (siendo n un entero positivo)
la amplitud de cada subintervalo lo simbolizamos
∆x =
•
b−a
n
cada rectángulo tiene como base a ∆x y por altura la ordenada del extremo izquierdo de
cada subintervalo.
De este modo hemos formado rectángulos inscritos o contenidos por el área que estamos
buscando.
También es posible aproximar el área sumando superficies de rectángulos circunscritos o
continentes que se extienden fuera de la región del plano buscada, considerando la mayor
ordenada correspondiente a los extremos superiores de cada subintervalo.
Por tanto, podemos definir un rectángulo inscrito y un rectángulo circunscrito como se muestran en
las figuras 3 y 4
La superficie de cada rectángulo puede ser calculada fácilmente multiplicando:
Superficie rectángulos = b. h (base por altura).
La relación entre las áreas de estos dos rectángulos es la siguiente:
(
Área del rectángulo inscrito
) f ( x ) ∆x
i −1
≤ f ( xi ) ∆x ( Área del rectángulo circunscrito
)
Sumando estas dos áreas, tenemos
Suma inferior = sn =
n
∑ f (x
i =1
i −1 ) ∆x
Suma superior = S n =
n
∑ f ( x ) ∆x ;
i =1
i
donde sn ≤ S n
El área total bajo la curva puede ser aproximada por la suma de las áreas de los n rectángulos:
f ( x1 )∆x1 + f ( x2 )∆x2 + f ( x3 )∆x3 + ............ + f ( xn )∆xn
Mejor será la aproximación, cuantos más rectángulos consideremos, por lo que obtendremos el
área exacta cuando el número de rectángulos crezca sin límite, lo que es mismo decir que ∆x
tienda a cero o que n tienda a infinito:
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lim [ f ( x1 )∆x1 + f ( x2 )∆x2 + f ( x3 )∆x3 + ... + f ( xn )∆xn ]
n→∞
n
lim ∑ f ( xi )∆xi
n →∞
i =1
Este límite se llama INTEGRAL DEFINIDA de f(x) entre a y b.
Se denota con el símbolo:
∫
En
∫
b
a
b
a
f (x)dx
f ( x)dx, las denominaciones son:
∫ ⇒ Signo de integración (es una “s” estirada)
a : extremo inferior
f ( x ) ⇒ Integrando
b : extremo superior
Definición de Riemann
Riemann define la integral sin necesidad de recurrir a las dos sumas, es decir sin tomar el menor y
mayor valor de la función en cada subintervalo.
Toma un solo valor de la función en cada subintervalo ( r ) y define la integral como sigue:
n
lim
n →∞
∆ xi → 0
∑
i =1
f ( ri ) ∆ xi
Si el límite existe, nos define la integral de f ( x ).dx , en el intervalo [a, b].
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Observando el gráfico podemos ver que la superficie de los rectángulos de cada subintervalo es
aproximadamente igual a la superficie comprendida por la curva, el eje de las x, y las dos
ordenadas.
Sumando los n rectángulos de cada subintervalo:
Sn =
n
∑
i =1
f (ri )∆ xi
Obtenemos una superficie muy próxima, no necesariamente igual a la encerrada por la curva, el
eje de las x,, y las ordenadas f(a) y f (b).
Pero al tomar límite para cuando n tiende a infinito, o ∆x tiende a cero, el resultado que
obtenemos es igual a la superficie encerrada entre la función el eje de las x y las ordenadas f(a) y
f(b).
n
lim
n→ ∞
∆ xi → 0
∑
i =1
f ( ri ) ∆ x i
Pasos para calcular el área utilizando rectángulos inscritos y circunscritos
Rectángulos Circunscritos
.
Rectángulos Inscritos
b−a
n
b. xi = a + i∆x
b−a
n
b. xi −1 = a + ( i − 1) ∆x
a. ∆x =
a. ∆x =
c.
f ( xi ) = f (a + i∆x)
d.
S n = ∑ f ( x i ) ∆x
c. f ( xi −1 ) = f (a + (i − 1)∆x)
n
d. sn =
i =1
e.
A = lim
n
∑
n → +∞ i = 1
f ( xi ) ∆ x
e.
n
∑ f ( xi −1 )∆x
i =1
A = lim
n
∑ f (x
n → +∞ i = 1
.
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i −1
)∆x
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Ejemplo
La región acotada por y = 2 x , el eje x , y las
rectas x = 1 y x = 4; rectángulos circunscritos
Dividimos [1,4] en n subintervalos de longitud
4 −1 3
= , además f ( x) = 2 x
n
n
Como f es creciente en [1,4] , el valor máximo
absoluto de f en el i-ésimo subintervalo
( xi −1 , xi ) es f ( xi ). Por lo tanto:
∆x =
n
n
A = lim ∑ f ( xi )∆x = lim ∑ (1 + i∆x)∆x,
n→ ∞
n →∞
i =1
i =1
n
n
n
3 3
6
6  n


A = lim ∑ 2(1 + i∆x)∆x = lim ∑ 21 + i ⋅  ⋅ = lim ∑ 2 (n + 3i ) = lim 2  ∑ n + 3∑ i 
n →∞
n →∞
n
→
∞
n
→
∞
n n
n  i =1
i =1
i =1 
i =1 n
i =1 
n
6  2 3n(n + 1) 
6  5n 2 + 3n 
3
3


 = lim 3 5 +  = 3 lim 5 +  = 3(5 + 0)
A = lim 2  n +
 = lim 2 
n →∞ n
n
→
∞
n
→
∞
n
→
∞
2
n 
2
n
n





A = 15 unidades cuadradas
Relación entre Área e Integral definida
Si f es continua en [a, b] , y f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] , entonces el Área A de la Región R bajo la
gráfica de f entre a y b , está dada por: A =
∫
b
a
f ( x)dx
Ejemplo 1
Encuentre el área exacta de la región acotada por la recta y = 2 x − 1 , el eje x y las rectas x = 1 y
x = 5.
a) Exprese la medida del área como límite de una suma de Riemann con particiones regulares
b) Exprese este límite con la notación de integral definida.
c) Evalúe la integral definida con el método de esta sección y una elección indicada de c1 .
d) Trace una grafica que muestre la región.
Solución:
a) A = lim
n →∞
n
∑ f (c ) ∆ x
i =1
entonces:
∆ i x = ∆x =
i
i
(1).
Haciendo una partición regular de [1,5] en n subintervalos,
5 −1 4
n
4
= (2). Sustituyendo (2) en (1) ⇒ A = lim
f (ci ) ⋅
∑
n
n
n →∞
n
i =1
b) A =
5
∫ (2 x − 1)dx
1
c) Si escogemos ci como el punto extremo derecho de cada subintervalo, se tiene
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4
ci = 1 + i .
n
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2
 n + 4i 
− 1 = [ n + 4i ] − 1;

n
 n 
Puesto que f ( x ) = 2 x − 1 , entonces f (ci ) = 2 
5
A = ∫ (2 x − 1)dx = lim
n →+∞
1
n
2
4
∑  n [ n + 4i ] − 1 n
i =1
n
4 n 2
4 2  n
 n 

[
]
+
−
=
+
n
4
i
1
lim
n
4
i

 − ∑1

 n →∞  ∑
∑
∑
n→+∞ n
n  n  i =1

i =1  n
i =1 
i =1 
= lim
(
[
)
]
4 2 2
4

n + 2n(n + 1) − n  = lim 2 6n 2 + 4n − n 2

n → +∞ n n

 n →∞ n
4
4
 4

= lim 2 5n 2 + 4n = 4 lim 5 +  = 4  lim 5 + lim 
n → +∞ n
n →+∞
 n
 n→+∞ n→+∞ n 
= 4 [5 + 0] = 4 [5] = 20
= lim
[
]
5
A = ∫ (2 x − 1)dx = 20 unidades cuadradas
1
d.
Ejemplo 2
Encuentre el valor exacto de la integral definida
∫
2
0
x 2 dx por Sumas de Riemann.
Consideremos una partición regular del intervalo [0,2] en n subintervalos. Entonces ∆x = 2 n . Si
escogemos ci como el punto extremo derecho de cada subintervalo, se tiene:
2
4i 2
 2i 
2
ci = a + i∆x = i   . Como f ( x) = x 2 , entonces f (ci ) =   = 2
n
n
n
Luego,
 4i 2  2
8 n 2
8  n(n + 1)(2n + 1) 
4
x
dx
=
lim
=
lim
i = lim 3 
= lim 3  2n3 + 3n 2 + n 
∑


2
3 ∑
∫0

n →∞
n
→∞
n
→∞
n
→∞
n i =1
n 
6
3n

i =1  n  n
4
3 1  4
3
1 4
8

= lim  2 + + 2  =  lim 2 + lim + lim 2  = [ 2 + 0 + 0] =
n →∞ n
n →∞ n
3 n→∞ 
n n  3  n →∞
3
 3
2
8
⇒ ∫ x 2 dx =
0
3
Nota: La interpretación geométrica del resultado es la siguiente: como x 2 ≥ 0, ∀x ∈ [0,2], la región
2
n
2
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R, acotada por la curva y = x 2 , el eje x y las rectas x = 0 y x = 2, tiene un área cuya medida es
de 8 3 unidades cuadradas.
Propiedades de la integral definida
Para facilitar el cálculo de una integral definida, sin tener que recurrir a la definición dada en
función de la sumatoria, se proporcionan las siguientes propiedades fundamentales:
ntegral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
1. El valor de la integral
∫
b
a
a
f ( x)dx = −∫ f ( x)dx
b
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
cero
∫
a
a
f ( x)dx = 0
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], es decir ( a < c < b ) la integral
ntegral definida se
descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
∫
b
a
f ( x)dx =
∫
c
a
f ( x)dx +
∫
b
c
f ( x)dx
4. La integral definida de una suma algebraica de funciones e
es igual a la suma de integrales
∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫
b
b
a
a
f ( x)dx ±
∫
b
a
g ( x)dx
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral
de la función.
∫
b
a
b
k ⋅ f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a
6. Si f y g son integrables en [a, b] y f ( x ) ≥ g ( x )
∫
b
a
∀x ∈ [a, b] , entonces:
b
f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx
a
Teorema del valor medio
Este teorema admite una sencilla interpretación geométrica: el área del trapecio curvilíneo
delimitado por la gráfica y el eje en el intervalo [a, b] , es decir, el área bajo la curva de f(x),
coincide con el área de un rectángulo que tuviera como base el intervalo [a, b] y la altura f ( z )
para cierto z ∈ [ a, b ]
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14
II - 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Si f es continua en el intervalo [a, b] , existe un
número z en [a, b] tal que:
∫
b
a
f ( x)dx = f ( z )(b − a)
El valor f(z) se llama valor medio de f en el
intervalo [a, b ]
f
med
= f ( z) =
1 b
f ( x)dx
b − a ∫a
Ejemplo
Encuentre el valor de z que satisfaga el Teorema del valor medio para la integral definida.
∫
2
0
x 2 dx = 8 3
Solución:
∫
2
0
2
x 2 dx = f ( z )(2 − 0) ⇔ ∫ x 2 dx = 2 f ( z ) , Pero
0
⇒ 2 f ( z ) = 8 / 3; ∴ f ( z ) = 4 / 3
∫
2
0
x 2 dx = 8 / 3,
Reemplazando f(z)= z 2
Esto es z 2 = 4 / 3 ⇔ z = ±2 3 / 3, como − 2 3 / 3 ∉ [0,2] se toma z = 2 3 / 3
Teoremas fundamentales del calculo
La relación entre la integral indefinida y la superficie bajo la función se le denomina Teorema
fundamental del cálculo integral. Permiten calcular la integral definida de una función
utilizando la antiderivada de la función a ser integrada.
1.
Primer Teorema Fundamental del Cálculo: Sea f una función continua en un
Intervalo cerrado [a, b] y sea la función F definida por F ( x) =
∫
x
a
f (t )dt , para toda x ∈ [a, b] ;
entonces F es una antiderivada de f en [a, b] , esto es F '( x) = f ( x) que es igual a
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15
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
d x
f (t ) dt = f ( x)
dx ∫a
Ejemplo
d x 1
1
a)
dt = 4
4
∫
2
dx t + 4
x +4
d x3 3 2
b)
t + 1dt
dx ∫1
dy dy du
=
⋅
dx du dx
du
3 2
(1)
t + 1dt ⋅
dx
Aplicamos la regla de la cadena:
d x3
dx ∫1
3
t 2 + 1dt =
Si u = x 3 , ⇒
d x3
du ∫1
du
= 3 x 2 , sustituyendo en (1) se obtiene:
dx
d x3 3 2
d u 3 2
t + 1 dt =
t + 1 dt ⋅ 3x 2
∫
1
dx
du ∫1
=
3 3 2

2
2
 ( x ) + 1  ( 3x ) = 3x


3
x6 + 1
NOTA:
Para simplificar el proceso anterior podemos aplicar las siguientes reglas:
2.
g ( x)
1.
Si F ( x ) =
∫a
f (t )dt
⇒
2.
Si F ( x ) =
∫u ( x) f (t )dt
⇒
v( x)
d g ( x)
f (t ) dt = f [ g ( x )] ⋅ g ′( x)
dx ∫a
d v( x)
dv
du
F '( x ) =
f (t ) dt = f [ v ( x ) ] ⋅
− f [u ( x)] ⋅
∫
dx u ( x )
dx
dx
F '( x) =
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo: Sea f una función continua en un
Intervalo cerrado [a, b] , si F es una antiderivada de f en [a, b] , entonces
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a)
Este teorema nos indica como evaluar la integral definida de una función f(x).
¿Cómo se resuelve una integral definida?
Para calcular una integral definida primero se resuelve la integral utilizando los métodos conocidos,
obteniendo F(x), y luego se reemplaza en la primitiva por los extremos del intervalo de integración
restando ambos resultados (límite superior menos límite inferior): F (b) − F (a)
Ejemplo 1
Evaluar:
∫ (x
2
1
2
− 3) dx
⇒
∫(
2
1
2
 x3

2
8
 1 
x − 3 dx =  − 3 x  =  − 6  −  − 3  = −
3
3
 3 
3
1
2
)
Ejemplo 2
El costo marginal de cierta empresa está dado por C '( x ) = 15.7 − 0.002 x . Calcular el incremento
en el costo total de fabricación si la producción se incrementa de 500 a 600 unidades.
∆C = ∫
600
500
C ' ( x ) dx =
∫ (15.7 − 0.002 x ) dx = (15.7 x − 0.001x )
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600
2
500
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600
500
= 9, 060 − 7, 600 = $1, 460.00
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
UNIDAD 2
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Los Métodos de Integración que se desarrollan a continuación, permiten calcular gran parte de las
integrales que se estudian en este curso.
1.
Método de sustitución o cambio de variable
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral
simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como
integración por sustitución.
La Integración por sustitución tiene su fundamento en la regla de la cadena para derivar funciones
compuestas.
F = f  g ( x ) 
u = g ( x)
→
→
du = g ′ ( x )
∫f [g (x )]g ′(x )dx = ∫ f (u )du
El Método de Integración por Sustitución consiste en introducir una nueva variable U que sustituye
a una expresión apropiada en función de x, de forma que la integral se transforme en otra integral
de variable U más fácil de integrar.
Ejemplos:
a. Evaluar
∫ ( 7-2x )
3 4
3
x 2 dx
Primero, se reescribe la integral como
∫ ( 7 − 2x )
3
4
3
x 2 dx
Segundo, se identifica a u; u = 7 - 2 x 3
du
du
= − 6 x 2 y se despeja dx, dx = − 2
dx
6x
Tercero, se deriva a u:
Cuarto, se realiza el cambio de variable aplicando la definición
∫ f [g (x )] g ′(x )du = ∫ f (u )du
∫ (7 − 2x )
3
4
3
x 2 dx =
∫u
4
3
1 4
du
 du 
x 2  − 2  = − ∫ u 3 x/ 2 2
6
x/
 6x 
7
1 4
1 u 3
3 7
= ∫ − u 3 du = −
+C = − u 3 +C
6
6 7
42
3
7
1
= − ( 7 − 2 x3 ) 3 + C
14
b. Evaluar
∫x
2 x − 1 dx
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
∫x
2 x − 1 dx = ∫ x ( 2 x − 1) 2 dx
1
du
=2
dx
u = 2x −1
du
2
dx =
Como la integral queda en función de dos variables, se procede a encontrar el valor de x
despejándola en U para luego sustituirla en la integral.
u +1
2
1
1
1
u
+
1
1 u 1 1


∫ x ( 2 x − 1) 2 dx = ∫ 2  2  u 2 du = 2 ∫  2 + 2  u 2 du
u = 2x −1
2x = u +1
x=


5
3

2
2 
1 u
u

 +C
+
2 5
 3 
2  2 
 2  
  2/ 
3
1  u 2 1 12 
= ∫
+ u  du =

2  2 2


( 2 x − 1)
u 2 u 2
=
+
+C =
10
6
10
5
2.
3
5
2
( 2 x − 1)
+
6
3
2
+C
Integración por partes
Una razón para transformar una integral en otra, es la de producir una integral que sea más fácil
de evaluar. Una de las formas generales de evaluar para lograr dicha trasformación es el Método
de Integración por Partes.
El procedimiento de integración por partes tiene su fundamento en la regla de la derivación del
producto de dos funciones.
Sean u y v dos funciones de una misma variable independiente. Entonces:
d (u ⋅ v) = u ⋅ dv + v ⋅ du
⇒
u ⋅ dv = d (u ⋅ v ) − v ⋅ du
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
Esta fórmula reduce el cálculo de la integral ∫ u ⋅ dv al de ∫ v ⋅ du .
Integrando ambos lados de la ecuación:
La correcta utilización del método de integración por partes consiste en saber identificar cuál de los
elementos del integrando será “u” y cuál será “dv”.
Cuando se aplica la fórmula para la integración por partes a una integral, se empieza por hacer
que una parte del integrando corresponda a u según éste orden, la primera prioridad será para las
funciones inversas, siguen en orden las funciones logarítmicas, luego las algebraicas y la última
prioridad corresponde a las funciones exponenciales. Después de elegir a u, se toma el resto del
integrando como dv, el cual debe incluir a la diferencial dx.
¿Para qué se hace u? y ¿Para qué se hace dv?
Se hace u para derivar y encontrar du y se hace dv para integrar y encontrar “v” para luego
sustituir todos estos elementos en la fórmula de integración por partes.
¿Cuándo es conveniente emplear este método?
Cuando aparezca un producto o un cociente de funciones de modo que ninguna de las derivadas
de estas funciones recuerde a la otra.
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Ejemplo 1
Determine la integral
∫ x senx dx usando integración por partes.
Solución:
Sea:
u=x
dv = senxdx →
du = dx
v = − cos x
∫ dv = ∫ senxdx
Luego:
∫ xsenxdx = − x cos x − ∫ − cos xdx
∫ xsenxdx = − x cos x + senx + C
Ejemplo 2
Resolver ∫ x Lnx dx
Solución:
Sea:
dv = xdx ⇒
u = ln x
du =
1
dx
x
v=
∫ dv = ∫ xdx
x2
2
Luego:
x2
x2 1
) − ∫ * dx
2
2 x
2
x
1
x2
1 x2
ln
(ln
)(
)
(ln
)(
)
* +C
x
xdx
=
x
−
xdx
=
x
−
∫
2
2∫
2
2 2
x2
x2
x
ln
xdx
=
(ln
x
)(
)
−
+C
∫
2
4
∫ x ln xdx = (ln x)(
Ejemplo 3
∫ x e dx
2 x
Solución:
En este ejemplo requiere usar dos veces el método
Hacemos:
u=x
2
dv=e x dx
du= 2 xdx
v =e
x
e integrando por partes
∫ x e dx = x e − ∫ e 2 xdx
∫ x e dx = x e − 2∫ xe dx , nos queda otra integración por partes
2 x
2 x
Hacemos
2 x
x
2 x
x
u= x
dv = e x dx
du = dx
v = ex
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19
II - 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
∫ x e dx = x e
2 x
2 x
∫ x e dx
2 x
(
)
− 2 xe x − ∫ e x dx = x 2 e x − 2(xe x − e x ) + C
= x 2 e x − 2xe x + 2e x + C = e x ( x 2 − 2x + 2) + C
A veces, el procedimiento de integración por partes nos conduce a la misma integral del principio,
como en el ejercicio siguiente:
Ejemplo 4: ∫ e x ⋅ cos xdx
Llamamos
Luego
∫e
(∫ e
En
x
x
x
dv = exdx
v = ∫ e x dx = e x .
⋅ cos xdx = e x ⋅ cos x − ∫ e x ⋅ (− sen x )dx = e x ⋅ cos x +
(∫ e
x
⋅ sen xdx
)
)
⋅ sen xdx volvemos a integrar por partes:
Hacemos:
∫e
u = cosx
du = - senx·dx
u=sen x
du=cosx·dx
dv=exdx
v = ∫ e x dx = e x
⋅ sen xdx = e x sen x − ∫ e x ⋅ cos xdx
Entonces,
∫e
x
⋅ cos xdx = e x ⋅ cos x + e x ⋅ sen x − ∫ e x ⋅ cos xdx
x
∫ e ⋅ cos xdx =
3.
⇒
2 ⋅ ∫ e x ⋅ cos xdx = e x ⋅ cos x + e x ⋅ sen x + K
e x ⋅ cos x + e x ⋅ sen x
+K
2
Integración de funciones racionales por fracciones parciales
Veremos como integrar cualquier función racional expresándola como una suma de fracciones
más simple. Una función racional tiene la forma general
P( x)
donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Q ( x)
Las funciones racionales se clasifican en:
Impropias: Cuando el grado de P es mayor que el grado de Q; entonces se realiza la
división entre P y Q hasta obtener un cociente C y un residuo R tal que el grado de R es menor
que el grado de Q
P( x)
R
, donde R y Q son polinomios
=C+
Q( x)
Q ( x)
Aplicando este resultado a una integral impropia, quedará:
P( x)
R( x)
∫ Q( x)dx = ∫ C ( x) dx + ∫ Q( x)dx
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II - 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Propias: Cuando el grado de P es menor que el grado de Q, entonces puede
descomponerse en una suma de fracciones simples siempre que Q sea factorizable (factores
lineales y cuadráticos) de las siguientes cuatro formas:
a. Factores lineales distintos
P( x)
A
B
, donde a, b, A y B son constantes
=
+
( x + a )( x − b) ( x + a ) ( x − b)
b. Factores lineales repetidos
P ( x)
A
B
C
, donde n es un entero positivo; a, A, B y C son
=
+
+ ... +
n
2
( x + a) ( x + a)
( x + a)
( x + a) n
constantes
c. Factores cuadráticos distintos
P ( x)
Ax + B
Cx + D
, donde a, b, c y d, A, B, C y D son constantes
=
+
2
2
(ax + b)(cx + d ) (ax + b) (cx 2 + d )
2
d. Factores cuadráticos repetidos
P ( x)
Ax + B
Cx + D
Ex + F
, donde n es un entero positivo y a, b, A, B,
=
+
+ .... +
2
n
2
2
2
(ax + b)
(ax + b) (ax + b)
(ax 2 + b) n
C, D, E y F son constantes
Nota: Ten en cuenta que existe la combinación de las formas anteriores
Revisemos algunos ejemplos:
Ejemplo 1
Resolver la siguiente integral:
2 x3 − 4 x 2 − 15 x + 5
∫ x 2 − 2 x − 8 dx
Realizamos primero una división de polinomios:
2 x3 − 4 x 2 − 15 x + 5
x+5 
x+5

∫ x2 − 2 x − 8 dx = ∫  2 x + x 2 − 2 x − 8  dx = ∫ 2 x dx + ∫ x 2 − 2 x − 8 dx
La primera integral es inmediata, es decir:
∫ 2x dx = x
2
+C
Resolviendo la segunda integral:
∫x
2
x+5
dx =
− 2x − 8
x+5
∫ ( x + 2 )( x − 4) dx
(Factorizando el denominador)
Expresando el integrando como una suma de fracciones parciales:
x+5
A
B
∫ ( x + 2 )( x − 4 ) dx = ∫ x + 2 dx + ∫ x − 4 dx
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21
II - 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Donde
x+5
A
B
=
+
x+2
x−4
( x + 2 )( x − 4 )
x + 5 = A ( x − 4) + B ( x + 2)
Resolviendo, obtenemos las constantes
A=−
1
2
y
B=
3
2
Sustituyendo los valores de estas constantes, tenemos:
x+5
∫ ( x + 2 )( x − 4 ) dx =
A
∫ x + 2 dx +
B
∫ x − 4 dx =
x+5
1
x+2
 Ln
dx
=
−
∫ ( x + 2)( x − 4 )
2  ( x − 4 )3

−1
3
2 dx +
∫ x + 2 ∫ x −24 dx

+k

De tal manera que:
2 x 3 − 4 x 2 − 15 x + 5
1
x+2 
2
∫ x 2 − 2 x − 8 dx = x − 2  Ln ( x − 4)3  + k
Ejemplo 2
Resolver la siguiente integral:
2 x3 − 4 x − 8
∫ ( x 2 − x )( x 2 + 4 ) dx
Factorizando el denominador:
2 x3 − 4 x − 8
∫ ( x 2 − x )( x 2 + 4 ) dx =
2 x3 − 4 x − 8
∫ x ( x − 1) ( x 2 + 4 ) dx
Expresando el integrando como una suma de fracciones parciales
2 x3 − 4 x − 8
∫ x ( x − 1) ( x 2 + 4) dx =
A
B
Cx + D
dx
2
+ 4)
∫ x dx + ∫ x − 1 dx + ∫ ( x
Desarrollando la ecuación
A ( x − 1) ( x 2 + 4 ) + Bx ( x 2 + 4 ) + ( Cx + D ) x ( x − 1)
2 x3 − 4 x − 8
∫ x ( x − 1) ( x 2 + 4 ) dx =
x ( x − 1) ( x 2 + 4 )
2 x 3 − 4 x − 8 = A ( x − 1) ( x 2 + 4 ) + Bx ( x 2 + 4 ) + ( Cx + D ) x ( x − 1)
Resolviendo, obtenemos las constantes
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
A=2 ; B=
14
14
; C=
5
5
y D=
4
5
Sustituyendo los valores de estas constantes, tenemos:
2 x3 − 4 x − 8
∫ x ( x − 1) ( x 2 + 4 ) dx =
2
∫ x dx
+
14 1
14
x
4
1
dx +
dx + ∫ 2
dx
∫
∫
2
5 x −1
5 ( x + 4)
5 ( x + 4)
2 x3 − 4 x − 8
14
7
2 −1  x 
2
∫ x ( x − 1) ( x 2 + 4) dx = 2Ln x + 5 Ln x − 1 + 5 Ln x + 4 + 5 tan  2 
4.
Tabla de Integrales
En general, la evaluación de integrales es una tarea que necesita de considerable destreza y a
menudo ingenio. Como no es posible formular un método o sustitución para evaluar una integral, la
manera apropiada es usando una tabla de integrales.
En algunas veces, es necesario un cambio de variable mediante sustitución con objeto de llevar la
integral a una que aparezca en la tabla.
Ejemplo 1
Resolver la siguiente integral:
x
∫ 3 − x dx
Al comparar la integral dada con las integrales de la Tabla de Integrales, se establece que la forma
que más se adapta a la situación planteada, es la dada por la siguiente expresión matemática
u du
1
[ a + bu − aLn(a + bu)] + C
b2
∫ a + bu
=
u du
1
[ a + bu − aLn(a + bu)] + C
b2
Es decir:
x
∫ 3 − 5 x dx = ∫ a + bu
Donde:
u=x
a=3
=
b = −5
Reemplazando valores:
x
1
∫ 3 − 5 x dx = 5 [3 − 5 x − 3 ln(3 − 5 x )] + c
2
Así, se concluye que:
x
1
∫ 3 − 5x dx = 25 3 − 5x − 3Ln ( 3 − 5x ) + C
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Ejemplo 2
dx
∫ x ( 2 + 3x )
Resolver la siguiente integral:
Al comparar la integral dada con las integrales de la Tabla de Integrales, se establece que la
forma que más se adapta a la situación planteada, es la que viene dada por la siguiente
expresión matemática:
1
dx
u
∫ u ( a + bu ) = a Ln a + bu
+C
Donde:
u=x
a=2
b=3
Al reemplazar los valores, nos queda:
dx
∫ x ( 2 + 3x )
Ing. Edgar Vargas Ruiz
=
1
x
Ln
+C
2
2 + 3x
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24
II - 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
UNIDAD 3
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Área de funciones
A pesar de que podemos aproximar áreas recurriendo a la suma de áreas de rectángulos, hemos
visto que las integrales definidas nos proporcionan una manera de realizar el cálculo en forma
exacta.
Área entre una función y el eje de abscisas
1. La función es positiva
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del
eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
b
A = ∫ f ( x)dx
a
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
a. Se calculan los puntos de corte con el eje x, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
b. El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los
puntos de corte.
Ejemplo Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje x para representar la curva y conocer los
límites de integración.
0 = 9 − x2 ⇒
Ing. Edgar Vargas Ruiz
( x − 3)( x + 3) = 0
⇒
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25
x=3 ∨
x = −3
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Como la parábola es simétrica respecto al eje y,, el área será igual al doble del área comprendida
entre x = 0 y x = 3.
3

x3 
A = ∫ ( 9 − x ) dx = 2 ∫ ( 9 − x ) dx = 2 9 x −  = 36 u 2
−3
0
3 0

3
3
2
2
2. La función es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del
eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
b
A = − ∫ f ( x)dx
a
o
A=
∫
b
a
f ( x)dx
Ejemplo 1
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje x
Hallamos los cortes con el eje x:
0 = x2 − 4 x ⇒
x ( x − 4) = 0 ⇒
x=0 ∨
x=4
4
 x3

32
A = ∫ ( x − 4 x ) dx =  − 2 x 2  = −
0
3
3
0
32 2
A=
u
3
4
2
Ejemplo 2
Hallar el área limitada por
or la curva y = cos x y el eje x entre π/2 y 3π/2.
π/2.
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26
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3π
A = ∫π
3π
cos x dx = [ senx ]π
2
2
A =2u
2
2
 3π 
π 
= sen 
 − sen   = − 1 − 1 = − 2
 2 
2
2
3. La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas (ver figura). Para
calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
a. Se calculan los puntos de corte con el eje x,, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
b. Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
c. El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo
.
Ejemplo 1
Hallar el área limitada por la recta y =
3x − 6
, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes
2
a x = 0 y x = 4.
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2
2  3x − 6 
1 3
1

A1 = ∫ 
dx =  x 2 − 6 x  = ( 6 − 12 ) = − 3

0
2 2
2
 2 
0
4
1 3 2
1
 3x − 6 

A2=∫ 
 dx =  x − 6 x  = ( 24 − 24 ) − ( 6 − 12 )  = 3
2
2 2
2
 2 
2
2
A = A1 + A2 = −3 + 3 = 6 u
4
Área comprendida entre dos funciones
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por
encima menos el área de la función que está situada por debajo,
debajo, o el área de la función que está a
la derecha menos el área de la función que está a la izquierda.
a. Cálculo de áreas integrando respecto a la variable x
Dadas dos funciones f(x) y g(x),, si la función y = f(x) se encuentra por arriba de la función y=g(x)
en el intervalo: a ≤ x ≤ b, el área entre las dos funciones, será:
será
∫ [ f ( x ) − g ( x )]
b
a
dx
En el gráfico las dos funciones se encuentran por encima del eje x, pero esta propiedad también es
válida para las funciones que se hallan debajo del eje x
Generalizando, para determinar el área entre dos curvas se efectúa el siguiente cálculo:
A=
∫a (curva por encima) − ( curva
b
por abajo )  dx
Cuando uses integrales para el cálculo de áreas, es importante trazar una gráfica de las funciones
que intervienen. De esta manera podrás identificar los límites de integr
integración
ación pertinentes y te será
más fácil plantear la integral
integral.
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b. Cálculo de áreas integrando respecto a la variable y
Para calcular el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas horizontales y =
c y y = d se resuelve mediante la siguiente fórmula:
∫c [ f ( y) − g ( y)] dy
d
teniendo en cuenta que f y g son continuas en [c, d] y que además g ( y) ≤ f ( y) ; para todo y del
intervalo de trabajo.
Generalizando, para determinar el área entre estas dos curvas se efectúa el siguiente cálculo:
Area =
∫c (curva a la derecha) − ( curva a la izquierda ) dy
d
Ejemplo 1
2
Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x + 2 y la recta que pasa por los puntos
(−1, 0) y (1, 4).
Primero hallamos la ecuación de la recta:
y2 − y1
4−0
4
=
= = 2
x2 − x1 1 − (−1) 2
y − y1 = m ( x − x1 )
→
y − 0 = 2 ( x + 1) →
m=
 y = x2 + 2

 y = 2x + 2
y = 2x + 2
Igualando las dos ecuaciones, obtenemos los cortes con el eje x:
x1 = 0
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x2 = 2
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2

x3 
8
4

A = ∫ ( 2 x + 2 − x − 2 ) dx =  x 2 −
=  4 −  − (0) = u 2

0
3 0 
3
3

2
2
Ejemplo 2
Hallar el área de la figura limitada por: y = x 2 , y = x,
Puntos de corte de la parábola y la recta y = x
 y = x2

y=x
x = 0,
x=2
Igualando las dos ecuaciones, obtenemos los cortes con el eje x:
x2 = x
x1 = 0
x2 = 1
De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.
1
1
 x 2 x3 
1 2
A 1 = ∫ ( x − x 2 ) dx =  −
=
u

0
3 0
6
2
De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.
2
 x3 x2 
5 2
A 2 = ∫ ( x − x ) dx = 
−
=
u

1
6
 3 2 1
1 5
AT = + = 1 u2
6 6
2
2
En general para encontrar el área limitada entre funciones, te sugerimos seguir los siguientes
pasos:
Paso 1: Esboza la gráfica o gráficas de las funciones dadas
Paso 2: Encuentra
ncuentra las intersecciones con el eje x en [a, b], para dividir la región total en subsub
regiones
Paso 3:: La integral definida será positiva para las sub-regiones
regiones que estén por arriba del eje x, y
negativa para las sub-regiones
regiones debajo del eje x.
Usa integrales separadas para encontrar las áreas de las sub-regiones.
sub regiones.
Paso 4: Suma
uma las áreas de todas las sub
sub-regiones
regiones para determinar el ÁREA TOTAL.
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Integrales impropias
Hasta el momento las integrales que se han realizado tienen ambos límites de integración finitos, y
la función que se integra es continua en el intervalo de integración.
Definición:
Se llaman integrales impropias aquellas que contienen límites de integración infinitos o bien
aquellas para las cuales la función que se desea integrar, presenta una discontinuidad en algún
punto del intervalo de integración.
Estas integrales se resuelven utilizando límites y por lo tanto nos podemos encontrar dos
situaciones:
1. Que el límite sea finito: entonces la integral es convergente y su valor corresponde con el valor
del límite.
2. Que el límite no exista o sea infinito: entonces la integral es divergente y su valor queda
indeterminado.
1. Integrales impropias de primera especie
Se conocen también como integrales con límites de integración infinitos y se clasifican de la
siguiente forma:
a. Si f(x) es continua para x ∈ [ a,+∝
∝ ) entonces
∫
+∞
a
f ( x ) dx = Lím
t → +∞
∫
t
f ( x ) dx
a
Y en tal caso diremos que hay impropiedad en “+∝
∝”. Si el límite existe, se indica que la integral es
convergente, de lo contrario se indica que es divergente (ver figura 1)
b. Si f(x) es continua para x ∈ ( -∝
∝ , b] entonces
∫
b
−∞
f ( x ) dx = Lím
p → −∞
∫
b
p
f ( x ) dx
Y en tal caso diremos que hay impropiedad en “-∝
∝”. Si el límite existe, se indica que la integral es
convergente, de lo contrario se indica que es divergente. (Ver figura 2)
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c. Si f(x) es continua para x ∈ (-∝
∝ ,+∝
∝ ) entonces
∫
+∞
f ( x ) dx =
−∞
∫
c
−∞
f ( x ) dx
∫
+
+∞
f ( x) dx
c
Donde c es cualquier número real. Tomaremos a c=0 por conveniencia.
Se rescribirá la expresión así:
∫
+∞
−∞
f ( x ) dx
= Lím
p→−∞
∫
0
f ( x) dx
+
p
Lím
t →+∞
∫
t
f ( x) dx
0
En tal caso diremos que hay impropiedad en “+∝
∝” y en “-∝
∝”. Si ambos límites existen, indicaremos
que la integral original es convergente, de lo contrario diremos que la integral es divergente. (Ver
figura 3)
Fig. 3
Ejemplo
Encontrar el área de la región limitada por la curva f ( x ) = e − x , la recta x = 0 y el eje x
Solucion:
Como la curva es siempre positiva:
A=
∞
∫0
e − x dx =
Lím
t → +∞
∫
t
0
e − x dx =
Lím
t → +∞
 − e − x 
t
0
=
Lím
t → +∞
 − e − t + 1
= 1
La integral converge a 1.
2. Integrales impropias de segunda especie
Se conocen también como integrales con discontinuidades infinitas en un límite de integración o en
algún punto entre los límites de integración y se clasifican de la siguiente forma:
a. Si f(x) es continua para x ∈ [a, b) y discontinua en x=b, entonces
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∫
b
f ( x ) dx = Lím
a
t →b
−
∫
t
f ( x ) dx
a
En tal caso diremos que hay impropiedad en x = b. Si el límite existe, se indica que la integral es
convergente, de lo contrario se indica que es divergente.
b. Si f(x) es continua para x ∈ (a, b] y discontinua en x = a, entonces:
∫
b
a
f ( x ) dx =
Lím
p→a
+
b
∫
f ( x ) dx
p
En tal caso diremos que hay impropiedad en x = a. Si el límite existe, se indica que la integral es
convergente, de lo contrario se indica que es divergente.
c. Si f(x) es continua para x ∈ [a, c) U (c, b] y discontinua en x = c, entonces:
∫
b
a
f ( x )dx =
∫
c
a
∫
f ( x ) dx +
b
c
f ( x )dx
Se rescribirá la expresión así:
∫
b
a
f ( x ) dx = Lím
t →c
−
∫
t
a
f ( x ) dx
+
Lím
p→c
+
∫
b
p
f ( x ) dx
c
En tal caso diremos que hay impropiedad en x = c. Si las integrales:
∫
b
c
f ( x ) dx son convergentes indicaremos que
∫a
Ejemplo
∫
1
0
Lnx dx
Solución: Sea f ( x) = Lnx continua para x > 0, no está acotada en x = 0. (Ver figura)
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Página
33
y
la integral original es convergente, de lo
contrario indicaremos que la integral diverge.
Determine la convergencia o divergencia de la integral
f ( x )dx
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1
∫0
Lnx dx =
1
p→0
=
+
Lnx dx =
Lím [ xLnx − x ] p = Lím [ (1) ln(1) − 1 − ( p ln p − p ) ]
1
p→0
+
p→0
+
p→0
+
−1 − Lím [ p ln p ] + 0 = − 1 − Lím
p→0
+
+
[ −1− p ln p + p ]
Lím [(0 − 1) − ( p ln p − p)] = Lím
p→0
=
∫p
Lím
p→0
+
[ p ln p ]
Este último límite lo calculamos mediante la regla de L’Hopital


ln p 

−
= − 1 − Lím
= −1 − Lím
1 
+ 
+
p→0
p→0
p 

=
 p2 
−1 − Lím 
 = −1 −
+  p 
p→0
 1p 
 − −1 
 p 
2
Lím [ p ] = − 1
p→0
+
La integral converge a -1
3. Integrales impropias de tercera especie
En estas integrales, las funciones que se integran presentan asíntotas dentro del intervalo de
integración que, a su vez, es no acotado.
Para estudiar dichas integrales se procede a su descomposición a integrales de los tipos
estudiados anteriormente. Si todas las integrales obtenidas de la descomposición son
convergentes se tiene que las primeras también lo son y su valor es la suma correspondiente a las
integrales obtenidas en la descomposición realizada. Si alguna de las integrales que aparecen en
la descomposición es divergente, también lo es la inicial.
Ejemplo
Determine la convergencia de la integral
∞
dx
∫ 0 ( x + 1)
x
Solución:
Debemos de descomponerla en dos integrales, pues presenta una discontinuidad infinita en x=0 y
un límite infinito, elegimos para ello un punto conveniente, puede ser x=1
∞
∫0
dx
=
( x + 1) x
1
∫0
∞
dx
+ ∫
1
( x + 1) x
dx
( x + 1) x
1
=
t
Lím 2 arctg x  + Lím 2 arctg x 
p
1
+
t →∞
p →0
π 
π 
π 
 − 0 + 2  − 2 
4
2
4
= 2
=
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π
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN
Las siguientes son algunas de las principales aplicaciones de la integral definida en la economía y
la administración.
1. Maximización de la utilidad con respecto al tiempo
Existen ciertas empresas como la explotación de minas y la perforación de pozos petroleros que
se tornan no rentables después de cierto periodo. En tales operaciones existe un instante en que
el costo de mantener la operación se hace mas alto que el ingreso y la empresa empieza a perder
dinero. El administrador de tal operación afronta el problema de seleccionar un instante para cerrar
la empresa que resultaría en la utilidad máxima obtenida.
Denotemos con C (t), R (t) y P (t) el costo total, el ingreso total y la utilidad total hasta el instante t
(medidos desde el inicio de la operación), respectivamente. Se sigue que:
P (t)= R (t) – C (t)
La utilidad máxima total ocurre cuando P’ (t)=0 o bien si R’ (t)=C’ (t), por lo tanto la utilidad en el
instante t está dada por:
t
P(t ) = ∫ p' (t )dt
0
t
P(t ) = ∫ [ R' (t ) − C ' (t ) ]dt
0
Esta es la máxima utilidad que puede obtenerse y sin duda puede interpretarse como el área de la
región acotada por las gráficas R’ (t) y C’ (t) situada entre 0<T<t. (ver figura 1).
En esta formula se supuso que R (0)=0 y que el costo total C (0)=0. En general esto no es cierto
debido a los costos fijos (esto es, costos de apertura) que deben realizarse antes de que la
producción se inicie.
Así que, en la práctica, debemos restar estos costos fijos de la expresión anterior de P (t) a fin
de obtener la utilidad máxima real.
Figura 1
Ejemplo
Las tasas de costo e ingreso de cierta operación minera están dadas por C '(t ) = 5 + 2 t
R´(t ) = 17 − t
2
3
, en donde C y R se miden en millones de dólares y t en años.
a. Encuentre qué tanto deberá prolongarse la operación.
b. Calcule la utilidad total que puede obtenerse durante este periodo
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2
3
y
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Solución:
C´( x) = I ´( x )
a.
5 + 2t
3t
2
3
2
= 17 − t
3
2
3
= 17 − 5 = 12
t= 4
3
2
⇒
⇒
t
2
=4
3
t =8
Por lo tanto, la operación deberá mantenerse por t= 8 años
∫ 0 [ R '(t ) − C '(t )] dt
t
P(t ) =
b. Aplicando la formula
P(t ) =
P(t ) =
) (
(
)
 17 − t 2 3 − 5 + 2 t 2 3  dt

0 

∫
∫
8
8
0
(
12 − 3t
P (t ) = 96 −
2
)
3
3 5 8
dt = 12t − 3 t 3
5
0
9
( 32 ) = 38.2 Millones de dólares
5
2. Superávit del Consumidor y del Productor
a. Superávit (o excedente) del consumidor
En un mercado de libre competencia hay algunos consumidores que estarían dispuestos a
comprar el articulo a un precio más alto que el precio en el equilibrio del mercado ( P0 ) que en
realidad deberían pagar. Por tanto, estos consumidores ahorraran dinero y este ahorro se
denomina Superávit de los consumidores ( SC ) y esta dado por el área entre la curva de demanda
P = f (x ) y la línea horizontal P = P0 . (Ver figura 2.a)
El superávit de los consumidores está representado por la integral definida:
SC =
x0
x0
∫ [ f ( x) − P ]dx = ∫ f ( x)dx − P x
0
0
0 0
, en donde P = f (x ) es la curva de demanda.
0
Figura 2.a
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II - 2010
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b. Superávit (o excedente) del productor
De manera similar, en un mercado de libre competencia existen también productores que estarían
dispuestos a vender el articulo a un precio menor que el de equilibrio de mercado ( P0 ) que los
consumidores en realidad pagan. En tal situación, los productores también se benefician; este
beneficio se denomina el superávit de los productores ( SP ) y esta dado por el área entre la curva
de oferta P = g (x) y la línea horizontal P = P0 . (Ver figura 2.b)
Por lo tanto, la ganancia total de los productores o superávit de los productores esta dado por:
SP =
x0
∫ [P
0
x0
− g ( x)]dx = P0 x0 − ∫ g ( x)dx , en donde P = g (x ) es la curva de oferta.
0
0
Figura 2.b
Ejemplo
No existe demanda para una nueva marca de filmadoras, si el precio por cámara es de 1700$ o
mas, por cada disminución de 100 $ en el precio la demanda se incrementará en 200 unidades. El
fabricante no esta dispuesto a considerar un precio unitario de 500 $ para empezar su oferta, y
ofrecerán 1400 cámaras a un precio de 850 $
a. Determine las ecuaciones de ofertas y demandas
b. Cual es la cantidad y precio de equilibrio
c. Cuanto están dispuestos a gastar los consumidores por el producto
d. Determine el superávit del consumidor y del productor para el caso
Solución:
a. Ecuaciones de demanda y oferta
Demanda
P
1600
1700
Oferta
x
200
0
P
500
850
p − p1 p 2 − p1
−
x − x1 x 2 − p1
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x
0
1400
p − p1 p 2 − p1
−
x − x1 x 2 − p1
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*
*
p − 1600 1700 − 1600
=
X 2 − 200
0 − 200
*
p − 1600
100
=−
X 2 − 200
200
p − 500 850 − 500
=
X2 −0
1400 − 0
*
*
1
p − 1600 = − ( x − 200)
2
*
p − 1600 =
*
p=
*
−x
+ 100
2
p − 500 350
=
X2
1400
p − 500 =
*
p=
1
x
4
1
x + 500
4
−x
+ 1700 R
2
b. Igualando la demanda y la oferta para calcular el punto de equilibrio
−x
1
+ 1700 = x + 500
2
4
− 0.5 x − 0.25 x = − 1200 (−1)
0.75 x = 1200
x = 1600 ⇒ x
=1600
Reemplazando x en cualquiera de las dos ecuaciones de oferta y demanda:
p=
1
x + 500
4
1
(1600 ) + 500
4
p = 900
⇒ p=
 p = 900 dólares
El punto de equilibrio es 
 x = 1600 unidades
c.
 −x

+ 1700  dx

0
 2

1600
= − (1600) 2 + 1700(1600)
=  − x 2 + 1700 x 

 0
Cc =
∫
1600
−2560000 + 2720000 = 160000
d. Excedente del consumidor y productor
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SC =
∫
1600
0
 x

 − 2 − 1700  dx − [ (900)(1600) ]
1600
 x2

=  − − 1700 x 
 4
0
SP =
[ (900)(1600)] − ∫0
1600
x

 4 − 500  dx
1600
 x2

= [ (1440000) ] −  − 500 x 
8
0
− [1440000]
1600
 16002

= −
− 1700(1600)  − [1440000]
4

0
= − 640000 + 2720000 − 1440000
= 640000 dólares
16002

(1440000)
−
− 500(1600) 
[
] 
 8

= 1440000 − 320000 − 800000
= 320000 dólares
=
3. Coeficientes de desigualdad para distribuciones de ingreso
Definamos a y como la proporción del ingreso total de cierta población que se recibe por la
proporción x de captadores de ingresos cuyo ingreso es mínimo.
En general tanto x como y son fracciones de un todo, y están entre 0 y 1 ( 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1 ),
donde y es una función de x, esto es: y = f (x )
Supondremos que no hay personas que reciban un ingreso cero, de modo que f (0)=0. Más aún,
todo el ingreso es recibido por el 100% de los captores de divisas, y así f (1)=1. La gráfica de la
función de f(x) que describe la distribución de ingreso real se denomina una curva de Lorentz.
(Ver figura 3).
Figura 3
La equidad perfecta de la distribución del ingreso está representada por la línea recta y=x. La
desviación de la distribución de ingreso real de la equidad perfecta se mide por el grado en que la
curva de Lorente real se aparta de la línea recta y=x.
Si la curva de Lorentz está cerca de la línea recta, el ingreso estará distribuido casi de manera
uniforme, mientras que una gran desviación de la línea indica una considerable desigualdad en la
distribución.
En consecuencia, el coeficiente de desigualdad de una curva de Lorentz está dado por:
L = 2 ∗ Área entre la curva de Lorentz y la línea y=x
1
L = 2 ∫ [ x − f ( x) ] dx , en donde y=f(x) es la ecuación de la curva de Lorentz
0
El coeficiente de desigualdad siempre está entre 0 y1. Cuando el coeficiente es cero, el ingreso
está distribuido de manera uniforme perfecta; entre más cerca de 1, mayor será la desigualdad en
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la distribución del ingreso.
Ejemplo
Encuentre el coeficiente de desigualdad de la distribución de ingreso dada por la curva
Y=
14 2 1
x + x , en donde X es la proporción acumulada de captadores de ingresos y Y es la
15
15
proporción acumulada del ingreso nacional.
1
 1 1 
L = 2 ∫  x −  + x 2  dx
0
  15 15  
1
∫
14
14

= 2  x+
x 2 dx
0 15
15 

=
2*
[
]
14 1
( x − x 2 ) dx
15 ∫0
1
28  x 2 x 3 
28  1 1  28
=
− − [0]
 −  =
15  2
3 0
15  2 3  15
=
=
28  1 
15  6 
28
R//
90
4. Curvas de Aprendizaje
Las curvas de aprendizaje, también llamadas economías de escala dinámicas, hacen
referencia al aumento de la productividad que se produce a través de la experiencia acumulada.
Cálculo del incremento en horas-hombre requerido para incrementar la producción de a a b
unidades.
En la producción industrial, con objeto de establecer por ejemplo el precio de venta de un artículo,
así como su fecha de entrega o la concertación de un contrato, se requiere estimar el número total
de horas-hombre que se necesitarán a fin de producir determinado número de unidades de su
producto.
Un trabajador tiende a requerir menos tiempo en la ejecución de una tarea particular si ya la ha
realizado un cierto número de veces con anterioridad, es decir, entre más repita su tarea, será más
eficiente y empleará menos tiempo en realizarla de nuevo.
Si T ( x ) es el número de horas-hombre necesario para producir las primeras x unidades de
producto, un incremento ∆x en la producción demandará un incremento ∆T en horas hombre.
Así, T '( x) representa el tiempo adicional requerido en horas-hombre por unidad adicional
fabricada, y
∫
b
a
T '( x) dx = ∆T representa el incremento total en horas-hombre requerido para
incrementar la producción de a a b unidades.
Por lo regular, T '( x ) se adapta a la forma T '( x) = a x b , en donde a > 0 y −1 ≤ b < 0 , que asegura
que el tiempo en horas-hombre requerido por unidad adicional producida disminuye a medida que
se producen más y más unidades.
La gráfica de la función T '( x ) se denomina curva de aprendizaje como se muestra en la figura.
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En la práctica los valores de las constantes a y b se determinan con base en series de producción
o por experiencias con productos similares.
Así, el incremento total en horas-hombre requerido para incrementar la producción de a hasta b
unidades, se puede calcular mediante la siguiente integral:
b
b
a
a
∆T = ∫ T ' ( x ) dx = ∫ ax b dx
Ejemplo 1: Después de producir 1,200 licuadoras, una empresa determina que su planta de
− 0.16
ensamblado está siguiendo una curva de aprendizaje de la forma T '( x) = 22 x
. Estimar el
número de horas-hombre requeridas en el ensamblado de 3,300 licuadoras adicionales.
∆T = ∫
∆T =
4500
1200
22 x
− 0.16
0.84
0.84
4500
22 ( 4500 ) − (1200 )  22 (1171.3919 − 385.9333)
 x 0.84 

=
dx = 22 
=

0.84
0.84
 0.84  1200
22 ( 785.4586 )
≃ 20,572 horas-hombre.
0.84
Ejemplo2: Después de observar las primeras 400 unidades de su producto, una empresa
determina que el tiempo de mano de obra requerido a fin de ensamblar la unidad (x+1) fue de
f ( x) = 500 x −1 / 2 . Calcule el total de horas-hombre requeridas con el objeto de producir 500
unidades adicionales
∆T =
=
∫ [( f ( x)] dx
900
400
∫ ( 500x ) dx
900
−1/2
400
900
[

x −1 / 2+1 
500
= 500
(900)1 / 2 − ( 400)1 / 2
 =
−
1
/
2
+
1
1
/
2

 400
]
= 1000[30 − 20] = 1000[10]
= 10000 R//
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5. Exceso de utilidad neta
Supongamos que dentro de x años dos planes de inversión generarán utilidades a las razones de
R1 ( x) y R2 ( x) dólares al año, respectivamente, y que para los próximos N años la razón R2 ( x)
será mayor que la razón R1 ( x) , como se ilustra en la figura 5.
Figura 5
El exceso de utilidad neta generado por el segundo plan durante los próximos N años es la integral
definida de esta razón de cambio desde x=0 hasta x=N. Es decir,
N
∫ [ R ( x) − R ( x)] dx , que puede interpretarse geométricamente como el
Exceso de utilidad neta =
2
1
0
área entre las curvas y = R2 ( x) e
y = R1 ( x) desde x=0 hasta x=N
Ejemplo
Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a un ritmo de
R1 (x ) = 50 + x 2 Dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmo de
R 2 (x ) = 200 + 5 x dólares por año.
a. ¿Cuántos años será más rentable el 2º plan?
b. ¿Cuál es el exceso de utilidad neta, si se invierte en el 2º plan, en lugar del 1º, durante
período que éste es más rentable que el 1º?
c. Explicar y representar, geométricamente, el exceso de utilidad neta calculado en el ítem
Solución:
()
el
()
a. El segundo plan será más rentable hasta que R1 x = R 2 x
50 + x 2 = 200 + 5x ⇒ x 2 − 5x − 150 = 0 ⇒ x = 15 años ( no tener en cuenta x = −10 )
b. Para 0 ≤ x ≤ 15 , el ritmo al que las utilidades generadas por el 2º plan exceden las del 1º es
R 2 (x ) − R1 (x ) dólares por año. Entonces el exceso de utilidad neta que genera el 2º plan durante
los 15 años está dado por la integral definida:
E xc . de utilidad neta =
=
15
∫0
15
∫0
 R 2 ( x ) − R
(
1
( x ) 
dx =
15
∫0
(
 x3 5

− x + 5 x + 150 dx =  −
+ x + 150 x 


3
2


2
)
)
 ( 200 + 5 x ) − 50 + x 2  dx =


15
c.
= 1.687, 50 dól .
0
Geométricamente, la integral definida antes calculada es el área de la región limitada por las
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curvas y = R 2 ( x ) , y = R1 ( x) desde x = 0 hasta x = 15
Otra aplicación importante es el cálculo de las ganancias netas producidas por una maquinaria
industrial
Ejemplo
()
Cuando tiene x años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de R x = 5 . 000 − 20 x 2
dólares por año, y los costos de operación y mantenimiento se acumulan a razón de
C (x ) = 2 . 000 + 10 x 2 dólares por año.
a. ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?
b. ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo de tiempo?
c. Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas.
Solución:
a. El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan los ingresos sea
superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que R x = C x
()
5000 − 20 x 2 = 2000 + 10 x 2
30 x 2 = 3000
( no
⇒ x = 10 años
()
tener en cuenta x = −10 )
b. Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto período de tiempo
están dadas por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y el costo total de
operación y mantenimiento de ésta, se puede determinar esta ganancia por la integral definida:
10
Ganancia
neta
∫
∫(
=
[R (x ) − C (x )] dx
∫
=
0
10
=
)
10
[(5000
) (
− 20 x 2 − 2000
+ 10 x 2
)] dx
=
0
(
3000 − 30 x 2 dx = 3000 x − 10 x 3
)
0
10
0
= 20000
dól .
c. En términos geométricos, la ganancia neta calculada en el ítem anterior está representada por
el área de la región limitada entre las curvas y = R x y y = C x , desde x = 0 hasta x = 10 .
()
()
6. Flujos continuos de ingresos
a. Valor total de un flujo continuo de ingresos
Si la tasa de recepción del ingreso es f (t) dólares, entonces el ingreso total recibido después de T
años está dado por
PV =
∫
T
0
f (t ) dt
b. Valor futuro de un flujo continuo de ingresos
Suponga que se transfiere dinero continuamente a una cuenta durante un periodo 0 ≤ t ≤ T a una
tasa dada por la función f (t), y que la cuenta gana interés a una tasa anual r, capitalizada
continuamente. Entonces el valor futuro (dinero transferido a la cuenta más los intereses), FV, del
flujo de ingresos después de T años está dado por
FV = e rT ∫
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T
0
f (t ) e
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−r t
dt
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c. Valor presente de un flujo continuo de ingresos
Donde un ingreso esta repartido a lo largo de un número de años futuros, a veces es útil calcular
el valor presente de este ingreso. Esto puede ser particularmente valioso cuando una compañía
tiene que elegir entre tasas alternativas para explotar recursos.
Como en estos casos el ingreso se obtiene continuamente sobre un periodo, es necesario utilizar
descuentos continuos para calcular el valor presente.
El valor presente, PV, de un flujo de ingresos que se deposita continuamente a la tasa f (t) en una
cuenta que gana interés a una tasa anual r capitalizada continuamente, durante un plazo de T
años, está dada por
PV =
T
∫0
f (t ) e
−r t
dt
Ejemplo
Una inversión inicial de P dólares, crece continuamente a una tasa anual del 6%. Si la inversión
tiene un valor de 26997 $ después de 5 Años, determina la inversión inicial
PV =
=
∫
T
0
∫
5
0
f (t ) e − r t dt
5
26997e−0.06 t dt = 26997 ∫ e−0.06 t dt =
0
−26997 − 0.06t
e
0.06
5
=  −449950 e− 0.06t  =  −449950 e− 0.3  −  −449950 e 0 

0


= − 33333.1 + 449950
= 116618.85 dólares
7. Funciones de densidad de probabilidad
El propósito de estudiar estas funciones es examinar con mayor detalle la relación entre
integración y probabilidad. Las integrales impropias desempeñarán un papel importante en este
análisis.
La probabilidad de un suceso que puede resultar de un experimento aleatorio es un número entre
0 y 1 que indica la posibilidad del suceso. En particular, la probabilidad es el número de veces que
puede esperarse que ocurra el suceso si el experimento se repite un gran número de veces.
Una función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua x es una función
no negativa f con la propiedad de que P ( c ≤ x ≤ d ) es el área bajo la gráfica de f desde x=a
hasta x=b. (ver figura 6)
Figura 6
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La propiedad básica de las funciones de densidad de probabilidad puede replantearse en términos
de las integrales que se emplearán para calcular las áreas apropiadas.
Una función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua x es una función no
negativa f tal que:
b
P(a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x) dx
a
Los valores de a y b en esta formula no son necesariamente finitos. Si uno de ellos es infinito, la
probabilidad correspondiente está dada por una integral impropia. Por ejemplo:
P ( x ≥ a ) = P ( a ≤ x ≤ ∞) = ∫
∞
a
f ( x) dx
El área total bajo la gráfica de una función de densidad de probabilidad debe ser igual a 1. Esto se
debe a que el área total representa la probabilidad de que x esté entre − ∞ e ∞ , que es un
suceso de ocurrencia segura.
En términos de integrales impropias, tenemos:
∞
∫− ∞
f ( x ) dx = 1
A continuación estudiaremos algunas de las funciones de densidad de probabilidad más útiles.
a. Función de densidad uniforme
Una función de densidad uniforme es constante en un intervalo limitado A ≤ x ≤ B y cero fuera de
intervalo (Ver figura 7).
Si k es el valor constante de una función de densidad uniforme f(x) en el intervalo A ≤ x ≤ B , el
valor de k está determinado por el requisito de que el área total bajo la gráfica de f debe ser igual
a 1.
La función de densidad uniforme se representa como:

1
F(x)=  B − A
 0
si
A≤ x≤ B


en los demas casos 
Figura 7
b. Función de densidad exponencial
Una función de densidad exponencial es una función f(x) que es cero para x<0 y que decrece
exponencialmente para x ≥ 0 . Es decir, para x ≥ 0 ,
f ( x) = Ax − kx , donde A y k son constantes positivas. (Ver figura 8).
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La función de densidad exponencial se representa como:
ke − kx
F(x)= 
x ≥ 0

x < 0
si
 0 si
Figura 8
c. Función de densidad normal
Son las funciones de densidad de probabilidad más ampliamente utilizadas. Sus gráficas son en
forma de campana (ver figura 9). El análisis detallado de este tipo de función se dejará
estrictamente para la estadística.
Figura 9
d. Valor esperado
El valor medio de una variable aleatoria x se denomina valor esperado o media e indica el centro
de su distribución y se representa por el símbolo E(x) (ver figura 10).
Si x es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f, el valor
esperado (o media) de x es:
E ( x) =
∞
∫
x f ( x) dx
−∞
Figura 10
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e. Varianza
Otro concepto que es útil en la descripción de la distribución de una variable aleatoria es la
varianza, que indica cuán extendida está la distribución. Es decir, la varianza mide la tendencia de
los valores de una variable aleatoria a agruparse alrededor de su media. se define como:
Var ( x) =
∞
∫−∞ [ x − E ( x)]
2
f ( x)dx
En las figuras 11 y 12 se representan la varianza como una medida de la expansión de una
distribución.
Figura 11. Varianza pequeña
Figura 12. Varianza grande
Una formula equivalente para la varianza, que es más fácil de aplicar para propósitos de cálculo
debido al término x − E ( x ) que debe elevarse al cuadrado y multiplicarse por f(x) antes de efectuar
la integración es la siguiente:
Var ( x) =
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∞
∫− ∞ x
2
f ( x)dx − [ E ( x)]
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