TEMA 2 MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS

TEMA 2 MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS
El concepto de interés. Capitalización simple. Capitalización compuesta. Valor actual. Anualidades y
perpetuidades. Amortización de préstamos.
1. Imagine que usted gana 100.000 € jugando a la lotería. ¿Qué forma de cobro elegiría si su coste de
oportunidad es el 7%?
a) 100.000 € pagados hoy
b) 140.000 € pagados en 10 anualidades de 14.000 € comenzando hoy
c) 120.000 € pagados en 4 pagos semestrales de 30.000 € comenzando hoy
d) 140.000 € pagados en un solo pago dentro de 5 años
2. Un individuo solicita un préstamo de 200.000 € que debe devolver en cómodas anualidades durante 10
años. El tipo de interés a pagar por el préstamo es del 10%. ¿Cuánto dinero falta por amortizar al final del 2º
año?
a) 187.453,22 €
b) 134.906,44 €
c) 173.651,76 €
d) No puede calcularse.
3. Acabamos de leer el siguiente anuncio: Denos 50.000€ anuales durante 15 años y nosotros le daremos
50.000€. a perpetuidad.¿cuál es tipo de interés?.
• 7,18
• 3,2
• 5,12
• 4,72
4. Imagine que usted debe pagar 20.000 euros por un automóvil recién adquirido. ¿qué forma de pago elegiría,
si su tasa de descuento es del 8%?
• Cuatro pagos semestrales de 5 mil euros, siendo el primero de ellos dentro de 6 meses.
• Un pago de 10 mil ahora y el resto dentro de un año.
• Un pago de 8 mil ahora y el resto en 6 pagos mensuales siendo el primero dentro de un mes.
• Un pago único de 20 mil dentro de nueve meses.
5. El Señor García espera retirarse dentro de 28 años, y llegado ese día le gustaría tener en su fondo de
pensiones una cantidad de dinero igual a €750.000. Dada una remuneración del 10% anual, ¿qué cantidad de
dinero tendría que depositar anualmente y a partir de dentro de un año para alcanzar este objetivo?
a.
4.559,44 €
b.
5.588,26 €
c.
9.118,88 €
d.
Ninguna de las anteriores
6. Suponga que usted se va a jubilar dentro de 30 años y desea contratar el siguiente producto financiero.
Deberá depositar anualmente en su entidad financiera una cantidad hasta la fecha de su jubilación
(empezando a pagar dentro de un año), y a cambio el banco se compromete a pagarle a usted una renta anual
de 40.000 € durante los 20 años siguientes (el primer cobro será un año después de la fecha de su jubilación).
Si el tipo de interés de la operación es el 5%, ¿Cuánto deberá depositar cada año?
a.
32427,00
1
b.
26667,00
c.
7145,70
d.
7503,00
7. Realice los siguientes cálculos:
a) Calcular el tipo de interés mensual equivalente al 6% semestral.
b) Calcular el tipo de interés trimestral equivalente a un efectivo anual del 12%.
c) Calcular el efectivo semestral equivalente al 16% efectivo anual.
8. Una persona impone tres capitales de 1.000.000 pts cada uno en tres entidades bancarias distintas,
recibiendo al cabo de 3 años las siguientes cantidades:
CA = 1.295.029
CB = 1.302.260
CC = 1.308.650
Si sabemos que cada entidad capitaliza del siguiente modo:
A) tipo anual constante
B) tipo semestral
C) tipo mensual
Calcular el valor de cada uno de esos tipos y de los tantos anuales
(nominales y efectivos) correspondientes.
9. Como ganador de un concurso usted puede elegir uno de los siguientes premios:
a) 100.000 pts ahora.
b) 180.000 pts dentro de 5 años.
c) 11.400 pts al año a perpetuidad.
d) 19.000 pts al año durante los próximos 10 años.
e) 6.500 el próximo año y aumentar un 5% anual durante toda la vida.
Razone su elección considerando un tipo de interés anual del 12%.
10. Un chico de 10 años, a partir de los 18 va a percibir una renta anual prepagable de 400.000 pts hasta que
cumpla los 25 años. ¿Cuál será su valor actual al 8%?
11. Una persona compra un piso mediante el siguiente procedimiento:
• A la firma del contrato paga 1.000.000 de pts.
2
• Deja pendiente una deuda con el vendedor que cancelará en 36 pagos mensuales de 50.000 pts cada
uno, siendo el tipo de interés nominal anual de la operación el 12%.
• Cancelará la hipoteca del piso a favor de una entidad bancaria mediante el pago de 200.000 pts
semestrales durante 10 años, siendo el tipo de interés nominal anual de la operación del 8%
Se pide:
(1) Determinar el precio de contado del piso.
(2) Determinar que cantidad habrá que pagarle al banco si transcurridos 3 años se quiere cancelar la hipoteca.
12. Ricky Martin tiene una hipoteca sobre 100.000 € a un tipo de interés del 8% anual. Si la hipoteca se paga
en 20 plazos anuales iguales, ¡cuál es la cantidad de cada pago?
a) 5.000 pts.
b) 7.924 pts.
c) 10.185 pts.
d) 21.455 pts.
13. Ricky Marti tiene una hipoteca sobre 100.000 € a un tipo de interés del 8%, que amortizará en 20 plazos
anuales iguales. ¿Cuál es el valor de la hipoteca después del pago del segundo plazo anual?
a) 79.630 pts.
b) 85.734 pts.
c) 90.000 pts.
d) 95.454 pts.
14. Una fábrica cuesta 800.000 pts. Usted calcula que producirá unos ingresos después de costes de
explotación de 170.000 pts al año durante diez años. Si el coste de oportunidad del capital es del 14%, ¿cuál
es el valor actual neto de la fábrica? ¿Cuánto valdrá la fábrica dentro de cinco años?
15. ¿Cuánto tendrá al cabo de 20 años si invierte 100 € hoy al 15% capitalizado anualmente? ¿Cuanto tendrá
si invierte al 15% capitalizado continuamente?
16. ¿Qué preferirías?
a) Una inversión que produce un 12% devengado anualmente.
b) Una inversión que produce un 11.7% anual devengado semestralmente.
c) Una inversión que produce un 11.5% de devengo continuo.
Calcular el valor de cada inversión después del primer año, del quinto y del vigésimo.
17. Si el valor actual de 150 € pagados al cabo de un año es 130 €, ¿cuál es el factor de descuento a un año?
¿Cuál es la tasa de descuento?
3
18. La rentabilidad trimestral de una inversión es el 0,1 por 100. ¿Cuánto vale su rentabilidad anual?
19. ¿Cuál/Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
a) El factor de descuento a 4 años tiene que ser mayor que el factor de descuento a 3 años.
b) El rendimiento de una perpetuidad es igual al flujo de caja dividido entre el valor actual.
c) Si el flujo de caja de una inversión crece indefinidamente a una tasa constante g entonces el valor presente
de la inversión está dada por C1/(r+g).
20. Si el factor de descuento a 3 años es 0,8, ¿cuál es el tipo de interés?
21. Considerar una hipoteca sobre 100.000 € a un tipo de interés del 8%. Si la hipoteca se paga en 20 plazos
iguales, ¿cuál es la cantidad de cada pago?¿Cuál es el valor de la hipoteca después del pago del segundo plazo
anual?
22. Resuelva:
a. Si el factor de descuento a 1 año es de 0,88 ¿cuál es el tipo de interés a un año?
b. Si el tipo de interés a 2 años es 10,2%, ¿cuál es el factor de descuento a 2 años?
c. Dados estos dos factores de descuentos a 1 y 2 años, calcular el factor de descuento de una anualidad a 2
años.
d. Si el valor actual de 10 € al año durante 3 años es 24,49 €, ¿cuál es el factor de descuento de una anualidad
a 3 años?
e. A partir de sus respuestas a c) y d), calcule el factor de descuento a 3 años.
23. Suponga que adquiere un préstamo de 10.000 € a un tipo de interés nominal del 12%. Para devolver la
cantidad anterior más los correspondientes intereses pagará semestralmente una cantidad fija X durante un
año.
a. Calcule la cantidad X
b. Cantidades amortizadas e intereses pagados en cada período.
c. TAE de la operación.
24. Por una inversión de 1.000 € hoy, le ofrecen pagarle 1.600 € dentro de 8 años. ¿tipo de interés anual?
¿Cuál es el tipo con capitalización continua?
25. Está ahorrando porque desea adquirir un coche dentro de 5 años. Si el vehículo cuesta 20.000 € y puede
obtener el 10% anual por sus ahorros, ¿cuánto debería ahorrar al final de cada uno de los próximos 5 años?
26. Imagine que se ha jubilado y tiene una esperanza de vida de 12 años. Desea invertir 20.000 € en una
anualidad que le proporcione unos ingresos regulares al final de cada año hasta su muerte. Con un tipo de
interés del 8 por ciento, ¿qué renta podrá esperar cada año?
27. ¿Cuánto valdrá una inversión de 100 € dentro de 10 años si se invierte al 15 por ciento de interés simple
4
anual? ¿Cuál será su valor si se invierte al 15 por ciento de interés compuesto anual? ¿Cuánto tiempo tardará
esta inversión en doblar su valor al 15 por ciento de interés compuesto?
TEMA 3 INVERSION EN ACTIVOS REALES CON CERTEZA
Fundamentos del VAN. Alternativas al VAN. Plazo de recuperación. Rendimiento contable medio. TIR.
Indice de rentabilidad. Decisiones de inversión con el VAN. Interrelaciones de proyectos. Recursos
limitados.
• DyG esta considerando la compra de una nueva máquina. ¿Qué precio de compra es el que hace el valor
presente neto del proyecto igual a 0? Asuma lo siguiente:
• La nueva máquina reduce los gastos operativos en 20.000$ por año, durante 10 años. La reducción tiene
lugar al final del año.
• La maquina antigua que posee la empresa tiene una antigüedad de 5 años, y una duración esperada
adicional de 10 años.
• Esta máquina antigua se compró a un precio de 45.000, y su valor actual de mercado es 20.000.
• No hay impuestos ni inflación
• La tasa libre de riesgo es 10%.
• Considerando los flujos anuales de 4 diferentes proyectos calcule el valor neto presente de cada uno de
ellos:
AÑOS
0
−40
−25
−20
−15
PROYECTO
1
2
3
1
10
10
15
2
5
5
10
3
5
5
5
4
3
3
6
Retorno de un bono
−
5%
5%
6%
cupón cero
3) Calcule la tasa interna de retorno para cada proyecto del ejercicio anterior.
4
15
15
10
6
5
20
15
15
13
6%
5%
• Una inversión requiere un desembolso inicial de 2000$ y genera durante cada uno de los cinco años de su
duración, un flujo anual constante de 600$, siendo la rentabilidad requerida del 10%. Se desea conocer su
valor actual neto y su tasa de rentabilidad.
• Se desea determinar el VAN y la TIR de una inversión cuyo desembolso inicial es 1000$, siendo su
duración de 3 años. Tal inversión generaría el próximo año un flujo de caja de 500$ y los flujos anuales
posteriores crecerían a una tasa del 5%. La rentabilidad requerida es del 12 % anual.
6) Considere los siguientes 4 proyectos. Si la tasa de mercado es del 10%, ¿cuál es el proyecto con mayor
valor actual neto?
AÑOS
PROYECTO
1
2
3
4
0
−7
−1
−5
−1
1
11
22
44
11
2
12.1
−12.1
−24.2
0
• Calcular la TIR de cada uno de los 4 proyectos del ejercicio anterior.
5
• Una empresa está considerando despedir 50 empleados, lo cual le reportaría un ahorro de 1.000.000$ por
año durante los tres próximos años. En el cuarto año, se recontratarían 20 nuevos empleados, y en el quinto
30 trabajadores más. El costo de despedir los 50 empleados asciende a 300.000$. El costo de capacitar cada
empleado es de 80.000$. La tasa de descuento es de 10%. Determine si la empresa debe seguir esta política.
9. Se desea calcular el valor actual neto de una inversión de duración igual a un año, que precisa un
desembolso inicial de 1.500 u.m. y que generaría los siguientes flujos de caja: 500 al final del primer
trimestre, 1.000 al final del segundo, 500 al final del tercero y 1.000 al final del cuarto y último trimestre de su
duración. La rentabilidad anual requerida de esta inversión es del 60%.
10. Un banco ha concedido a un cliente un préstamo de 2.000.000 de u.m. por el que, al final de cada uno de
los doce trimestres de su duración, le cobrará un interés del 3%. El último trimestre el cliente deberá devolver
el principal del préstamo y los intereses del último trimestre. ¿Cuánto vale la rentabilidad anual de la inversión
del banco?
11. Una inversión requiere un desembolso inicial de 625 u.m. y genera los siguientes flujos de caja: 300 u.m.
al cabo de un mes, 200 u.m. al cabo de un semestre y 500 u.m. al cabo de dos años. Si la rentabilidad anual
requerida es el 12%, ¿cuánto vale su VAN?
12. Una inversión requiere un desembolso inicial de 2.000 u.m. y genera, durante cada uno de los cinco años
de su duración, un flujo anual constante de 600 u.m. siendo la rentabilidad requerida del 10%, se desea
conocer su valor actual neto y su tasa de rentabilidad. No existe inflación.
13. Una empresa plantea realizar una inversión, cuya duración considera ilimitada, que generaría un flujo de
caja anual igual a 125 u.m., requiriendo un desembolso inicial de 1.000 u.m. si no existiera inflación y el tipo
de rentabilidad requerida fuera del 5%, ¿cuál sería su valor actual neto? ¿Y su tasa de rentabilidad interna?
14. Se desea determinar el VAN y la TIR de una inversión cuyo desembolso inicial es de 1.000 u.m., siendo
su duración de 3 años. Tal inversión generaría el próximo año un flujo de caja de 500 u.m. y los flujos anuales
posteriores crecerían a una tasa anual del 5%. La rentabilidad requerida de esta inversión es el 12% anual.
15. Se desea determinar el VAN y la TIR de la inversión del problema anterior suponiendo que su duración
tiende a infinito.
16. Las duraciones de las inversiones mutuamente excluyentes A y B son ilimitadas. La primera tiene un
desembolso inicial de 500 u.m. y un flujo de caja anual constate de 250 u.m. La inversión B requiere un
desembolso inicial de 1.000 u.m. y genera un flujo de caja anual constante de 600 u.m. ¿qué inversión es
preferible según el criterio del VAN?
17. Sean dos proyectos de inversión, A y B, que requieren unos desembolsos inciales de 2.000 y 1.000 u.m.,
respectivamente, y que generan ilimitadamente unos flujos netos de caja anuales iguales a 1.000 u.m. la
inversión A y 600 u.m. la inversión B. ¿Para que tipos de descuento es preferible una u otra inversión según el
criterio del VAN? ¿Qué inversión es preferible según su tipo de rendimiento interno?
18. Un comerciante paga 100.000 € por un cargamento de madera y está seguro de poder venderlo al cabo de
un año por 132.000 €.
a) ¿Cuál es la rentabilidad de la inversión?
b) Si esta rentabilidad es mayor que el tipo de interés, ¿la inversión tiene un valor actual neto positivo o
negativo?
6
c) Si el tipo de interés es el 10%, ¿cuál es el valor actual de la inversión? ¿y el VAN?
19. ¿Qué sucede cuando la TIR de un proyecto es igual a su coste de oportunidad del capital?
a. El VAN será positivo.
b. El proyecto no tiene flujos de entrada de tesorería.
c. El VAN será cero.
d. El proyecto debería rechazarse.
20. Responda a los siguientes comentarios:
a. Nos gusta utilizar principalmente el período de recuperación como una manera de hacer frente al riesgo.
b. El gran mérito de la TIR es que no se tiene que pensar cuál es el tipo de descuento adecuado.
21 ¿Cuál es la máxima cantidad que deberíamos invertir en un proyecto en t=0 si los flujos de entrada de
tesorería estimados son de 30000 € al año durante 4
años a partir de t=1 (coste de oportunidad del capital del 8%)?
a. 49.681,90
b. 88.367,41
c. 99.363,81
d. 7.949,10
22. ¿Cuándo elegirá el proyecto X al Y?
X
Y
T=0
−200
−300
T=1
200
500
T=2
200
0
a. Si el coste de oportunidad del capital está entre el 0 y el 50%
b. Si el coste de oportunidad del capital es menor que 0 y mayor que 50%
c. Si el coste de oportunidad del capital es menor que 0 y mayor que 100%
d. En ningún caso
23. Considere un proyecto con los siguientes flujos de tesorería. ¿Cuántas tasas internas de rentabilidad tiene
el proyecto? Si el coste de oportunidad es el 20 por ciento, ¿es un proyecto atractivo?
C0
−100
C1
+200
C2
−75
7
24. Considere los siguientes proyectos y responda a las siguientes cuestiones:
PROYECTOS
A
B
C
FLUJOS DE TESORERÍA EN EUROS
C0
C1
C2
−1.000
+1.000
0
−2.000
+1.000
+1.000
−3.000
+1.000
+1.000
C3
0
+4.000
0
C4
0
+1.000
+1.000
C5
0
+1.000
+1.000
a. Si el coste de oportunidad de capital es el 10 por ciento, ¿qué proyectos tienen VAN positivo?
b. Calcula el plazo de recuperación de cada proyecto.
c. ¿Qué proyecto(s) aceptaría una empresa que utilice el criterio del plazo de recuperación si el período
máximo fuese de 3 años?
25. Los proyectos C y D implican el mismo desembolso y ofrecen la misma TIR, la cual supera el coste de
oportunidad del capital. Los flujos de tesorería generados por el proyecto C son mayores que los D, pero
tienden a producirse más tarde. ¿Qué proyecto tiene un VAN mayor?
26. Considerar los siguientes proyectos:
PROYECTOS
A
B
FLUJOS DE TESORERÍA (MILES DE EUROS)
C0
C1
C2
−4.000
+2.410
+2.930
−2.000
+1.310
+1.720
TIR (%)
21
31
a. El coste de oportunidad del capital es menor que el 10%. Usar el criterio de la TIR para determina qué
proyecto o proyectos deberían realizarse: (i) si se pueden realizar ambos y (ii) si sólo pueden emprenderse uno
de ellos.
b. Suponer que el proyecto A tiene un VAN de 690 € y el proyecto B de 657 €. ¿Cuál es el VAN de la
inversión incremental de 2.000 € en el proyecto A?
27. Tiene la posibilidad de participar en un proyecto que produce los siguientes flujos de tesorería. La TIR es
del 13%. Si el coste de oportunidad del capital es el 10%, ¿aceptaría la oferta?
FLUJOS DE TESORERÍA EN EUROS
C0
+5.000
C1
+4.000
C2
−11.000
28. La empresa CANOSA tiene un contrato no cancelable para la construcción de un lote de ambulancias. La
construcción implica un pago de 250.000 € al final de cada uno de los dos próximos años. Al final del tercer
año la empresa recibirá 650.000 €. La dirección está pensando en acelerar la construcción del lote mediante el
establecimiento de un turno extra para los trabajadores. Si esta medida se pone en marcha, habrá un pago de
550.000 € al final del primer año, seguido de un cobro de 650.000 € al final del segundo año. Utilice el
criterio TIR para mostrar el rango (aproximado) del coste de oportunidad del capital en el cual la dirección
debería adoptar la medida de trabajar un turno extra (Nota: las alternativas son por su naturaleza mutuamente
excluyentes).
29. Considere los siguientes proyectos:
8
PROYECTO
A
B
C
FLUJOS DE TESORERÍA (EN DÓLARES)
C0
C1
C2
C3
−1.000
1.000
0
0
−2.000
1.000
1.000
4.000
−3.000
1.000
1.000
0
C4
0
1.000
1.000
C5
0
1.000
1.000
a) Si el coste de oportunidad de capital es el 10 por ciento, ¿qué proyectos tienen un VAN positivo?
b) Calcule el plazo de recuperación de cada proyecto.
c) ¿Qué proyecto(s) aceptaría una empresa que utilice el criterio del plazo de recuperación si el periodo
máximo fuese de tres años?
30. Considerar un proyecto con los siguientes flujos de tesorería:
C0
−100
C1
200
C2
−75
a) ¿Cuántas tasas internas de rentabilidad tiene el proyecto?
b) El coste de oportunidad es el 20 %. ¿Es un proyecto atractivo?
Explíquelo brevemente.
31. Considere los dos proyectos siguientes mutuamente excluyentes:
FLUJOS DE TESORERÍA
PROYECTO
A
B
(EN DÓLARES)
C0
C1
C2
−100
60
60
−100
0
0
C3
0
140
a) Calcule el VAN de cada proyecto para tipos de descuento del 0, 10 y 20 por ciento. Dibújelos en un gráfico
con el Van en el eje vertical y el tipo de descuento en el horizontal.
b) ¿Cuál es la TIR aproximada de cada proyecto?
c) ¿En qué circunstancias aceptaría la empresa el proyecto A?
d) Calcule el Van de la inversión incremental (B−A) para tipos de descuento de 0, 10 y 20 %. Dibújelos en el
gráfico. Muestre que las circunstancias en las que aceptaría A son también aquellas en las que la TIR de la
inversión incremental es inferior al coste de oportunidad del capital.
32. La compañía Astilleros Titanic tiene un contrato no cancelable para construir un pequeño buque de carga.
La construcción supone un pago de 250.000 dólares al final de cada uno de los dos próximos años. Al final del
tercer año la empresa recibirá 650.000 dólares. La empresa puede acelerar la construcción trabajando un turno
extra. En este caso, habrá un pago de 550.000 dólares al final del primer año, seguido de un cobro de 650.000
dólares al final del segundo año. Utilice el criterio TIR para mostrar el rango (aproximado) del coste de
oportunidad del capital en el cual la empresa debería trabajar un turno extra.
9
33. Cierto proyecto requiere una inversión inicial de 5.000 € y produce un flujo de caja a perpetuidad de 500
€. Si la tasa de inflación es el 5%, ¿cuál es el máximo coste de oportunidad del capital en términos nominales
para el cual el proyecto es interesante?
• El VAN es siempre positivo.
• El VAN es siempre negativo.
• 10%
• 15%
34. Si todo lo demás permanece igual y en ausencia de impuestos, ¿qué ocurre con el plazo de recuperación si
la empresa escoge un plan de amortización del inmovilizado más acelerado?
• Aumenta.
• Disminuye
• Podría subir o bajar
• Permanece constante
35. Los proyectos C y D implican el mismo desembolso y ofrecen la misma TIR, la cual supera el coste de
oportunidad del capital (igual para los dos proyectos). El proyecto D genera un único flujo de tesorería en el
año 1 el proyecto C en el año 2. ¿Qué proyecto tiene un VAN mayor?
a) C
b) D
c) Ambos proyectos tienen el mismo VAN
d) No se puede determinar con los datos del ejercicio
36. Para poder realizar una inversión en el proyecto A antes es imprescindible haber invertido en los proyectos
B y C. ¿Cómo incorporarías esa restricción a un programa lineal de selección de inversiones?
• XA, XB, XC = 0 ó 1 y XA−XB−XC " 0
• XA, XB, XC = 0 ó 1 y XA+XB+XC = 3
• XA, XB, XC = 0 ó 1 y −XA+XB+XC " 2
• XA, XB, XC = 0 ó 1 y XA−XB−XC " −1
37. La empresa BASTERRE presenta un proyecto de inversión con los siguientes flujos de tesorería:
Co C1 C2 C3
−500 200 300 250
¿Cuál es el VAN de dicho proyecto si el coste de capital de la empresa que utilizo para descontar sus flujos
de tesorería es igual a la TIR?
a.
No se puede calcular
b.
1
c.
0
d.
250
38. Un proyecto de inversión presenta los siguientes flujos de caja: C0 = − 1.000, C1 = 2.000, C2 =−750.
Determinar bajo que condiciones se debe realizar el proyecto:
a.
Si el coste del capital es estrictamente menor al 50%.
b.
Si el coste del capital es estrictamente mayor al 50%.
c.
Si el coste del capital se haya en el intervalo: [−50%,50%].
10
d.
Si el coste del capital es menor que el 25%.
39. Hallar la TIR del siguiente proyecto: C0 = − 1000, C1 = 600, C2 = 700. El tipo de interés es del 10%
anual.
a. TIR = 11,3%
b. TIR = 18,88%
c. TIR = 10%
d. TIR= 8,8%
TEMA 4 INVERSION EN ACTIVOS REALES CON INCERTIDUMBRE
Análisis de sensibilidad de un proyecto. Simulación de Montecarlo. Árboles de decisiones. Orígenes de
los VAN positivos. Problemas de sesgos y errores. Previsión de las rentas económicas. Presupuesto de
capital y autorizaciones de proyectos. Evaluación del resultado. Sesgos en las medidas contables.
1. ¿Cuál de los siguientes criterios no tiene en cuenta el distinto valor del dinero en el tiempo?
a. El plazo de recuperación.
b. El plazo de recuperación descontado.
c. La Tasa Interna de Rentabilidad.
d. EL análisis de punto muerto.
2. La entidad financiera TikisMikis ha realizado un estudio sobre dos proyectos de inversión
excluyentes y con el mismo riesgo (Proyecto A y Proyecto B). En ambos proyectos de inversión se observa
que dependiendo del año existen flujos positivos y/o negativos. Si la TIR del proyecto A es el 15% y la TIR
del proyecto B es el 10%
El proyecto A es el que se deberá emprender pues su VAN superará con creces y en cualquier
a.
circunstancia al VAN del proyecto B.
Ambas inversiones tendrán el mismo VAN pues se realizan en el seno de la misma empresa y, por tanto,
b.
da igual cuál elijamos.
El criterio de la TIR y el VAN son siempre y en toda circunstancia completamente equivalentes y por
c.
tanto debemos elegir el proyecto A.
La elección dependerá del tipo de interés efectivo vigente en la economía para el riesgo de las
d.
inversiones.
3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
• El punto muerto es el nivel de ventas que hace que los Cash−Flows generados por el proyecto igualen al
desembolso inicial.
• El punto muerto es el nivel de ventas que hace que los Beneficios contables del proyecto sean nulos.
• El punto muerto es el nivel de ventas que hace que el VA del proyecto sea igual a la inversión
• Es el plazo a partir del cual la empresa recupera la inversión realizada en el proyecto.
4. Si un proyecto tiene éxito, lo cual sucederá con una probabilidad del 57,6%, producirá un cash−flow de 50
millones dentro de un año. En caso contrario se perderá el 100% de lo invertido. Si el coste de oportunidad es
del 20%, ¿cuánto estaría usted dispuesto a invertir en el proyecto?
• Nada
11
• 12 millones
• 24 millones
• 30 millones
5. Un plan de producción requiere una inversión inicial de 30 € y produce entradas de tesorería durante dos
años. Cada año el flujo de caja es de 50 € si la demanda es alta (lo cual sucede con una probabilidad de 0,3), y
de 25 € si la demanda es baja. Todos los pagos son postpagables. Suponiendo que el coste de capital es del
10%:
a)VAN=13,38
b)VAN=26,45
c)VAN=35,49
d) VAN=43,76
6. El análisis de sensibilidad nos indica:
a) Estimaciones esperadas, optimistas y pesimistas de los valores de flujo de caja de un proyecto.
b) Nos proporciona escenarios alternativos que permiten observar los cambios en los flujos de caja bajo
supuestos alternativos.
c) Cuan sensible son los flujos de caja a equivocaciones en nuestras previsiones.
d) Todas las anteriores
7. La siguiente tabla muestra las rentabilidades de dos activos (A y B) en dos situaciones posibles (S=1 y S=2)
y la probabilidad de que ocurra cada situación. Calcule la rentabilidad esperada de la cartera compuesta en un
50 por ciento por cada activo:
Activo A
Activo B
S=1 (Prob. = 1/3)
20%
40%
S=2 (Prob. = 2/3)
−10%
0%
a) 21,667 %
b) 18,333 %
c) 6,666 %
d) 33,333 %
8. Un proyecto de inversión en la empresa MultiPasta tiene el
siguiente cuadro de flujos de caja esperados
Años
0
1
2
12
Cantidades
−100
60
53
La beta de los activos de esta empresa es de 1,5. Sin embargo,
este proyecto es ligeramente más arriesgado que los anteriores
que dicha empresa ha realizado y, por tanto, su beta es
ligeramente superior, siendo 1,7. El interés efectivo anual de la
renta fija a corto plazo es del 4% y la rentabilidad media del
mercado el 7%. Escoja la respuesta pertinente:
Rechazamos realizar el proyecto pues el plazo
de recuperación de la inversión inicial es
a.
demasiado largo.
b.
Aceptamos realizar esta inversión porque su
Aceptamos realizar esta inversión pues el VAN
VAN, calculado al coste de oportunidad
c.
pertinente a su riesgo, tiene un valor positivo de es claramente positivo e igual a 2,3670.
Rechazamos realizar esta inversión por tener un
0,32.
d.
VAN de −0,477.
9. El punto muerto nos indica:
a.
El nivel de ventas de la empresa maximizadora de beneficios.
b.
El nivel de ventas de la empresa maximizadora de ingresos.
c.
Hasta qué punto pueden caer las ventas antes que el proyecto sea inviable
d.
Ninguna de las anteriores.
10. Señale la respuesta correcta:
A mayor apalancamiento operativo, mayor es la variabilidad del beneficio económico ante variaciones
a.
en el nivel de ventas y por tanto mayor riesgo.
A menor apalancamiento operativo, mayor es la variabilidad del beneficio económico ante variaciones
b.
en el nivel de ventas y por tanto menor riesgo.
A mayor apalancamiento financiero, mayor es la variabilidad del beneficio económico ante variaciones
c.
en el nivel de ventas y por tanto mayor riesgo.
A menor apalancamiento financiero, mayor es la variabilidad del beneficio económico ante variaciones
d.
en el nivel de ventas y por tanto menor riesgo.
11. La simulación de Montecarlo, a diferencia del análisis de sensibilidad:
a.
Permite variar todas las variables relevantes de un proyecto consideradas al mismo tiempo.
b.
Permite determinar como reacciona el VAN ante variaciones en una variable
c.
Permite estimar tasas de descuento.
d.
Ninguna de las anteriores.
12) Se espera que un proyecto genere dentro de un año un flujo de caja de 1 millón y se calcula una
desviación estándar de este flujo de 250000 euros. Calcule el valor presente de este flujo de caja sabiendo que
la rentabilidad esperada de la cartera índice del mercado es del 10%, el tipo de interés libre de riesgo es el 5%,
13
la desviación estándar de la rentabilidad de la cartera índice es del 5% y el coeficiente de correlación entre el
flujo de caja esperado y la rentabilidad del índice de mercado es 0,5.
13) Asuma que la empresa Marriot, cuyo activo tiene un valor de 49 millones de dolares, tiene la siguiente
distribución de probabilidad conjunta para los flujos de caja de sus inversiones para el próximo año:
Retorno del
Escenario
Probabilidad
Malo
Medio
Bueno
.25
.5
.25
Mercado
−15%
5%
25%
Flujo Pronosticado de la
Empresa
40
50
60
El tipo libre de riesgo es del 4% anual. Compute el flujo esperado y el valor presente para la empresa Marriot,
con el método de la tasa de descuento ajustada por riesgo.
14) A continuación se muestran las betas de las acciones de dos grandes empresas norteamericanas. Una
división importante de los negocios de estas empresas es la de televisión por cable. Los activos
correspondientes a esta actividad representan sólo una parte del total de activos de estas empresas. A partir de
los datos facilitados, calcule una beta que sea aplicable a los flujos de caja generados por una empresa que se
dedique únicamente a la televisión por cable.
Beta de las
acciones (bE)
General Electric
Westinghouse
1,1
1,3
Ratio de
endeudamiento
(D/(D+E))
0,1
0,4
Porcentaje de activos dedicados a la
televisión por cable.
0,25
0,50
15) En el modelo de APT con dos factores, Dell tiene una beta de 1.15 sobre el primer factor de la cartera, el
cual está altamente correlacionado con el cambio en el PIB, y una beta de −0.3 sobre el segundo factor de
cartera, el cual está altamente correlacionado con los cambios en el tipo de interés. Si el tipo de interés libre de
riesgo es 5%, el primer factor de cartera tiene una prima por riesgo de 2%, y el segundo tiene una prima por
riesgo de −0.5%, ¿cuál es el coste de capital para una empresa no cotizada que usa a Dell como la empresa
apropiada para la comparación?
16) Una empresa ha pagado este año un dividendo de 2 euros y su dividendo ha crecido de manera estable a
un 4% anual en los últimos años y se espera que siga creciendo a esa tasa indefinidamente. Si usted exige una
rentabilidad del 12% a su inversión en esta empresa, ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por las acciones?
17) Con su actual línea de productos una empresa genera anualmente un flujo de caja neto incremental de 5
millones de euros. Si no se realiza ninguna nueva inversión, se espera el flujo anual se mantenga constante en
esa cifra indefinidamente. La empresa tiene un competidor que está preparando el lanzamiento de un nuevo
producto. No está clara cual será la reacción del público al nuevo producto. La experiencia indica que sólo un
20% de los nuevos productos tienen una buena acogida y, en ese caso, el nuevo producto generaría unos flujos
de caja netos incrementales anuales de 1,5 millones de euros durante el año del lanzamiento y 1 millón en los
años siguientes al años. Si la acogida es mala pueden generarse flujos de 0,5 millones en todos los años,
incluido el de lanzamiento. Nuestra empresa se enfrenta a un dilema. Puede comenzar el desarrollo del nuevo
producto ahora mismo y lanzarlo este año a la vez que el competidor (lo que tendría un coste de 3 millones de
euros), y beneficiarse de los altos flujos que pueden conseguirse al principio si el proyecto tiene éxito, o
esperar un año antes de tomar la decisión. En ese caso el coste de desarrollo será menor, sólo 2 millones, ya
que se podrá copiar el prototipo del competidor. Además dentro de un año ya se sabrá si el producto ha tenido
14
una buena o mala acogida. Dibuje el árbol de decisión y calcule cual sería la mejor opción dependiendo del
coste de capital de la empresa.
18. Una empresa de envases produce 200.000 unidades al año. La empresa compra tapas a un proveedor
externo al precio de 2 € la tapa. El gerente de la planta cree que sería más barato producir las tapas que
adquirirlas al proveedor externo. El coste directo de producción se estima en 1,5 € la tapa. La maquinaria
necesaria costaría 150.000 €. Esta inversión podría amortizarse totalmente de forma lineal en 8 años. El
gerente estima que la operación requeriría un fondo de maniobra adicional de 30.000 € pero considera que
esta cantidad puede ignorarse porque es recuperable al final de los diez años. Si el tipo impositivo al que está
sujeto la empresa es del 34% y el coste de oportunidad del capital es del 15%, ¿apoyaría usted la propuesta del
gerente de la planta? Establezca de forma clara todos los supuestos adicionales que necesite hacer.
19. La compañía EOLOSA está estudiando la instalación de una planta de energía eólica en Ferrol. A partir de
los datos enumerados a continuación, evalúe el proyecto según los criterios del plazo de recuperación y VAN.
a. La inversión inicial en terrenos es de 50 millones de euros. Las instalaciones requieren una inversión de 100
millones de euros.
b. Los ingresos estimados anuales (cobros) y los gastos anuales (pagos), en millones de euros son los
siguientes:
Años
Ingresos
Gastos
1
60
30
2
65
30
3
80
45
4
80
50
5
85
50
6
95
50
c. La planta tendrá una vida técnica de 6 años recuperándose al final el total de la inversión en los terrenos y el
10% del valor de las instalaciones.
d. Los terrenos no se amortizan. El sistema de amortización para las instalaciones será lineal o el método de
números dígitos decrecientes.
e. Coste de capital de la empresa del 12%.
f. Tipo impositivo: 30%.
20. Una empresa se plantea el problema de elegir entre dos alternativas de producción que designaremos
como producción grande y producción pequeña. La decisión debe ser mantenida durante los dos próximos
años, en cada uno de los cuales podrían darse dos posibles estados del mercado, esto es, demanda baja o
demanda alta. La probabilidad de que se de una demanda baja el primer 2 año es del 30%. La probabilidad de
que en el segundo año se mantenga el mismo estado de demanda que en el primero período es del 75%. Los
desembolsos iniciales son de 30 millones de euros para la producción grande y 10 para la producción pequeña.
Si los flujos netos de caja en millones de euros al final de cada año en las cuatro combinaciones posibles son
las que se muestran en la siguiente tabla, determinar su decisión óptima por el criterio del VAN esperado
aplicando un tipo de descuento del 10%.
Demanda
Producción
Grande
Pequeña
Alta
Baja
100
10
−50
35
15
21. La empresa COCSA se plantea la posibilidad de utilizar un ordenador para disminuir los costes de
contabilidad y control de proyectos cuya capacidad deberá acomodarse a la demanda existente en el mercado
para los servicios ofrecidos. Las alternativas que se le ofrecen son las siguientes:
a. Alquiler de un equipo de gran tamaño por 18 millones de euros anuales, mediante un contrato por tres años,
no rescindible pero sí renovable.
b. Compra de un ordenador mediano por 20 millones de euros.
La probabilidad de una demanda permanentemente baja durante los seis años en que debe realizarse el estudio
es del 27%. Por otro lado, existe una probabilidad el 70% de que la demanda del servicio sea alta durante los
tres primeros años, y si esto se llegase a producir, la probabilidad de que continúe esta tendencia durante los
años venideros es del 60%.
Los ahorros netos anuales esperados durante un período de demanda baja son de 14 millones de euros anuales
para un ordenador grande y de 11 millones de euros para un ordenador mediano. En caso de un período de
demanda alta, los ahorros netos anuales esperados son de 30 millones de euros con un ordenador grande y 17
millones de euros con uno mediano.
Después de los tres primeros años, y en caso de rescisión del contrato de alquiler del ordenador grande, se
podría adquirir uno mediano de segunda mano por un total de 12 millones de euros. Por su parte, el ordenador
inicial de tamaño medio, al cabo de estos tres primeros años, podría venderse por 12 millones pudiéndose
alquilar seguidamente uno grande por 20 millones de euros anuales.
Bajo los siguientes supuestos, ¿cuál es la alternativa más adecuada?
Supuestos:
• Ingresos y costes en efectivo y son postpagables.
• Los ordenadores que se compran tienen un valor residual nulo al cabo de los seis años de su
adquisición.
• Tipo de descuento del 10%.
22. Sea un proyecto de inversión con desembolso inicial de 1.000 €. El proyecto duraría dos años, generando
unos flujos netos de caja de 600 € al final del primer período y 500 al final del segundo (flujos de tesorería
nominales). Su valor residual sería de 200 €. Se pide estudiar la viabilidad del proyecto para un tipo de
descuento y rentabilidad real requerida del 12% anual en los siguientes casos (supóngase que la amortización
de la inversión es lineal).
a. No existe inflación y la empresa está exenta del pago del impuesto sobre beneficios.
b. La tasa de inflación prevista para los próximos años es de un 6% anual y la empresa está exenta del pago
del impuesto sobre beneficios.
c. No existe inflación y la empresa está sometida al impuesto sobre beneficios con un tipo impositivo del
36%.
d. La tasa de inflación prevista para los próximos años es de un 6% anual y la empresa está sometida al
impuesto sobre beneficios con un tipo impositivo del 36%.
23. Una empresa considera la posibilidad de realizar una inversión que requerirá un desembolso inicial de
1.000 €. Tiene una duración de tres períodos y generaría unos flujos de caja esperados de 300 € en el primer
16
período, 500 en el segundo y 600 en el tercero (flujos nominales). Los tipos de descuento adecuados son del
10% en el primer intervalo, del 12% en el segundo y del 15 en el tercero, ¿cuál es el VAN de esta inversión?
¿Es realizable?
24. Considerando los datos del ejercicio anterior, si la tasa de inflación prevista para el primer período es del
5%, del 3% para el segundo período y del 2% para el tercero, ¿es realizable la inversión citada según el
criterio del VAN?
25. Considere dos proyectos de inversión X e Y con el mismo nivel de riesgo. Los desembolsos iniciales
requisitos para dichos proyectos son 2.000 y 1.000 u.m. respectivamente. Ambos proyectos generan
ilimitadamente unos flujos de caja anuales constantes iguales a 1.000 u.m. (X) y 600 (Y). ¿Para qué tipos de
descuento es preferible uno u otro proyecto de acuerdo al criterio del VAN? ¿Qué inversión es preferible
según su tipo de rendimiento interno?
26. Una inversión con duración de dos años requiere un desembolso inicial de 3.000 €. Dicha inversión genera
en el primer año un flujo neto de caja de 2.000 €. En el segundo período, el flujo neto de caja generado es de
4.500 €. Si la tasa de inflación es del 6% anual acumulativa y la rentabilidad que se le requeriría en ausencia
de inflación es del 8%, ¿cuál es su VAN? ¿Y su tasa de rentabilidad interna real (neta de inflación)?
27. Las máquinas A y B son mutuamente excluyentes y se espera que produzcan los siguientes flujos de
tesorería. El coste de oportunidad del capital es del 10%. Calcule:
MÁQUINAS
A
B
FLUJOS DE TESORERÍA (miles de euros)
C0
C1
C2
−100
+110
+121
−120
+110
+121
C3
0
+133
a. Calcular el VAN de cada máquina.
b. Calcular el flujo de tesorería anual equivalente de cada máquina
c. ¿Qué máquina comprarías?
28. Una empresa dispone de las siguientes posibilidades de inversión:
a. Una inversión que requeriría un desembolso inicial de 1.000 € y generaría durante 7 años un flujo de caja
constante e igual a 250 €.
b. Una inversión que requeriría un desembolso inicial de 1.000€ y generaría durante 20 años un flujo neto de
caja constante e igual a 200 €.
Dado que esta empresa dispone sólo de 1.000 € para invertir, se precisa saber qué proyecto llevar a cabo, en
base a los criterios del VAN y de la tasa de retorno, siendo la rentabilidad requerida de los dos proyectos el
10%. Ninguna de las inversiones tendría valor residual alguno y ambas son igualmente arriesgadas, es decir,
tienen el mismo nivel de riesgo.
29. Resolver el problema anterior en base a los criterios del VAN y del tipo de rendimiento interno, cuando
existe un grado de inflación anual acumulativo del 5%.
TEMA 5 INVERSION EN ACTIVOS FINANCIEROS
17
Valoración de obligaciones. Valoración de acciones. Riesgo y rentabilidad. Medidas del riesgo de una
cartera. Diversificación y aditividad del valor. Carteras eficientes. Modelo de Markowitz.
(Aquí las preguntas están divididas en subapartados)
Parte 1 del Tema 5: Valoración de obligaciones. Valoración de acciones.
1) Se espera que el próximo año la Compañía de Iluminación Dong pague un dividendo de 2 $ sobre sus
acciones ordinarias. Después de eso espera que sus dividendos crezcan a una tasa del 4 % anual a perpetuidad.
Si usted exige una rentabilidad del 12 % sobre su inversión, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar por las
acciones?
2) Si la curva de tipos de interés muestra una pendiente decreciente con tipos anuales a uno y dos años
respectivamente del 6,09% y 4,04% ¿A qué precio debería una empresa emitir unos bonos estándar con
devolución del principal de 100 euros dentro de dos años y cupón semestral del 4%?
• 97,3
• 100
• 107,5
• 115
• Una empresa emitió hace un año, cuando la curva de tipos de interés a distintos periodos estaba plana en el
10%, 10000 bonos estándar con devolución del principal de 100 euros en tres años y cupón anual del 5%. A
día de hoy la curva de tipos de interés presenta una pendiente creciente con tipos anuales a uno, dos y tres
años del 6%, 7% y 8% respectivamente. Podemos afirmar que:
• La empresa que emitió los bonos ha conseguido durante este año aumentar sus fondos en 88600 euros.
• El valor de los bonos ha subido un 9,85 %.
• Los bonos están actualmente sobre−valorados con un precio de 96,43 euros.
• Los bonos están infravalorados con un precio de 92,43 euros.
• La empresa X es una empresa joven que opera en un sector muy exitoso de la economía. Los accionistas,
que valoran las acciones de X en 30 euros, considerando el nivel de riesgo sistemático, exigen a las
empresas de este sector una rentabilidad del 10%. Los analistas esperan que durante este y el próximo año
el beneficio, que se destina íntegramente a dividendos, crezca a una tasa del 15%, reduciéndose la tasa al
5% para el tercer año y continuando en el 5% durante el futuro previsible. ¿Cuál es el dividendo que ha
pagado la empresa a 31 de diciembre de 2004?
• 0,56 euros
• 0,8 euros
• 1,19 euros
• 2 euros
5. Considere una empresa que con sus activos actuales genera un BPA de 5 $. Si la empresa no invierte sino
para mantener los activos existentes, se espera que el BPA permanezca constante en 5 $ al año. Sin embargo,
a comienzos del próximo año la empresa tendrá la oportunidad de invertir 3 $ por acción al año en el
desarrollo de una fuente de corriente geotérmica para generar electricidad, recientemente descubierta. Se
espera que estas inversiones generen una rentabilidad permanente del 20 %. Por lo demás, la fuente estará
totalmente desarrollada en el quinto año. ¿Cuál será el precio de la acción y el ratio precio−beneficio,
suponiendo que los inversores exigen una rentabilidad del 12 % por año? Demuestre que la inversa del ratio
precio−beneficio es 0,20 si la tasa de rentabilidad exigida es del 20 %.
6. Calcule el valor en 1982 de las siguientes obligaciones del tesoro de los Estados Unidos, suponiendo que el
tipo de interés es el 9%:
a) 8% con vencimiento en 1985.
18
b) 8,(1/4)% con vencimiento en 1988.
c) 8,(5/8) con vencimiento en 1993.
Los pagos del cupón se realizan semestralmente y el nominal es de 1.000 dólares.
7. El señor T. Pulgar es el presidente de Microtecnología S.A., una empresa privada muy pequeña. Espera
para el próximo año unos ingresos de 20 millones de dólares y unos costes (incluyendo impuestos) de 15
millones de dólares. El Sr. Pulgar prevé que durante los cinco años siguientes (años 2 a 6) ingresos y costes
crecerán a un 25% al año, pero anticipa que será necesario reinvertir todos los beneficios de la empresa.
Después de esto prevé que el crecimiento caerá a un cinco por ciento anual y que la empresa necesitará
reinvertir sólo el 40% de los beneficios. Al Sr. Pulgar le han ofrecido recientemente 75 millones de dólares
por la empresa. ¿Es ésta una oferta razonable si el coste del capital es el 12%?.
Nota: supóngase que el primer año no se reinvierte nada en la empresa.
8. Una obligación cuyo valor nominal es de 10.000 pts tiene un plazo de amortización de 4 años y un cupón
del 10%. Suponga que transcurridos dos años desde su emisión, el tipo se ha elevado al 15% y que el
propietario de la obligación se la vende a un segundo inversor. Se pide:
a) Precio teórico de venta de la obligación.
b) Suponiendo que la venta se realice al precio calculado en el apartado anterior, determine las tasas internas
de rentabilidad que la citada obligación ha proporcionado a cada uno de los dos inversores.
c) Determine el precio de la obligación si la venta se hubiera realizado a los dos años y once meses de la
emisión suponiendo que el tipo de interés libre de riesgo sigue siendo el 15%.
9. Un inversor compró una obligación hace dos años cuyo valor nominal es de 100.000 pts, aun tipo de interés
del 10% nominal anual, con un periodo de amortización de tres años y con pago semestral del cupón.
a) Determine el tipo de interés en renta fija que está utilizando el mercado si se observa que la obligación
cotiza en los mercados secundarios a 103.000 pts.
b) ¿Qué rentabilidad habría obtenido el inversor durante los dos primeros años de vida de la obligación si la
vende por las 103.000 pts?
10. Considérese las tres acciones siguientes:
a) Acción A: Se espera que proporcione un dividendo de 10$ por acción a perpetuidad.
b) Acción B: Se espera que pague un didivendo de 5$ por acción el año próximo. A partir de ahí, el
crecimiento del dividendo se espera que sea del 4% a perpetuidad.
c) Acción C: Se espera que pague un dividendo de 5$ el próximo año. A partir de ahí, el crecimiento del
dividendo se espera que sea del 2% al año durante 5 años (hasta el año 6) y cero en adelante.
Si la tasa de capitalización de mercado para cada acción es el 10%, ¿qué acción es más valiosa? ¿Y si la tasa
de capitalización es el 7%?
11. Verdadero o falso
19
a. El rendimiento esperado por los inversores de una acción ordinaria es frecuentemente llamado tasa de
capitalización del mercado.
b. Si descontamos los flujos de caja de un bono a su tasa interna de rentabilidad obtenemos el precio de un
bono.
12. La empresa Y no invierte ningún beneficio y se espera que genere una corriente regular de dividendos de 5
€ por acción. Si el precio actual de la acción es 40 €, ¿cuál es la tasa de capitalización del mercado?
a. 0,115
b. 0,150
c. 0,125
13. Se espera que los dividendos por acción de la empresa Y crezcan indefinidamente al 5% anual. Si el
dividendo del próximo año es 10 € y la tasa de capitalización del mercado es 8%, ¿cuál es el precio actual de
la acción?
a. 125
b. 333
c. 77
14. Se espera que los rendimientos esperados de la empresa X crezcan a una tasa constante g. Si Po = 40 €;
DIV1 = 2 € y r = 10%, ¿cuánto vale g?
a. 0,05
b. 0,10
c. 0,15
15. Se espera que la empresa M pague un dividendo al final del año de 10 €. Se espera que sus acciones se
vendan, después del dividendo, a 110 €. Si la tasa de capitalización del mercado es el 10%, ¿precio actual de
la acción?
16. El rendimiento contable de una empresa sobre el capital (rentabilidad del capital propio) es del 16% y
reinvierte el 50% de sus ganancias. ¿Cuál será el rendimiento de sus activos?
a. 29% por año.
b. 8% por año.
c. 16% por año.
17. Consideremos un bono a 8 años al 10% y un tipo de interés del mercado del 12%. Si el pago de cupones se
realiza anualmente, ¿cuál es el precio del bono?
a. 110,66% a la par
20
b. 90,06% a la par
c. 49,68% a la par
18. La compañía X se espera que pague el próximo año un dividendo de 2 € sobre sus acciones ordinarias.
Después de este hecho se espera que los dividendos crezcan a una tasa del 4% anual a perpetuidad. Si usted
exige una rentabilidad del 12% sobre su inversión, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar por las acciones de esta
compañía?
19. Si el tipo de interés es del 9%, calcule el valor en 1.982 de las siguientes obligaciones del tesoro sabiendo
que los pagos del cupón se realizan semestralmente y el nominal es de 1.000 $:
a. 8 por ciento con vencimiento en 1.985
b. 8 ¼ por ciento con vencimiento en 1.988
c. 8 5/8 por ciento con vencimiento en 1.993
20. Usted, como propietario de una empresa, espera que para el próximo año los ingresos sean de 20 millones
de euros y los costes (incluyendo impuestos) de 15 millones de euros. Usted prevé que durante los cinco años
siguientes (años del 2 al 6), los ingresos y los costes crecerán a un 25% al año, pero anticipa que será
necesario reinvertir todos los beneficios de la empresa. Después de esto estima que el crecimiento caiga a un
5% anual y que la empresa necesitará reinvertir sólo el 40% de los beneficios. Le han ofrecido recientemente
75 millones de euros por la empresa. ¿Es ésta una oferta razonable si el coste del capital es el 12%? (Suponga
que el primer año no se reinvierte nada en la empresa).
21. Una acción se vende a día de hoy a 50 €, con un dividendo esperado de 2 € para el próximo año. Las
perspectivas a corto plazo son muy buenas: se espera que durante el segundo y tercer año una tasa de
crecimiento del 20% anual. Posteriormente, se espera que la tasa de rentabilidad caiga a un valor del 6%.
¿Cuál es la tasa de rentabilidad esperada a largo plazo por comprar las acciones a 50 €? (método de prueba y
error para calcular dicha tasa).
22. Una obligación con valor nominal de 10.000 € tiene un plazo de amortización de 4 años y un tipo de
interés del 10%. Transcurridos dos años desde su emisión, el tipo de interés para inversiones a dos años se ha
elevado al 15%. El propietario de la obligación la vende a un segundo inversor. Calcule:
a. Precio teórico de venta de la obligación (i.e., valor actual de los flujos esperados).
b. Si la venta se realiza al precio calculado en el apartado anterior, determine las tasas internas de rentabilidad
que la citada obligación ha proporcionado a cada inversor.
c. Determine el precio de la obligación si la venta se hubiera realizado a los dos años y once meses de la
emisión suponiendo que el tipo de interés libre de riesgo sigue siendo el 15%.
23. Un inversor compró una obligación hace dos años cuyo valor nominal s de 100.000 € a un tipo de interés
del 10% nominal anual, con un período de amortización de tres años y con pago semestral del cupón.
a. Determine el tipo de interés que está utilizando el mercado si se observa que la obligación cotiza en los
mercados secundarios a 103.000 €.
b. ¿Qué rentabilidad habrá obtenido el inversor durante los dos primeros años de vida de la obligación si la
vende por 103.000 €?
21
Parte 2 del Tema 5: Riesgo y rentabilidad. Medidas del riesgo de una cartera. Diversificación y
aditividad del valor. Carteras eficientes. Modelo de Markowitz.
1. ¿A qué converge la varianza de la rentabilidad de una cartera equiponderada según aumentamos el número
de activos?
a) A cero debido a la diversificación del riesgo
b) A infinito: cada activo aumenta la varianza de la cartera
c) A la varianza media de los activos que componen la cartera
c) A la covarianza media de los activos que componen la cartera
2. Observe los siguientes datos relativos a la media y la varianza de cuatro activos. ¿Cuáles no pueden
pertenecer en ningún caso a la frontera eficiente?
Activo A
Activo B
Activo C
Activo D
E(R)
20%
30%
30%
10%
12%
40%
25%
12%
a) Los activos B y D
b) Los activos A y D
c) Los activos B y C
d) No se puede saber sin conocer las covarianzas entre los activos
3. Supongamos que una cartera está compuesta en un 60% por el activo A y el resto por el activo B. La
información acerca de la rentabilidad esperada y desviación típica de los activos es la siguiente:
A
B
E(R)
10%
15%
15%
20%
AB =
0,5
La rentabilidad esperada y desviación típica de la cartera son:
a) 13% y 15,87%
b) 12% y 13,45%
c) 12% y 14,73%
d) 13% y 17,00 %
4. Un inversor dispone de 35.000 euros para invertir y decide destinar dos terceras partes de ese valor a una
cartera cuya composición es la siguiente:
22
Acciones A
Acciones B
Acciones C
Acciones D
Total
35%
42%
8%
15%
100%
¿Si las acciones C cotizan a 19,86 euros, cuántas deberá adquirir aproximadamente?
a) 94
b) 176
c) 211
d) 141
5) Creemos que hay un 40% de probabilidad de que el valor de la acción A disminuya un 10%, y un 60% de
probabilidad de que aumente un 20%. Igualmente, hay un 30% de probabilidad de que el valor de la acción B
disminuya un 10%, y un 70% de probabilidad de que aumente un 20%. El coeficiente de correlación entre
ambas acciones es 0,7.
• Calcular la rentabilidad esperada, la varianza, y la desviación típica de cada acción.
• Calcular la covarianza entre las rentabilidades de ambas acciones.
• Un agente ha invertido el 60% de su dinero en la acción A y el resto en la acción B. Sus expectativas son
las siguientes:
A
Rentabilidad
15%
Desviación Típica
20%
La correlación entre las rentabilidades es 0,5.
B
20%
22%
• ¿Cuál es la rentabilidad esperada y la desviación típica de la rentabilidad de su cartera?
b) ¿Cómo cambiaría su respuesta si el coeficiente de correlación fuera 0 o −0,5?
• ABCO es una empresa que tiene 4.000 millones de euros en acciones. Su capital esta invertido en 4
subsidiarias: entretenimiento (ENT), productos de consumo (CON), farmacéuticos (PHA), y seguros (INS).
Se espera que las 4 subsidiarias evolucionen de forma diferente, dependiendo de la evolución
macroeconómica:
Inversión
Bajo
Medio
Alto
ENT
1.200
20%
−5%
−8%
CON
800
15%
10%
−20%
PHA
1.400
−10%
−5%
27%
INS
600
−10%
10%
10%
Suponiendo alternativamente que: CASO (1) los tres posibles estados de la naturaleza tienen igual posibilidad
de ocurrir, y CASO (2) el estado alto es dos veces tan probable como los otros dos, se pide:
• Calcule los retornos esperados de cada subsidiaria.
23
• Calcule las ponderaciones implícitas de cada subsidiaria en la cartera de la empresa, como así también el
retorno esperado y la varianza de dicha cartera.
• Asuma también que ABCO tiene un fondo de pensiones con valor de 5.000 millones de euros, por lo que la
inversión total es ahora 9.000 millones de euros. Los 5.000 millones de euros están invertidos en bonos del
gobierno de corto plazo, con un rendimiento libre de riesgo de 5%. Vuelva a calcular las partes a y b del
ejercicio 4.
• Asuma que en el ejercicio 4, ABCO decide pedir prestado 8.000 millones de euros al 5%, para triplicar su
inversión en cada una de las subsidiarias. Asuma también que los rendimientos esperados son los mismos.
• Calcule nuevamente las partes a y b del ejercicio 4.
• Compare y explique los nuevos resultados obtenidos.
• ¿A quién pertenece este retorno? ¿Por qué?
• El Presidente de ABCO teme que se preste demasiada atención a los retornos esperados y no a medidas de
riesgo tales como la varianza, por lo que pide que se mida la varianza del retorno.
• Para cada subsidiaria compute la varianza del retorno con la fórmula estándar para los casos 1 y 2:
• Demuestre que la fórmula alternativa produce los mismos resultados:
• Asumiendo que los tres posibles escenarios del ejercicio 4 son igualmente probables, compute las
covarianzas y la matriz de correlaciones para las 4 subsidiarias utilizando la fórmula estándar. Demuestre
que la siguiente fórmula alternativa produce iguales resultados:
12) Dados dos activos financieros J y K con rentabilidades esperadas del 5% y 8% respectivamente, varianzas
respectivas de 0,025 y 0,036 y covarianza cero, ¿en que proporciones debería usted invertir su riqueza total de
1000 euros en cada uno de ellos para que la varianza de la cartera resultante fuese mínima?
• Todo en J por tener menor varianza
• 1075 en J financiando los 75 extra con la venta de K
• La mitad en cada uno, diversificando al máximo
• 590 en J y el resto en K
13) En una economía en la que no existiese un activo sin riesgo, un inversor racional preocupado por la
rentabilidad y riesgo de su inversión:
Debería invertir en carteras que se encuentren en la frontera eficiente.
• Debería siempre exigir mayor rentabilidad para invertir en activos con mayor riesgo.
• Debería invertir en carteras de la frontera del conjunto de oportunidades de inversión.
• Debería invertir en la cartera con varianza mínima de las de la frontera eficiente.
14.− Suponer que la desviación típica de las rentabilidades de una acción típica es alrededor de 0.4 al año. La
correlación entre rentabilidades de cada par de acciones es 0.3. Calcular la varianza y desviación típica de las
rentabilidades de una cartera que tiene las mismas inversiones en dos acciones, tres acciones, siete acciones y
diez acciones. Utilizar las estimaciones anteriores para dibujar un gráfico que muestre la evolución de la
varianza con el número de acciones de la cartera. ¿Cuánta amplitud tiene el subyacente riesgo de mercado que
24
no puede ser eliminado con la diversificación?
TEMA 6 EL PRECIO DEL RIESGO
El CAPM. Contrastes del CAPM. Otras teorías: APT, CCAPM. Medición de los betas. Estructura de
capital y coste de capital. Betas de activos. Equivalentes ciertos y tasas de descuento.
1. Supongamos que la cartera de mercado está compuesta en un 60% del activo A y el resto en el activo B. La
información acerca de la rentabilidad esperada y volatilidad de los activos es la siguiente:
A
B
R
8
10
20
25
AB=0
La rentabilidad de las Letras del Tesoro es del 5%.
La rentabilidad y volatilidad de la cartera de mercado (medida por la desviación típica) es:
a)12% y 12,04%
b)13,5% y 17%
c)8,8% y 15,62%
d)Ninguna de las anteriores
2. Dado el enunciado de la pregunta anterior, la ecuación de la recta SML (línea de mercado de títulos) vienen
dada por la expresión:
• SML: R=5−0,49
• SML: R=5+0,49
• SML: R=5+3,8
• SML: R=5+3,8
3. Las betas de cada una de las acciones anteriores con respecto a la cartera de mercado son:
a) A =0,98 B=1,02
b) A=0,66 B=1,5
c) A=1,24 B=1,66
d) Ninguna de las anteriores
4. El tipo de interés sin riesgo es el 10%, y la media y la varianza del rendimiento de la cartera de mercado
son 20% y 120 respectivamente. Suponiendo que el CAPM se cumple, ¿qué rentabilidad esperaríamos obtener
a largo plazo invirtiendo en un activo financiero, si la covarianza de su rendimiento con el de la cartera de
mercado es de 96?
a) 12%
b) 13%
c) 18%
d) 20%
25
5. Una empresa se financia en un 40% mediante deuda libre de riesgo. El tipo de interés es del 10%, la
rentabilidad esperada del mercado es el 20% y la beta de las acciones es el 0,5. ¿Cuál es el coste de capital de
la empresa?
• 10%
• 11%
• 12%
• 13%
6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a. Los activos con mayor riesgo deben ofrecer mayor rentabilidad esperada
b. Según el CAPM, dos acciones con la misma beta deben tener el mismo precio
Si todo lo demás permanece constante, un aumento del riesgo idiosincrático de una acción disminuye su
c.
precio
d. Ninguna de las anteriores es correcta
7. El riesgo o volatilidad de un mercado financiero secundario medido mediante la desviación típica de la
distribución de probabilidad de la rentabilidad mensual es 0,4. Se ha observado que la rentabilidad mensual
de las acciones de la empresa X tiene una desviación típica, a su vez, de 0,6. El coeficiente de correlación
lineal entre la rentabilidad del mercado y la rentabilidad de dicha empresa es del 0,9. Seleccione el
comentario correcto
a. La beta de la empresa será 0,9
Es imposible determinar la beta de esta empresa en un mercado de Capitales competitivo y dominado
b.
por "insiders".
c. La beta de dicha empresa es 1,35
d. La beta de la empresa es 0,4.
8. Si el CAPM se cumple ¿Cuál de las siguientes estrategias le ofrecerá a Usted el mismo rendimiento
esperado que una acción con una beta igual a 1,5?.
a. Invirtiendo 1/3 de su dinero en títulos del tesoro y el resto en la cartera del mercado
b. Endeudándose por un valor igual a 1/3 de su presupuesto e invirtiendo todo en la cartera del mercado
c. Endeudándose por un importe igual a 1/2 de su presupuesto e invirtiendo todo en la cartera del mercado.
d. Invirtiendo 1/2 de su dinero en títulos del tesoro y el resto en la cartera del mercado
9. Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
El modelo de equilibrio de activos financieros (CAPM) implica que si pudiera encontrar una inversión
a.
con beta negativo, su rentabilidad esperada sería mayor que la tasa de interés sin riesgo.
La rentabilidad esperada de una inversión con beta de 2 es dos veces la rentabilidad esperada del
b.
mercado.
c. Si una acción está por encima de la línea de títulos, está infravalorada
El modelo de equilibrio de activos financieros establece que una acción tiene el mismo riesgo de
d. mercado y rentabilidad esperada que una cartera con una proporción beta invertida en letras del tesoro y
1− beta invertida en la cartera de mercado
10. Supongamos que la cartera de mercado está compuesta en un
60% del activo A y el resto en el activo B. La información
acerca de la rentabilidad esperada y volatilidad de los activos es
la siguiente:
A
B
26
R
15
21
s
18.6
28
La rentabilidad de las Letras del Tesoro es del 3,28. Por otro
lado, se sabe que la Beta de la empresa A (bA =0,83) mientras
que la bB =1,25.
Con estos datos, indicar cuál de las siguientes afirmaciones es
correcta:
Las rentabilidades de las acciones anteriores
a.
son consistentes con el modelo de equilibrio de
activos financieros (CAPM).
Las rentabilidades de las acciones anteriores no
b.
son consistentes con el modelo de valoración
de activos financieros (CAPM).
c.
Las acciones que componen la cartera de
Por los resultados obtenidos se puede deducir
mercado están infravaloradas
d.
que la cartera de mercado no es eficiente
11. Considere un modelo de valoración por arbitraje (APT) compuesto por tres factores. Los factores y las
primas por riesgo asociadas son:
Factor Prima por riesgo (%)
Cambio en PIB 5
Cambio en precios energía −1
Cambio en los tipos de interés 2
El tipo de interés libre de riesgo es el 5%.
La rentabilidad de una acción de una empresa energética con alta exposición
al factor energético (b=2) pero exposición cero a los otros dos factores es:
a.
3%
b.
2%
c.
9%
d.
13%
• A partir del siguiente cuadro con covarianzas y retornos medios para las acciones de 3 diferentes empresas,
y suponiendo que la tasa de rentabilidad del activo libre de riesgo es del 5%, calcule la composición de la
cartera tangente para el universo de inversión compuesto por estos tres activos con riesgo y el activo libre
27
de riesgo.
Covarianza
Retorno
Medio
Netscape
Microsoft
Novell
Netscape
,002
,001
0
15%
Microsoft
,001
,002
,001
12%
Novell
0
,001
,002
10%
• Con los datos del ejercicio 1 compute las ponderaciones de la cartera tangente asumiendo que la tasa libre
de riesgo es 3 %. Repita para una tasa libre de riesgo del 7%.
• En un diagrama con coordenadas media−desviación típica señale Netscape, Microsoft, y Novell, y dibuje
las 3 carteras tangentes identificadas en los ejercicios anteriores.
• Demuestre que una cartera con iguales ponderaciones en los 3 activos puede ser mejorada con un análisis
de la media y la varianza marginales.
• Compute las betas de cada uno de los 3 activos con respecto a la cartera tangente encontrada en el ejercicio
1. Luego compute las betas de una cartera con iguales ponderaciones en los 3 activos.
• Sabiendo que el límite hiperbólico del conjunto posible de las 3 acciones es generado por dos carteras,
• Encuentre la cartera límite que tiene correlación 0 con la cartera tangente del ejercicio 1.
• ¿Cuál es la covarianza con la cartera tangente, de todos las carteras ineficientes que tienen el mismo retorno
esperado que la cartera encontrada en la parte a)?
• ¿Cuál es la covarianza del retorno de la cartera tangente del ejercicio 1 con el retorno de todas las carteras
que tienen el mismo retorno esperado que Netscape?
• Calcule la beta de las acciones de Exxon a partir de los datos que aparecen en el siguiente cuadro respecto a
los retornos de las acciones de Exxon y del índice S&P 500 para cada uno de los meses de 1994:
Mes
Exxon (%)
S&P 500
Enero
5,35
3,35
Febrero
−1,36
−2,70
Marzo
−3,08
−4,35
Abril
0,00
1,30
Mayo
−1,64
1,63
Junio
−7,17
−2,47
Julio
4,85
3,31
Agosto
1,21
4,07
Septiembre
−3,36
−2,41
Octubre
9,35
2,29
Noviembre
−2,78
−3,67
Diciembre
0,62
1,46
• Hay pocas (si es que las hay) empresas reales con beta negativa. Pero suponga que hemos encontrado una
con un beta de −0,25. ¿Cómo esperaría que el precio de la acción cambiase si todo el mercado aumenta un
5%? ¿Y si cae un 5%?
• Tiene un millón de euros invertidos en una cartera bien diversificada de acciones. Ahora, recibe una
herencia de 20.000 euros. ¿Cuál de las siguientes opciones para completar su cartera de inversiones le
producirá la rentabilidad más segura?
• Invertir 20.000 euros en letras del tesoro.
• Invertir 20.000 euros en acciones con beta igual a 1.
• Invertir 20.000 euros en acciones con beta igual a −0,25.
• ¿Cuál es el mínimo número de factores necesarios para explicar los retornos de un grupo de 10 acciones
que no están correlacionadas entre ellas si los retornos de las acciones no tienen riesgo específico?
28
• Considere el siguiente modelo de dos factores para el retorno de 3 acciones. Asuma que los factores y los
epsilons tienen media 0. Además, asuma que los factores tienen varianza de 0,01 y no están
correlacionados:
Si las varianzas de los epsilons son 0,01, 0,04, y 0,02 para A, B, y C respectivamente, ¿cuáles son las
varianzas de los retornos de las tres acciones, así como las covarianzas y correlaciones entre ellos?
• ¿Cuáles son los retornos esperados de cada una de las 3 acciones en el ejercicio 2?
• Escriba las betas, ecuaciones de factores, y retornos esperados de las siguientes carteras:
• Una cartera de las 3 acciones del ejercicio 2, con 20.000 euros invertidos en A, −20.000 invertidos en B, y
10.000 euros invertidos en C.
• Una cartera que contenga la cartera del punto a) y 3.000 euros en una posición corta en la acción C del
ejercicio 2.
• ¿Cuánto debería ser invertido en cada una de las acciones del ejercicio 2, para generar dos carteras con las
siguientes características?
Cartera A:
Factor 1 beta = 1
Factor 2 beta = 0
Cartera B:
Factor 1 beta = 0
Factor 2 beta = 1
Calcule los retornos esperados y prima por riesgo de estas dos carteras en los dos casos siguientes:
Caso 1: La tasa libre de riesgo es 5% por año.
Caso 2: La tasa libre de riesgo es la tasa cero−beta implícita dadas las 3 ecuaciones de factores del ejercicio 2.
• Describa como podría generar una cartera con las acciones de las 40 empresas más grandes del mercado
secundario norteamericano que replicara el índice S&P 500. ¿Por qué podría usted preferir en esta cartera
en lugar de invertir en cada una de las 500 acciones de dicho índice?
28.− La empresa A tiene una desviación típica de 42% por año y beta de 0.10. La empresa B tiene una
desviación típica del 31% al año y beta de 0.66. Explicar por qué A es una inversión más segura para un
inversor diversificado.
29.− El siguiente cuadro muestra las desviaciones típicas y coeficientes de correlación de tres acciones:
Citicorp
McDonnell
Thermo−electron
Desviación típica
29
Citicorp
McDonnell
Thermo−electron
1
0.42
1
0.31
0.37
1
0.29
0.24
0.42
Calcule la varianza de la cartera invirtiendo el 40% en Citicorp, el 40% en McDonnell Douglas y el 20% en
Thermo Electron. Calcule también la contribución de cada acción a la varianza de toda la cartera. ¿Qué es la
beta de cada acción relativa a las tres acciones de la cartera?
30.− La cartera de mercado tiene una desviación típica del 200% y la covarianza entre las rentabilidades del
mercado y de las acciones Z es 800%
a) ¿Cuál es la beta de las acciones Z?
b) ¿Cuál es la desviación típica de una cartera totalmente diversificada de tales acciones?
c) ¿Cuál es la beta media de todas las acciones?
d) Si la cartera de mercado diera una rentabilidad extra del 5% ¿Cuánta rentabilidad extra puede esperar de las
acciones Z?
31.− La rentabilidad de las letras del tesoro es el 4% y la rentabilidad esperada de la cartera de mercado el
12%. Basándose en el modelo de equilibrio de activos financieros:
a) Dibujar un gráfico mostrando cómo la rentabilidad esperada varía con beta.
b) ¿Cuál es la prima por riesgo del mercado?
c) ¿Cuál es la rentabilidad deseada de una inversión con beta =1.5?
d) Si una inversión con beta =0.8 ofrece una rentabilidad esperada del 9.8%, ¿Tiene dicha inversión VAN
positivo?
e) Si el mercado espera una rentabilidad del 11.2% de la acción X, ¿Cuál es la beta?
32.− Una empresa está decidiendo si emite acciones para obtener dinero para un proyecto de inversión que
tiene el mismo riesgo que el mercado y una rentabilidad esperada del 20%. Si la tasa libre de riesgo es del
10% y la rentabilidad esperada del mercado es el 15%., la empresa debería seguir adelante:
a) A no ser que la beta de la empresa sea más grande que 2.0
b) A no ser que la beta de la empresa sea menor que 2.0
c) Con cualquier beta
33.− Las acciones de la empresa X tienen una beta de 1.0 y un riesgo único muy alto. Si la rentabilidad espera
del mercado es el 20%, la rentabilidad esperada de X será:
a) 10% si el tipo de interés es el 10%
b) 20%
c) Más de un 20% debido al riesgo único
30
d) Indeterminada a no ser que también se conozca el tipo de interés
34.− La rentabilidad esperada de una acción se escribe frecuentemente como
E(ri) = ð+ ð ð(RM)
donde ð(RM) es la rentabilidad esperada del mercado. El modelo de equilibrio de activos financieros dice que
en el equilibrio:
a) ð= 0
b) ð= rf (tipo de interés libre de riesgo)
c) ð = (1− ð)rf
d) ð = 1− rf
35.− Este problema trata de ilustrar la teoría de valoración por arbitraje. Imaginar que hay sólo dos factores
macroeconómicos relevantes. Las inversiones X, Y, y Z tienen las siguientes sensibilidades respecto a esos
factores:
Inversión
X
Y
Z
b1
1.75
−1.00
2.00
b2
0.25
2.00
1.00
Las primas por riesgo son el 4% para el factor 1 y el 8% para el factor 2.
a) De acuerdo con la teoría de valoración por arbitraje ¿Cuál es la prima por riesgo en cada una de las tres
acciones?
b) Suponga que compra 200$ de X y 50$ de Y y vende 150$ de Z. ¿Cuál es la sensibilidad de su cartera a
cada uno de los dos factores? ¿Cuál es la prima por riesgo esperada?
c) Suponga que compra 80$ de X y 60$ de Y y vende 40$ de Z. ¿Cuál es la sensibilidad de su cartera a cada
uno de los dos factores? ¿Cuál es la prima por riesgo esperada?
d) Sugiera dos posibles formas por las que podría constituir una cartera que tuviera sólo una sensibilidad de
0.5 para el factor 1. Ahora compare la prima por riesgo esperada para cada una de esas inversiones.
36. Verdadero o falso:
a. El modelo de equilibrio de activos financieros implica que si pudiera encontrar una inversión con beta
negativo su rentabilidad esperada sería menor que la tasa de interés.
b. La rentabilidad esperada de una inversión con beta de 2,0 es dos veces la rentabilidad esperada del
mercado.
c. Las carteras que ofrecen la más alta rentabilidad esperada para una varianza o desviación típica dada son
conocidas como carteras eficientes.
31
d. El trabajo de un inversor puede dividirse en dos etapas. La primera seleccionar la mejor cartera de acciones
comunes. La segunda es combinar esta cartera con préstamo y endeudamiento para obtener una exposición al
riesgo a su gusto.
37. Indicar la respuesta correcta. El modelo de equilibrio de activos financieros establece que una acción tiene
el mismo riesgo de mercado y rentabilidad esperada que:
a. una cartera con una proporción de ð invertida en letras del Tesoro y 1−beta en el mercado.
b. una cartera con ð invertida en el mercado y 1−beta en letras del Tesoro.
c. una cartera igualmente dividida entre el mercado y letras del Tesoro.
38. Cierto inversor considera que las rentabilidades, R, de los tres títulos que cotizan en el mercad pueden
tomar los valores reflejados en la siguiente tabla, en función de cuál sea la situación económica que se
presente, entre las tres posibles, cuyas probabilidades también se detallan.
Coyuntura
económica
Probabilidad
1. Próspera
2. Estable
3. Recesiva
0,2
0,6
0,2
Rentabilidades para los tres títulos
Título 1
−1
0
2
0
0
1
1
0
2
Título 2 Título 3
Se desea conocer, según estas expectativas:
a. Vector de rentabilidades esperadas de los tres títulos.
b. Matriz de covarianzas entre sus tasas de rentabilidad.
c. Rentabilidad esperada y riesgo total de una cartera formada invirtiendo un 30% del capital propio en el
título 1, un 40% en el título 2 y el resto en el título 3.
d. Contribución de cada título al riesgo de dicha cartera y a su rentabilidad esperada.
e. Composición y riesgo total de las carteras de mínimo riesgo que tienen unas rentabilidades esperadas E*
iguales a 0,5, 0,6 y 0,75.
f. Rentabilidad esperada y riesgo total de la cartera formada invirtiendo un 25% del capital propio en el título
1 y el resto en el título 3. ¿Es eficiente esta cartera?
39. Un agente ha invertido el 60% de su dinero en la acción A y el resto en la acción B. Sus expectativas son
las siguientes:
Rentabilidad esperada (%)
Desviación típica (%)
A
15
20
B
20
22
La correlación entre las rentabilidades es 0,5.
a. ¿Cuál sería la rentabilidad esperada y la desviación típica de las rentabilidades de su cartera?
32
b. ¿Cómo cambiaría su respuesta si el coeficiente de correlación fuera 0 o −0,5?
c. ¿La cartera de este agente es mejor o peor que otra en la que todo se hubiera invertido en la acción A, o no
es posible decirlo?
d. Calcular la rentabilidad esperada y la desviación típica de la cartera de mínima varianza a partir de los datos
de las acciones A y B.
e. ¿Cuáles son las carteras eficientes que se pueden construir a partir de los datos de las acciones A y B?
f. Suponer que B es en realidad la cartera de mercado. Calcular la beta de la cartera de este agente.
TEMA 7 MERCADOS DE CAPITALES EFICIENTES
Definición de mercado de capitales eficiente. Valor de la información. Expectativas racionales y
mercados eficientes. Contrastes estadísticos: Hipótesis débil, semifuerte y fuerte.
1. El hecho que exista gestoras de fondos de inversión, implícitamente esta suponiendo que:
• No se cumple la hipótesis fuerte de eficiencia de los mercados
• Se cumple la hipótesis fuerte de eficiencia de los mercados
• Nada se puede decir respecto de las hipótesis de eficiencia de los mercados
• Se cumple la hipótesis semi−fuerte pero no la débil.
2. Si el mercado de activos financieros es débilmente eficiente:
• los precios reflejan toda la información publicada
• los gestores de fondos profesionales son incapaces de ganar rentabilidades por encima de la media
• los analistas técnicos o chartistas son incapaces de batir al mercado de forma sistemática
• los precios futuros son impredecibles utilizando cualquier tipo de información
3. Existen dos formas de gestionar una cartera de inversión: activa y pasiva. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es falsa?
• La gestión pasiva sólo se llevará a cabo si el mercado es eficiente en sentido fuerte.
• En un mercado casi o semi eficiente algunos inversores realizarán gestión activa y otros gestión pasiva.
• La gestión activa no tiene sentido si el mercado es eficiente en sentido fuerte.
• El arbitraje sólo es posible con una gestión activa.
TEMA 8 INTRODUCCION A LOS DERIVADOS FINANCIEROS
Contratos forward. Contratos de futuros. Opciones de compra (Call) y de venta (Put). Combinaciones
de opciones. La paridad Put−Call. Determinantes del valor de una opción. Introduccion a los modelos
de valoracion de opciones. Aplicaciones de la teoría de opciones. Warrants y convertibles. La técnica de
la cobertura de riesgos. Cobertura con futuros y opciones.
1. ¿Cómo afecta el transcurso del tiempo al precio de una opción o prima (manteniendo constante el resto de
variables)?
• Aumentaría tanto para la call como la put.
• Aumentaría solo en las call.
• Aumentaría solo en las put.
33
• Disminuiría tanto en las call como en las put.
2. Un comprador de una opción americana (que se puede ejercer antes del periodo de extinción T):
• Siempre ejercerá su opción antes del vencimiento
• Se esperará al vencimiento para ejercer su opción
• Dependerá de sus expectativas para ejercer su opción
• Independientemente de sus expectativas, nunca ejerce la opción sino que acaba vendiéndola al precio que
fija el mercado
3. Cuál es el beneficio final (en el momento de vencimiento de la opción) que se obtiene si se vendió en su día
una opción PUT a un precio P. (ST : precio de la acción en el momento del vencimiento de la opción, K:
precio de ejercicio de la opción).
• P−Max {ST − K, 0}.
• P+Min {K − ST, 0}.
• P+Min {ST −K, 0}.
• Ninguna de las anteriores
4. Dado los siguientes datos sobre sendas opciones call y put con los mismos precios de ejercicio y el mismo
periodo de extinción:
Precio del activo subyacente= 100
Precio de ejercicio de las opciones= 100
Tipo de interés desconocido
Tiempo= 365 días.
• Valor de la call = valor de la put
• Valor de la call > valor de la put
• Valor de la call < valor de la put
• Nada se puede decir respecto a la relación entre la call y la put
5. Dado el siguiente dato sobre dos opciones call y put con la misma fecha de vencimiento, si
Precio del activo subyacente = Precio de ejercicio de las opciones
a.
Valor de la call = valor de la put
b.
Valor de la call > valor de la put
c.
Valor de la call < valor de la put
d.
No se puede afirmar nada sobre la relación entre ambas opciones
6. El vendedor de una opción put europea sobre acciones con fecha de extinción T y con un precio de
ejercicio K
Tiene la obligación de vender dicha acción a un precio K en la fecha T en caso de ejercerla el
a.
comprador
b.
Tiene la obligación de comprar dicha acción a un precio K en caso de ejercerla el comprador
Tiene el derecho de vender dicha acción a un precio K en una fecha anterior estrictamente a T en caso
c.
de ejercerla el comprador
d.
Ninguna de las anteriores
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7. Suponga que usted tiene una cartera integrada por una call y un bono por el que hoy paga el valor actual
del precio de ejercicio de la call. ¿cuál de las siguientes estrategias le paga lo mismo que su cartera en el
vencimiento?
a.
Comprar una acción y vender una call
b.
Vender una put y prestar el valor actual del precio de ejercicio
c.
Comprar una acción y vender una put
d.
Comprar una acción y comprar una put
8. Usando la valoración neutral al riesgo, y suponiendo una tasa libre de riesgo del 4%, busque una formula
que le permita valorar en t0 un producto derivado que paga una serie de flujos contingentes en los próximos
dos periodos dependiendo de cual sea el precio del activo subyacente en el momento de realizar cada pago.
flujos en los 2 próximos períodos. El activo subyacente, el cual no realiza ningún pago, tiene un valor de
mercado que se puede representar en el siguiente árbol (entre paréntesis aparecen los pagos del derivado):
t0 t1 t2
p 1,2
(2,2)
p 1,10
1 (0,1) 1−p 1,05
(0) 1−p (3,05)
p
0,95
(0,9) 1−p 0,9
(0)
• Considere un contrato forward sobre IBM, el cual requiere la compra de una acción de esta empresa dentro
de 6 meses, a un valor de $150. El precio actual de la acción es $140 y no se pagarán dividendos en los
próximos seis meses. El precio de un bono a 6 meses con cupón cero es $98, y su valor nominal es $100. Si
el forward se vende hoy a $10.75 ¿existe alguna oportunidad de arbitraje? Describa.
• Supongamos que existen dos contratos forward con plazo de un año. El primero permite comprar dentro de
un año una acción de Sony a $100 y el segundo permite comprar dentro de un año una acción de Digital
DEC a $ 40. Estos forward se venden actualmente por $3 y $2,20 respectivamente. Ninguna de las dos
acciones paga dividendos durante el año. Asuma también que un bono con cupón cero a un año con valor
nominal de $100 se vende actualmente a $93. Los precios actuales para las acciones de Sony y DEC son
$90 y $35 respectivamente.
• ¿Existe alguna oportunidad de arbitraje? Describa.
• ¿Cuál es el precio de un contrato forward sobre una cartera compuesta por media acción de cada una de las
dos empresas con un precio de ejercicio de $70 y vencimiento en un año?
• Usted tiene una opción de compra americana con un precio de ejercicio de $30, sobre una acción que se
vende actualmente a $35. La opción se vende a $5 un año antes de su vencimiento. Compare los flujos a
vencimiento de:
• Ejercitar la opción ahora y colocar los $5 en una cuenta bancaria hasta la fecha de vencimiento.
• Mantener la opción hasta la fecha de vencimiento, vender hoy en corto la acción y colocar los $35 que
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recibe, en la misma cuenta bancaria.
• Intel tiene una volatilidad de 0.25 y un precio de $60. Una opción de compra europea sobre Intel, con un
precio de $65 y una fecha de vencimiento a un año tiene un precio de $10. Usando el modelo de
Black−Scholes, describa como construiría una cartera de arbitraje, asumiendo que el valor presente del
precio ejercicio es $56.
• Suponga que observa una opción de compra europea sobre una acción cuyo valor es menor a
. ¿Qué tipo de transacción debería ejecutar para lograr un beneficio de arbitraje?
• Represente el diagrama de posición a vencimiento de la siguiente estrategia: compra de una opción de
compra a un precio de ejercicio de $100 y, simultáneamente, compra de una opción de venta a un precio de
ejercicio de $100.
• Represente el diagrama de posición a vencimiento de la siguiente estrategia: comprar simultáneamente una
opción de compra a un precio de ejercicio de 100, vender dos opciones de compra a un precio de 110 y
comprar una opción de compra a un precio de ejercicio de 120.
16. Indique cual de las siguientes relaciones es la correcta
a) valor de la opción de venta + valor actual del precio de ejercicio = valor de la opción de compra + precio de
la acción
b) valor de la opción de venta + precio de la acción = valor de la opción de compra + valor actual del precio
de ejercicio
c) valor de la opción de venta − precio de la acción = valor actual del precio de ejercicio − valor de la opción
de compra
d) valor de la opción de venta + valor de la opción de compra = precio de la acción − valor actual del precio
de ejercicio.
17. Los negociadores de opciones se refieren a menudo a Straddles y Batterflies
Straddle: Compra una opción de compra a un precio de ejercicio de 100€ y, simultáneamente, comprar una
opción de venta a un precio de ejercicio de 100€.
Butterfly: Simultáneamente, comprar una opción de compra a un precio de ejercicio de 100€, vender dos
opciones de compra a un precio de 110€ y comprar una opción de venta a un precio de ejercicio de 120€
a) Represente los diagramas de posición de ambas estrategias mostrando los resultados desde la posición neta
de los inversores. Cada estrategia es una apuesta sobre la variabilidad. Explique brevemente la naturaleza de
cada apuesta.
b) La rentabilidad de las estrategias depende de cuanto haya cambiado el precio de la acciones en el periodo
de maduración y no de las variaciones anteriores. Si usted cree que la volatilidad durante la vida de la opción
será mayor que la esperada, cómo construiría una posición cubierta para aprovecharse de su creencia? ¿Y si se
espera que la volatilidad fuera menor?
18.− El vendedor de una opción put europea sobre acciones con fecha de vencimiento T y con un precio de
ejercicio K:
a) Venderá obligatoriamente dicha acción por un precio K en la fecha T.
b) Tiene la obligación de vender dicha acción a un precio K en una fecha
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anterior estrictamente a T en caso de ejercerla el comprador.
c) Tiene el derecho de vender dicha acción a un precio K en T.
d) Ninguna de las anteriores.
19. El precio de la acción puede subir un 15% o bajar un 13% durante el próximo período. Usted posee una
opción de venta a un período sobre la acción. El tipo de interés es del 10% y el precio actual de la acción es de
60 €. ¿Qué precio de ejercicio le dejaría indiferente entre conservar la opción o ejercitarla ahora?
20. Una opción de compra tiene un precio de ejercicio de 150 €. En la fecha de vencimiento, el precio de las
acciones puede tomar cualquiera de estos dos valores: 100 € o 200 €. Además de prestar una cantidad igual al
valor actual de 100 €, ¿en qué debe invertir para replicar los pagos de una acción?
a) Comprar 4 calls.
b) Vender 4 calls.
c) Comprar 2 calls.
d) Vender un bono por el valor actual de 200 €.
21. ¿Cuál de los siguientes inversores obtiene mayor beneficio si el precio de las acciones sube
pronunciadamente?
a) El que posea la acción y haya emitido una call.
b) El que posea una call.
c) El que posea una put.
d) El que haya vendido una call.
22. ¿Cuál de los siguientes hechos provoca un aumento en el valor de una call?
a) Un aumento en la rentabilidad esperada del subyacente.
b) Un aumento en el precio del ejercicio.
c) Un aumento en el tipo de interés
d) Una disminución en la volatilidad del subyacente.
23. Un inversor compra una acción y una put sobre la acción. ¿Cuál será el valor de su inversión en el
vencimiento si el precio de la acción no supera el precio de ejercicio?
a) El valor de una acción más el precio de ejercicio.
b) El precio de ejercicio.
c) El valor de una acción menos el precio de ejercicio
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d) El valor de dos acciones.
24. Para las siguientes estrategias de inversión en productos derivados indique:
(i) Bajo qué circunstancias el comprador y el vendedor conseguirán beneficios
(ii) Bajo que circunstancias se ejercerá la opción
(iii) Dibuje un diagrama que muestre la variación de los beneficios del inversor con el precio de la acción al
vencimiento de la opción.
(a) Se vende una opción de compra europea sobre una acción por 4€. El precio de la acción hoy es de 47 € y el
precio de ejercicio es de 50 €.
(b) Se compra por 3 € una opción de venta europea sobre una acción. El precio de ejercicio de la opción es de
40 € y el precio de la acción es de 42 € actualmente.
(c)Se compra una opción de venta europea para vender una acción por un precio de ejercicio de 60 $, siendo
el precio de la opción es 4 $.
(d) Se compra una opción de compra europea para la compra de una acción al precio de ejercicio de 50 €,
siendo el precio de la opción 2,50 €.
25. Suponga que una opción de compra europea tiene un precio de 70 € y cuesta 4 €, mientras que una opción
de venta europea con el mismo precio de ejercicio e idéntico vencimiento cuesta 3 €. Construya una cartera
tomando posiciones largas en una opción call y en otra put. ¿Para qué rango de precios del activo dirigirá esta
estrategia a una pérdida?
26. Considere una opción sobre un activo que no paga dividendos, donde el precio del activo es 30 $, el precio
de ejercicio es 29 $, el tipo de interés sin riesgo es el 5% anual, la volatilidad es el 25% anual y el vencimiento
de la opción tiene lugar dentro de cuatro meses.
a. Calcule el precio de la opción si es una opción de compra europea.
b. Calcule el precio de la opción si es una opción de venta europea.
c. Comprobar que se satisface la paridad put−call.
27. Dibuje un diagrama que muestre la variación del beneficio de un inversor con el precio al vencimiento el
activo para las siguientes carteras (suponer que el precio de ejercicio de la opción es igual al precio actual del
activo):
a. Una acción y una posición corta en una opción de compra.
b. Dos acciones y una posición corta en una opción de compra.
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