4 Sistemas mixtos en tiempo continuo y discreto

4
Sistemas mixtos en tiempo continuo y
discreto
En este capítulo se analizan en primer lugar las relaciones entre distintas
señales en tiempo continuo y discreto, estudiando los procesos de muestreo y
retención y obteniendo funciones de transferencia de distintos tipos de
retenedores. A continuación, se aplica este estudio a una importante relación
entre sistemas: el sistema en tiempo discreto que resulta al aplicar una señal en
tiempo discreto a un sistema en tiempo continuo, y muestrear la señal
resultante; ésta es una situación común en sistemas de control, en los que se
controla una planta en tiempo continuo mediante señales en tiempo discreto
generadas en un ordenador.
4.1 Visión de conjunto de distintos tipos de señales
Las Figuras 4.1 y 4.2 resumen distintas señales en tiempo continuo y discreto,
así como las operaciones básicas de muestreo y retención.
x(t)
x[k]
Ts
Mi
x*(t)
R0(s)
x0(t)
Figura 4.1 Distintas señales en tiempo continuo y discreto
Muestreando la señal en tiempo continuo x(t) mediante un muestreador de
periodo Ts se obtiene la señal en tiempo discreto x[k]. En capítulos anteriores ya
se ha estudiado este proceso; en 4.2 se recordará la relación entre las
transformadas X(s) y X[z], y se resumirán propiedades útiles de esta conversión.
49
CONTROL DIGITAL
x(t)
x[k]
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
1
2
3
4
5
t
0
0
2
4
x*(t)
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
2
8
3
4
3
4
t
5
0
0
1
2
Figura 4.2 Ejemplo de señales en tiempo discreto y continuo; Ts = 0,5
4.1.1 Señal estrellada
El muestreador de impulsos Mi convierte x[k] en una señal estrellada x*(t) en
tiempo continuo. Es un tren de impulsos en los instantes de muestreo, cuyo
valor (área, indicada por la altura de la flecha) es igual a x[k].
o La señal x*(t) es en realidad una versión de la señal x[k] que
permite aplicar técnicas de tiempo continuo.
Obteniendo su transformada de Laplace:

x * (t )   x[k ] (t  k Ts )
k 0
50

X * (s)   x[k ]e kTs s
k 0

X [ z ]   x[k ]z k
y comparando con:
se demuestra:
k
10
x0(t)
1
0
6
k 0
X*(s) = X[ z  e sTs ]
t
5
4. SISTEMAS MIXTOS EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
Por tanto, las transformadas de x[k] y de x*(t) están ligadas mediante la
transformación fundamental (aplicada a toda la función, y no sólo a los polos).
Es útil distinguir entre x[k] y x*(t), pero están tan íntimamente
relacionadas que en la práctica a menudo se consideran equivalentes, y no se
usa el bloque Mi en los diagramas; se sabe cuándo se habla de una o de otra por
el tipo de entradas que admita el bloque siguiente.
o La señal estrellada permite definir las frecuencias presentes en la
señal muestreada.
En efecto, x*(t) es la señal x(t) modulada mediante un tren de impulsos
unitarios, el cual se descompone en serie de Fourier dando armónicos iguales:

 Ts (t )    (t  k Ts )
k 
 Ts (t ) 
1  jn s t
e
Ts n  
x * (t )  x(t )   Ts (t )
X * ( ) 
1 
 X (  n s )
Ts n  
El espectro (transformada de Fourier) de x*(t), X*(), es el espectro de
x(t), X (), repetido sobre todas las frecuencias múltiplos de la de muestreo (y
dividido por Ts). Para que no se mezclen los espectros y se pueda reconstruir la
señal original, es necesario que X () sea nulo para  > s/2. En caso contrario,
se produce aliasing.
o La señal estrellada permite obtener la función de transferencia del
proceso de reconstrucción; ver 4.3
El retenedor de orden 0 R0 convierte x*(t) en una reconstrucción aproximada
x0(t) de la señal x(t) original. Este tipo de retenedor es el más usado; mantiene la
salida constante e igual a x[k] para kTs ≤ t < (k+1)Ts
Conviene señalar que no puede definirse función de transferencia para los
bloques que relacionan señales de distinto carácter, como los muestreadores.
Tampoco existe entre x*(t) y x(t): la relación entre ambas es lineal, pero no es
invariante con el tiempo. Sí existe función de tranferencia para los distintos
tipos de retenedores. Cuando no hay función de transferencia, es necesario
recurrir a otro tipo de relaciones entre las señales.
51
CONTROL DIGITAL
4.2 Conversión de X(s) en X[z]
Como se estudió en 2.6, puede obtenerse directamente X[z] a partir de X(s). Es
útil indicar también esta importante conversión directa mediante la notación:
X [ z]  X (s)Z
Suponiendo que no hay polos múltiples:
X (s)  
Ri
s  pi
 e piTs
i 

X [ z]  z 
Ri
z  i
Si hay polos múltiples el manejo de los residuos se complica algo; pero los
polos se transforman igualmente según la relación fundamental z  e sTs . El
apéndice A indica el paso para algunas transformadas sencillas.
Algunas propiedades útiles
Retardos múltiplos del periodo de muestreo se traducen en divisiones por z:
Para m entero,
Linealidad:
e
 mTs

X ( s)
Z
aX (s)  bY(s)Z
 z m X [ z ]
 aX[ z]  bY[ z]
Pero, salvo excepciones: X (s)  Y (s)Z  X [ z]  Y[ z]
Para efectuar la conversión en este caso generalmente debe descomponerse
el producto en sumas (fracciones parciales).
En cambio (ver 4.5):
X * (s)  Y (s)Z
 X [ z]  Y[ z]
4.3 Reconstrucción: retenedores
Se presentará en primer lugar, a efectos de comparación, el retenedor ideal.
Retenedor ideal, o de Shannon
Si no se ha producido aliasing, ver 4.1.1, para obtener x(t) a partir de x*(t) es
necesario deshacer la repetición de espectros; para ello se usaría un filtro pasabaja de ganancia Ts hasta s/2 y 0 para frecuencias más altas (y fase nula); ver
la Figura 4.4. La antitransformada de esta respuesta en frecuencia da la
respuesta a un impulso de la Figura 4.3; ésta empieza antes de 0, por lo que es
un filtro no causal: la reconstrucción ideal no es posible en tiempo real.
52
4. SISTEMAS MIXTOS EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
Retenedor de Shannon
Retenedor de orden 0
1
1
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
0
0
-0.25
-3
-2
-1
0
1
2
-0.25
-3
3
-2
Retenedor triangular
-1
0
1
2
3
2
3
Retenedor de orden 1
2
1
1.5
0.75
1
0.5
0.5
0.25
0
0
-0.5
-0.25
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-3
3
-2
-1
0
1
t/Ts
Figura 4.3 Respuesta impulsional de distintos retenedores
Gracias a la introducción de la señal estrellada x*(t) puede obtenerse la función
de transferencia de los retenedores. Para ello basta obtener la transformada de
Laplace de la respuesta a un impulso; ver la Figura 4.3.
Retenedor de orden 0
Es, con mucho, el más usado en la práctica; mantiene la salida constante entre
instantes de muestreo. La respuesta impulsional, Figura 4.3, puede
descomponerse en un escalón menos un escalón retrasado Ts. Su transformada
de Laplace es la función de transferencia:
1  e Ts s
R0 ( s ) 
s
53
CONTROL DIGITAL
Su respuesta en frecuencia, Figura 4.4, corresponde a un filtro pasa-baja,
aunque ni mucho menos ideal. La ganancia estática es Ts, y la fase varía
linealmente con la frecuencia: retardo de grupo Ts/2
1.6
1.4
R1
1.2
A/Ts
Rs
1
R0,2
R0
0.8
Rt
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
/s
1.5
2
2.5
Figura 4.4 Respuesta en frecuencia de distintos retenedores
Retenedor triangular o poligonal
Interpola linealmente entre muestras. No es causal, y por tanto no puede
utilizarse en tiempo real. Pero tiene aplicaciones interesantes (ver capítulo 5).
Observando que la respuesta impulsional puede descomponerse en 3 rampas
(una de ellas adelantada, y otra retrasada),
Rt ( s ) 

e Ts s 1  e Ts s
Ts s 2

2
e Ts s
R0 ( s)2

Ts
Retenedor de orden 1
En lugar de mantener la salida constante entre instantes de muestreo, se
extrapola la última pendiente. Intenta ser una versión causal del retenedor
54
4. SISTEMAS MIXTOS EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
triangular. Su función de transferencia se obtiene descomponiendo la respuesta
impulsional en escalones y rampas:
R1 ( s ) 

(1  Ts s ) 1  e Ts s

2
Ts s 2

1  Ts s
R0 ( s)2
Ts
Retenedor fraccionario
Como el anterior, pero extrapolando una fracción q de la pendiente. Es una
mezcla de retenedores de orden 0 y 1.
Rq (s)  qR1 (s)  (1  q) R0 (s)
La Figura 4.4 da la respuesta en frecuencia (amplitud dividida por la ganancia
estática Ts) correspondiente a distintos retenedores.
4.4 Sistema en tiempo discreto equivalente
Cuando a un sistema en tiempo continuo G(s) se le aplica una entrada
estrellada, y se muestrea la salida, existe un sistema en tiempo discreto
equivalente G[z], que relaciona directamente las muestras de la entrada y de la
salida, aunque se pierde la información sobre valores entre muestras de la
salida. La Figura 4.5 resume esta situación básica; la expresión fundamental
sigue la misma conversión especificada en 4.2 para señales:
G[ z]  G(s)Z
u[k]
Mi
u*(t)
G(s)
y(t)
y[k]
Ts
es equivalente a:
u[k]
G[z]
y[k]
Figura 4.5 Sistemas equivalentes
55
CONTROL DIGITAL
Demostración
Si u[k] es un pulso, u*(t) es un impulso, y(t) es la respuesta impulsional de G(s),
(= g(t), antitransformada de G(s) ), y[k] es g[k]. Si G[z] es la transformada de
g[k], el sistema equivalente tendrá la misma respuesta a un pulso, y también a
cualquier tipo de entrada, que puede descomponerse en pulsos (convolución).
En aplicaciones de control digital, típicamente G(s) es la planta a
controlar, incluyendo un retenedor R0; u[k] dependerá de y[k] según cierta ley
de control C[z], y podrá estudiarse todo el sistema en tiempo discreto.
G( s) 
Ejemplo 4.1
1
s
Esta función de transferencia en tiempo continuo corresponde a un integrador.
Si se interpreta como una señal, es un escalón. En tiempo discreto se traduce en
la transformada Z del escalón:
G( s) 
1
s
z
z 1
G[ z ] 
1
1
y[k]
u[k]
0.8
0.8
u*(t)
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
y(t)
0
-1
0
1
2
3
4
0
-1
5
0
3
1
2
3
4
5
2
3
4
5
y[k]
2
2.5
u[k]
y(t)
2
1
u*(t)
1.5
0
1
0.5
-1
-1
0
0
1
2
3
4
5
-1
k=t/Ts
56
0
1
4. SISTEMAS MIXTOS EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
Figura 4.6 Respuestas de G ( s) 
1
s
La Figura 4.6 detalla el proceso. En la parte superior, u[k] es un pulso
unitario, y se aplica al sistema en tiempo continuo un impulso unitario. La
respuesta y(t) de G(s) es un escalón, y al muestrear resulta el escalón y[k]. En la
parte inferior se aplica una entrada u[k] más complicada, pero que al fin y al
cabo es una sucesión de pulsos. Por tanto:
y[0]= u[0]
y[1]= u[0] + u[1]= u[0] + y[0]
y[2]= u[2] + y[1]
.............
y[k]= u[k] + y[k-1]
A este algoritmo corresponde la función G[z] indicada.
§
Una importante aplicación de las propiedades indicadas en 4.2 es la conversión
de sistemas que incluyen un retenedor:
G[ z ] 
Si G(s)  R0 (s)  G1 (s)
Ejemplo 4.2
G(s)  R0 (s)
z  1 1

 G1 ( s )
z s
Z
a
sa
Esta función de transferencia en tiempo continuo corresponde a un sistema de
primer orden, con ganancia estática 1 y un polo en -a. Aplicando la regla
anterior:
G[ z ] 
z 1 a 
z  1 1
1 
z 1 z
z  1




 
 
 
z  s ( s  a)  Z
z s s  a Z
z  z 1 z   z 
  e aTs
57
CONTROL DIGITAL
La Figura 4.7 detalla el proceso. En la parte superior, u[k] es un pulso
unitario, y el retenedor aplica al sistema de primer orden un escalón durante un
periodo de muestreo, y 0 después. Usando la conocida respuesta a un escalón
del sistema de primer orden:
y (t )  1  e  at
y[1]= (1 - )
y (t )  y[1]e  a (t Ts )
y[2]=  y[1]
De t =0 a t = Ts:
Desde t = Ts:
.............
y[k]=  y[k-1]
0.4
1
u[k]
0.8
0.3
y[k]
0.6
0.2
u0(t)
0.4
y(t)
0.1
0.2
0
-1
0
1
2
3
4
0
-1
5
2
0
1
2
1
1.5
4
5
3
4
5
y[k]
0.8
u0(t)
1
3
u[k]
y(t)
0.6
0.5
0.4
0
0.2
-0.5
-1
-1
0
0
1
2
3
4
5
k=t/Ts
-1
0
Figura 4.7 Respuestas de G(s)  R0 (s)
1
2
a
sa
En la parte inferior se aplica una entrada u[k] más complicada.
y[0]= 0
Las muestras vienen a intervalos fijos, por lo que se sustituye:   e aTs
58
4. SISTEMAS MIXTOS EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
y[1]= (1 - ) u[0]
A partir de aquí se tiene la respuesta a un escalón del sistema de primer orden
más la respuesta a una condición inicial:
y[2]= (1 - ) u[1] +  y[1]
.............
y[k]= (1 - ) u[k-1] +  y[k-1]
A este algoritmo corresponde la función G[z] indicada.
§
Ejemplo 4.3 El problema más frecuente es obtener la función de transferencia
equivalente en tiempo discreto para una planta, o sistema a controlar, precedido
de un retenedor de orden 0. Este ejemplo ilustra el mecanismo.
P( s) 
1
10 s (1  4 s )
Pd [ z ] 
z  1 1

 P( s)
z s
Z
En primer lugar, todo depende de la respuesta a un escalón de la planta, ya
que la entrada aplicada a la misma está compuesta de escalones. Se obtendrá
por descomposición en fracciones parciales:
1
1
1
0,1 0,4
0,4




s 10 s(1  4s) 40 s 2 ( s  0,25) s 2
s
s  0,25
Se convierten los términos individuales (apéndice A):
0,1Ts z
( z  1)
Se multiplica por
2

0,4 z 0,4 z

z 1 z 
  e 0,25Ts
z 1
, para obtener la respuesta a escalón – escalón
z
retrasado :
0,1Ts
0,4( z  1)
 0,4 
z 1
z 
Se agrupan los términos. Suele ser conveniente el formato ceros-polos:
0,1Ts ( z   )  0,4( z  1)( z   )  0,4( z  1) 2

( z  1)( z   )
(0,1Ts  0,4(1   )  0,8) z  0,4   (0,1Ts  0,4)

( z  1)( z   )
59
CONTROL DIGITAL
Ts = 1
§
60
0,01152 ( z  0,9201)
( z  1)( z  0,7788)
Ts = 10
0,6328( z  0,4505)
( z  1)( z  0,08208 )
4. SISTEMAS MIXTOS EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
4.5 Solución de diagramas de bloques mixtos
A partir de un diagrama de bloques que incluya muestreadores y sistemas en
tiempo continuo y discreto (los retenedores son sistemas en tiempo continuo),
se desea obtener una variable de salida en tiempo discreto, en función de las
entradas del sistema. En primer lugar, se recordará en un formato algo distinto
la equivalencia desarrollada en 4.4, y se definirá una notación abreviada. En la
Figura 4.5:
Notación abreviada
Y(s) = U*(s) G(s)
Y = UZ G
Y (s)Z  U * (s) G(s)Z
Y Z  U Z GZ
Y[z] = U[z] G[z]
YZ = UZ GZ
En la notación abreviada, se elimina (s) y se sustituye [z] por un subíndice. Se
prescinde de las señales estrelladas, sustituyendolas por las equivalentes en z.
Reglas
Debido a que los muestreadores no tienen función de transferencia, las reglas
de diagramas de bloques tienen una aplicación limitada, y son sustituídas por
manipulaciones analíticas, usando la conversión a Z para relacionar las señales.
1) Asignar variables a la entrada y salida de los muestreadores.
2) Usando las salidas de los muestreadores como entradas independientes,
plantear ecuaciones.
3) Eliminar variables intermedias
4) Convertir a Z.
Observaciones y avisos
a) Los muestreadores rompen el esquema: tratamiento analítico.
b) A veces no hay función de transferencia, sino otro tipo de relación.
c) En general, H GZ  H Z GZ
d) El paso 4) puede hacerse en momento inoportuno, obteniendo relaciones
verdaderas pero poco útiles.
61
CONTROL DIGITAL
Ejemplo 4.4 La Figura 4.8 presenta tres variantes, según la posición del
muestreo, del típico esquema realimentado.
R
Y
G
YZ
R
H
EZ
Y
G
Ts
-
Ts
-
E
H
a)
R
E
-
EZ
G
Ts
YZ
b)
YZ
Y
Ts
H
c)
Figura 4.8 Tres diagramas de bloques mixtos
Caso a)
Y = R G – YZ H G
Conversión: YZ = {R G}Z – YZ {H G}Z
YZ 
R GZ
1  H GZ
No hay función de transferencia, pero puede obtenerse YZ: una vez que se
concrete la entrada, hay que convertir su transformada R junto con G. El motivo
de que no haya función de transferencia es que YZ no depende solamente de las
muestras de la entrada, sino también de valores entre muestras.
Caso b)
E = R – YZ H
Conversión:
EZ = RZ – YZ HZ
Y = EZ G
Conversión:
YZ = EZ GZ
YZ  R Z
Caso c)
GZ
1  H Z GZ
E=R–YH
Conversión:
EZ = RZ – {Y H}Z
Y = EZ G
Conversión:
YZ = EZ GZ
Relaciones verdaderas, pero no se puede despejar YZ: se ha realizado la
conversión inoportunamente. En lugar de ello, se despejará primero EZ:
62
4. SISTEMAS MIXTOS EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
E = R – EZ G H
E Z  RZ
EZ = RZ – EZ {G H}Z
Conversión:
1
1  H GZ
YZ  R Z
GZ
1  H GZ
§
Ejemplo 4.5 La Figura 4.9 presenta un esquema sencillo de sistema
realimentado de control digital. Se desea obtener la influencia sobre la salida de
la referencia y de la perturbación.
r[k]
-
u[k]
C[z]
R0(s)
d(t)
-
u0(t)
y(t)
P(s)
Ts
YZ
Figura 4.9 Sistema de control digital
Empleando la notación abreviada:
Y = (UZ R0 – D) P
Ecuaciones:
UZ = (RZ – YZ ) CZ
Eliminación de UZ:
Y = RZ CZ R0 P – YZ CZ R0 P – D P
Conversión:
YZ = RZ CZ {R0 P}Z – YZ CZ {R0 P}Z – {D P}Z
Despejando:
YZ  R Z
C Z R0 PZ
1  C Z R0 PZ

D PZ
1  C Z R0 PZ
La influencia de la referencia puede obtenerse igualmente aplicando el
resultado de 4.4; existe función de transferencia.
La influencia de la perturbación no tiene función de transferencia, y es
necesario obtener para cada perturbación específica {D P}Z. Ello se debe a que
la salida depende de valores entre muestras de la perturbación.
§
63
CONTROL DIGITAL
PROBLEMAS
P4.1 Estudiar analíticamente varios aspectos de la respuesta en frecuencia de
distintos retenedores:
a) Obtener la amplitud de R0(j). Demostrar que la ganancia estática es Ts, y
concretar las amplitudes para s/2 y s
b) Demostrar que la fase de R0(j) es  = - Ts/2. Nótese que coincide con
la fase de un retardo de valor Ts/2
c) Usando el resultado anterior, demostrar que la fase de Rt(j) es  = 0
d) Relacionar la amplitud de Rt(j) con la de R0(j). Demostrar que la
ganancia estática es Ts, y concretar las amplitudes para s/2 y s
e) Obtener la fase de R1(j), usando el resultado de b).
P4.2
Estudiar la función de transferencia del retenedor fraccionario:
a) Dibujar la respuesta a un impulso.
b) Descomponerla en escalones y rampas, y obtener su transformada de
Laplace.
c) Demostrar que equivale a la suma ponderada de R0 y R1.
P4.3 Suponer una señal senoidal de amplitud 1, muestreada a N muestras por
ciclo, y reconstruida mediante un retenedor R0 o R1.
a) Para R0, nótese que el máximo error posible entre la onda original y la
reconstruida se da cerca del paso por cero de la onda; obtenerlo en
función de N.
b) Para R1, nótese que el máximo error posible se da cerca del máximo de la
onda; obtenerlo en función de N.
c) Comparar ambos errores para N = 2, 5, 10, 20, 50, 100.
d) Usando la medida indicada del error, ¿a partir de qué número de muestras
por ciclo es mejor R1?
64
4. SISTEMAS MIXTOS EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
P4.4
Planta en tiempo continuo P( s ) 
5
, con R0. Ts = 2
(1  8s )(1  2 s )
a) Obtener el sistema en tiempo discreto equivalente, Pd[z], en forma cerospolos.
b) Comprobar que P(s) y Pd[z] tienen la misma ganancia estática. Demostrar
que esto es una propiedad general.
c) Comprobar que los polos de P(s) y de Pd[z] están relacionados mediante
la transformación fundamental. Demostrar que esto es una propiedad
general.
d) Demostrar que P(s) y Pd[z] tienen la misma respuesta a un escalón
(naturalmente, en los instantes de muestreo).
e) Demostrar que no pueden aparecer dos ceros en Pd[z]
f) Como se conoce la ganancia estática y los polos de Pd[z], queda claro que
lo único que queda por determinar es el cero. Comprobar su valor
igualando la muestra k = 1 de las respuestas a un escalón.
P4.5 Estudiar la obtención del sistema equivalente (con R0) si hay retardos en
la planta que no sean múltiplos del periodo de muestreo. Se recomienda:
o Separar la parte fraccionaria como adelanto.
o Obtener la respuesta a un escalón en tiempo continuo y la señal
muestreada.
o Obtener la transformada Z
Con Ts = 5, obtener el sistema en tiempo discreto equivalente Pd[z] para:
a) P ( s ) 
e 7 s
20 s
e 16s
b) P ( s ) 
1  20 s
P4.6
Pd [ z ] 
1,2 - z
100 ( z - 1)( z - 0,8)
Ts = 100
a) Obtener la planta P(s) en tiempo continuo que da lugar a la función de
transferencia equivalente indicada; se supone un retenedor R0.
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CONTROL DIGITAL
P4.7
Aplicar al Ejemplo 4.5 los datos:
C[ z ] 
0,2
z -1
P( s ) 
a
sa
e  aTs  0,8
a) Para d(t) en escalón, obtener Y[z] y valores numéricos de y[k]. Dar el
valor final.
b) En el caso anterior, especificar la forma de y(t).
c) Para d(t) en rampa (pendiente 1/Ts), obtener y[k] en régimen permanente:
cambiado de signo, es el error debido a la perturbación.
d) En el caso anterior, discutir y(t), también en régimen permanente.
P4.8 La figura presenta el diagrama de bloques de un sistema de control
digital, con dos perturbaciones: de carga d(t), ruido de medida n(t); hay un filtro
de medida H(s). Se trata de obtener en general la salida (transformada Z de sus
muestras) en función de las tres entradas.
d(t)
r[k]
-
u[k]
C[z]
R0(s)
-
G1(s)
y(t)
G2(s)
H(s)
Ts
n(t)
a) Expresar Y[z] como combinación de funciones de z; no es preciso operar,
sino indicar claramente la procedencia de cada una.
Los siguientes apartados deben realizarse como particularización del anterior, y
también directamente. Obtener Y[z] para las entradas que se indican, tomando:
C[z] = K
G1 (s) 
1
s
G2 ( s ) 
1
sa
b) Entrada r[k] en escalón.
c) Perturbación exponencial d(t) = e-bt ; b  a
d) Ruido de medida n(t) = sen(t)
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H(s) = 1
4. SISTEMAS MIXTOS EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
P4.9 El diagrama de bloques de la figura está en notación abreviada: todo son
funciones en tiempo continuo (s).
R
Y
-
Ts
G1
-
Ts
G2
H
a) Obtener la función de transferencia en tiempo discreto del lazo cerrado,
Y[z]/R[z].
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