Funciones de una Variable Real I

Funciones de una Variable Real I
PES Grado en Ingenierı́a Informática y Grado en Matemáticas
Curso 2011/2012
Tema 1: Números reales y complejos
1.1. Los números naturales. El principio de inducción
Axiomas de Peano:
1 pertenece a N
Todo número natural, n, tiene un ‘sucesor”, n + 1, que pertenece a N
1 no es sucesor de ningún número natural
Si m y n tienen el mismo sucesor, entonces m = n
Principio de inducción matemática:
Si un conjunto A de N verifica:
1∈A
Si n ∈ A, entonces n + 1 ∈ A
entonces se cumple que A = N.
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Los números naturales. El principio de inducción
A partir de estas afirmaciones se deducen todas las demás propiedades de los
números naturales:
Suma: n+m
Producto: n.m
Propiedades de la suma y del producto:
Asociativa:
(n + m) + k = n + (m + k),
Conmutativa: n + m = m + n,
(n.m).k = n.(m.k)
n.m = m.n
La multiplicación tiene elemento neutro que es el 1, es decir, n.1 = n para
cualquier n ∈ N.
La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
n.(m + k) = n.m + n.k
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Los números naturales. El principio de inducción
Relación de orden
Un número natural, n, es menor que otro, m, n < m, cuando existe un número
natural s tal que n + s = m
Nota: El principio de inducción sólo se puede aplicar a los números naturales
Principio del buen orden
Todo conjunto no vacı́o de números naturales contiene un elemento menor que
todos los demás.
Desigualdad de Bernoulli
Si x ≥ −1, entonces (1 + x)n ≥ 1 + n · x para todo n ∈ N.
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1.2: Números reales
Axiomas algebraicos
A1) Conmutatividad de la suma y de la multiplicación:
x + y = y + x;
x ·y =y ·x
A2) Asociatividad de las operaciones:
x + (y + z) = (x + y ) + z;
x · (y · z) = (x · y ) · z
A3) Distributiva:
x · (y + z) = x · y + x · z
A4) Elementos neutros: el cero, 0, para la suma.
El uno, 1, para la multiplicación
A5) Elementos simétricos:
Suma: el simétrico de x es −x pues x + (−x) = 0.
Multiplicación: el simétrico de x 6= 0 es 1/x pues x · (1/x) = 1.
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Números reales
Axiomas de orden
Existe una relación binaria “de orden” que denotaremos por x ≤ y , “x menor o
igual que y ” con las siguientes propiedades:
A6) “≤” es una relación binaria de orden total.
Reflexiva: x ≤ x para todo x ∈ R
Antisimétrica: x ≤ y e y ≤ x ⇒ y = x
Transitiva: x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z ∀x, y , z ∈ R
Orden total: Para cada dos elementos x, y ∈ R se cumple una de las dos
relaciones
x ≤ y ó y ≤ x
A7) La relación de orden “≤” es compatible con la suma y con el producto:
x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,
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∀x, y , z ∈ R
x ≤ y , 0 ≤ z ⇒ x · z ≤ y · z,
∀x, y , z ∈ R
x ≤ y , z ≤ 0 ⇒ y · z ≤ x · z,
∀x, y , z ∈ R
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Números reales
Nota
Si x ≤ y y x 6= y ⇒ x < y
Proposición
Si x ∈ R y x 6= 0, entonces x 2 > 0. En particular, 1 > 0.
Si x ≤ y y c ≤ d, entonces x + c ≤ y + d.
x > 0 ⇔ 1/x > 0.
Si x > 0, entonces x ≤ y ⇔ 1/y ≤ 1/x.
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Números reales
Definición (cota superior)
Sea S un subconjunto no vacı́o de R. Se dice que un número real M es una cota
superior de S si x ≤ M para todo x ∈ S. Si existe M se dice que S está acotado
superiormente por M.
Definición (supremo)
Sea S un subconjunto no vacı́o de R. Se dice que α es el supremo de S, y se
denota α = sup S, si α es cota superior de S y además es la menor de las cotas
superiores, es decir, α ≤ M para toda M cota superior de S.
Axioma de completitud
A8) Todo conjunto no vacı́o de números reales que sea acotado superiormente
tiene supremo en R.
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Números reales
Proposición (supremo)
α ∈ R es supremos de S ⊂ R, S 6= ∅, si:
x ≤ α, para todo x ∈ S
Para cada > 0, existe x ∈ S tal que α − < x < α
Definición (cota inferior)
Sea S un subconjunto no vacı́o de R. Se dice que un número real N es una cota
inferior de S si N ≤ x para todo x ∈ S. Si existe N se dice que S está acotado
inferiormente por N.
Definición (ı́nfimo)
Sea S un subconjunto no vacı́o de R. Se dice que β es el ı́nfimo de S, y se denota
β = inf S, si β es cota inferior de S y además es la mayor de las cotas inferiores,
es decir, N ≤ β para toda N cota superior de S.
Propiedad del ı́nfimo
Todo conjunto no vacı́o de números reales acotado inferiormente tiene ı́nfimo.
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1.3: Primeros teoremas. Consecuencias del axioma de
completitud
Proposición (Propiedad Arquı́mediana)
Dados x, y ∈ R con 0 < y , entonces existe n ∈ N tal que x < ny
Corolario
N no está acotado superiormente.
Z no está acotado ni superior ni inferiormente.
Proposición
Para cada x ∈ R existe un único m ∈ Z que verifica que m ≤ x < m + 1.
Proposición
Todo número real positivo √
tiene raı́z cuadrada positiva única. Es decir, si x ∈ R
con x > 0 entonces existe x ∈ R.
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Primeros teoremas. Consecuencias del axioma de
completitud
Teoremas de densidad en R
Teorema
Si x e y son dos números reales tales que x < y , entonces existe un número
racional r ∈ Q tal que x < r < y .
Teorema
Si x e y son dos números reales tales que x < y , entonces existe un número
irracional r ∈ R \ Q tal que x < r < y .
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1.4. Valor absoluto. Potencias y raı́ces
Definición
Sea x ∈ R, se define su valor absoluto como
x si x ≥ 0
|x| :=
−x si x < 0
Proposición
Para todo x, y ∈ R se cumplen:
|x| ≥ 0. Además, |x| = 0 si y sólo si x = 0.
|x · y | = |x| · |y |
|x + y | ≤ |x| + |y | (desigualdad triangular)
||x| − |y || ≤ |x − y |
|x| = | − x|, x = max{x, −x}
Si c > 0, entonces |x| ≤ c si y sólo si −c ≤ x ≤ c.
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Valor absoluto. Potencias y raı́ces
Definición (Distancia)
Sean x, y ∈ R, se define la distancia de x a y como el número real
d(x, y ) := |x − y |
Propiedades
d(x, y ) = 0 ⇔ x = y
d(x, y ) = d(y , x)
d(x, z) ≤ d(x, y ) + d(y , z)
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Valor absoluto. Potencias y raı́ces
Definición (Potencia de un número real)
Sea x ∈ R, se define x 1 = x, x n+1 = x · x n para todo n ∈ N.
Propiedades
x n · x m = x n+m
(x n )m = x n·m
0 < x < y ⇒ 0 < xn < yn
Si x > 1, entonces x n+1 > x n
Si 0 < x < 1, entonces x n+1 < x n
x n − y n = (x − y )(x n−1 + x n−2 · y + . . . + x · y n−2 + y n−1 )
x > 0, y > 0 y x n < y n para algún n ∈ N ⇒ x < y
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Valor absoluto. Potencias y raı́ces
Teorema (Existencia de la raı́z enésima de un número real)
Para cada x ∈ R, x > 0 y para cada número natural n existe un único número real
y >√
0 tal que y n = x. Al número y definido unı́vocamente por x, se le representa
por n x ó x 1/n , además
√
n
x = sup{r ∈ Q : r n < x}
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1.5. Números complejos
Existe un número i tal que i 2 = 1
Definición
Definimos C como el conjunto de todos los números de la forma a + bi, a, b ∈ R.
La suma y el producto se definen de la siguiente forma:
(a + bi)+(c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi)·(c + di) = (a · c − b · d) + (a · d + b · c)i
Proposición
(C, +, ·) es un cuerpo no ordenado que contiene a R como subcuerpo mediante la
identificación a ≡ a + 0i para cada a ∈ R
Suma: 0 + 0i es el elemento neutro, el opuesto de a + bi es −a − bi
Producto: 1 + 0i es la unidad, el inverso de a + bi 6= 0 es
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a
a2 +b 2
−
b
a2 +b 2 i
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Números complejos
Definición
Sea z = a + bi ∈ C. Se dice que a es la parte real de z, a = Re(z), y que b es la
parte imaginaria de z, b = Im(z).
Para cualquier z = a + bi ∈ C, e llama conjugado de z, z, al número complejo
definido por
z = a − bi.
Para cualquier z = a + bi ∈ C, e llama módulo de z, |z|, al número real definido
por
p
|z| = a2 + b 2 .
Propiedades
Re(z) =
z+z
2 ,
Im(z) =
z−z
2i
z + w = z + w, z · w = z · w
z =z ⇔z ∈R
|z · w | = |z| · |w |, |z + w | ≤ |z| + |w |, ||z| − |w || ≤ |z − w |
|z| = |z|, |z|2 = z · z
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Números complejos
Definición
Dado un número complejo no nulo z = a + bi 6= 0 se llama argumento principal
de z, y se denota por arg(z), al único número real θ ∈ (0, 2π] tal que
cos θ = √
a2
a
Re(z)
=
,
2
|z|
+b
sin θ = √
b
Im(z)
=
2
|z|
+b
a2
Forma trigonométrica y forma polar
Si z ∈ C, z 6= 0 y denotamos r = |z| y θ = arg(z) se verifica que
z = r (cos θ + i sin θ)
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ó brevementerθ
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Números complejos
Potencia enésima de un número complejo
Si z = a + bi = r (cos θ + i sin θ) y n ∈ N, entonces z n = r n (cos(nθ) + i sin(nθ))
Raı́z enésima de un número complejo
Dado un número complejo z ∈ C, z 6=√0 y n ∈ N, se dice que w ∈ C es la raı́z
enésima de z si w n = z. El conjunto n z representa al conjunto de las raı́ces
enésimas de z.
Si z = a + bi = r (cos θ + i sin θ), entonces las raı́ces enésimas son de la forma
w = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) donde
ρ=
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√
n
r,
ϕ=
θ + 2kπ
, k = 0, 1, . . . , n − 1
n
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