En la Fig. 5.14 se observa que existe una nivelación diferenciada

Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
En la Fig. 5.14 se observa que existe una nivelación diferenciada entre ambas
márgenes en la mayoría del cauce, lo que se traduce en que por tramos existe cierta
protección de una margen mientras que en la margen frontal no la hay. Nuevamente
se analizaron los tramos más bajos con ayuda de las imágenes de Google Earth (ver
Figs. 5.15 a 5.17).
10
ELEVACIONES (msnm)
9
Sitio 1, 2 y 3
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0+000
2+000
4+000
6+000
8+000
10+000
12+000
CADENAMIENTO
MARGEN IZQUIERDA
MARGEN DERECHA
Figura 5.14. Perfil de la nivelación de bordos del río Grijalva
Figura 5.15. Margen izquierda del puente Grijalva II. Sitio 1
253
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
Figura 5.16. Margen izquierda del río Grijalva en la zona del Muelle. Sitio 2
Figura 5.17. Aguas arriba, margen izquierda del río Grijalva en la zona del Muelle. Sitio 3
En todos los casos anteriores, se observa que nuevamente coinciden las manchas
de inundación de las Figs. 5.1 y 5.2, por lo que hay una correspondencia entre los
sitios críticos y las zonas con bordos discontinuos resultantes de los levantamientos
de campo.
254
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
3.
ESTUDIOS HIDRÁULICOS
Tanto la gerencia local de la CONAGUA como el INVITAB proporcionaron al IIUNAM
dos planos, en los que se señalan las zonas afectadas por las inundaciones en
octubre-noviembre de 2007.
3.1 Funcionamiento hidráulico de la Laguna Los Zapotes
Ubicación. Se analizó el funcionamiento hidrológico de la zona denominada: Laguna
Los Zapotes, con la finalidad de determinar su capacidad de regulación considerando
los gastos de ingreso provenientes del sistema de los ríos de la Sierra, la
precipitación sobre la laguna y los niveles del río Grijalva en sus gastos de egreso.
El análisis realizado sirvió para la elaboración de una Nota Técnica relativa a la altura
de los bordos de la zona del aeropuerto y los puentes Zapote I y II.
El área de estudio se localiza al sureste de la Ciudad de Villahermosa, y tiene una
extensión aproximada de 150 km2. En la Fig. 5.18 se muestra su ubicación en
relación con la Ciudad de Villahermosa, Tabasco y los bordos: Aeropuerto (al norte) y
Gaviotas (al oeste).
Bordo Derecho del cauce
alivio hasta El Mango y San
Cipriano
ESTRUCTURA DE CONTROL
DREN CENTRAL No. 1
DREN
CENTR
No. 1
(PARTE AL
I)
Proyecto Lomitas
Rectificación del
río Medellín
UNDUACÁN
Bermúdez
Bordo
Aeropuerto
DR
No. EN C
1 (P EN
AR TRA
TE L
II)
ESTRUCTURA DE CONTROL
FELIPE GALVAN
ESTRUCTURA DE CONTROL
ARROYO HONDO
ESTRUCTURA DE CRUCE
CARRETERA FERDERAL
VILLAHERMOSA
Bordo
Gaviotas
Bordo Parrilla
iento:
D.
Est. de control
río Pichucalco
Canal hacia la
laguna Sabanilla
PARRILLA
Est. de control
río La Sierra
Bordo Playas del
Rosario M.I.
M.I. río Grijalva
PLAYAS DEL
ROSARIO
Camino
P.del Rosario Huasteca
Camino
a San Isidro
PUEBLO
NUEVO
Camino P. del
Rosario - P. Nuevo
Camino
Astapa - P.Nuevo
Rectificación de
caminos
Camino
Jalapa - Astapa
JALAPA
Figura 5.18. Ubicación de la laguna Los Zapotes en el área de estudio
255
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
Capacidad de regulación. A partir de un levantamiento aerofotogramétrico,
realizado en el año 2000 que proporcionó Comisión Federal de Electricidad (CFE),
(Fig. 5.19), se elaboró la curva de Áreas-Capacidades de la zona de estudio.
3
3
3
7
6
7
3
7
3
7
7
3
3
3
7
7
3
OT
RÍ
T AL
AC O
PAN
PU B LO N U E VO D E LA S R AI C ES
7
7
5
7
6
6
7
20
5
7
7
5
Laguna el Oshal
7
6
5
7
6
6
7
FCO. J. STA. MARIA
7
A V IL LA
H ER MOS
A
B EN I T O
JU AR EZ
R ÍO
TA
CAT
ALPA
A V IL LA
12
10
12
10
12
11
12
13
12
12
12
12
12
13
A R ROY
O E LZ
A P OTE
a
l oma
s
tristes
a entronque car rete ra
ar
ch
ri a
sa
n
mi guel
JAL APA
A
RÍO
TACOTALP
A R R OY O EL
Z AP OTE
Figura 5.19. Topografía con curvas de nivel de la zona de estudio.
Fuente: CFE, 2000
La curva de áreas-capacidades se muestra en la Fig. 5.20, en ella se puede observar
que para una elevación de 10 m se cuenta con una superficie de 14 500 Ha (145
km2) y una capacidad potencial de 725 hm3.
En el bordo aeropuerto, existen dos zonas de descarga de agua de la laguna Los
Zapotes hacia el río Grijalva; dichas salidas dependen de la diferencia de niveles
entre la laguna y el río Grijalva, por lo que su máxima capacidad de almacenamiento
es únicamente teórica, ya que las salidas descargan un volumen considerable en
tiempo real.
256
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
AREAS (ha)
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
ELEVACIONES (msnm)
10
16,000
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
ELEVACIONES (msnm)
0
0
800
3
VOLUMENES (Mm )
VOLUMENES
AREAS
Figura 5.20. Curva de Elevaciones-Capacidades de la laguna Los Zapotes
Puentes Los Zapotes.
Los puentes Zapotes I y II son las salidas de la Laguna. En octubre de 1999, la
Gerencia Estatal de la CONAGUA, aforó las secciones de los Puentes denominados
Zapotes I y Zapotes II, los cuales se ubican sobre el bordo Aeropuerto (Fig. 5.21)
RIO GRIJALVA
PUENTE ZAPOTES I
PUENTE ZAPOTES II
LAGUNA LOS ZAPOTES
Figura 5.21. Ubicación de los puentes Los Zapotes I y II
257
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
Tabla 5.1. Registro de aforos en los Puentes Zapotes I y II
GASTO AFORADO (m3/s)
FECHA
28/10/99 10:00 horas
29/10/99 10:00 horas
29/10/99 16:00 horas
30/10/99 10:00 horas
31/10/99 10:00 horas
01/11/99 12:00 horas
ZAPOTES I
500.62
452.87
373.71
311.21
288.49
ZAPOTES II
278.81
283.27
249.61
160.59
133.01
También se analizaron los registros y niveles de las estaciones hidrométricas
relacionadas con los Zapotes: Porvenir y Las Gaviotas (Fig. 5.22). La primera de
ellas en el río de la Sierra y la segunda sobre el río Grijalva, aguas abajo de la
conexión de agua del río Pichucalco con el río Grijalva desde los Puentes Zapotes I y
II.
Figura 5.22. Ubicación de las Estaciones Hidrométricas Gaviotas y Porvenir
258
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
En la Fig. 5.23 se presentan gráficamente los registros de las estaciones antes
mencionadas correspondientes a las fechas de la Tabla 5.1, con la finalidad de hacer
una comparación de los niveles de agua de la laguna Los Zapotes, y las estaciones
Porvenir y El muelle.
ELEVACIONES (msnm)
7.50
7.30
7.10
6.90
6.70
6.50
6.30
6.10
5.90
EH Porvenir contínuo
EH Porvenir
Estimación Laguna Los Zapotes
01/Nov 12:00 a.m.
31/Oct 12:00 a.m.
30/Oct 12:00 a.m.
29/Oct 12:00 a.m.
28/Oct 12:00 a.m.
27/Oct 12:00 a.m.
26/Oct 12:00 a.m.
25/Oct 12:00 a.m.
24/Oct 12:00 a.m.
23/Oct 12:00 a.m.
22/Oct 12:00 a.m.
21/Oct 12:00 a.m.
20/Oct 12:00 a.m.
5.50
19/Oct 12:00 a.m.
5.70
E El Muelle
Figura 5.23. Registros hidrométricos de las estaciones Porvenir, El Muelle y
laguna Los Zapotes
3.2 Funcionamiento hidráulico de los principales ríos del sistema del drenaje
superficial
Para hablar de los principales ríos del sistema de drenaje superficial, es necesario
considerar el sistema Grijalva-Usumacinta, el cual pertenece a la Región Hidrológica
No. 30 y es la más importante del país. La RH 30 está ubicada en el sureste de la
República Mexicana y comprende parte de los estados de Chiapas, Tabasco,
Campeche y Oaxaca. Una porción importante de sus escurrimientos proviene de la
República de Guatemala.
La zona de la planicie que conforman los ríos Grijalva y Usumacinta, antes de su
desembocadura al Golfo de México, está formada por una gran cantidad de ríos,
arroyos y lagunas. Tanto por su conformación topográfica como por la ocurrencia de
fenómenos meteorológicos locales, así como por los grandes caudales que escurren
normalmente desde las partes altas, se considera una zona susceptible de ser
inundada a partir del mes de agosto y hasta los meses de enero y febrero. El
desarrollo de los asentamientos humanos y la generación de actividades productivas
en la zona han sido determinados en gran medida por esa condición y, a su vez, este
desarrollo ha afectado la capacidad de regulación natural existente en la planicie.
259
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
Hoy en día, a pesar de que el escurrimiento del río Grijalva está prácticamente
controlado antes de entrar en la zona de la llanura, gracias a los grandes
almacenamientos de las presas La Angostura y Malpaso, el peligro de inundación en
la ciudad de Villahermosa, así como en otras zonas urbanas y rurales en el estado
de Tabasco, sigue latente. Incluso, los daños potenciales se han incrementado por el
crecimiento urbano descontrolado, por el incremento de la erosión en sus partes
altas y por el cambio de uso de suelo con fines productivos y de comunicación, en
zonas que en forma natural permitían la regulación y el drenaje de las crecientes.
El esquema de drenaje de la zona de estudio se divide en tres sistemas principales:
El sistema Mezcalapa-Samaria, que permite la conducción hasta el mar de los
escurrimientos excedentes provenientes de la cuenca alta del río Grijalva; el de los
ríos de la Sierra, que conduce los excedentes de dichos ríos a la región lagunar de la
cuenca baja de los ríos Grijalva y Usumacinta; y, por último, el Carrizal-Medellín, que
conduce los escurrimientos del río Carrizal hacia el mar, por medio de la
rehabilitación de un pequeño cauce del río Medellín.
De esta manera se utilizó la cartografía existente, en formato digital como impresa
para obtener un plano base de trabajo (Fig. 5.24) de la red de drenaje superficial del
Estado.
L. STA. ANA
B A S C O
T A
RÍO
TU
LIJ
A
PROGRAMA HÍDRICO INTEGRAL TABASCO 2008
RED DE DRENAJE PRINCIPAL Y SECUNDARIA
DR. ÓSCAR A. FUENTES MARILES
MI JUAN JAVIER CARRILLO SOSA
MI FAUSTINO DE LUNA CRUZ
MI JUAN ANSBERTO CRUZ
MI JUAN GABRIEL LÓPEZ
NOVIEMBRE 2008
INSTITUTO
DE INGENIERÍA
UNAM
TALLER DE MODELOS
MATEMÁTICOS EN RIOS Y
PLANICIES DE INUNDACIÓN
Figura 5.24. Red de drenaje superficial del Estado de Tabasco
260
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
3.3 Modelación matemática para estimar zonas inundables
La resolución de problemas con información y datos recolectados de fenómenos
físicos adquiere día a día mayor auge como herramienta en la solución de problemas
de carácter nacional. La modelación matemática de ríos y llanuras en las condiciones
en que se encuentre la zona de estudio sirve por un lado para calibrar los resultados
de la modelación y, por otro lado, una vez que se ha desarrollado un diagnóstico de
las condiciones actuales y de escenarios asociados a diferentes periodos de retorno,
para proponer las acciones estructurales y estrategias para disminuir los efectos
negativos que pudieran ocasionar las crecientes y desbordamientos en poblaciones e
infraestructura.
Asimismo, los resultados numéricos de los modelos hidráulicos pueden utilizarse
para obtener resultados gráficos más dinámicos y aplicables a la cartografía básica
de la planeación, el desarrollo de proyectos y la toma de decisiones en las
estrategias como el ordenamiento territorial y los planes de protección civil.
3.3.1 Cálculo de flujo unidimensional en ríos con flujo permanente empleando el
método del Instituto de Ingeniería
En el IIUNAM, se aplicó un método desarrollado en esa institución para el cálculo del
flujo permanente en cauces naturales por medio de un programa de cómputo. Este
método consta de tres partes. En la primera de ellas reconoce los datos
correspondientes a las secciones transversales disponibles para generar en cada
una de ellas para distintos tirantes, variables hidráulicas tales como son: áreas
hidráulicas, radio hidráulico, perímetro mojado y ancho de superficie libre. La
segunda parte se aboca a la interpolación entre secciones transversales, para
disponer de tramos de ríos que sean tengan longitud menor a una que se considere
razonable para el estimado de las pérdidas de carga por fricción. El producto de esta
parte del programa se puede entender como si se tratase de incluir secciones
transversales adicionales a las existentes. En la última, se consideran datos como el
tirante en la frontera aguas abajo, el coeficiente de rugosidad de la fórmula Manning;
y el gasto. Con base en esta información se obtiene el perfil del flujo permanente
gradualmente variado y los valores en las secciones transversales proporcionadas de
los tirantes, área hidráulica, ancho de superficie libre, velocidades medias entre
otros. Como son conocidas las cotas de los barrotes del río en las secciones, se
dibujan junto con las de la superficie libre el agua y el fondo del cauce (talweg).
A continuación se describen los principales aspectos del modelo numérico
desarrollado en el IIUNAM.
261
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
3.3.1.1
Secciones transversales
Como los cauces naturales tienen secciones irregulares, el método numérico
considera que dichas secciones están definidas por una serie de puntos contenidos
en un plano vertical. Por tanto, se proporcionan las coordenadas de esos puntos de
manera que permitan definir con una adecuada aproximación a la forma de la
sección transversal. Para una sección transversal se pueden escoger hasta 50
puntos.
En la Fig.5.25 se presenta un ejemplo de una sección real y la configuración
generada a partir de 15 puntos; a ésta última se le denominará en adelante sección
discretizada.
Figura 5.25. Sección de río, sección real y sección discretizada
En la Fig. 5.26 se muestra el dibujo de la sección discretizada del cauce del río. Se
identifican las abscisas X(i) y las ordenadas Z(i) respecto a un sistema de ejes
cartesiano ubicado a la izquierda de la sección transversal.
z
ΔT
T( i )
x
Figura 5.26. Tirantes considerados en cada sección discretizada del cauce natural
De acuerdo con la Fig. 5.26, se considera que en cada sección transversal el tirante
se define como:
262
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
T (i ) = (i − 1) ΔT
3.3.1.2
(1)
Variables hidráulicas
Para cada tirante de interés T (i ) se obtienen las variables hidráulicas siguientes:
el ancho de superficie libre B, está definido por:
N
B = ∑ b( m )
1
(2)
el área hidráulica A, a partir de trapecios, es:
N
A = ∑ a( m )
1
(3)
y el perímetro mojado P, es igual a:
N
P = ∑ p( m )
1
(4)
donde b(m) y a (m) son el ancho de la superficie libre y área del trapecio m , la
contribución al perímetro mojado del trapecio m y, N es el número de trapecios (ó
triángulos al inicio y al final de las sumas) formados en la sección transversal para el
tirante T ( j ) .
Para cada tirante T ( j ) se dispone de los valores correspondientes de B(j), A(j), P(j) .
con lo cual se forma una tabla para cada sección transversal.
3.3.1.3
Factor de fricción
La pendiente de la línea de fricción se obtiene a partir de la fórmula de Manning de la
manera siguiente:
Sf =
V 2n2
r
4
3
(5)
En términos del gasto se escribe como:
Sf =
V 2 n 2 A2 Q 2 n 2
=
4
4
2
r 3 A
A2 r 3
(6)
Por lo que la pérdida de carga por fricción, está dada por:
263
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
j +1
Q2n2
j
A2 r
hf = ∫
4
dl
3
(7)
Si la integral se resuelve en forma numérica mediante la regla trapezoidal resulta
⎛
Q 2n2
1 Q 2n2
+
h f = ⎜⎜
2 ⎜ A 2 r 43 A 2 r 43
j
j
⎝ j +1 j +1
⎞
⎟ΔL
⎟⎟
⎠
(8)
la hf es función del gasto (cuando no hay ingresos ni egresos laterales no cambia), el
área hidráulica y radio hidráulico en las secciones transversales en los extremos del
tramo de cauce natural en análisis ( j y j + 1 ) así como del coeficiente de fricción
de Manning.
3.3.1.4
Energía específica
La energía específica en flujo permanente a superficie libre está dada como:
E = y +α
Q2
2 g A2
(9)
Generalmente en los ríos de planicie se presenta régimen subcrítico, de cumplirse
con esto, el tirante en cada una de las secciones transversales del río en estudio es
mayor al tirante crítico (tc) de ella. Por lo que en los cálculos necesarios para obtener
los tirantes no conocidos, se considera en cada sección transversal que el valor
mínimo del tirante es mayor al tirante crítico, tc, de la sección para el gasto de
interés.
Para obtener el mínimo de la función de energía específica se derivó la ec. 9 con
respecto al tirante y se igualó a cero dando:
α Q 2 dA
dE
=1−
=0
dy
g A3 dy
(10)
Ya que para cualquier sección la derivada del área respecto al tirante es igual al
ancho de la superficie libre:
dA
=B
dy
al sustituir la expresión anterior, se tiene:
264
(11)
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
1−
α Q2
g A3
B=0
(12)
o bien,
A3
Q2
−α
=0
B
g
(13)
Como el área hidráulica y el ancho de superficie libre son función del tirante, se tiene
que A = A( y ) y B = B ( y ) , la ecuación queda como:
[ A( y )] 3
Q2
−α
=0
B( y )
g
(14)
Para encontrar el tirante y que cumpla con la ec. 14, que es precisamente el tirante
crítico Yc, se empleó el procedimiento numérico de bisección (Fuentes, 1989).
El cálculo de A( y ) y B ( y ) se realiza a partir de los valores discretos del tirante
y = y (i ) por medio de una interpolación lineal.
•
Ecuación de conservación de la energía para flujo permanente a superficie libre
en régimen subcrítico.
La Fig. 5.27 representa la ecuación de la conservación de la energía entre las
secciones y y y+1.
y j+ 1
Q
yj
Zj
Δl
Figura 5.27. Perfil de las secciones j y j+1
De esta manera, se establece la ec. 15.
265
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
y j +1 +
v 2j +1
2g
+ Δzj = yj +
v 2j
2g
+ hf
(15)
donde Δz = z j +1 − z j en términos del gasto, por lo que:
Q2
Q2
y j +1 +
+ Δzj = yj +
+ hf
2 gA2j +1
2 gA2j
(16)
Sustituyendo:
y j +1 +
⎛
1 ⎜ Q2n2
Q2
Q2
Q 2n2
+
Δ
z
=
y
+
+
+
j
j
2 gA 2j +1
2 gA 2j 2 ⎜⎜ A 2 r 4 3 A 2 r 4 3
j
j
⎝ j +1 j +1
⎞
⎟ΔL
⎟⎟
⎠
(17)
Ya que 1/r2/3 = (P/A)2/3 al factorizar se tiene:
y j +1 +
4/ 3
Pj4 / 3 ⎞
Q2
Q2
Q 2 n 2 ΔL ⎛⎜ Pj +1
⎟
+
Δ
=
+
+
+
z
y
j
j
⎜ A10 / 3 A10 / 3 ⎟
2 gA2j +1
2 gA2j
2
+
j
j
1
⎝
⎠
(18)
Agrupando los términos y+1 y los y, se llega a:
y j +1 +
4/3
4/ 3
Q2
Q 2 n 2 ΔL Pj
Q2
Q 2 n 2 ΔL Pj +1
z
y
−
+
Δ
=
+
+
j
j
/3
2 gA2j +1
2
2 gA2j
2
A10
A10j +1/ 3
j
(19)
4/3
⎛ Q2 ⎞ ⎡ 1
⎛ Q2 ⎞ ⎛ 1
⎛ Q2 ⎞ ⎡ 1
⎛ Pj ⎞ n 2 ΔL ⎤
⎞⎤
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎢
⎥ −Δ zj
⎜
+
y j +1 +
− F j +1 ⎟⎟⎥ = y j +
− y j +1 +
2 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ A 2 ⎟ ⎜⎝ 2 g
⎜ A 2 ⎟ ⎢⎢ 2 g
2
2
g
A
A
⎢
⎥
⎠⎦⎥
⎝ j⎠
⎝ j ⎠⎣
⎝ j +1 ⎠
⎝ j +1 ⎠ ⎣
⎦
(20)
La ecuación 20 se puede escribir de la forma siguiente:
⎛ Q2 ⎞ ⎛ 1
⎛ Q2 ⎞ ⎛ 1
⎞
⎞
y j +1 + ⎜ 2 ⎟ ⎜⎜
− F j +1 ⎟⎟ = y j + ⎜ 2 ⎟ ⎜⎜
+ F j ⎟⎟ − Δ z j
⎜ A ⎟ ⎝ 2g
⎜ A ⎟ ⎝ 2g
⎠
⎠
⎝ j +1 ⎠
⎝ j ⎠
ε −j +1
ε −j +1 = ε +j − Δz j
266
ε +j
(21)
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
Sí
F j +1 =
4/3
n 2 ΔL Pj +1
2 A 4j +/13
y
F=
4/3
n 2 ΔL Pj
2 A 4j / 3
(22)
Como en flujo subcrítico son conocidas las condiciones en la sección aguas abajo ( y
) se sabe el valor de ε +j y dado que también se tiene el valor de Δz j , sea
K j = ε +j − Δz j . Se trata de proponer un valor de y j +1 y con el calcular A j +1 y F j +1 de
tal manera que se cumpla la ecuación:
⎛ Q2 ⎞ ⎛ 1
⎞
y j +1 + ⎜ 2 ⎟ ⎜⎜
− F j +1 ⎟⎟ − K j = 0
⎜ A ⎟ ⎝ 2g
⎠
⎝ j +1 ⎠
(23)
Una vez que se determina el tirante y j +1 y se dispone de ε −j +1 se obtiene ε +j +1 por
medio de ε +j +1 = ε −j +1 + 2 F j +1 , para asignar a y el valor de y + 1 y repetir el proceso de
cálculo tantas veces como sea necesario.
Los resultados de este modelo se presentan en los Capítulos 7 y 8.
3.3.2 Cálculo de flujo no permanente gradualmente variado
De igual forma, que para el flujo permanente, el programa de cómputo para el cálculo
del flujo no permanente se compone de tres partes esenciales: la primera es el
preproceso donde se leen las condiciones iniciales o de frontera, se definen las
variables hidráulicas y se realiza un cálculo de calentamiento con un gasto base
calculado en el flujo permanente gradualmente variado. La segunda o proceso
consiste en calcular las variables hidráulicas dentro del cauce como son, por
ejemplo, los perfiles del flujo, áreas, gasto, velocidades con respecto al tiempo. La
tercera o posproceso permite ver en forma gráfica los hidrogramas de entrada al
sistema de ríos, mostrando el avance de cálculo de los mismos; los perfiles del
fondo; bordos del cauce y del flujo; las secciones transversales con su
correspondiente nivel de superficie libre; las secciones en planta que tienen
derrames; y en forma tabular, para cada sección el cadenamiento, elevación del
fondo del cauce, bordos, superficie libre del agua, tirantes, áreas, velocidades,
gastos de entrada al cauce, gastos de derrame derecho e izquierdo.
El modelo matemático descrito considera como flujo unidimensional al movimiento
del agua en el cauce natural y se limita al flujo en cauces y volúmenes de control
constantes en el espacio, en los que sólo se modifica el tirante hidráulico. El modelo
matemático resuelve las ecuaciones de continuidad y conservación de la cantidad de
movimiento utilizando diferencias finitas en su forma implícita:
∂ (AV )
∂Y
=B
∂x
∂t
(24)
267
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
⎡V ∂V 1 ∂V
⎤
∂Y
+ Sf ⎥
= −⎢
+
∂x
⎣ g ∂x g ∂t
⎦
(25)
donde
Y
A
V
B
g
Sf
x
t
elevación de la superficie del agua respecto a un plano horizontal de
referencia (suma del tirante más la cota de plantilla), en m
área hidráulica, en m2
velocidad media, en m·s-1
ancho de la superficie libre, en m
aceleración de la gravedad en, m·s-2
pendiente de la línea de energía, adimensional
distancia longitudinal, en m
Tiempo, en s
Para representar en diferencias finitas a la ec. 25 se toman en cuenta los volúmenes
de control, según la Fig. 5.28.
(i-1)
(i)
Gi,j
(i+1)
Yi-1,j
Yi, j
Ui-1,j
Vi, j
Yi+1,j
Ui, j
Vi+1,,j
Δx
PHC
Δx
Figura 5.28. Secciones a lo largo del cauce en diferencias finitas
Debido a que las elevaciones y velocidades varían con el tiempo y la posición, los
distintos términos de las ecuaciones de continuidad y conservación de la cantidad de
movimiento en su forma implícita, se escriben en diferencias finitas como:
(
)
(
1− θ
∂Y
θ
≅
Yi +1, j +1 − Yi , j +1 +
− Yi , j
Y
∂x
Δx i
Δx i i +1, j
)
(26)
V ∂V Vi + 1, j + 1 + U i , j + 1 ⎛
≅
⎜Vi + 1, j − U i , j ⎞⎟
⎝
⎠
g ∂t
2gΔx i
[
(27)
]
1 ∂V
1
≅
(U i , j +1 + Vi +1, j +1) − (U i , j + Vi +1, j )
g ∂t
2gΔt
268
(28)
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
Sf ≅
1 n2
U i . j + Vi +1, j (U i , j + 1 + Vi + 1, j + 1 )
4 ri 4,j/ 3
(29)
∂( AV ) Ai + 1, j Vi + 1, j + 1 − Ai , j U i , j + 1
≅
∂x
Δx i
B
(30)
∂Y Bi + 1, j + Bi , j
≅
(Yi + 1, j + 1 + Yi , j + 1 ) − (Yi + 1, j + Yi , j )
∂t
4 Δx i
[
]
(31)
Donde θ , es un factor de peso que sirve para calcular promedios ponderados en el
tiempo con la finalidad de mejorar la aproximación de las derivadas temporales.
Sustituyendo estas, se obtiene:
(
Ai , j U i , j +1 − Ai +1, jVi +1, j +1 = Fi , j Yi +1, j +1 + Yi , j +1 − Yi +1, j − Yi , j
Ci , j U i , j +1 − Ci , jVi +1, j +1 = Yi +1, j +1 − Yi , j +1 + Di , j
donde
Fi , j =
Ci , j =
Di , j =
U i , j − Vi +1, j
2gθ
1− θ
θ
−
(
Δx i
Bi +1, j + Bi , j
4Δt
)
Δx i
Δx n 2
− i 4 / 3 U i , j + Vi +1, j
2gθΔt 4θ ri , j
(Yi + 1, j − Yi , j ) −
Δx i
(U i , j + Vi , j )
2gθΔt
)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
Así, se forma un sistema lineal no homogéneo en U i , j +1 y Vi +1, j +1 , cuya solución se
escribe como:
U i , j +1 = Pi , j Yi +1, j +1 + Qi , j Yi , j +1 + Ri , j
(37)
Vi , j +1 = Si , j Yi +1, j +1 + Ti , j Yi , j +1 + Wi , j
(38)
En estas expresiones
269
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
Fi , j
Pi , j =
Ai , j + Ai + 1, j
Fi , j
Qi , j =
Ai , j + Ai + 1, j
Ai + 1
C i , j ( Ai , j + Ai + 1, j )
+
C i , j ( Ai , j + Ai + 1, j )
C i , j + ( Ai , j + Ai + 1, j )
Ai , j
Si , j =
C i , j ( Ai , j + Ai + 1, j )
Ai , j
C i , j Ai , j + Ai + 1, j
Wi, j =
(39)
Ai + 1, J
Di , j Ai + 1, j
Ri, j =
Ti , j =
+
+
−
−
(40)
Fi , j (Yi + 1, j + Yi , j )
( Ai , j + Ai + 1, j )
(41)
Fi , J
( Ai , j + Ai +1, j )
(42)
Fi , J
Ai , j + Ai + 1, j
Di , j Ai + 1, j
C i , j + ( Ai , j + Ai + 1, j )
+
(43)
Fi , j (Yi + 1, j + Yi , j )
( Ai , j + Ai + 1, j )
(44)
Cuando la relación de continuidad se establece en la sección i (ver Fig. 5.30), se
obtiene
Ai , j U i , j +1 + θGi , j +1 + (1 − θ )Gi , j = Ai , jVi +1, j +1
(45)
Sustituyendo las ecuaciones 39 a 44 en la 45, se obtiene:
Ti − j Yi , j −1 + (Qi , j − Si −1, j )Yi , j + 1 + Pi . j Yi + 1, j + 1] = W i −1, j − R i , j +
1
(θGi , j + 1 + (1 − θ )Gi , j
Ai , j
(46)
La ec. 46 se plantea en las secciones intermedias, pero cuando el flujo es subcrítico,
se requieren dos ecuaciones adicionales, una en cada extremo del río, mismas que
se desarrollan más adelante. Estas tres ecuaciones, forman un sistema de
ecuaciones lineales tridiagonal, cuyas incógnitas son las elevaciones Yi en la etapa
de cálculo j + 1 . Una vez obtenidas las elevaciones, las velocidades de llegada Vi , j +1
y de partida U i , j +1 , se calculan con las ecuaciones descritas.
En las secciones inicial y final deben fijarse las condiciones de frontera, las cuales se
determinan de acuerdo con el problema en estudio. Por ejemplo, para el caso
particular de flujo subcrítico la condición de frontera aguas arriba se obtiene de la
manera siguiente:
270
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
En la primera sección i = 1 , se propone como condición que el gasto de ingreso es
conocido, de modo que el gasto G1 promedio es igual al de salida A1, j U 1, j +1 , esto es:
Qi , j Y1, j + Pi . j Y1, j = −R1, j +
[
1
(θGi , j + 1 + (1 − θ )Gi , j
Ai , j
]
(47)
Como condición de frontera aguas abajo, se considera que la elevación de la
superficie libre del agua conocida es Y f 1 , por lo que las velocidades en el último
tramo son las siguientes:
U M −1, j +1 = PM −1, j YF + QM −1,YM −1, j + RM −1, j
(48)
VM −1, j +1 = SM −2YM −1, j +1 − TM −2, j YM −2, j +1 + WM −2, j
(49)
Ahora bien sí se propone la ecuación de continuidad en la penúltima sección
i = M − 1 se tiene:
3TM −2, j YM −2, j +1 + (QM −1, j − SMi −2, j )YMi−1, j = WM −2, j − RM −1, j −
1
AM −1
[θGM−1, j +1 + (1− θ )GM−1, j ] − PM−1, jYF
(50)
Para asegurar que la descarga de esta sección sea con una elevación del agua
mayor o igual a la mínima (la asociada al tirante crítico y cj para el instante j ), se
emplea la ecuación siguiente:
Acj
Bcj
=
VMj
g
(51)
donde:
Acj
área correspondiente al tirante crítico en m2
Bcj
ancho de la superficie libre correspondiente al tirante crítico en m
Vmj
velocidad de entrada en la sección M para el instante j en m·s
Y F , queda definido de la manera siguiente:
YF =
donde
ZF
YF
y f + Z F , sí y F > y cj
y cj + ZF sí y F ≤ y cj
,
(52)
elevación del fondo de la sección i = M , en m
es el tirante conocido de la sección, en m
271
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
El procedimiento de cálculo aquí descrito se aplica en el modelo matemático
desarrollado por el IIUNAM y sirve para determinar los volúmenes de
desbordamiento a partir de los hidrogramas en las secciones transversales del
cauce.
3.3.3 Modelo numérico para simular inundaciones en llanuras
Para determinar las áreas de inundación, profundidades, velocidades y direcciones
del flujo, se presenta un modelo numérico que permite obtenerlos y, a partir de ello,
elaborar mapas de inundación.
El modelo numérico desarrollado en el Instituto de Ingeniería, hace la simulación
numérica de inundaciones provocadas por avenidas en planicies; por lo que fue
aplicado en este estudio.
El carácter dinámico de las inundaciones hace necesario emplear modelos
matemáticos que, por lo menos, incluyan ecuaciones de flujo en dos dimensiones
(Fuentes, et al 1997), a través de las ecuaciones de conservación de cantidad de
movimiento (ecs. 53 y 54) y ecuación de continuidad (ec. 55).
2
∂h ∂z
1 ∂u n u u
+ 4/3 = −
−
g ∂t
∂x ∂x
h
(53)
2
∂h ∂z
1 ∂v n v v
+ 4/3 = −
−
g ∂t
∂
y ∂y
h
∂h ∂
∂
+
uh +
vh = 0
∂t ∂x
∂y
(54)
(55)
donde
Sfx =
Sfy =
n2 u u
h4/3
n2 v v
g
u v
h
n
x y z
t
pendiente de fricción en las direcciones x y y ,
adimensional
h4 / 3
aceleración de la gravedad, en m·s-2
componentes de la velocidad en las direcciones x y
y , adimensional
nivel de la superficie libre del agua con respecto al
nivel del terreno, en m
En, s·m-1/3
direcciones del sistemas de ejes cartesiano derecho
Tiempo, en s
Para calcular el flujo en una planicie de inundación se debe resolver el sistema de
ecuaciones anterior considerando condiciones iniciales y de frontera. Dado que no
272
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
existe un método analítico para encontrar la solución, se propone un método
numérico de diferencias finitas.
Sea el área de inundación en proyección horizontal dividida en celdas con longitud a
lo largo del eje x ( Δx ) y del eje y (Δy ) (Fig. 5.29).
Figura 5.29. Arreglo de celdas considerado en el método numérico
para el área de inundación
3.3.3.1
Ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento
Las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento son:
uu +α
v v +α
1 ∂u
⎡ ∂h ∂z ⎤
= −α ⎢ + ⎥
g ∂t
⎣ ∂x ∂x ⎦
(56)
⎡ ∂h ∂z ⎤
1 ∂v
= −α ⎢ + ⎥
g ∂t
⎣ ∂y ∂y ⎦
(57)
donde
α=
h4/3
n2
(58)
Así, para el componente de la velocidad en dirección del eje x (ec. 59), se puede
expresar en diferencias finitas del modo siguiente:
273
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
u ip++11/ 2, j
u ip++11/ 2, j
u ip++11/ 2, j − u ip+1/ 2, j
+ α ip+1/ 2, j
gΔt
=
−α ip+1/ 2, j
⎡hp − hp
z i +1, j − z i , j
i, j
⎢ i +1, j
+
Δx
Δx
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
(59)
En la ec. 59, i y j son subíndices que se emplean para ubicar en el espacio a las
literales de interés (Fig. 5.29) y p es un superíndice que representan el instante en
que se considera a dichas literales.
Reescribiendo la ec. 59, se tiene
u ip++11/ 2, j u ip++11/ 2, j + B x u ip++11/ 2, j + C x = 0
(60)
siendo
Bx =
α ip+1/ 2, j
Cx =
gΔt
α ip+1/ 2, j
Δx
(h
p
i +1, j
)
− hip, j + z i +1, j − z i , j −
α ip+1/ 2, j
gΔ t
u ip+1/ 2, j
(61)
donde
α ip+1/ 2, j
⎛ hp + hp
i +1, j
i, j
= ⎜⎜
2
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
4/3
1
n i2+1/ 2, j
y
n i +1/ 2, j =
n i , j + n i +1, j
2
(62)
Para resolver la ecuación anterior se consideran dos casos:
Cx ≤ 0
(
La velocidad u ip++11/ 2, j tiene que ser positiva, esto es u ip++11/ 2, j u ip++11/ 2, j = u ip++11/ 2, j
)
2
con lo cual la ecuación queda como una ecuación de segundo grado, cuya
solución es:
u ip++11/ 2, j =
1⎛
2
⎜ − B x + B x − 4C x ⎞⎟
⎠
2⎝
(63)
Cx > 0
La
u ip++11/ 2, j
velocidad
− u ip++11/ 2, j
− u ip++11/ 2, j
=
(
tiene
) con
que
ser
negativa,
esto
es
2
− u ip++11/ 2, j
lo cual la ecuación 6.9 queda como una
ecuación de segundo grado, cuya solución es:
u ip++11/ 2, j =
274
1⎛
2
⎜ B x − B x − 4C x ⎞⎟
⎠
2⎝
(64)
Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…
Siguiendo un razonamiento similar para el componente de la velocidad en dirección
del eje y (ec. 61), se tiene:
v ip, j++11/ 2 v ip, j++11/ 2 + B y v ip, j++11/ 2 + C y = 0
(65)
siendo:
By =
β ip, j +1/ 2
gΔt
,
Cy =
β ip, j +1/ 2
Δy
(
hip, j +1
− hip, j
)
+ z i , j +1 − z i , j −
β ip, j +1/ 2
gΔt
v ip, j +1/ 2
(66)
donde
β ip, j +1/ 2
⎛ hp + hp
i , j +1
i, j
= ⎜⎜
2
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
4/3
1
n i2, j +1/ 2
n i , j +1/ 2 =
y
n i , j + n i , j +1
2
(67)
De esta forma para:
Cy ≤ 0
v ip, j++11/ 2 =
1⎛
2
⎜ − B y + B y − 4C y ⎞⎟
⎠
⎝
2
(68)
v ip, j++11/ 2 =
1⎛
2
⎜ B y − B y − 4C y ⎞⎟
⎝
⎠
2
(69)
Cy > 0
3.3.3.2
Ecuación de continuidad
La ecuación de continuidad se puede expresar en diferencias finitas del modo
siguiente:
hip, j+1 − hip, j
Δt
+
(
)
(
uip++11/ 2, j hip+1, j + hip, j − uip−+11/ 2, j hip, j + hip−1, j
2Δx
)+ v
p +1
i , j +1/ 2
(h
p
p
i , j +1 + hi , j
)− v
p +1
i , j −1/ 2
(h
p
i, j
+ hip, j −1
2Δy
)=0
(70)
Ordenando términos se llega a:
hip, j+ 1 = hip, j −
[
(
)
(
)]
[
(
)
(
Δt
Δt
u p + 1 h p + hip, j − u ip−+11/ 2, j hip, j + hip−1, j −
v p + 1 h p + hip, j − v ip, j+−11 / 2 hip, j + hip, j −1
2Δx i + 1 / 2, j i + 1, j
2 Δy i , j + 1 / 2 i , j + 1
)]
(71)
275
Plan Hídrico Integral de Tabasco…
Con las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de u , v y h en el tiempo
( p + 1)Δt para las celdas ubicadas en el interior de la zona donde ocurre la
inundación.
3.3.3.3
Condiciones para resolver las ecuaciones
Condiciones iniciales
Para comenzar los cálculos en el modelo matemático en el tiempo inicial t 0 es
necesario asignar los valores a las variables u , v y h . En este caso, si la zona
aledaña al río está sin agua, a estas variables se les asigna cero, por el otro lado,
cuando existe un cuerpo de agua, estos valores serian diferentes de cero y las
profundidades h corresponderían a los tirantes conocidos en dichos cuerpos de
agua.
Condiciones de frontera
Se considera que las velocidades en las fronteras izquierda, derecha, superior e
inferior son igual a cero.
Hidrograma de entrada
El sitio de entrada del hidrograma puede ser cualquiera de las celdas, para ello se
requiere conocer el gasto Q que ingresa a la malla durante cada intervalo Δt . El
gasto se considera igual a:
Q = qB
donde
B
q
(72)
longitud por donde entra el gasto ( Δx o Δy ), en m
gasto unitario, en m3·s-1·m-1
En las orillas de las celdas donde entra el gasto que produce la inundación se
especifica el gasto unitario q .
3.4 Planos de zonas inundables
Los resultados de la modelación matemática aplicando los modelos numéricos
desarrollados por el IIUNAM, se presentan en los Capítulos 7 y 8 “Caracterización del
evento y evaluación y reformulación del PICI”.
276