x² y²

10. (pág 82 del Lang)
Un tren salde de una estación en un momento determinado y viaja hacia el norte a una velocidad de
50 millas por hora. Un segundo tren sale de la misma estación 2 horas después que el primer tren y
viaja hacia el oriente a una velocidad de 60 millas por hora. Hallar la razón a la que los dos trenes se
están separando 1,5 horas después de que el segundo tren sale de la estación.
x= es la distancia a la estación del tren que va al oriente
y = es la distancia a la estación del tren que va al Norte
D distancia entre ellos
D= x² y²
El segundo tren si va a 60 m/h, en 1,5 horas son 90 millas. Entonces x = 90
El primer tren si va a 50 m/h, en 1,5 + 2 = 3 horas son 175 millas. Entonces y = 175
dD 1
=
dt 2
dx
dy
2y
dt
dt 1 2.90.602.190.50
=
=71,9 m/h
2
 x²  y²
 90²175²
2x.
11. Sobre una pila de forma constantemente cónica cae arena a razón de 3 pies cúbicos por minuto.
Supóngase que el diámetro en la base del montón es siempre tres veces su altura. ¿A qué velocidad
está aumentando la altura cuando ésta ha llegado a los 4 pies?
Diámetro = 3 alturas = 3h
entonces radio r = 3h/2
dV
=3 pies³ / min V volumen del cono
dt
dV dV dh
=
dt
dh dt
V=
queremos hallar
dh
dt
πr²h π 3 /2h²h 3
=
= πh³
3
3
4
dV dV dh 9
dh
=
= πh²
dt
dh dt 4
dt
entonces
dV
dh
dt
=
dt 9
πh²
4
si h = 4,
dh
3
1
=
=
pie/min
dt 9
12π
π4²
4
9. El agua fluye hacia el interior de un tanque en forma de hemisferio, con radio de 10 pies y parte
superior plana, a la velocidad de 4 pies cúbicos por minuto. Sea h la profundidad del agua, r el radio
de la superficie del agua y V el volumen del agua en el tanque. Supongamos que dV/dt = πr²dh/dt.
Hallar a qué velocidad está subiendo el nivel cuando h = 5 pies.
dV
=4 pies³ / min Es la velocidad con la que va
dt
aumentando el volumen.
dh
queremos hallar
dt
dV
dV
dh
=πr²
como
entonces dh dt
=
dt
dt
dt πr²
lo que necesitamos es r, el radio de la parte del tanque que ya está lleno.
En la figura R es el radio de todo el hemisferio que es 10 pies. En la figura “d” es la altura que falta
llenar, que es una parte de la altura total. La altura total es 10 porque es un radio, cuando nos pide
que este lleno hasta 5 pies entonces lo que falta llenar tamién será 5 pies, “d” en la figura es 5.
Necesitamos el radio r. Si hacemos Pitágoras r²+d²=R², entonces r²=10²-5², r²=75.
Por lo tanto,
dV
dh dt
4
=
=
pies/ min
dt πr² π75
2. Un lado de un triángulo rectángulo decrece a razón de 1 pulgada por minuto, mientras que el otro
lado aumenta a razón de 2 pulgadas por minuto. En cierto momento el primer lado tiene 8 pulgadas
y el segundo 6 pulgadas. ¿A qué velocidad está aumentando el área después de 2 minutos?
x es la medida de un lado del triángulo. Como decrece a razón de 1 pulg/min dx/dt = -1 pulg/min
y es la medida de otro lado del triángulo. Como crece a razón de 2 pulg/min dy/dt = 2 pulg/min
área  x , y =
x.y
2
entonces
dárea  x , y  dárea  x , y dx dárea x , y  dy y
x
−y
=

= . −1 . 2=
x
dt
dx
dt
y
dt 2
2
2
dárea  x , y  −6
=
8=5
cuando y = 6, x = 8
dt
2
Otras soluciones
1) (½, ¼) ; dx/dt = 3, dy/dt = 6; dx/dt = 1, dy/dt = 4
3) 90 pulg²/seg
5) o,o1 pie/min
7) t =1/4, acel = 4