Ondas mecánicas en ondas y resortes

Práctica de Laboratorio Nro.:1
Ondas Mecánicas en Cuerdas y Resortes
Objetivo
El objetivo de la práctica consiste en realizar un estudio experimental de los movimientos vibratorios
transversales en cuerdas tensionadas y de los movimientos vibratorios longitudinales en resortes.
En ambos casos determinar la condición de resonancia y la formación de ondas estacionarias. Media además
la velocidad de propagación de la onda.
Introducción
Podemos pensar al movimiento ondulatorio como el transporte de energía y momento desde un punto del
espacio a otro sin que ello implique transporte de materia.
En las ondas mecánicas el transporte de energía y momento se produce como el efecto de una perturbación en
el medio que se propaga (por ejemplo en una cuerda o en un resorte)debido a las características elásticas del
mismo.
• Ondas Mecánicas en Cuerdas
Para el caso de las cuerdas tensionadas podemos observar que la velocidad de propagación de una onda
depende del medio. La fórmula de la velocidad de propagación puede ser derivada de las Leyes de Newton,
cuyo resultado es el siguiente:
V= (F/)1/2
Donde F es la tensión a la que la cuerda está sometida, y es la densidad lineal de masa.
Al producir la perturbación del medio (moviendo la cuerda hacia arriba y hacia abajo con un movimiento
armónico simple) producimos un tren de ondas senoidales que se propaga a través de la misma. Denominamos
a esta onda trasmitida como transversal, debido a que se cada punto de la cuerda se mueve en dirección
perpendicular a la dirección en que se propaga la onda.
Llamamos longitud de onda a la distancia en el espacio en la cual la onda repite su forma (período T). Al
propagarse la onda a lo largo de la cuerda, cada punto de la misma se mueve hacia arriba y abajo con un
movimiento armónico simple y a una frecuencia f. Durante un período (T=1/f)la onda se mueve una distancia
equivalente a una longitud de onda, de dónde obtenemos que:
V=/T=f*
Esta relación es válida para todo tipo de ondas.
Al producir la perturbación en el caso de cuerdas fijas en ambos extremos se generan ondas que se propagan a
través de la misma y se reflejan. Estas ondas reflejadas tienen idéntica velocidad y frecuencia pero son de
sentido contrario. Como resultado de la interferencia de éstas ondas se produce lo denominado patrón de
ondas estacionarias. Las frecuencias resultantes de este patrón son las llamadas frecuencias de resonancia del
sistema.
1
A la frecuencia de resonancia más baja del sistema la denominamos frecuencia fundamental f0, Los siguientes
modos de vibración son llamados frecuencias armónicas (f1, f2 ,f3,....., fn) y su longitud de onda viene dado
por:
n=(2*L)/n donde n=1,2,3,....,n y L es la longitud de la cuerda.
Entonces, como resultado de lo analizado anteriormente, deducimos que:
Si V=fn*n => fn=v/ n => fn= v * (n/2L) = n*f0
Realización
Se dispone de un generador de funciones capaz de emitir sonidos puros conectado a un parlante (emisor
acústico) mediante un conector del tipo BNC. Las señales emitidas que serán transmitidas al parlante serán de
forma senoidal. Como muestra la figura 1 se une al emisor acústico a la cuerda horizontalmente tensionada, de
forma que las ondas se propaguen por la misma.
Se deberá tener cuidado de que la amplitud del parlante no supere los +/− 5 mm y que el parlante se una a la
cuerda muy cerca de uno de sus extremos fijos, ya que un nodo se formará cerca de éste.
Para la cuerda utilizada y la tensión establecida variamos la frecuencia del emisor acústico desde el generador
de funciones comenzando desde cero y hallando por lo menos cuatro frecuencias dónde se observe resonancia.
Observaremos la cantidad de nodos para cada frecuencia armónica.
Midiendo y calculando además la longitud A−B, la tensión y la densidad la cuerda, determinaremos la
velocidad de propagación de la onda a través de la misma. Utilizaremos para ello las relaciones anteriormente
expuestas en la introducción.
Repetiremos la misma experiencia para varias tensiones y diferentes tipos de cuerda.
Datos Obtenidos
• Cuerda Roja
Longitud A−B = 1.18m
MRoja = 0.0227Kg
Lroja = 2.115m
Roja = mRoja/Lroja = 0.00227Kg/2.115m = 0.01053Kg/m
m1=0.7027Kg
m2= 0.8862Kg
m3=1.0727Kg
F1=m1*9.8m/seg2= 0.7027Kg*9.8m/ seg2= 6.886N
F2=m2*9.8m/seg2= 0.8862Kg*9.8m/ seg2= 8.684N
2
F3=m3*9.8m/seg2= 1.0727Kg*9.8m/ seg2= 10.512N
V1=(F1/roja)1/2=(6.886N/0.01053Kg/m)1/2=21.21m/seg
V2=(F2/roja)1/2=(8.684N/0.01053Kg/m)1/2=28.71m/seg
V3=(F3/roja)1/2=(10.512N/0.01053Kg/m)1/2=31.59m/seg
• Cuerda Amarilla
Longitud A−B = 1.18m
MAmarilla = 0.0054Kg
Lamarilla = 2.095m
Amarilla = mAmarilla/LAmarilla = 0.0054Kg/2.095m = 0.00257Kg/m
m1=0.7027Kg
m2= 0.8862Kg
m3=1.0727Kg
F1=m1*9.8m/seg2= 0.7027Kg*9.8m/ seg2= 6.886N
F2=m2*9.8m/seg2= 0.8862Kg*9.8m/ seg2= 8.684N
F3=m3*9.8m/seg2= 1.0727Kg*9.8m/ seg2= 10.512N
V1=(F1/roja)1/2=(6.886N/0.00257Kg/m)1/2=51.76m/seg
V2=(F2/roja)1/2=(8.684N/0.00257Kg/m)1/2=58.13m/seg
V3=(F3/roja)1/2=(10.512N/0.00257Kg/m)1/2=63.95m/seg
• Cuerda Elástica
Longitud A−B = 1.18m
mElástica= 0.0131Kg
LElástica= 3.07m
Elástica= mElástica/LElástica = 0.0131Kg/3.07m = 4.26*10−3Kg/m
m1=0.1865Kg
m2= 0.370Kg
m3=0.5162Kg
3
L1=0.91m−0.86m=0.05m
L2=0.91m−0.605m=0.305m
L3=0.91m−0.175m=0.735m
F1=m1*9.8m/seg2= 0.1865Kg*9.8m/ seg2= 1.82N
F2=m2*9.8m/seg2= 0.370Kg*9.8m/ seg2= 3.62N
F3=m3*9.8m/seg2= 0.5162Kg*9.8m/ seg2= 5N
V1=(F1/elastica)1/2=(1.82N/4.26*10−3Kg/m)1/2 = 20.67 m/seg
V2=(F2/elastica)1/2=(3.62N/4.26*10−3Kg/m)1/2 = 29.15m/seg
V3=(F3/elastica)1/2=(5N/4.26*10−3Kg/m)1/2 = 34.2 m/seg
• Ondas Mecánicas en Resortes
A diferencia de las ondas mecánicas en las cuerdas, en el caso de los resortes, cada punto de los mismos
oscilan en la misma dirección en la que se propaga la onda, por tal motivo las denominamos ondas
longitudinales. Pero al igual que en el caso de las cuerdas, se produce una interferencia entre las ondas de
idéntica velocidad y frecuencia, pero de sentido contrario debido a la reflexión en los extremos.
Las fórmulas de longitud de onda y frecuencia f descritas anteriormente tienen la misma validez para este
caso. En cambio, según las Leyes de Newton, la fórmula de la velocidad de propagación de la onda pasará a
ser:
V= [K*(LR−L0)/(mR/LR)]1/2
Donde LR es la longitud del resorte estirado, L0 la longitud del resorte libre, K la constante elástica y mR la
masa del mismo.
Realización
En éste caso el emisor acústico se encuentra unido a un extremo del resorte como indica la figura 2. De ésta
forma las ondas se propagarán a través del mismo de forma longitudinal. Muy cerca del parlante se formará
también un nodo.
El emisor estará conectado al generador de funciones de la misma manera que la anterior experiencia.
Se deberá tener cuidado de que la amplitud del parlante no supere los +/− 5 mm.
Para el resorte utilizado variaremos la frecuencia del emisor acústico desde el generador de funciones
comenzando desde cero y hallando por lo menos cuatro frecuencias dónde se observe resonancia.
Observaremos la cantidad de nodos para cada frecuencia armónica.
Midiendo y calculando además la longitud del resorte, su masa y la constante elástica K, determinaremos la
velocidad de propagación de la onda a través del mismo. Utilizaremos para ello las relaciones anteriormente
expuestas en la introducción.
4
Repetiremos la misma experiencia para varios tipos de resorte y compararemos con los datos obtenidos.
Datos Obtenidos
• Resorte1
LR1= 0.101m
mR1= 0.0098Kg
K1 = 11.3N/m
v1=12.1 m/seg
v1= [K*(LR−L0)/(mR/LR)]1/2= [11.28N/m(0.174m−0.101m)/(0.0098Kg/0.174m)]1/2
v1= 12.1 m/ seg
Cálculo del K del Resorte1:
Fuerza[N]
0,0638568
0,1290268
0,185024
0,312424
0,431004
0,611324
Delta L [m]
0,18
0,186
0,193
0,202
0,213
0,229
5
6
Cálculo de la velocidad de propagación del Resorte 1, Longitud Final 0.174m
FrecuenciaR1a
33,11
50,9
68,4
85,16
102,38
119,06
136,01
152,9
168,71
Coeficiente
2,736363636
4,20661157
5,652892562
7,038016529
8,461157025
9,839669421
11,24049587
12,63636364
13,94297521
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Long. De Onda
0,365448505
0,237721022
0,176900585
0,142085486
0,118187146
0,101629431
0,088964047
0,079136691
0,071720704
Velocidad de Propagación Longitud
12,1
0,18272425
0,23772102
0,26535088
0,28417097
0,29546786
0,30488829
0,31137416
0,31654676
0,32274317
7
8
Cálculo de la velocidad de propagación del resorte1, con longitud final de 0.25m
9
10
• Resorte 2
Cálculo del K del Resorte 2
LR2= 0.182 m
mR2= 0.010Kg
K2 = 3.28N/m
v2=2.73 m/seg
v2= [K2*(LR−L0)/(mR/LR)]1/2= [3.28N/m(0.182−0.057)/(0.010Kg/0.182m)]1/2
v2= 2.73 m/ seg
Fuerza[N]
0,065856
0,13279
0,194726
0,313306
0,430906
Delta L [m]
0,19
0,206
0,227
0,263
0,3
11
12
Cálculo de la velocidad de propagación del Resorte 2, Longitud Final 0.182m
FrecuenciaR2a
18,29
27,04
36,51
45,5
54,5
63
72,54
81,61
Coeficiente
6,6996337
9,904761905
13,37362637
16,66666667
19,96336996
23,07692308
26,57142857
29,89377289
n
1
2
3
4
5
6
8
9
Long. De Onda
0,149261892
0,100961538
0,074774035
0,06
0,050091743
0,043333333
0,037634409
0,033451783
Velocidad de Propagación Longitud
2,73
0,07463095
0,10096154
0,11216105
0,12
0,12522936
0,13
0,15053763
0,15053302
13
14
Cálculo de la velocidad de propagación del Resorte 2, Longitud Final 0.28m
FrecuenciaR2b
18,178
27,4
36,63
46,03
55,05
63,82
72,36
81,85
Coeficiente
6,658608059
10,03663004
13,41758242
16,86080586
20,16483516
23,37728938
26,50549451
29,98168498
n
1
2
3
4
5
6
8
9
Long. De Onda
0,150181538
0,099635036
0,074529075
0,059309146
0,049591281
0,042776559
0,037728027
0,033353696
Velocidad de Propagación Longitud
2,73
0,07509077
0,09963504
0,11179361
0,11861829
0,1239782
0,12832968
0,15091211
0,15009163
15
16
Propagación de errores
17
Resultados Calculados
• Cuerda roja
• Cuerda Amarilla
18
• Cuerda elastica
• Resorte
Conclusión
Pudimos determinar las velocidades experimentalmente mediante la medición de las ondas estacionarias y
observar los nodos de los distintos armónicos, tanto en las cuerdas (que la velocidad de propagación es
transversal) como en los resortes (la velocidad de la propagación es longitudinal).
19
Además se realizo la propagación de los errores para las distintas mediciones.
Universidad Nacional San Martín Fisica2
−2−
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