EJERCICIOS DE TEORIA DE CONTROL AUTOMATICO

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EJERCICIOS DE TEORIA DE CONTROL AUTOMATICO
DISEÑO DE CONTROLADORES EN DOMINIO FRECUENCIAL
100
100 / 15
=
. Se desea diseñar un controlador PD
( s + 3) ( s + 1) ( s + 5) (1 + s / 3) (1 + s ) (1 + s / 5)
para que el sistema resultante en bucle cerrado cumpla lo siguiente:
P9. Sea el sistema: G ( s ) =
- Error en régimen permanente ante escalón menor o igual al 10%.
- Sobreoscilación igual al 25%
- Tiempo de subida menor o igual a 0.5 segundos
Solución:
En primer lugar calculamos la ganancia necesaria para satisfacer el error en régimen permanente:
e rp escalón =
1
≤ 0.1 ( 10% ) ⇒ K p ≥ 9
1+ K p
Si denominamos K c a la ganancia que aportará el controlador:
K p = 100 / 15 K c ≥ 9 ⇒ K c ≥ 1.35
Dibujamos el diagrama de Bode del sistema de partida, incluyendo la ganancia necesaria para satisfacer las
especificaciones del error en régimen permanente, es decir con una ganancia conjunta
K p ≥ 9 ⇒ K pdB ≥ 19dB . Se trata de la curva que aparece en azul en la gráfica de la página siguiente.
A continuación, vemos el margen de fase necesario de acuerdo con la sobreoscilación especificada:
SO% ≈ 1.6 (60 o − M f ) ⇒ M f ≈ 44.3 o
Asimismo, de acuerdo con el tiempo de subida especificado, la frecuencia de corte aproximada debería
estar entorno a:
ωc ≈
π
2 ts
≥ 3.14 rad / s
Podemos ver que la frecuencia de corte de partida se encuentra aproximadamente a 5 rad/s, con lo cual
estaríamos cumpliendo las especificaciones relativas al tiempo de subida. Sin embargo, vemos que el
margen de fase que quedaría a esa frecuencia de corte es prácticamente cero. De hecho, podemos calcularlo
con precisión, para salir de dudas acerca de su valor:
arg(G ( jw)) w=5 = [− arg(1 + jw / 3) − arg(1 + jw) − arg(1 + jw / 5)] w=5 = −182 o
Luego vemos que, si no añadimos nada, el sistema en BC sería inestable. Necesitamos un aporte de fase de
unos 46.3 o a la frecuencia de 5 rad/s. Luego un PD parece, efectivamente, una buena opción:
C ( s ) = K c (1 + Td s)
Si colocamos la “frecuencia de esquina” del PD media década antes de la frecuencia de corte:
1
= 10 −0.5 5 = 1.58 rad / s
Td
Al sumar gráficamente las curvas de magnitud, resultaría la curva dibujada en verde, obteniéndose una
frecuencia de corte de unos 9 rad/s, ciertamente más a la derecha del mínimo exigido. Para ver si interesa
reducir dicha frecuencia de corte, aproximándola más a la mínima deseada, bastaría con ver si a la
frecuencia de 9 rad/s el margen de fase es insuficiente. En apariencia, a la vista de la curva de fase dibujada
M.Vargas 2006
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en verde, dicho margen está cercano a los 45º, suficiente para lo que me piden. Para estar seguros del valor
de margen de fase que resulta, calculemos la fase analíticamente a la frecuencia de 9 rad/s:
arg(C ( jw) G ( jw)) w=9 = [arg(1 + jw / 1.58) + arg(G ( jw))] w=9 = −136.13 o
con lo que resulta un margen de fase:
M f ≈ 43.8 o
Podríamos considerar que este margen de fase está aceptablemente próximo al deseado y dar por concluido
el problema.
Sin embargo, podemos plantearnos afinar un poco más el diseño del PD para conseguir un resultado algo
mejor. Para ello, habría que intentar evitar que la frecuencia de corte se desplace tan a la derecha al
introducir el PD. Bastaría con colocarla a una distancia menor de la media década antes. Por ejemplo,
veamos qué ocurre colocándola en:
1
= 4 rad / s
Td
Con ello resultarían las curvas de magnitud y fase que aparecen en rojo. De acuerdo con la nueva gráfica de
magnitud, la nueva frecuencia de corte se sitúa en los 6 rad/s, si calculamos la fase comprobamos que el
margen de fase es incluso menor:
M f ≈ 42 o
En realidad, si buscamos analíticamente el valor de la magnitud a 6 rad/s, vemos que el corte con 0dB no se
produce exactamente ahí, sino algo más atrás:
C ( jw) G ( jw) w=6 = −2.34dB ,
C ( jw) G ( jw) w=5 = 0.24dB ,
Luego, la frecuencia de corte estará más cerca de 5 rad/s que de 6 rad/s. Si hacemos el cálculo del margen de
fase a 5 rad/s:
M f ≈ 48 o
Con lo que, finalmente, conseguiremos cumplir todas las especificaciones.
La expresión final del controlador es:
C ( s ) = 1.35 (1 + s / 4)
Por último, cabe indicar que este segundo intento de diseño, consistente en desplazar la “frecuencia de
esquina” del PD a la derecha, no siempre tiene por qué dar un resultado mejor que el que se tenía. Ello es
debido a que mientras más a la derecha esté el PD menor es el aporte de fase que se consigue con él.
M.Vargas 2006