La Fase en Óptica Cuántica - Universidad Complutense de Madrid

La Fase en Óptica Cuántica
Alexandru iósif
Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Físicas
Resumen
Si comparamos el campo electromagnético clásico con el cuántico se observan obvias diferencias. En el último se presenta el operador amplitud compleja. Se intenta
factorizar dicho operador como un operador de fase y otro función del número de fotones. Finalmente hacemos una presentación de los operadores de Susskind-Glogower
y su relación con el POVM.
Índice
1.
2.
3.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
5.
6.
6.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El campo electromagnético . . . . . . . . . . .
Campo electromagnético clásico . . . . . . . . .
Cuantización del campo electromagnético . . .
Precedente histórico del operador fase cuántica
Positive Operator Values Measure (POVM) . .
Los operadores de Susskind-Glogower . . . . .
Vista general !. . . . . "
. . . . . . . . . . . . . .
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2
2
2
3
3
4
5
6
6
6
6.2. El límite lim Ĉ 2 + Ŝ 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r→∞
7.
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
10
r
1
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1 Introducción
1.
2
Introducción
A pesar de un siglo de desarollo en el campo de la mecánica cuántica no
existe todavía una respuesta generalmente aceptata para el problema de la √
fase
cuántica. Primeramente Dirac, en 1927, propuso la descomposición â = eiφ̂ n̂,
donde donde |n̂| representa |â|2 y φ la fase. Sin embargo por esta vía no se llega
a un operador sencillo que abarque todas las propiedades que debe tener la fase.
Luego, en 1964, Susskind y Glogower propusieron los operadores que llevan sus
nombres. Estos llevan a los operadores sinus y cosinus que, se supone, miden
el seno y el coseno de la fase. Como vamos a ver, tampoco dan una respuesta
satisfactoria, ya que por esta vía no podemos medir el seno y el coseno de la fase
al mismo tiempo, pues sus correspondientes operadores no conmutan. Quizá la
respuesta está en el POVM, que presentamos de forma breve en este trabajo.
En la sección 4 hacemos una presentación breve del campo electromagnético
clásico, unidimensional, compuesto por un único modo y linealmente polarizado.
Después procedemos a la cuantización de dicho campo haciendo uso de lo que
ya se sabe del oscilador armónico
simple. Finalmente explicamos por qué no es
√
posible decomponer â = eiφ̂ n̂ y obtener al mismo tiempo un observable para
la fase cuántica.
En la sección 5 presentamos de forma muy breve el Positive Operator Values
Measure.
Finalmente, en la sección 6 hablamos de los operadores de Susskind-Glogower.
Primeramente hacemos una
general de los mismos y posteriormente
! presentación
"r
2
2
realizamos el límite lim Ĉ + Ŝ
.
r→∞
2.
Objetivo
El objetivo de este trabajo es estudiar ciertos aspectos que conciernen a la
fase del campo electromagnético, enfocándonos en el regimen cuántico. Intentamos buscar un observable para esta magnitud física y nos fijamos en algunas
propuestas por parte de la comunidad científica, como el POVM y los operadores sinus y cosinus. La cuestión está en cómo medir la fase desde el punto de
vista teórico (es decir, qué observable le corresponde a la fase).
3.
Metodología
Este es un trabajo puramente teórico y, debido a las limitaciones de tiempo y espacio, no vamos a considerar aspectos experimentales de la medición de
la fase, aunque bien estos albergan mucha física. Nos vamos a centrar en los
aspectos teóricos que conciernen a los observables de fase que ya de por sí presentan dificultades. El campo electromagnético clásico, por sencillez, va a estar
compuesto solamente por un modo, linealmente polarizado y va a estar propagándose en una dirección, digamos z. Vamos a proceder a la cuantización de
dicho campo y finalmente compararemos la versión cuántica de los dos campos.
4 El campo electromagnético
3
Vamos a intentar factorizar el operador amplitud compleja en dos partes, una
función del número de fotones y la otra, función de la fase.
No por último tengo que decir que éste es el resultado de las interacciones
entre mi supervisor y yo y también es el resultado de la lectura de una serie de
artículos y libros que en su mayoría tratan la Óptica Cuántica.
4.
El campo electromagnético
4.1.
Campo electromagnético clásico
Sean las Ecuaciones de Maxwell en ausencia de fuentes [1]
∂B
∂t
(4.1)
1 ∂E
c2 ∂t
(4.2)
∇×E=−
∇×B=
∇·B= 0
(4.3)
∇ · E = 0.
(4.4)
Ex (z, t) = E0 q (t) sin (kz)
E0
By (z, t) = kc
2 q̇ (t) cos (kz) ≡ B0 p (t) cos (kz)
(4.5)
Una solución compuesta por un único modo dentro de una cavidad unidimensional a lo largo del eje z (con paredes perfectamente conductoras en z=0 y
en z=L), linealmente polarizada según el eje x, es [2]
siendo E0 y B0 las amplitudes de los campos eléctrico y magnético, k = ω/c
el número de onda y ω su frecuencia.
El hamiltoniano clásico (es decir la energía) del campo electromagnético es
[3]
$
&
1 E02 ε0 L % 2
1 2
By (z, t) =
p (t) + ω 2 q 2 (t) , (4.6)
dV
(z, t) +
µ0
2 2ω 2
'
y eligiendo E0 = (2ω 2 /Lε0 ) lo obtenemos de la siguiente manera
1
H=
2
ˆ
#
ε0 Ex2
&
1% 2
p (t) + ω 2 q 2 (t) .
(4.7)
2
Ahora bien, este hamiltoniano es parecido al hamiltoniano del oscilador armónico, si interpretamos q y p como la posición y el momento canónicos, respectivamente.
H=
4 El campo electromagnético
4.2.
4
Cuantización del campo electromagnético
La cuantización canónica del hamiltoniano (4.7) consiste en considerar la
siguiente regla de conmutación para los correspondientes operadores de posición
y momento
[q̂ (t) , p̂ (t)] = i!.
(4.8)
De ese modo obtenemos la siguiente forma para el operador campo
Êx (z, t) = E0 q̂ (t) sin (kz)
(4.9)
y la siguiente forma para el hamiltoniano
&
1% 2
p̂ (t) + ω 2 q̂ 2 (t) .
2
Si definimos el operador amplitud compleja como
Ĥ =
1
â (t) = √
(ω q̂ + ip̂)
2!ω
(4.10)
(4.11)
y su traspuesto conjugado como
1
↠(t) = √
(ω q̂ − ip̂)
2!ω
el hamiltoniando queda de la siguiente forma
)
(
1
Ĥ = !ω n̂ +
2
(4.12)
(4.13)
donde n̂ ≡ ↠â se interpreta como el operador número de fotones ya que
si |n& representa el autoestado correspondiente al n-esimo nivel de excitación,
entonces ocurre n̂ |n& = n |n& [4].
Observación
1. La razon de que ↠â sea un operador de numero está en que
% †&
â, â = 1, por lo que la accion de ↠incrementa en 1 el autovalor de ↠â y la
accion de â lo disminuye en 1. Además ↠â es positivo por construccion. Estas
dos cosas implican que el espectro de ↠â coincida con los numeros naturales.
Observación 2. Debido a que el operador número de fotones más uno tiene
inverso vamos a poder escribir, abusando de la notación, 1/ (n̂ + 1), que en
realidad es otro operador que nos devuelve el inverso del
√ número
√ de fotones más
uno. También vamos a dar sentido a operadores como n̂, 1/ n̂ + 1, et cetera.
Ahora bien, bajo la imagen de Heisenber el operador â (t) se comporta según
la ecuación [5]
dâ (t)
i
= [H, â (t)] = −iωâ (t) ,
dt
!
(4.14)
4 El campo electromagnético
5
cuya solución es
â (t) = â0 e−iωt .
(4.15)
Tomando el traspuesto conjugado de (4.15) obtenemos
↠(t) = â†0 eiωt .
Si sustituimos (4.15) y (4.16) en (4.9) obtenemos
+
*
Eˆx (z, t) = E0 aˆ0 ei(kz−ωt) − aˆ0 † e−i(kz+ωt)
,
siendo E0 = i 2ε!ω
.
0L
4.3.
(4.16)
(4.17)
Precedente histórico del operador fase cuántica
Las solución clásica y cuántica tendrían una forma parecida si puediéramos
factorizar de alguna manera los operadores amplitud compleja. En 1927 Dirac
intentó hacer dicha factorización de la siguiente manera [6]
√
â = eiφ̂ n̂
√
(4.18)
↠= n̂e−iφ̂
2
donde |n̂| representa |â| y φ̂ se debería interpretar como un operador hermítico correspondiente a la medición de la fase y por lo tanto eiφ̂ debería ser un
operador unitario que es la traducción en operadores de un número de módulo
unidad. Sin embargo φ̂ no hay ninguna solución de (4.18) en la que φ sea hermítico y por lo tanto eiφ̂ no puede ser un operador unitario. Dicho de otro modo,
aunque en el siguiente orden para el producto el operador exponencial parezca
unitario (4.19) hay un grave problema para la unitariedad en el orden inverso
(4.20)
" ! "†
1
−1
−1
eiφ̂ = â (n̂) 2 (n̂) 2 ↠= â ↠= 1.
(4.19)
n̂
No hay problemas con la igualdad a uno en la ecuación anterior. Los problemas están en la siguiente
!
eiφ̂
!
eiφ̂
"† !
"
1
1
eiφ̂ = (n̂)− 2 ↠â (n̂)− 2 '= 1
(4.20)
donde la igualdad a uno es imposible puesto que no está definida la acción
de 1/n̂ sobre el estado de vacío |n = 0&. El problema no se arregla intentando
√
una descomposición de la forma â = n̂ + 1eiφ̂ como queda claro al aplicar esta
ecuación sobre el estado de vacío |n = 0& ya que â |n = 0& = 0.
5 Positive Operator Values Measure (POVM)
5.
6
Positive Operator Values Measure (POVM)
Según [1] la descripción más apropiada de la fase no es a través de un operador fase sino a través del POVM
donde
∆ (φ) = |φ& (φ|
∞
1 - inφ
|φ& = √
e |n&
2π n=0
(5.1)
(5.2)
son estados no normalizables de fase.
La clave de esta formulación es que permite asignar directamente a cualquier
estado |ψ& (puro por sencillez) una distribución de probabilidad de la fase en
la forma P (φ) = |(φ |ψ &|2 sin necesidad alguna de pasar por una definición
previa de un operador de fase. No obstante se puede ver que los estados de fase
son autoestados del operador de Susskind-Glogower presentado en la siguiente
sección con autovalor de módulo unidad
Ê |φ& = eiφ |φ& .
6.
(5.3)
Los operadores de Susskind-Glogower
6.1.
Vista general
Otra factorización de los operadores amplitud compleja fue introducida por
Susskind y Glogower [6, 13] en 1964 y es la siguiente
√
â = n̂√+ 1Ê
(6.1)
↠= Ê † n̂ + 1.
De esta definición, los operadores Ê y Ê † , dichos de Susskind-Glogower,
tienen la siguiente forma
−1/2
Ê = (n̂ + 1)
â
−1/2
Ê † = ↠(n̂ + 1)
.
(6.2)
Aplicándolos a los estados número de fotones se obtiene que
Ê |n& = |n − 1& si n '= 0
=0
si n = 0
Ê † |n& = |n + 1& .
(6.3)
De aquí que podemos expresar los operadores de Susskind-Glogower como
.
Ê = ∞
n=0 |n& (n + 1|
.∞
(6.4)
†
Ê = n=0 |n + 1& (n| .
6 Los operadores de Susskind-Glogower
7
Ahora bien,
∞
-
†
Ê Ê =
|n& (n + 1| |n$ + 1& (n$ | = 1
(6.5)
|n + 1& (n| |n$ & (n$ + 1| = 1 − |0& (0|
(6.6)
n,n! =0
y
Ê † Ê =
∞
-
n,n! =0
por lo que los operadores de Susskind-Glogower no son observables unitarios.
Sin embargo sí son hermíticos (es decir el equivalente de reales) los siguientes
operadores, llamados operador cosinus y operador sinus
!
"
Ĉ = 21 Ê + Ê †
!
"
(6.7)
1
Ŝ = 2i
Ê − Ê † .
Si se interpretan los operadores de Susskind-Glogower como el operador exponencial de la fase, entonces se entiende que los operadores Ĉ y Ŝ se llamen
operadores cosinus y operador sinus, puesto que
Ê = Ĉ + iŜ
Ê † = Ĉ − iŜ.
(6.8)
Ê |φ& = eiφ |φ&
(6.9)
Sean |φ& los autoestados de los operadores de Susskind-Glogower
y, de acuerdo con la definición de Ê,
|φ& ∝
∞
-
n=0
einφ |n& .
(6.10)
Observación 3. De la definición anterior de |φ& observamos que los operadore de
Susskind-Glogower están estrechamente relacionados con el POVM presentado
en la sección 5.
*
+
Debido a que Ĉ, Ŝ = 21 i |0& (0| no se puede medir el seno y el coseno
cuánticos a la vez.
Vamos a aplicar la suma de Ĉ 2 y Ŝ 2 sobre un estado. En el regimen clásico
esto no tiene mucho sentido físico, ya que sin2 α + cos2 α = 1; sin embargo Ĉ 2 +
Ŝ 2 cumple
2
2
= 1 − 12 |0& (0|
!Ĉ + Ŝ "
Ĉ 2 + Ŝ 2 |n '= 0& = |n&
!
"
Ĉ 2 + Ŝ 2 |0& = 12 |0& ,
(6.11)
6 Los operadores de Susskind-Glogower
8
con lo que en el dominio cuántico se tiene el resultado paradójico de que
C 2 + S 2 no es la unidad.
6.2.
!
El límite lim Ĉ + Ŝ
r→∞
2
2
"r
El objetivo de esta sección es estudiar una consecuencia de que Ĉ 2 + Ŝ 2 no sea
la unidad. Para ello abordamos el cálculo del límite de la acción de las sucesivas
potencias sobre el estado puro más general, expresado en la base número
∞
√
|ψ& =
n=0
pn eiφn |n& ,
(6.12)
donde φn son fases
arbitrarias que no van a sufrir ninguna transformación
.∞
durante el proceso y n=0 pn = 1.
Aplicamos sobre |ψ >dos veces el seno y dos veces el coseno y sumamos los
observables
!
∞
"
1 √ iφ0
√
Ĉ 2 + Ŝ 2 |ψ& =
pn eiφn |n& −
p0 e |0& .
2
n=1
(6.13)
Normalizando, el estado final es
∞ ,
/ 10 (1)
(1)
/ψ =
pn eiφn |n& ,
(6.14)
n=0
con
(1)
p0 =
1
1
4 p0
− 34 p0
(1)
pn≥1 =
pn
1 − 43 p0
(6.15)
(1)
y φn = φn para todo n.
Si repetimos la operación r veces obtenemos
∞ ,
(r)
(r)
|ψ & =
pn eiφn |n& ,
r
(6.16)
n=0
con
(r)
p0 =
(r)
1
1 (r−1)
4 p0
(r−1)
− 43 p0
(r−1)
pn
(r)
pn≥1 =
(r−1)
1 − 43 p0
(6.17)
(r−1)
donde φn = φn
para todo n y p0k ≡ pk .
El término general de estas recurrencias, para p0 , es
(r)
p0 =
y
4r
p0
(1 − p0 ) + p0
(6.18)
7 Conclusiones
9
(r)
lim p
r→∞ 0
=0
(6.19)
por lo que si aplicamos Ĉ 2 + Ŝ 2 infinitas veces obtenemos el estado libre de
vacío
∞ ,
/ lim 0 (lim)
/ψ
=
pn eiφn |n& .
(6.20)
n=1
Hay que señalar que el estado sin proyección sobre el vacío es lo más no clásico
que puede ser un estado de luz de acuerdo con el criterio de profundidad no
clásica de Lee [7], lo que concuerda con que estamos examinando una propiedad
evidentemente no clásica como lo es Ĉ 2 + Ŝ 2 '= 1.
De hecho se podría haber llegado a este resultado de la siguiente forma más
elegante
!
"r
lim Ĉ 2 + Ŝ 2 = 1 − |0& (0|
(6.21)
r→∞
que no es más que el proyector sobre el complementario del vacío.
7.
Conclusiones
La fase es una variable insustituible en la óptica clásica por lo que vale la
pena investigar el observable que represente esta magnitud en óptica cuántica. Soprendentemente, dicho observable resulta extraordinariamente no trivial
hasta el punto de no existir operador que pueda abarcar todas las propiedades
que debe tener la fase. Esperamos que estas notas hayan dado cuenta de tales
dificultades.
El lado positivo de esta complejidad es la riqueza en resultados que el estudio
de la representación de la fase en óptica cuántica ha provocado. Entre ellos
mencionamos el desarrollo de los POVM con el sorprendente resultado de la
existencia de observables sin operador hermítico, algo que parece excluido en
todos los textos de introducción a la física cuántica, siendo ignorado incluso en
muchos de los más avanzados. Otro tema relacionado es la necesaria aplicación
de criterios estadísticos complejos al problema de la detección de cambios de
fase, que es la base de toda la interferometría (tema que por razones de tiempo
y espacio no hemos podido incluir aquí).
No podemos terminar sin citar otra aproximación abstracta al problema
realizada en esta misma Facultad de Ciencias Físicas, que desemboca en el
siguiente operador hermítico
ˆ
φ̂ = dφφ |φ& (φ|
(7.1)
que satisface las reglas de conmutacion correctas [8], pero a un precio quizás
muy alto [9], en especial respecto al resto de propiedades esperables desde su
valor en óptica clásica. También podemos citar la formulación de Pegg y Barnett
8 Agradecimientos
10
que, desde un punto de vista quizás poco ortodoxo (forzando que el espacio sea
de dimensión finita), ha tenido la virtud de encuadrar muy bien el problema y
la multiplicidad de soluciones [10].
Finalmente tampoco podemos dejar de mencionar que paradojicamente el
problema de la representación en óptica cuántica de la diferencia de fase (la
variable realmente relevante en problemas prácticos como la interferometría) es
complemtamente distinto [11], hasta el punto de admitir soluciones unitarias a
la factorización equivalente a la planteada por Dirac [12].
8.
Agradecimientos
Tengo que agradecerle a mi supervisor, Alfredo Luis, por la realización de
este trabajo, por su infinita paciencia, por haberme brindado las charlas que
tuvimos sobre temas relacionados con mi Trabajo de Fin de Grado y también
por haberme guiado en la realización del mismo.
También he de agradecer al Center for Symmetry and Deformation de la
Universidad de Copenhague, pues aceptando la beca de mi corta estancia en
esta capital nórdica me ha dado la oportunidad de conocer y aprender lo poco
de lo que mi comprensión era capaz de investigadores de Campos Cuánticos.
También he de agradecerle a mi madre, pues me ha apoyado en todo lo que
he hecho este último cuatrimestre y, aunque no sepa física, me ha escuchado
pacientemente cuando le explicaba lo que estaba estudiando con respecto a este
trabajo.
No en último lugar he de agradecer la paciencia de este Jurado.
8 Agradecimientos
11
Referencias
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Classical, Quantum and Computational Methods (Florida: Taylor & Francis, 2013, Capítulo 13 de Alfredo Luis).
[2] C. C. Gerry and P. L. Knight, Introductory Quantum Optics (Cambridge:
Cambridge University Press, 2006).
[3] J. M. Cabrera y F. J. Lopez, Óptica Electromagnética: Fundamentos
(ADDISON-WESLEY, 1998).
[4] A. L. Aina, Óptica Cuántica y Polarización.
[5] L. E. Ballentine, Quantum Mechanics: A Modern Development (Singapore:
Simon Fraser University, 2000).
[6] M. M. Nieto, Quantum Phase and Quantum Phase Operators: Some Physics and some History (Los Álamos, 1993).
[7] C. T. Lee, Theorem on nonclassical states, Phys. Rev. A 52, 33743376
(1995).
[8] A. Galindo, Phase and number, Lett. Math. Phys. 8, 495 (1984).
[9] J. Bergou y B.G. Englert, Operators of the phase: Fundamentals, Ann.
Phys. (New York) 209, 479 (1991).
[10] S. M. Barnett y D.T. Pegg, On the Hermitian optical phase operator, J.
Mod. Opt. 36, 7 (1989).
[11] A. Luis y L. L. Sánchez-Soto, Quantum phase difference, phase measurements and stokes operators, Progress in Optics 41, 421 (2000).
[12] A. Luis y L. L. Sanchez-Soto, Phase-difference operator, Phys. Rev. A 48,
4702 (1993).
[13] P. Carruthers, M. M. Nieto, Phase and Angle Variables in Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, April (1965).
[14] R. J. Glauber, One Hundred Years of Light Quanta (Nobel Lecture, 2005).
[15] M. L. Calvo Padilla, Óptica Avanzada (Barcelona: Ariel, 2002, Capítulo 7
por R. F. Álvarez-Estrada).
[16] D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (New Jersey: Prentice Hall,
1999).
[17] R. Lynch, The Quantum Phase Problem: A Critical Review (Physics Reports 256 (1995) 367-436).