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PROBLEMA
P
Un gas ideal de coeficiente adiabático γ sufre la
transformación lineal 1→2 indicada en el diagrama p – V
que se acompaña. Considerando como datos las
coordenadas de los puntos inicial y final, el coeficiente
adiabático y la masa de gas, determine la variación de
energía interna, el trabajo y el calor involucrados en el
proceso y la variación de entropía del gas.
1
P1
T
e
P2
r
V
m
V1
V2
o
d
El cálculo de las temperaturas es directo
donde n es la masa de gas y
pV
pV
empleando la ley de los gases ideales, puesto T1 = 1 1 T2 = 2 2 R es la constante de los gases i
nR
nR
n
que se conocen presiones y temperaturas:
á
m
El cálculo del trabajo de este proceso es también sencillo, hay dos opciones:
i
1. A partir de la definición: escribamos la ecuación de la recta p = f(V)
c
p − p2 p1 − p2
p − p2
a
=
(V − V2 ) = 1 [ p2V1 − p1V2 + ( p1 − p2 )V ]
p = p2 + 1
V1 − V2
V − V2 V1 − V2
V1 − V2
V2
V2
Wlineal =
∫
2
pdV =
1
V1 − V2
V1
Wlineal = − p2V1 + p1V2 −
∫
[ p2V1 − p1V2 + ( p1 − p2 )V ]dV = −⎡⎢⎣ p2V1 − p1V2 + 2 ( p1 − p2 )(V2 + V1 )⎤⎥⎦
1
V1
1
1
1
1
p1V1 − p1V2 + p2V1 + p2V2
2
2
2
2
Wlineal =
1
( p1 + p2 )(V2 − V1 )
2
1
P
2. Por consideraciones geométricas:
Véase que la superficie comprendida bajo el segmento
rectilíneo (que indica el proceso termodinámico) hasta
el eje de abscisas (cuyo significado físico es el trabajo
asociado al proceso) está dada por el área de un
trapecio cuyo valor es:
(El mismo resultado anterior)
Wlineal
W12
V
V1
P3
P1
Consideremos el proceso lineal como parte del ciclo siguiente:
En la adiabática 2 →3 se cumple p2V2 = p3V3
γ −1
T2 V2
3 Isoterma
1
Lineal
γ −1
= T3 V3
Adiabática
1/(γ -1)
Puesto que 3→1 es isotermo, T3 = T1
⎛T ⎞
V3 = V2 ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ T1 ⎠
Wlineal
1
= ( p1 + p2 )(V2 − V1 )
2
V
V3
V1
V2
∆U ciclo = Qciclo − Wciclo = 0
Wisot = nRT1 ln
Wadiab
2
P2
(aunque enseguida se verá que no es necesario conocer explícitamente V3)
V
V1
Qisot = Wisot = nRT1 ln 1
V3
V3
p V − p3V3 nR (T2 − T3 ) nR (T2 − T1 )
= 2 2
=
=
γ −1
γ −1
γ −1
V2
P
Cálculo del calor asociado al proceso
γ
2
P2
1
1
= (V2 − V1 ) p2 + (V2 − V1 )( p1 − p2 ) = ( p1 + p2 )(V2 − V1 )
2
2
γ
1
P1
Qlineal + Qisot − Wlineal − Wisot − Wadiab = 0
Qlineal = Wlineal + Wadiab =
nR (T − T )
1
( p1 + p2 )(V2 − V1 ) + γ 2− 1 1
2
Observación: Al calcular el trabajo del proceso adiabático, véase que Ti = T2, y que Tf = T3 = T1
2
T
e
r
m
o
d
i
n
á
m
i
c
a
P
Cálculo del calor asociado al proceso (procedimiento alternativo)
1
P1
T1 =
p1V1
nR
T2 =
p2V2
nR
(temperaturas
calculadas antes)
Vamos a considerar el proceso lineal 1→2 como parte
del ciclo termodinámico que se indica al margen.
T3 =
p2V1
nR
T
2
e
P2 = P3
3
Si se obtienen los calores específicos a presión y volumen
r
Q
V
p
constante a partir de los datos, es posible calcular el calor en
m
las etapas isobara e isocora.
V1 = V3
V2
o
γR
R
cP
cP =
d
cV =
cP − cV = R
γ=
(
)
γ
−
1
(
)
γ
−
1
cV
i
1
Wlineal = (V2 − V1 )( p1 + p2 ) n
γR
(T3 − T2 ) = γ p2 (V1 − V2 ) < 0, cede energía
Qisob = Q p = nc p (T3 − T2 ) = n
2
á
γ −1
γ −1
Trabajo proceso 2 → 3
R
m
(T1 − T3 ) = 1 V1 ( p1 − p2 ) > 0, absorbe energía
Qisocoro = QV = ncV (T1 − T3 ) = n
i
γ −1
γ −1
Wisob = W p = p2 (V1 − V2 ) c
∆U ciclo = Qciclo − Wciclo = 0
a
Etapa 2→3: Isobara
QV
Etapa 3→1: Isocora
El trabajo asociado al proceso
3 → 1 es nulo pues no hay
variación de volumen
Qlineal + Qisob + Qisocoro − Wlineal − Wisob = 0
Qlineal = −
γ
γ −1
p2 (V1 − V2 ) −
1
1
V1 ( p1 − p2 ) + (V2 − V1 )( p1 + p2 ) + p2 (V1 − V2 )
γ −1
2
⎛ 1
⎛ γ
1⎞
1⎞
1
1
+ ⎟⎟ p1V1 + ⎜⎜
− ⎟⎟ p2V2 + p1V2 − p2V1
Qlineal = −⎜⎜
2
2
⎝ γ −1 2 ⎠
⎝ γ −1 2 ⎠
Expresión equivalente a
la obtenida anteriormente
3
P
Cálculo de la variación de energía interna
Una vez obtenido calor y trabajo, es
inmediato aplicando el 1er principio
∆U12 = Qlineal − Wlineal
P3
P1
3 Isoterma
1
Lineal
Cálculo de variación de entropía de la transformación lineal
∆S ciclo = ∆S12 + ∆S 23 + ∆S31 = 0
∆S12 = −∆S31
V
= − nR ln 1
V3
La etapa 2→3 es adiabatica
⎡ V ⎛ T ⎞1 / (γ −1) ⎤
⎥
∆S12 = −nR ln ⎢ 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎢⎣V2 ⎝ T2 ⎠
⎥⎦
Para un procedimiento alternativo para el cálculo
de la entropía, vea la transparencia siguiente.
T
e
Adiabática
r
2
P2
V m
o
V2
V3
V1
d
En la adiabática 2 →3 se cumple i
p2V2γ = p3V3γ
T2 V2γ −1 = T3 V3γ −1 n
á
Puesto que 3→1 es isotermo, T3 = T1 m
i
1/(γ -1)
⎛T ⎞
c
V3 = V2 ⎜⎜ 2 ⎟⎟
a
⎝ T1 ⎠
1 / (γ −1)
V1 V1 ⎛ T1 ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟
V3 V2 ⎝ T2 ⎠
4
Cálculo de variación de entropía de la transformación lineal (procedimiento alternativo)
Considerando el proceso lineal 1→2
como parte del ciclo termodinámico
1
P1
∆S12 = −(∆S 23 + ∆S31 )
∆S ciclo = ∆S12 + ∆S 23 + ∆S31 = 0
P
b
dS =
δQ
∆S ab =
T
∫
δQ
T
a
2
P2 = P3
Proceso isobaro 2→3
3
V
V1 = V3
pV
T1 = 1 1
nR
pV
T2 = 2 2
nR
V2
pV
T3 = 2 1
nR
⎛
V
p ⎞
∆S12 = − n⎜⎜ c p ln 1 + cV ln 1 ⎟⎟
V2
p2 ⎠
⎝
T3
∆S 23 =
∫
nc p dT
T
= nc p ln
T3
V
= nc p ln 1
T2
V2
T2
Proceso isocoro 3→1
T1
∆S31 =
∫
T
p
ncV dT
= ncV ln 1 = ncV ln 1
T3
p2
T
T3
Este resultado es equivalente al
obtenido en la transparencia anterior.
5
T
e
r
m
o
d
i
n
á
m
i
c
a