Pendiente en forma polar

Cálculo vectorial – Unidad I
1.5.2. Pendiente de una recta tangente en forma polar
M.C. Ángel León
Unidad I - Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas
1.5.2. Pendiente de una recta tangente en forma polar
Para encontrar la pendiente de una recta tangente en forma polar, debemos de considerar una función r  f  
que sea diferenciable.
Expresando a r  f   en forma paramétrica, sabemos que:
x  f   cos
Mediante el uso de la forma paramétrica de
y  f   sen
dy
vista anteriormente, se obtiene:
dx
dy
f   cos   f '   sen
dy d
m


dx dx  f   sen  f '   cos
d
Con lo cual se puede establecer el siguiente teorema:
Pendiente en forma polar
Si f es una función diferenciable de  , entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica r  f  
en el punto  r ,  se obtiene por:
f   cos   f '   sen
dy

dx  f   sen  f '   cos
Siempre que
dx
 0 en  r , 
d
Del teorema anterior, se pueden destacar dos cosas:
dy
dx
 0 dan una tangente horizontal, siempre y cuando
0
d
d
dx
dy
 0 dan una tangente vertical, siempre y cuando
0
2. Las soluciones
d
d
1. Las soluciones
1 de 5
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M.C. Ángel León
Ejemplo 01: Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales de la función r  sen en el intervalo 0    
y
Expresando en su forma paramétrica a la función r  sen , tenemos
que:
x  sen cos 
y  sen sen  sen 2
1.0
0.8
Y la curva puede verse en la Figura 1.
0.6
Si derivamos las ecuaciones paramétricas:
0.4
dx
 sen sen  cos  cos   cos 2   sen 2  cos 2
d
dy
 2sen cos   sen2
d
0.2
0.4
0.2
0.2
x
0.4
Figura 1. Gráfica de
Ya con las derivadas de las ecuaciones paramétricas, para saber si hay
una tangente horizontal o vertical igualamos cada una de las derivadas
a cero y buscamos los valores que cumplan la igualdad. Los valores
obtenidos serán los puntos donde existen tangentes:
1.0
0.5
dx
dx
 0 , si
 cos 2 los
d
d
 3
cruces por cero en el intervalo 0     se dan en   ,
según lo
4 4
muestra la Figura 2.
Las tangentes verticales se dan cuando
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.5
1.0
Figura 2. Cruces por cero de
y
1.0
Por lo tanto, en los puntos tenemos dos tangentes verticales, según se
muestra en la Figura 3:
0.8
0.6
0.4
0.2
0.4
0.2
0.2
0.4
x
Figura 3. Tangentes
verticales
2 de 5
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1.0
Para encontrar las tangentes horizontales, se debe de cumplir que
dy
 0 , esto sucede cuando sen2  0 lo cual puede verse en la Figura
d
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
4 que se cumple en   0,

2
, :
0.5
1.0
Figura 4. Cruces por cero de
y
1.0
Por lo tanto, tenemos tangentes horizontales en los puntos:
 x  0 , y  0 ,  x  2  , y  2  . La Figura 5 muestra esas tangentes
0.8
horizontales:
0.6
0.4
0.2
0.4
0.2
0.2
x
0.4
Figura 5. Tangentes horizontales
Ejemplo 02: Hallar las rectas tangentes verticales y horizontales de la gráfica de r  2 1  cos  
Las ecuaciones paramétricas son:
2
x  2 1  cos   cos   2cos   2cos 2 
1
y  2 1  cos   sen  2sen  2cos  sen
Derivando las ecuaciones anteriores:
4
3
2
1
1
2
Figura 6. Gráfica de
conocida como cardioide
dx
 2sen  2 cos   1
d
dy
 2  2 cos   1 cos   1
d
3 de 5
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Sabemos que para encontrar las tangentes verticales necesitamos encontrar los valores de  donde
dx
0
d
dx
 2sen (2cos   1)  0
d
1.0
0.5
1
2
3
4
5
6
De acuerdo a la Figura 7, las raíces de la función son:




  0
1

3
sen  0  
cos    
5
2 
  


3
0.5
Por lo tanto, en los puntos  x   , y    tendremos tangentes
1.0
verticales como se muestra en la Figura 8, sin embargo, no
nos apresuremos a mencionar la tangente que pasa por el
origen.
Figura 7. Valores de
donde
Para las tangentes horizontales, buscaremos los valores que
dy
hagan cero a
, esto es:
d
2(2cos   1)(cos  1)  0
2
Vemos que las raíces serán:
1
4
3
2
2



1

3
cos     
4
2 


3
1
1
2
cos   1    0
Por lo tanto en los puntos  x   , y    para todo los valores
de  anteriores tenemos tangentes horizontales según lo
muestra la Figura 9:
Figura 8. Tangentes verticales
Sucede una situación particular con el punto  x  0  , y  0   en donde la curva parece tener una tangente horizontal
debido a que
dy
dx
 0 y una tangente vertical debido a que
 0.
d
d
Pero, si recordamos la forma paramétrica de la pendiente, caemos en una indeterminación porque:
4 de 5
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dy
2
1
m
Debido a que en el punto
d  0
dx
0
d
 x  0 , y  0
(este punto recibe el
nombre de polo) la curva se corta a sí misma.
4
3
2
Suponga que la gráfica de r  f   pasa por el polo cuando
1
   , es decir, f      0 y que f '    0 . Entonces, la
1
2
FIgura 9 . Tangentes horizontales
fórmula para calcular la pendiente se simplifica de la siguiente
manera:
f   cos   f '   sen
f '   sen sen
dy



 tan 
dx  f   sen  f '   cos f '   cos cos
Por lo tanto, la recta con    es tangente a la gráfica en el
punto  0,  
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