Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Integral definida Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Propiedades HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Bloque: Análisis Matemático Integral definida Propiedades Tema: La integral definida Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Índice Integral definida Propiedades La integral definida. Definición y ejemplos Propiedades Bibliografı́a Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Integral definida Propiedades La integral definida. Definición y ejemplos La integral definida Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Integral definida Propiedades Sean f : [a, b] −→ R una función continua y positiva. Af [a, c]: área contenida entre la función, el eje OX, y las rectas x = a y x = c. En lo que sigue, a será fijo y c será variable. Relación entre las funciones Af [a, ·] y f Cuando f es continua en c, se verifica que para cualquier h > 0 (pequeño) el valor de Af [a, c + h] − Af [a, c] es aproximadamente f (c)h, o lo que es lo mismo, Af [a, c + h] − Af [a, c] ∼ f (c) h La integral definida Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Integral definida Propiedades Tomando ahora lı́mite cuando h −→ 0 en ambos miembros de la expresión Af [a, c + h] − Af [a, c] ∼ f (c) h y usando la definición de derivada, se tiene que A0f [a, c] = f (c) es decir, Af [a, ·] es una primitiva de f . Teorema (Teorema fundamental del cálculo y Regla de Barrow) Sea f : [a, b] −→ R continua en [a, b]. Entonces Af [a, ·] es derivable y su derivada es f , o lo que es equivalente, Af [a, ·] es una primitiva de f . A0f [a, c] = f (c) Además, si φ es primitiva de f , el área Af [a, b] se puede calcular ası́: Af [a, b] = [φ(x)]ba = φ(b) − φ(a), La integral definida Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Integral definida Propiedades Definición (Integral de Riemann) Llamamos integral definida o de Riemann de f en el intervalo [a, b] al valor de Af [a, b], que normalmente se denota con la expresión Z b f (x)dx a En caso de a > b, se define: Z a b Z f (x)dx = − b f (x)dx. a Para calcular la integral definida de una función continua basta conocer una de sus primitivas φ(x): Z b f (x) dx = [φ(x)]ba = φ(b) − φ(a). a La integral definida Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Integral definida Propiedades Ejemplos Z 2 x2 dx = 0 Z π/4 0 Z 1 5 x3 2 8 0 = 3 3 √ 2 π/4 sen(x)dx = −cos(x) 0 = −cosπ/4 + cos0 = − +1 2 √ 2(5x + 1)3/2 5 2(26)3/2 2(6)3/2 5x + 1dx = − 1 = 15 15 15 Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Integral definida Propiedades Propiedades de la integral definida Propiedades de la integral definida Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida Propiedades 1 Si m y M son respectivamente el valor mı́nimo y máximo de f en [a, b], entonces HEDIMA b Z f (x)dx ≤ M (b − a). m(b − a) ≤ Integral definida a Propiedades Z b b Z (f (x) ± g(x))dx = 2 a Z a b Z a Z a b a b Z f (x)dx = 4 g(x)dx. a f (x)dx, ∀c ∈ R. cf (x)dx = c 3 b Z f (x)dx ± c b Z f (x)dx, ∀c ∈ (a, b). f (x)dx + a c b Z 5 Si f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces b Z f (x)dx ≤ a g(x)dx. a Propiedades de la integral definida Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Teorema Toda función continua en un intervalo [a, b] es integrable en [a, b]. Además, se tiene 1 Integral definida Si f : [a, b] −→ R es una función integrable en [a, b], y f (x) ≥ 0, Z b entonces f (x)dx es igual al área de la región entre la gráfica de f y Propiedades a el eje OX desde a hasta b. 2 Si f es integrable en [a, b], entonces Z b 1 f (x)dx es igual al área por encima del eje OX menos el área por 2 debajo del eje OX Z b |f (x)|dx es igual al área de la región entre la gráfica de f y el eje a a OX desde a hasta b. Propiedades de la integral definida Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida Ejemplo La integral entre a y b de la función f (x) del dibujo inferior es A2 + A4 − (A1 + A3 ) HEDIMA Integral definida Propiedades Z Asimismo, se tiene que |f (x)|dx = A1 + A2 + A3 + A4 . Propiedades de la integral definida Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Integral definida Propiedades Observación Hemos supuesto que f : [a, b] −→ R es una función continua en [a, b]. Sin embargo, todo sigue siendo válido si admitimos que f presenta un número finito de discontinuidades de salto finito. Basta descomponer [a, b] en intervalos donde f sı́ sea continua y podamos aplicar las propiedades anteriores. Ejemplo Por ejemplo, f : [0, 5] −→ R definida por x e si x ∈ [0, 3] f (x) = x si x ∈ (3, 5] presenta una discontinuidad de salto finito en x = 3. Su integral definida en [0, 3] es 5 Z 3 Z ex dx + f (x)dx = 0 0 Z 3 5 x dx = [ex ]30 + x2 2 5 3 = (e3 − 1) + 8. Propiedades de la integral definida Bloque: Análisis Matemático Tema: La integral definida HEDIMA Integral definida Propiedades Observación Es posible extender el concepto de integral definida a un marco más general. Por ejemplo, se pueden considerar funciones que no estén acotadas o que estén definidas sobre intervalos no acotados (llamadas integrales impropias). Sin embargo, estas cuestiones superan los objetivos de esta lección.