1.- Demostrar las propiedades conmutativa y asociativa de la suma

Grado en Ingeniería
Física I
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR
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UNIVERSIDAD DE JAÉN
Tema 1: Álgebra Vectorial
1.- Demostrar las propiedades conmutativa y asociativa de la suma gráfica de vectores.
2.- Demostrar la propiedad asociativa del producto de dos escalares por un vector, la propiedad
distributiva del producto de un escalar respecto a la suma de vectores, y la propiedad distributiva del
producto de un escalar por un vector respecto de la suma de escalares.
3.- Demostrar que la definición gráfica de suma vectorial es equivalente a la definición de suma
vectorial en función de las componentes.
4.- Demostrar que la definición gráfica de suma vectorial es equivalente a la definición de suma
vectorial en función de las componentes.
5.- Dados los vectores:

=
a



1, 2, 3)
b (=
2,1, 0 )
c (1,
=
0, 0 )
d ( 0,1,1)
(=
Realizar las siguientes operaciones:
  
a) e =
a+b
  
b) h =
b+c

 
c) k =
2b − c
 

d ) n =+
b 4c
  
e) f =
a+c
  
f) i =
b+d
 

g) l =
b − 2d



−4b − 2 d
h) o =
  
i) g =
a+d
  
j) j =
c+d



k) m =
2c + 3d
  

l ) p = c − d + 6a
6.- Dados los vectores del anterior ejercicio, calcular los siguientes productos escalares:
 
a) a ⋅ b
 
b) b ⋅ c
 
c) a ⋅ c
 
d) b ⋅d
 
e) a ⋅ d
 
f ) c ⋅d
7.- Calcular el ángulo que forman los anteriores vectores entre sí.
8.- Demostrar las siguientes propiedades del producto escalar de dos vectores:
a).- Conmutativa.
b).- Distributiva respecto a la suma de vectores.
c).- Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar.
9.- Calcular la fuerza total que actúa sobre el móvil de la figura 1 sabiendo que el valor de los módulos



de dichos vectores=
son: P 10
N, N 5· 2=
N, Fr 6· 2 N.
=
Fr
N
P
b
60º
a
45
Figura 1
Figura 2
 
10.- Calcular el producto vectorial de los vectores a × b de la figura 2 sabiendo que sus módulos son
respectivamente a=10 N, y b=5 N.
11.- Demostrar que el producto vectorial de dos vectores es:
a).- No conmutativo.
b).- Asociativo respecto al producto por un escalar.
c).- No asociativo para el producto vectorial sucesivo.
d).- Distributivo respecto a la suma vectorial.
12.- Dadas las funciones
y
f ( x, y , z ) =
x 2 y + zy;
g ( x, y , z ) =
xy 3 + ;
h ( x, y , z ) =
x y + z 2 y;
z
calcule el gradiente de f, la divergencia del gradiente de f, el rotacional del gradiente de f, el rotacional
del vector (f,g,h), y la divergencia del rotacional de dicho vector.

13.- Dado el campo vectorial A= ˆj + kˆ y los puntos a (0,0,0); b(1,0,0); c(1, 4,0); d(0, 4,0). Calcule el
flujo de dicho vector a través de la superficie determinada por esos cuatro puntos.
14.- Dado el campo escalar U = x 3 + y 3 + z 3 , calcule la circulación de su gradiente cuando se pasa de,
por un camino cualquiera, del punto más alto al punto más bajo de la intersección del eje Z con la
esfera x 2 + y 2 + z 2 =
4.
15.-El vector A de módulo 4 y cosenos directores proporcionales a 2,-1,3, pasa por un punto de
coordenadas (2,3,-2). Hallar su momento respecto al punto P (-1,2, -1).
16.-Calcular el momento del vector
respecto al eje determinado por:
17.-Determinar el área del triángulo definido por los puntos: A(3,0,0); B (0,2,0) y C(0,0,4).
18.-La fuerza f tiene de módulo 5 y su dirección forma 60° con el eje X y 45° con el eje Y. Su punto de
aplicación es P (4,3,2). Calcule: a) el momento de f respecto del punto Q (1,5,-3); b) el vector unitario
perpendicular a f y a Mf.
19.- Los vectores a y b están en el mismo plano y forman un ángulo de 60°. Su producto escalar es 15 y
. a) Determine sus módulos; b) Obtenga un vector unitario en la dirección del vector
su suma vale
suma.