consenso de funciones de pertenencia triangulares

CONSENSO DE FUNCIONES DE PERTENENCIA
TRIANGULARES
Vicenç Torra
Universitat Rovira i Virgili
Escola Tècnica Superior d'Enginyeria (ETSE)
Carretera de Salou, s/n
E-43007 Tarragona
E-mail: [email protected]
RESUMEN
Presentamos aquí un estudio de funciones de consenso para funciones de pertenencia de
numeros difusos de forma triangular y trapezoidal. Estudiamos la compatibilidad de una serie de
propiedades cuando las queremos mantener como ciertas para la función de pertenenencia
consensuada. Vemos que bajo ciertas hipótesis una función de pertenencia triangular no es
adecuada como función consensuada al no satisfacer todas las condiciones impuestas, en cambio,
una función trapezoidal si que las satisface. Veremos después que una función trapezoidal puede
estudiarse como un caso asociado a una función triangular.
1.INTRODUCCIÓN
En este trabajo estudiamos la compatibilidad de ciertas condiciones en el momento de
consensuar funciones de pertenencia triangulares. La distribución del texto es como sigue:
Damos primero las definiciones que son necesarias para la posterior formulación de las
proposiciones, y pasamos después a las dos proposiciones que nos permiten determinar la función
de pertenencia consensuada. La primera proposición nos determina bajo tres condiciones el
conjunto soporte de la función de pertenencia. La segunda, nos muestra la imposibilidad de
conseguir, en determinadas condiciones, una función de consenso triangular cuando las de los
diferentes expertos son triangulares. Finalmente se muestra como una generalización nos permite
considerar las condiciones incompatibles, viendo en este caso una función de pertenencia
trapezoidal como caso asociado a una función tringular.
2. DEFINICIONES
Sea E un conjunto de k expertos E={E1,E2,...,Ek}, donde Ei es el experto i-ésimo, y sea
µEi (x) la función de pertenencia correspondiente al experto Ei. Sean las funciones µEi definidas sobre
un conjunto de numeros reales de soporte compacto. (El conjunto de soporte está formado por
aquellos puntos en los cuales la función de pertenencia es diferente de cero {x | µ(x)?0}). Así cada
función de consenso µEi satisface:
Si x<z<y y µEi (x) µEi (y) ?0 entonces µEi (z)? 0
(C0.a)
Sean mi y Mi los límites inferior y superior del conjunto de soporte de µEi , esto es, mi < Mi
y
µEi (x) = 0
if x = mi or x = Mi
µEi (x) ?
otherwise
and
0
Sea µEc la función de pertenencia consensuada construida a partir de las funciones de
pertenencia µE1,µE2,...,µEk mediante una función de consenso
F: (←->[0,1])k -> (←->[0,1])
esto es:
µEc(x) = F(µE1,µE2,...,µEk)(x)
En el caso en que la función de pertenencia del experto Ei sea triangular, es de interés dar
nombre a los angulos de la función con el eje real. Sean αE,Ei y αD,Ei los angulos que forma la
función de pertenencia triangular del experto Ei en los puntos mi y Mi. En la figura 1, el ángulo D
corresponde a αD,Ei y el ángulo E corresponde αE,Ei.
µ(x)
1
0
E
D
R
figura 1
3. CONJUNTO SOPORTE DE LA FUNCIÓN CONSENSO
En esta sección demostraremos una primera proposición que se enuncia no unicamente para
funciones de pertenencia triangular, sino también para el caso más general de funciones de
pertenencia con soportes compactos. Posteriormente se concretará para el caso de las funciones de
pertenencia triangulares.
Proposición 1
Supongamos funciones de pertenencia {µE1 ,..., µEn } con conjunto de soporte compacto y
sea µEctambién con conjunto de soporte compacto (esto es que la condición C0.a se cumpla
también para µE1), supongamos que son ciertas las tres condiciones siguientes:
∀Ei E [µEi (x)?0 => µEc(x)?0],
(C1)
∀x0 ← [(∀Ei E ∀x ← {xεx0 => µEi (x)=0}) => µEc(x0)=0],
(C2)
∀x1 ← [(∀Ei E ∀x ← {x≤x1 => µEi (x)=0}) => µEc(x1)=0]
(C3)
entonces la función de pertenencia consensuada verificará
µ E c(x)° 0 si y solo si x∈
min
m
1ŠiŠn i
,
max
M
1ŠiŠn i
(1)
Antes de pasar a la demostración detallaremos el significado de las condiciones
precedentes. La primera condición (C1) exige que cuando algun experto asigne un valor de la
función de pertenencia diferente de cero, entonces la función de pertenencia consensuada asigne
también un valor no nulo. Esta condición puede justificarse diciendo que si algún experto afirma que
un determinado elemento x pertenence a un subconjunto difuso de ← con un cierto grado, el experto
consensuado no puede ignorar completamente esta condición, asignará, pués, a este elemento x un
cierto valor, aunque tal vez diferente del dado por el experto.
La segunda condición (y a su vez la tercera) afirman que si a partir de un determinado punto
x0, todos los elementos de ← mayores o iguales que x0 (x=x0) (respectivamente x1, y menores o
iguales, esto es x=x1) no pertenecen en ninguna medida al subconjunto difuso µE de ←, entonces en
el experto consensuado el punto x0 tampoco pertenecerá al subconjunto de ← en ningún grado.
Pasamos ahora a demostrar esta proposición.
Demostración
Partiendo de las condiciones (C1), (C2) y (C3), suponiendo primero µEc(x)?0 llegaremos a
demostrar la primera implicación de (1), y luego demostraremos la segunda partiendo de una x
pertenenciendo al intervalo abierto de (1).
Suponemos (C1),(C2) y (C3) y suponemos también
µEc(x0)?0
para un cierto x0 ←
(2)
Por (C2) resulta que existe necesariamente un Es E tal que
para cierto xt ← se cumple xt=x0 y µEs (xt)?0.
(3)
De donde, por la definición de Ms y las condiciones impuestas tenemos que
max
M > Ms > xt • x 0
1ŠiŠn i
(4)
De la misma manera, del modus ponens con (C3), a partir de (2) obtenemos que existe
Eu E y un xv ← tales que
xv =x0 y µEu(xv )? 0
(5)
De esta expresión, como
µEu(xv )? 0
y como que por la definición de mu tenemos
mu < xv
y dado que tenemos xv =x0, resultará por (5) la expresión siguiente:
min
m < xv Š x0
1ŠiŠn i
(6)
De (4) i (6) obtenemos
min
m <
1ŠiŠn i
x0 <
max
M
1ŠiŠn i
con lo cual queda demostrada la primera implicación.
Demostraremos ahora la segunda implicación, empezando con la suposición de que tenemos
una x que pertenece al intervalo
min
max
m ,
M
1ŠiŠn i 1ŠiŠn i
Tomamos ms el mínimo de los mi, es decir, existe un Es tal que
(7)
ms =
min
m
1ŠiŠn i
y por (7) la condición siguiente se mantiene cierta
ms < x
(8)
Tenemos también que para Es es cierta la condición de que existe
x0 ← con ms = x0 < x, és decir,
x no pertenece al conjunto {∀y X [y≤x => µEs (y)=0]}
(9)
Si la condición sobre Es no se cumpliese tendriamos que toda x0 [ms ,x) seria del conjunto
en (9) y por tanto ms no seria el supremo, lo seria x, con lo cual habriamos llegado a una
contradicción con la definición de ms .
Tomemos este x0, que en no pertenecer al conjunto de (9) cumplirá la condición siguiente:
x0≤x y µEs (x0)? 0
(10)
De aquí, por (C1) tenemos
µEs (x0)?0 => µEc(x0)? 0
(11)
De igual manera tomamos Mt el máximo de los Mi, es decir, existe Et tal que
Mt =
max
m
1ŠiŠn i
por tanto tenemos que por la condición (7)
x < Mt
y tendremos que para Et, igual que antes resulta que existe x1 ← tal que
x < x1 = Mt
debido a lo cual x no pertenece al conjunto {∀y X [y≤x => µEt (y)=0]}
(12)
El razonamiento en este punto es análogo al anterior. Si toda x1 (x,Mt] es del conjunto
dado en (12) entonces Mt no es el ínfimo con lo cual llegamos a una contradicción con la definición.
Tomamos este x1 que no es del conjunto, por tanto satisface la condición siguiente:
x1εx y µEt (x1)? 0
De aquí, por (C1) tenemos
µEt (x1)?0 => µEc(x1)? 0
Asi tenemos por lo anterior las desigualdades siguientes
ms = x0 < x < x1 = Mt
y
µEc(x0)?0 y µEc(x1)? 0
por lo cual, junto con la condición inicial como x0 < x < x1tenemos que
µEc(x)? 0
Con esto queda demostrada la segunda implicación de (1), quedando la proposición
demostrada.
Corolario 1
El consenso de funciones de pertenencia triangular, con mi y Mi como límites de la base
satisface la proposición 1.
4. DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN CONSENSO
Consideramos ahora una nueva condición sobre las funciones de consenso relacionada con
el ángulo de corte de una función de pertenencia triangular (o trapezoidal) con el eje de
coordenadas horizontal.
(C4) Condición sobre los ángulos de la función de pertenencia consensuada:
El resultado de consensuar los ángulos αD,Ei (o αE,Ei ) con una función de consenso FαD (o
FαE) que satisfaga la condición de unanimidad, es el ángulo αD,Ec (respectivamente αD,Ec) de la
función de pertenencia consensuada.
Esto es que se cumplan las dos condiciones siguientes:
αD,Ec
= FαD(αD,E1,αD,E2,...,αD,Ek)(x)
αE,Ec = FαE(αE,E1,αE,E2,...,αE,Ek)(x)
con FαD y FαE funciones de consenso satisfaciendo la condición de unanimidad
(idempotencia) y las condiciones siguientes:
min
max
α
Šα D,E Š
α D,E
C 1ŠiŠn
i
1ŠiŠn D,E i
min
max
α
Šα E,E Š
α E,E
C 1ŠiŠn
i
1ŠiŠn E,E i
Esta condición, con una FαE y una FαD fijadas, nos determina los ángulos de la función de
pertenencia consensuada.
Proposición 2
Si se cumplen las condiciones (C1),(C2) y (C3), y la condición (C0.a) para µEi y µEc
entonces la condición (C4) es una condición incompatible cuando µEi y µEc son funciones
triangulares y exigimos que las alturas respectivas sean menores o iguales que la unidad.
Demostración
Para demostrar la proposición 2 es suficiente ver un contraejemplo.
Sea E={E1,E2} un conjunto de dos expertos, y sean sus correspondientes funciones de
pertenencia de forma triangular y de tal manera que cumplan µE1(x)=µE2(x+d) con d>0. En este
caso por construcción de µE2 se cumplirá αD,E1=αD,E2 y αE,E1=αE,E2 y por lo tanto por la condición
de unanimidad en (C4) tendremos:
αD,Ec =αD,E2 y αE,Ec=αE,E1
y por la proposición 1, como hemos supuesto (C1), (C2) y (C3) tenemos que el triangulo
tiene como límite inferior el punto mn 1 definido como
min
mi = m 1
i
y como límite superior tendremos a M2
max
Mi = M2
i
Si los puntos de altura máxima a en las funciones de pertenencia de los expertos E1 y E2
son mc1 y mc2 y cumplen
µE1(mc1)=1
y
µE2(mc2)=1
entonces existe un mcc tal que mc1 < mcc < mc2 con µEc(mcc)>1
que contradice la hipótesis de que las alturas de las funciones de pertenencia sean inferiores
o iguales a 1.
Graficamente, esto es:
µ(x)
1
0
R
mcc
Puede observarse que la función de pertenencia triangular consensuada, la señalada con la
linea discontinua tiene el valor máximo de la función de pertenencia (en mcc) superior a 1.
Cuando las alturas de los triangulos no estan restringidas a la unidad, las condiciones (C0.a),
(C1), (C2) y (C3), junto con µEi triangulares, no son incompatibles con (C4), sino que ésta, junto
con las otras condiciones, permite determinar de manera unívoca la función de pertenencia
consensuada cuando ésta es también de forma triangular.
Añadiendo la condición (C4) a las condiciones (C0.a), (C1), (C2) y (C3) podremos
distinguir dos casos:
(a) cuando la altura determinada es inferior o igual a 1. En este caso podemos tomar la
función consensuada como el resultado de las condiciones impuestas
(b) cuando la altura determinada es superior a 1. En este caso, por definición de conjunto
difuso la función de pertenencia tiene que tener rango [0,1], condición que se puede conseguir
truncando la función de pertenencia a 1 en aquellos casos en los que rebasa este valor. La función
construida por este sistema tendrá forma trapezoidal. Este caso puede verse en la figura siguiente:
µ(x)
1
0
R
mcc
Queda por tanto visto en este segundo caso que una función de pertenencia trapezoidal
puede verse como caso particular de función de pertenencia triangular con valores en un intervalo
[0,a], a=1.
AGRADECIMIENTOS
Agradezco la ayuda recibida del Profesor Claudi Alsina (UPC, Barcelona)
BIBLIOGRAFIA
[1] Dubois, D., Prade, H. "Fuzzy sets and systems, Theory and applications", Academic
Press, 1980.
[2] Klir, G.J., Folger, T.A. "Fuzzy sets, uncertainty, and information", Prentice-Hall
International Editions, 1988.
[3] López de Mántaras, R. "Approximate reasoning models", Ellis Horwood Limited, 1980.