Solucion - Departamento de Física Aplicada

G1006 FÍSICA GENERAL II (Grado Ing. Quı́mica)
Examen de mayo 2 013-05-27
RESOLUCIÓN POSIBLE para la Segunda Parte
1) Onda incidente: El signo positivo que aparece en +k x indica que la onda se propaga en el sentido
de las abscisas decrecientes. Onda reflejada: El signo negativo que aparece en −k x indica que
la onda se propaga en el sentido positivo del eje X. El signo negativo que aparece delante de la
amplitud es para indicar que la onda que se refleja en el extremo fijo se invierte; se produce un
desfase de 180o . Este punto,(x = 0), no se desplaza; su elongación es nula. En dicho punto la onda
incidente vale: A sen ω t y la reflejada −A sen ω t = A sen (ω t + π)
2) y(x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) = A sen(ωt + kx) − A sen(ωt − kx) = 2A cos ωt sen kx
y(x, t) = (2A sen kx) cos ωt = Ar (x) cos ωt
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Representa la ecuación de una onda armónica de igual frecuencia que las ondas que la forman.
Su amplitud es independiente del tiempo, pero varı́a senoidalmente con la abscisa x. Excepto los
puntos de amplitud nula, todos los demás puntos de la cuerda oscilan, armónica y verticalmente,
respecto al eje X.
∂ 2 y(x, t)
1 ∂ 2 y(x, t)
La ecuación de onda es:
=
. Los valores de las derivadas son:
∂x2
v2
∂t2
∂y(x, t)
= k (2A cos kx) cos ωt
∂x
∂ 2 y(x, t)
= −k 2 (2A sen kx) cos ωt = −k 2 y(x, t)
∂x2
∂y(x, t)
= −ω(2A sen kx) sen ωt
∂t
2
∂ y(x, t)
= −ω 2 (2A sen kx) cos ωt = −ω 2 y(x, t)
∂t2
1
−k 2 y(x, t) = 2 (−ω 2 y(x, t)) = −k 2 y(x, t) =⇒ Cumple la ecuación de onda
v
ω = 2 π f = 2 π × 250 =⇒ ω = 500 π rad s−1 = 1570, 80 (rad s−1 )
500 π
ω
=⇒ k = 14, 70 π rad m−1 = 46, 2 (rad m−1 )
k= =
v
34
Sustituyendo estos valores en la función de onda: y(x, t) = (4 × 10−2 sen 46, 2 x) cos 1570, 80 t (m)
s
T
v=
=⇒ T = v 2 µ = 342 × 0, 12 =⇒ T = 138, 72 N
µ
2π
2π
2π
k=
=⇒ λ =
=
=⇒ λ = 0, 14 m = 14 cm
λ
k
46, 2
2π
En los nodos Ar = 0 =⇒ sen kx = 0 =⇒ kx = n π =⇒
x = n π con n = 0, 1, 2, ...
λ
λ
λ
λ
x = n con n = 0, 1, 2, ... =⇒ x = 0, , λ, 3 , ... = 0 cm, 7 cm; 14 cm; 21 cm; ...
2
2
2
π
2π
π
En los vientres Ar = 2A =⇒ sen kx = ±1 =⇒ kx = (2n + 1)
=⇒
x = (2n + 1)
con
2
λ
2
n = 0, 1, 2, ...
λ
λ λ λ
x = (2n + 1) con n = 0, 1, 2, ... =⇒ x = , 3 , 5 , ... = 3, 5 cm; 10, 5 cm; 17, 5 cm; ...
4
4
4
4
∂y(x, t)
=⇒ vy (x, t) = −(4 × 10−2 sen 46, 2 x)(1570, 8) sen 1570, 8 t
vy (x, t) =
∂t
∂v(x, t)
ay (x, t) =
=⇒ ay (x, t) = −(4 × 10−2 sen 46, 2 x)(1570, 8)2 cos 1570, 8 t
∂t
Una onda estacionaria no transporta energı́a. Puesto que los nodos se encuentra siempre en la
misma posición, la onda estacionaria parece permanecer fija sobre la dirección de propagación. Al
no transportar energı́a, las ondas estacionarias no son consideradas como ondas, en sentido estricto.
a) Si. b) Si. Un aumento de la frecuencia al doble reduce la longitud de onda a la mitad. Por lo
tanto, el espaciado entre nodos (λ/2) también es la mitad. Habrá nodos en las posiciones anteriores
y aparecerá un nuevo nodo entre cada par de nodos anteriores.
E.T.S.I.I.
Departamento de
Física Aplicada
a la Ingeniería
Industrial