Ejercicios de optimización

Problemas de optimización
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida,
según la formula: R(x) = −0,002x2 + 0,8x − 5 donde R(x) representa la rentabilidad generada
cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuándo aumenta y cuándo disminuye la rentabilidad. Sol: (R(x) aumenta en el intervalo
(0, 200) y disminuye en (200, 500).
b) Cuánto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. Sol: x = 200
euros.
c) Cuál será el valor de dicha rentabilidad. Sol: R(200) = 75 euros.
2. La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que:
a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible. Sol: x = y = 16.
b) La suma de sus raı́ces cuadradas sea lo mas grande posible. Sol: x = y = 16.
3. Dimensiones de un rectángulo de 100 m de perı́metro y área máxima. Sol: Cuadrado de lado
25 m.
4. El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene
dado por la función B(x) = 1,2x − (0,1x)3 donde x es el número de autobuses fabricados en
un mes. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio El beneficio máximo
correspondiente a dicha producción. Sol: x = 20 autobuses; B(20) = 16 millones de euros.
5. Halla dos números que sumen 20 y su producto sea máximo. Sol: x = y = 10.
6. Supongamos que el coste total de fabricación de 20 artı́culos viene dado por C(x) = 3x2 +x+48
euros.
a) ¿Cuál es el coste de fabricación de 20 artı́culos? Sol: C(20) = 1268 euros.
b) ¿Cuál es el coste de fabricación del vigésimo artı́culo? Sol: C(20) − C(19) = 118 euros.
c) Exprese el coste de fabricación medio por artı́culo como función de x. Cm(x) = C(x)/x.
d ) ¿Para qué valor de x es mı́nimo el coste medio? Sol: x = 4 artı́culos.
7. Suponga que usted es gerente de una empresa que comercializa un producto con la siguiente
estructura de costes:
Costes fijos: 300 euros.
Coste de mano de obra por unidad de producto: 1 euros.
Coste de materia prima: el 40 por ciento del coste de la mano de obra.
Sabiendo que la función de demanda es: p = 400 − 14 q, donde p es el precio de venta al público
y q el nivel de producción, se pide:
a) El nivel de producción y precio al que se maximiza la función de ingresos. Sol: q = 800.
b) El nivel de producción y precio al que se maximiza la función de beneficios. Sol: q = 797.
1
8. Se estima que los beneficios mensuales de una fábrica de golosinas, en miles de euros, vienen
dados por la función f (x) = −0,1x2 + 2,5x − 10, cuando se venden x toneladas de producto.
Se pide:
a) Calcular la cantidad de toneladas que se han de vender para obtener el beneficio máximo
y calcular éste. Justificar la respuesta. Sol: x = 17, 5 toneladas.
b) La cantidad mı́nima que se ha de vender para no tener pérdidas. Sol: x = 5 toneladas.
c) ¿Qué cantidad produce el máximo beneficio por tonelada vendida? Calcular el máximo
beneficio y justificar que es máximo. Sol: x = 10 toneladas; 500 euros por tonelada.
9. Encontrar dos números positivos cuyo producto sea 64 y tal que su suma sea mı́nima. Sol:
x = y = 8.
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representa en miles de euros, el beneficio neto de un
10. La función beneficio B(X) = −x +9x−16
x
proceso de venta, siendo x el número de artı́culos vendidos. Calcular el número de artı́culos
que deben venderse para obtener un benéfico máximo y determinar dicho beneficio. Sol: x = 4
artı́culo. B(4) = 9 mil euros.
11. Se sabe que los costes totales en fabricar x unidades de un determinado producto viene dados
por: C(x) = 3x2 − 27x + 108.
a) ¿Cuántas unidades deben producirse para minimizar el coste medio M (x) =
x = 6 unidades.
C(x)
.
x
Sol:
b) Justificar que la función coste medio M(x) no tiene puntos de inflexión. Sol: M 00 (x) =
324
6= 0.
x3
2