la harmonica de ptolomeo

165
El kano/nion es la regla que se coloca junto a la cuerda del “canon” o ins-
trumento para hallar las razones matemáticas de los intervalos (cf. Gaud. Harm.
350.19). Cuando durante la pulsación se encuentran los intervalos buscados, se
marca en la regla con una señal (shmei=on), con lo que se obtiene la medida.
166
Las “equivalencias” (gr. parametrh/seij) se establecen entre la regla y la
cuerda, llevando a ésta exactamente las mismas longitudes que están delimitadas en
el kano/nion por números.
167
Se refiere a los puentes fijos establecidos en EZB y HQG. La mayor ele-
vación de estos puentes es necesaria para hacer más claro el punto de contacto y
dividir así el segmento EH en dos secciones de tensiones claramente distintas. Barker (BPH, pp.197-199) ha estudiado los cambios de tensión en la cuerda al introducir un nuevo puente (que verosímilmente también será convexo, según 21.19) bajo
el segmento EH y ser algo más elevado que los fijos. Cuanto más se aproxime este
puente a uno de los puentes fijos, más tensión habrá en el segmento de cuerda más
corto. Barker señala que Ptolomeo no se detiene en este aumento de tensión de ambos segmentos (la tensión en ambos será igual cuando el puente móvil esté situado
en el centro de EH), pues al aumentar la tensión, la razón (lo/goj) ya no corresponderá exactamente a la que hay entre las alturas de los segmentos. No obstante, Ptolomeo pudo simplemente no contar con ella desde el principio.
168
Tou= kurtw/matoj grammh=j se refiere a las líneas EB y HG. Solomon
(op.cit., p.27, n.143) destaca las tres propiedades de los puentes en los puntos de
contacto con la cuerda: posición, igualdad y similitud. El texto implica que los nuevos puentes (más pequeños y móviles) han de ser curvos, como los fijos, aunque
Ptolomeo no lo dice claramente; suponemos esto porque la “línea central” de la
convexidad debe estar en estos puentecillos. Sin embargo Düring (op.cit., p.182)
consideró los puentes sin la curvatura, de modo que entonces la “línea” debería
quedar en la mitad de la convexidad (ku/rtwma) provocada en la cuerda por el puente. Lo que Ptolomeo reclama es que haya una total perpendicularidad entre los
puentes móviles y ABGD –pues con la tensión un puente modifica el ángulo con la
base imperceptiblemente– así como su paralelismo exacto con los puentes fijos; lo
419
más verosímil, a nuestro juicio, es considerar puentes móviles circulares a la vista
de 102.10-12, pasaje en que se estudia el problema que surge por la elevación de la
cuerda al pasar por el puente móvil, más alto que el fijo.
169
Gr. i)so/tonon. Hemos traducido “en igual tensión” aquí aunque en otras
partes del tratado (11.15, 13.2-3, etc) se ha hecho por “igualdad de tono”, porque
aquí cuenta más la tensión producida por le puente móvil que segmenta la cuerda,
que el “tono” como sonido identificable en una escala.
170
171
A otra parte de la cuerda.
Frente a i)so/tonon (21.21), Ptolomeo establece aquí la “similaridad de
tensión” (o(mo/tonon) entre dos partes “similares” de una cuerda (o(moi/oij,
a)nalo/goij). En realidad, estas consideraciones sobre la cuerda están destinadas a
evitar resultados erróneos o no congruentes, en el canon, con los establecidos por la
razón (a semejanza de lo que ocurre en los otros instrumentos descritos). To\
o(mo/tonon es una condición previa para el experimento, porque explícitamente EK y
KH deben ser (como también KL y LH entre sí) de “idéntica tensión”, 21.21
i)so/tonon. Por eso las partes iguales en longitud (mh=koj) deben tener una igual ten-
sión entre sí, y cada parte individualizada ser homogénea en esta tensión (21.21,
mi/an e)/xousi ta/sin).
EB – AB = 90º
LC – CD = 90º
KX –BX = 90º
172
Una vez terminada la crítica a la doctrina pitagórica con las correcciones
que Ptolomeo ha introducido, los siguientes capítulos pasan a revisar los postulados
de la escuela aristoxénica (cf. Boeth. Mus.V 13), una revisión que pone de relieve
420
sobre todo las diferencias de posiciones entre la tendencia pitagórica y la aristoxénica; las “incoherencias” de ésta última pueden no ser tales, sino el desarrollo de
axiomas diferentes con consecuencias diferentes. En el primero de los capítulos hay
dos ideas sobre las que descansa la crítica. De un lado, el hecho de que los aristoxénicos no definen las formas por sí mismas, creándose una circularidad en la que
cada término definido remite a otro que, a su vez, remite a otro, volviéndose al final
al término que en principio se quería definir. En efecto, en su exposición metodológica, Aristóxeno dice que “lo que requiere demostración no es fundamental”
(Harm. 55.3), sobre la idea del criterio de percepción como el fundamental; esta
postura sobre la indemostrabilidad de los principios es propia de la escuela
peripatética (cf. GMW, p.150, n.12 y Arist. APo. 76a33-4). De otro lado, la noción
de intervalo como “magnitud” absoluta con un tamaño independiente de la tensión
(lo que, como dice Ptolomeo, no se verifica en la organología) y por tanto la ausencia de noción de “excedente” (u(peroxh/), producto de la comparación de dos
magnitudes diferentes (dos cuerdas, dos velocidades). Es conocido el rechazo aristoxénico a la teoría del número en la a(rmonikh/, y la búsqueda de la inherencia en
los elementos de la ciencia (Aristox. Harm. 54.19 ss.). Ambas ideas, como se puede
ver, son complementarias. El capítulo se cierra con el problema que, a juicio de
Ptolomeo, surge al partir de presupuestos tales: la noción de consonancia (o
también de intervalo e)mmelh/j, cf. Ptol. Harm. I 7): ya afirmó que los intervalos
consonantes se expresaban en razones preferentemente superparticulares (ib., supra
15.8, cf. 13.8), lo que implica por supuesto una parabolh/. Aristóxeno, pues, al
considerar los intervalos como “lo contenido entre dos notas desiguales en tensión”,
con una noción de dia/sthma como algo topiko/n (cf. Porph. in Harm. 95.13 ss.) no
muestra el pw=j e)/xein pro\j a)llh/louj, y de ahí que no sea posible una definición de
consonancia. Pero, con todo, no lo sería de acuerdo a la teoría cuantitativa; la
consonancia es aprehendida, para el tarentino, de forma independiente por la
ai)/sJhsij y sin apelación a la reflexión acústica: cf. Aristox. Harm. 42.8 ss. y 54.19
ss., donde los intervalos se clasifican por su magnitud y por su carácter disonante o
consonante, aunque, según el tarentino ésta última depende de la primera, por lo
que, a falta de una definición de consonancia, ésta queda remitida a la percepción
de la magnitud del intervalo.
421
173
174
El caso de la octava más cuarta, cf. Porph. in Harm.124.3 ss.
La principal crítica ptolemaica al aristoxenismo se dirige contra el mo-
delo teórico de esta escuela, absolutamente ajeno a la matemática. Y lo que es más
grave quizá, como apunta Barker (BPH, p.90), es que siendo una escuela que se
basa en el criterio de la percepción, ésta tampoco corrobora sus propios resultados.
Aquí mousikh/ equivale a a(rmonikh/ según Solomon (op.cit., p.28 n.147), pero no
sólo a ella.
175
Con el sentido ya visto de “afección” en las condiciones auditivas (cf. I
1) que repercuten en la a)koh/. Pw=j e)/xein entre las notas es lo que condiciona un
determinado pa/Joj (cf. Aristox. Harm. 86.1), y esta “cierta relación” consiste para
Düring en general en las relaciones armónicas que guardan entre sí los sonidos.
Aristóxeno no utilizó el término con este sentido: en Harm. 14.14 se refiere a la
modificación de la voz según hablemos o cantemos; en 47.20 habla de pa/Joj como
lo que le sobreviene al me/loj cuando modula, y en 56.10 ss., donde la propiedad de
ser consonante cualquier consonancia más la octava es un tipo de pa/Joj.
176
Cf. Aristox. Harm. 20.19, la definición de intervalo (dia/sthma), to\ u(po\
du/o fJo/ggwn w(risme/non mh\ th\n au)th\n ta/sin e/xo/ntwn. Más adelante, Ptolomeo
(Harm. 23.11) utiliza, al hablar del lo/goj e)po/gdooj, la forma periexo/ntwn, que es la
equivalente en la tratadística posterior a w(risme/non: cf. Cleonid. Harm. 179.11-12 y
Anon. Bellerm. 22, to\ periexo/menon u(po\ du/o fJo/ggwn a)nomoi/wn tv= ta/sei.
177
Gr. eiÅdoj. En Ptolomeo contiene dos sentidos claramente definidos: de
un lado, el sentido filosófico (cf. supra. 4.7) procedente de la escuela aristotélica
que, junto con ai)/tion, es pertinente a uno de los criterios, el lo/goj; de otro lado, su
sentido musical, herencia de la escuela pitagórica (vid. infra)
Desde los niveles más altos de organización, en textos como los Anónimos
de Bellermann (19) se emplea el término para dividir en partes la música (e)/sti de\
th=j mousikh=j ei)/dh e(/c) con el sentido de me/rh (cf. Porph. in Harm. 5.25, Aristid.
Quint. I 4), entre las que se encuentra la rítmica, que según el autor anónimo distingue entre partes (me/rh) de los ritmos y sus formas (ei)/dh), como también distingue
422
en ei)/dh la métrica (cap.16). Si en el capítulo 19 se dice que la harmónica es la principal parte (me/roj) de la música, debemos concluir que en lo que a ésta y sus siete
distinciones (cap.13), el uso de eiÅdoj y de me/roj es idéntico, en el sentido aquí de
“división en partes de un todo”.
Pero más concretamente, el sentido de “forma” como “organización” puede
ser sinónimo a sxh=ma (vid. Michaelides, op.cit., pp.90 y 296), tal como había establecido Aristóxeno en Harm. 92.7 (diafe/rei d’ h(mi=n ou)de\n eiÅdoj le/gein h)\ sxh=ma),
en el sentido de la forma de aparición de la interválica de un tetracordio según la
naturaleza simple o compuesta de sus magnitudes (cf. más tarde Cleonid. Harm.
195.8 ss., Anon. Bellerm. 60-62 con los sxh/mata o ei)/dh de cuarta, quinta y octava,
y la elaboración ptolemaica en II, 3; además, en estos tratados anónimos [cap.2]
sxh/mata aparece con el sentido de disposición de la melodía, un “esquema de
construcción” melódica), en el sentido de “forma” o “esquema” de aparición de
intervalos en una consonancia sin tener en cuenta el género: surgen así los tipos de
cuarta, quinta y octava, tipos que están prefijados independientemente del género.
Este sentido de eiÅdoj está también presente en el tratado de Ptolomeo (Harm. 56.78), con la definición, diferente de la del tipo aristoxénica, poia\ Je/sij tw=n kaJ’
e(/kaston ge/noj i)diazo/ntwn e)n toi=j oi)kei/oij o(/roij lo/gwn.
Este sentido aristoxénico de “esquema interválico del tetracordio” es el que
nos aparece cuando se habla de los géneros de la melodía y sus “matices”, xro/ai
(cf. Anon. Bellerm. 53-54). Estos matices o “colores” son diferentes versiones de la
interválica de cada género, son
: Cleónides en 190.6 dice que la xro/a es
una ge/nouj ei)dikh\ diai/resij, “una división del género según el eiÅdoj”. Por su parte,
el género que no tiene “coloraturas” o xro/ai, el enarmónico, es monoeidh/j (Anon.
Bellerm. 52). En Ptolomeo no hay un uso de eiÅdoj con el sentido de xro/a, pero es
interesante notar que el término utilizado es i))de/a (cf. Harm. 120.4-5, au(/th te [sc. h(
a(rmoni/a] ga\r pa/lin trei=j i)de/aj perie/xei, th/n te e)narmo/nion kai\ th\n xrwmatikh\n
kai\ th\n diatonikh/n). Ptolomeo (Harm. 32.20) emplea para definir ge/noj la expre-
sión poia\ sxe/sij donde otros autores recurren a diai/resij (cf. Aristid. Quint.
15.21; Cleonid. Harm. 180.1; Bacch. Harm. 298.3; Gaud. Harm. 331.7, Nicom.
423
Harm. 282.12). Los ei)/dh de las consonancias se encuentran, por ejemplo, en Aristid. Quint.14.18 ss., Anon. Bellerm. 60-62, Cleonid. Harm. 195.4.
178
Así pues, según Ptolomeo los aristoxénicos ven el intervalo como un
cuerpo (sw=ma) delimitado por notas entendidas como puntos incorpóreos. No parece que tal concepción se desprenda de la misma obra del tarentino, pues aunque
Aristóxeno tiene un concepto radicalmente diferente del intervalo del que ofrece la
acústica pitagórica, no se encuentra en su tratado la caracterización que leemos
aquí. Aristóxeno estableció en estos términos el intervalo (Harm. 20.20-21.4):
dia/sthma d’ e)sti\ to\ u(po\ du/o fJo/ggwn w(risme/non mh\ th\n au)th\n ta/sin
e)xo/ntwn. fai/netai ga/r, w(j tu/p% ei)pei=n, diafora/ tij eiÅnai ta/sewn to\
dia/sthma kai\ to/poj dektiko\j fJo/ggwn o)cute/rwn me\n th=j barute/raj tw=n
o(rizousw=n to\ dia/sthma ta/sewn, barute/rwn de\ th=j o)cute/raj.
“el intervalo es el espacio limitado por dos notas que no poseen el
mismo grado. Por expresarlo con brevedad, el intervalo aparenta ser
una diferencia entre grados, un espacio susceptible de recibir notas
más agudas que el grado más grave y más graves que el grado más
agudo de los que limitan el intervalo”.
Este “espacio” o to/poj es una caracterización del intervalo que supone la
posibilidad de su división en dos partes iguales del intervalo, algo que, puesto que
aquél es una relación superparticular en su expresión numérica, es imposible (cf.
Euc. Sect. Can. prop.3). Aunque para el alejandrino cualquier descripción del intervalo que no esté basada en la relación entre dos magnitudes es errónea, los capítulos dedicados al aristoxenismo aquí y más adelante, en el recuento de los géneros
melódicos (Ptolomeo volverá en 34.12-16 sobre la concepción que del intervalo
como “espacio” tiene Aristóxeno) nos habla de la importancia capital que esta escuela tuvo sobre los estudios de teoría musical. Nótese que Ptolomeo dedica el
mismo esfuerzo para revisar los errores de los aristoxénicos que para los de los pitagóricos, y cómo la doctrina de Aristóxeno, ya sea por transmisión directa o indirecta, informan tratados tan dispares como los de Arístides Quintiliano, Ps.Plutarco
o los Anónimos de Bellermann.
424
Ahora bien, como señala Mathiesen (op.cit., p.443), aunque la noción de intervalo de Aristóxeno es radicalmente diferente a la concepción ptolemaica (que es
la pitagórica), es más bien en los epígonos aristoxénicos donde parece encontrarse
esta “incorporeidad” de las notas, a la vista de definiciones como las de Cleónides
(Harm. 180.4), to/noj de/ e)sti to/poj tij th=j fwnh=j dektiko\j susth/matoj a)plath/j,
“el tono es un cierto espacio de la voz, susceptible de recibir una escala, sin anchura” o Nicómaco (Harm. 261.6-7), w(j d’ e)/nioi, hÅxoj a)plath\j kata\ to/pon
a)dia/statoj, “como [dicen] algunos, [la nota es] un sonido sin anchura, sin exten-
sión respecto a un espacio” (recuérdese el pasaje ya citado de Ps.Plutarco, Placit.
Phil. 902-903, donde se establece que los aristotélicos establecen que el sonido es
incorpóreo). Es muy probable, entonces, que Ptolomeo refiera a estas fuentes como
esos “aristoxénicos” del epígrafe del capítulo, más que a Aristóxeno mismo, lo que,
según Mathiesen, nos hablaría del grado de profundidad en la lectura de la obra del
tarentino por parte de Ptolomeo. A nosotros no nos cabe duda de que con la etiqueta
de “aristoxénicos” el alejandrino se refiere a esos new/teroi que cita Nicómaco
(Harm. 261.5), pues generalmente Ptolomeo se refiere a los demás autores por su
propio nombre (el caso de Aristóxeno, de Dídimo o de Arquitas a lo largo del tratado) cuando quiere precisar, y a los aristoxénicos los trata como una “escuela” o
ai(/resij musical, cf. I 2; igualmente, en I 10 los ataques dirigidos contra el cálculo
del semitono son referidos a “los más recientes autores”, pero no a Aristóxeno
mismo.
También Teofrasto (ap. Porph. in Harm. 64.24-25) se refiere a esto: ou)de\
ga\r ta\ diasth/mata, w(/j tine/j fasin, ai)/tia tw=n diaforw=n, dio\ kai\ a)rxai/, e)peidh\
kai\ tou/twn paraleipome/nwn a)ei\ diaforai/, “pues no son los intervalos, como algu-
nos dicen, las causas de las diferencias y por ello sus principios, puesto que cuando
éstos son omitidos, las diferencias siempre [están]”: para los aristoxénicos, que una
nota tuviera una altura no suponía que tuviese una cierta magnitud, pero estaba en
una posición determinada en esta dimensión linear, que Teofrasto no admite sin una
diafora/ entre los sonidos, como Ptolomeo (vid. GMW, p.117, n.39).
179
Cf. Aristox. Harm. 27.15-16, e)/sti dh\ to/noj h( tw=n prw/twn sumfw/nwn
kata\ me/geJoj diafora/. La diferencia de la definición de Ptolomeo con la ofrecida
425
supra en 11.29 es que allí se trató de una conclusión de una demostración con premisas previamente adoptadas, mientras que el tratamiento aristoxénico es un círculo
que se remite a sí mismo; Aristóxeno expone en Harm. 54.16-19 las “condiciones
de estudio” para la harmónica, cuales son la aprehensión fenoménica, la distinción
de lo derivado de aquello que es su origen, y la consideración de la ocurrencia y su
consecuencia; y en 42.10 ss., donde dice que con la a)koh/, como criterio, kri/nomen
ta\ tw=n diasthma/twn mege/Jh. De ahí que aunque la crítica a la circularidad está
justificada (cf. ib. 55.3, to\ ga/r pwj a)paitou=n a)po/deicin ou)k e)/stin a)rxoeide/j), no lo
es tanto así el que la ai)/sJhsij no pueda construir por sí misma el intervalo sin apelar a otras instancias; si bien Ptolomeo se puede referir a excerpta aristoxénicos,
esto es un principio del propio tarentino; cf.además Harm. 51.16 ss. Para un peripatético como Adrasto (citado por Theo Sm. 53.5-7), el tono tenía un carácter “reconocible” (gnwrimw/tatoj) al ser la diferencia entre las dos primeras consonancias.
180
Que la percepción aprehende por sí misma las consonancias ya lo acep-
tó Ptolomeo: cf. Harm.12.18-20 y 27.4. Aquí el problema reside en la posibilidad
de la percepción de construir (y reconocer) un intervalo de una determinada magnitud; de ahí que Barker (op.cit., p.95) se pregunte si la frase ptolemaica “aunque la
percepción, si quisiera afinar un tono, no necesitaría antes de la cuarta o de alguna
de las demás, sino que sería capaz de constituir cada una de las diferencias de tal
magnitud por sí misma” (23.14-16) la dice Ptolomeo como ataque a la teoría aristoxénica o es una apostilla procedente del mismo aristoxenismo y traída como testigo de la incoherencia de la escuela. Es difícil decirlo, pero en el detenido examen
que Barker hace del argumento (op.cit., p.96), se demuestra que si se acepta que un
tono es construible o distinguible perceptivamente, entonces la referencia a otras
consonancias como cuarta o quinta en su definición no invalida ésta; ahora bien, en
principio habría que pensar en un tono de 9:8, pero Ptolomeo es consciente (vid.,
por ejemplo, 45.5 ss.) de que hay otros tonos (10:9) cuya diferencia “es insignificante” al decir de Ptolomeo, y no esperaríamos que una diafora/ como 81:80 fuese
construible mediante el oído. Es bastante probable que el intervalo de tono sesquioctavo fuese concebido por el aristoxenismo como directamente emitible y perceptible por la percepción, pues ya hemos visto cómo Adrasto (vid. N.Tr. anterior),
en un pasaje de clara raigambre aristoxénica, lo dice claramente. No parece, en fin,
426
que Ptolomeo pusiese muchos obstáculos al hecho de que la ai)/sJhsij sí pueda ser
competente en el caso del intervalo de tono, debido a sus características melódicas
y matemáticas, cf. 28.7-10 ss., “pues antes producirían un tono que un dítono, porque el tono mismo es melódico y está en la razón sesquioctava (...), y para los sentidos son más fáciles de aprehender los más proporcionados”.
181
Las doce partes de la octava representarían un intento de temperamento:
cf. el temperamento de Ellis, donde un cent es la centésima parte de un semitono
temperado, o 1/1200 partes de una octava.
182
En cuanto al carácter circular de las definiciones aristoxénicas, éstas se
basan en el poder de la percepción de reconocer directamente las consonancias
(Aristox. Harm. 68.10 ss.) –lo que apoya también Ptolomeo expresamente, Harm.
12.18-20, 27.4–, mediante las cuales los demás intervalos son construidos (sobre
esto, vid. Ptol. Harm. I 10). Pero éste es un argumento menor si lo comparamos con
la crítica ptolemaica a la noción de dia/sthma como me/geJoj en 24.10-11, porque
una vez establecido que el intervalo no es una relación (como quiere Ptolomeo ) y
sí un espacio fijado dentro de un continuum, la circularidad se mantiene, pues
siempre se puede partir de la percepción. Es más difícil, en cambio, refutar la crítica
de 24.10 ss.
183
El pasaje es oscuro. Aquello “de lo que forman parte los excesos” debe
de ser, sin duda, las notas, pues su desigualdad es lo que produce el intervalo (cf.
24.16). Por la demostración que a continuación presenta Ptolomeo, el hecho de que
las u(peroxai/ o excesos se vuelvan infinitos (a)/peiroi) o indeterminadas significa
que los intervalos aristoxénicos entendidos como “espacios” deberían entonces ser
entendidos, de acuerdo con el tarentino, siempre con el mismo tamaño, aunque,
muy al contrario, podemos ver que las distancias físicas en el auló, por ejemplo, son
menores cuanto más al agudo nos acerquemos. Ello sería prueba, entonces, para
Ptolomeo, de que los intervalos, si los concebimos como mege/Jh o como to/poi, no
pueden conservar su magnitud con independencia de la altura. Pero el alejandrino,
como señala Barker (op.cit., pp.98-99) yerra en su crítica, pues aun entendiéndose
el intervalo como espacio, para Aristóxeno también la consonancia de cuarta, por
ejemplo, es la misma siempre, sea la altura que sea a la que se encuentre (cf. Ptol.
427
Harm. 23.4-5), lo mismo que ocurre con el sistema de razones matemáticas. El “espacio” (to/poj) aristoxénico no es el espacio físico del auló, sino un continuum abstracto (cf. 20.4, donde Ptolomeo hizo la misma crítica de inexactitud de los instrumentos). Para Barker, en los pasajes aristoxénicos no hay nada que lleve a la identificación de ambos conceptos.
184
Cf. Nota a la edición, ad locum. El pasaje es controvertido porque Pto-
lomeo no parece demostrar mucha exactitud en el sistema de demostración de su
tesis. Barker (op.cit., pp.97-98) demuestra efectivamente la inviabilidad del experimento de Ptolomeo, pues si las letras designan distancias de cuerda o de auló,
entonces no delimitan intervalos sino notas; de ahí que sugiera entender el diagrama
del texto como una dia/stasij a la que hay que sobreenteder otra igual añadida, de
modo que tuviésemos la distancia OB, que haría una octava, y OA, que haría a su
vez la octava aguda de OB. De esta manera, la exposición queda salvada del error y
el resultado que arroja hace necesario leer e)la/ttwn-mei/zwn, con lo que la traducción quedaría “en el caso de que ajusten entre sí sus notas más agudas será menor,
pero en el caso de las más graves, mayor”; así Barker (GMW, p.294) y Düring
(PPM, p.38). Por su parte, la corrección de Düring (op.cit., p.184) se basa en una
redefinición del diagrama, donde AB no es una distancia (aunque Ptolomeo lo diga
expresamente, cf. 24.4 u(potiJei/shj ga\r th=j AB diasta/sewj) sino dos cuerdas diferentes a octava, A y B; como consecuencia, G y D son también cuerdas. Esta forma de ver el texto es más correcta acústicamente, pero creemos que aquí hay que
admitir que Ptolomeo no es muy correcto en los fundamentos físicos de su explicación (cf. BPH, pp.98-99), y lo que hace Düring es desvirtuar sustancialmente el
diagrama que aparece en su edición (y que es también el de Wallis) y crear un hiato
importante entre las palabras del propio Ptolomeo, que califica a A de “extremo
agudo” (tou= A nooume/nou kata\ to\ o)cu/teron pe/raj), es decir, extremo de la cuerda
y no “la cuerda más aguda”, y el diagrama y la interpretación que ilustran su traducción. Efectivamente, si A, B, G y D son cuerdas, y A es la más aguda, resulta la
dia/stasij AG menor que la de BD:
428
Según Düring, op.cit., p.38
Aquí, las “más agudas” son, claro está, D y A, y la u(peroxh/ entre G y A,
que forman una quinta, es menor que la u(peroxh/ entre B y D (que forman otra quinta).
Pero, como se ha dicho, esto es una forma –como la de Barker, loc.cit.– de
hacer que B y A formen un intervalo real entre sí por medio de la relación de dos
longitudes (de cuerda), que es como lo entiende siempre Ptolomeo (y no como una
distancia, cf. Ptol. Harm. 24.14-17, “pues lo consonante o lo melódico no es solamente una distancia vacía y una extensión, ni algo corpóreo, ni se juzga a partir de
una sola cosa –la magnitud–, sino de estas dos primeras y desiguales, los sonidos
que los producen”. Ahora bien, si AB es una dia/stasij, AB es una sola cuerda o
determinada extensión. Esto cambia necesariamente el resultado: como dice B.
Alexanderson (Textual Remarks on Ptolemy’s Harmonica and Porphyry’s Commentary, Göteborg 1969, p.10; cf. Solomon, op.cit., p.30, n.154), la quinta BG deja
una u(peroxh/ AD que es menor que la u(peroxh/ GB que deja la quinta AG.
Según Alexanderson, op.cit., p.10
A pesar de su incorrección en el planteamiento acústico, esta interpretación
se aviene mejor con las palabras del propio Ptolomeo y con Porfirio, in Harm.127.5
(en la mejor lectura, la de Düring siguiendo a V187). Es cierto que Ptolomeo nombra
429
con letras en muchos casos las cuerdas, pero también lo hace con dos (cf. Harm.
28.7).
185
Cf. Aristox. Harm. 20.20 ss., dia/sthma d’ e)sti\ to\ u(po\ du/o fJo/ggwn
w(risme/non mh\ th\n au)th\n ta/sin e)xo/ntwn (...) diafora/ tij eiÅnai ta/sewn to\ dia/sthma
kai\ to/poj dektiko\j fJo/ggwn ktl., y Porph. in Harm. 95.13-15 (también 125.22), oi(
d’ ’Aristoce/neioi topiko\n ti/Jentai to\ dia/sthma: to/pon ga\r eiÅnai fwnh=j a)ki/nhton,
e)n %Â kinou=men th\n fwnh\n phli/kon ti me/geJoj (...) a)fori/zousin, “los aristoxénicos
dicen que el intervalo tiene un carácter espacial: pues lo definen como un espacio
inmóvil de la voz, en el que movemos la voz de un determinado tamaño (...)”. La
teoría del intervalo aristoxénica se basa en una concepción espacial del intervalo, cf.
Aristox. Harm. 13.7-8 prw=ton me\n ouÅn a(pa/ntwn au)th=j th=j kata\ to/pon kinh/sewj
ta\j diafora\j Jewrh=sai ti/nej ei)si\ peirate/on, y de ahí Porph. in Harm. 95.13-15 o
Adrasto ap. Theo Sm. 53. La visión espacial es una magnitud en sí misma, comparable a otras magnitudes y medible en relación a las mismas, y por ello no una relación (pro/j ti) entre dos magnitudes numéricas, como se desprendía de la teoría
acústica ptolemaica (y la pitagórica en general). Es como si el me/loj transcurriese
en una línea infinita virtualmente, pero en realidad acotada por las limitaciones naturales de emisión y percepción. Las notas son puntos de tensión en esa línea, que
delimitan entonces fragmentos de ella, y de ahí la subsiguiente definición de Aristóxeno de dia/sthma. Es justamente lo opuesto a la “relación” que según Ptolomeo
configura el sistema acústico y armónico, según 12.2-9, donde diferencia muy bien
yo/foj y fJo/ggoj. La crítica de Ptolomeo va dirigida en este caso contra este con-
cepto de “espacialidad” (to/poj), pues no es “nada”; como argumenta Barker (PH
p.94), la localización espacial no es un atributo del sonido, aunque sí su altura, y la
variación de ésta es significativa. Una revisión crítica de esta concepción de la naturaleza de los intervalos y su modo de producción se adelanta por Teofrasto (=
Porph. in Harm.64.24 ss.): para Teofrasto, no son los intervalos mismos las causas
de las diferencias, pues “si se dejan a un lado las diferencias, siempre existen” (ib.
64.25, e)peidh\ kai\ tou/twn paraleipome/nwn a)ei\ diaforai/). Para Ptolomeo estas
magnitudes aristoxénicas no son nada (24.11-12, ta\ de\ mege/Jh mhJeno/j). Y aún
más decisivo: según Ptolomeo una consonancia o un intervalo melódico es un especial tipo de relación –como explicitó en I 7– y por tanto necesita dos elementos
430
distintos. La magnitud por sí misma no es consonante o melódica; queda, al contrario, definida por la relación entre los dos fJo/ggoi que la delimitan, 24.16 a)lla\ du/o
tw=n prw/twn (cf. 12.2-9) kai\ tou/twn a)ni/swn: no se trata de corporeidad o incorpo-
reidad (24.14-15) sino de una relación entre desiguales. Con lo propiamente establecido por Ptolomeo, la crítica al aristoxenismo venía dada.
186
Que Ptolomeo critique la concepción aristoxénica de la dia/stasij kenh/
no implica que adopte una posición conscientemente estoica, como mantiene
Schönberger (op.cit., p.85), al menos tal y como se lee en Ps.Plutarco Placit. Phil.
902F11 ss.: cf. supra Harm. 3.2. Ya hemos visto la doctrina de Ptolomeo sobre el
origen de los intervalos como pro/j ti en I 4.
187
188
Una de las propiedades del lo/goj como criterio, según vimos en I 1.
La crítica a los capítulos pitagóricos ha consistido en una corrección; a
los aristoxénicos, en cambio, se les ataca con una ejemplificación de que la
ai)/sJhsij no llega a las menores distinciones, como el autor apuntó en el primer
capítulo. Aquí subyace una discusión sobre los criterios (cf. 27.1-14) con los que se
confronta la magnitud de la consonancia de cuarta, sobre todo en lo referente al
intervalo que queda una vez hemos distinguido dos tonos: si se trata de un semitono, mitad exacta de un tono, como suponen los aristoxénicos, o bien tiene una magnitud menor, como supone la escuela pitagórico-platónica. Este problema de la
magnitud de la primera consonancia está recogido por Adrasto (citado por Theo
Sm. 67 ss.), quien establece la posición de Aristóxeno (dos tonos y medio, cf.
Harm. 30.20 ss., 57.2, 70.4 ss.) y la de Platón (dos tonos y lei=mma, intervalo éste
“incapaz de ser expresado” y con una u(peroxh/ entre sus términos de 13; cf. Ti.
36b). El capítulo se estructura en tres partes: a) exposición de la demostración aristoxénica de que cuarta = 2 tonos ½ por medio de la afinación por consonancias; b)
demostración racional de que la consonancia no cuenta con un semitono de tipo
“temperado”; y c) evidencia racional de la desviación del semitono aristoxénico
respecto al lei=mma.
431
189
La consonancia menor es la cuarta, que contiene efectivamente dos to-
nos y medio; el error no está en esta medida, sino en lo que se entienda, como veremos, por ese “medio”.
190
Conforme a los criterios ptolemaicos, el lo/goj es quien aporta la fiabili-
dad en las más pequeñas diferencias o intervalos, a diferencia de la capacidad que
para ello tiene la ai)/sJhsij aristoxénica: cf. Ptol. Harm. 4.22 ss. Este lo/goj es el
que está expresado en 26.5.
191
Esta demostración procede, en última instancia, de Aristóxeno (Harm.
70.5 ss.), pero Ptolomeo no la sigue fielmente. La demostración se sostiene en tanto
que se supone un tono divisible en dos semitonos iguales y que dia/sthma es igual a
to/poj. Como apunta Düring (op.cit., p.185), au)toi\ me\n (Ptol. Harm. 25.8) se opone
a o( de\ lo/goj (26.5) por lo que hay que entender que la demostración aristoxénica
apela desde el principio a la corroboración del oído: cf. Aristox.Harm.70.14-16,
tou/twn d’ ou(/tw prokateskeuasme/nwn tou\j a)/krouj tw=n w(risme/nwn fJo/ggwn e)pi\
th\n ai)/sJhsin e)panakte/on. Pero ésta es siempre la perspectiva del tarentino: cf. la
demostración “por consonancias” en Euc. Sect. Can. prop.17 y Ps.Plut. de Mus.
1145B-C.
192
El lei=mma es el intervalo que “resta” (cf. lei/pein) cuando a una cuarta de
razón 4:3 le restamos dos tonos: (4:3): [(9:8).(9:8)] = 256:243, que ya fue enunciado por Filolao como di/esij, aquello que queda en la cuarta (sullaba/) después de
dos tonos: cf. DK 44B6, di’ o)ceia=n de\ tri/a e)po/gdoa kai\ di/esij, sullaba\ de\ du/’
e)po/gdoa kai\ di/esij. Es la prueba, además, de que un tono, en tanto que razón su-
perparticular, no puede ser dividido en dos partes iguales (cf. Euc. Sect. Can.
propp.3 y 16). Constituye el llamado “semitono menor” (e)/latton) frente al “mayor” (mei=zon), llamado también a)potomh/, de razón 2187:2048 (cf., por ejemplo,
Anon. Bellerm. 76); la diferencia entre ambos semitonos es la ko/mma (razón
531441:524288). El leima o resto se encuentra en el Timeo platónico (36b), es demostrado por Euclides (Sect. Can. prop.15, to\ dia\ tessa/rwn e)/latton du/o to/nwn
kai\ h(mitoni/ou) y a Ptolomeo, que lo incluye dentro de su género diatónico ditonal,
le sirve para refutar la medida de la magnitud de la consonancia de cuarta según
432
Aristóxeno, quien la había fijado en dos tonos y un semitono (cf. Aristox. Harm.
31.2, 57.2 etc.; su demostración en 70.3 ss. = Ptol. Harm.25.9 ss.). Podemos encontrar la explicación del término leima en fuentes como Adrasto (ap. Theo Sm. 70.36): dei= ei)de/nai o(/ti e)sti [sc. to\ lei=mma] tou= dia\ tessa/rwn: t%= ga\r dia\ tessa/rwn
lei/pei pro\j to\ ge/nesJai du/o h(/misu to/nwn telei/wn, e igualmente Gaudencio 343.1
ss., quien lo refiere como el intervalo leipo/menon, y así, dio/per lei=mma e)klh/Jh.
Más lejos apunta Arístides Quintiliano (96.3) cuando lo explica dia\ to\ duste/kmarton th=j i)so/thtoj e)ka/lesan oi( palaioi/.
Los teóricos que aceptan la medida del leima se esfuerzan por diferenciarlo
del h(mito/nion, probando que aquél es menor que éste (algunos polemizan directamente contra él, como Panecio [ap. Porph. in Harm. 65.26 ss.], kai\ kata\ mousikh\n
de\ to\ lego/menon h(mito/nion kata/xrhsi/j e)stin o)no/matoj). El procedimiento suele ser
similar, aunque cada autor presenta variaciones en el desarrollo. Para mejor entender la posición de Ptolomeo y establecer sus dependencias, veremos en las notas
siguientes la forma en que los teóricos hacen la operación; de cualquier forma, en
general son dos las operaciones, una derivada de la otra: primero, calcular el leima
como valor relativo en la magnitud de la cuarta; segundo, calcular la diferencia entre el semitono y el leima.
193
Adrasto (ap. Theo Sm. 86.15-87.3), Arístides Quintiliano (96.26),
Gaudencio (Harm. 342.7 ss.) y otros autores muestran otros números más bajos:
256, 243, 216 y 192 (los dos extremos son el resultado de 4:3 multiplicado por 64).
Pero estos números no son los “primeros” en el sentido de que para los intereses de
Ptolomeo (mostrar la división de un tercer tono), las cifras tradicionales mencionadas no sirven, pues como indica Porfirio (in Harm. 130.8-21), 243 no tiene
sesquiáltero (se entiende, como número entero): se multiplican entonces por 8, pues
sí lo tiene 1944. Los números de Ptolomeo proceden de la división del Universo
que aparece en el Timeo y generados de la serie 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27, con operaciones
tendentes a evitar los números racionales, como ya advirtió Platón (R. 525d), cf. C.
González Ochoa, La música del universo, Universidad Nacional Autónoma de
México, 1994, p.62.
433
194
O lo que es igual, 1728:1536 = 9:8 (lo/goj e)po/gdooj); 1944:1728 = 9:8
(lo/goj e)po/gdooj); 2048:1536 = 4:3 (lo/goj e)pi/tritoj); 2048:1944 = 256:243 (lei=mma).
En cuanto al cálculo del leima en función de las restantes magnitudes que
componen la cuarta, Adrasto (ap. Theo Sm. 86.15 ss.) y Gaudencio (Harm. 342.726) duplicaron los términos de la razón del tono, 9:8, de forma que se obtienían 64
(= 8x8), 72 (= 9x8), 81 (= 9x9); cada uno de estos números es sesquioctavo del
anterior. Ahora, para tener la razón 4:3 respecto al primer término (64), se obtiene
85,33 (Gaudencio: pe / kai\ tri/tou), un número que hay que evitar para esquivar los
racionales: para ello se multiplican todos por 3, obteniéndose la serie 192, 216, 243
y 256. En la serie proporcional, hallamos la razón del leima en 243:256. Ptolomeo,
por su parte, utilizará números de la serie del Timeo platónico (vid. infra 26.8-22).
195
Igualmente, 2187:1944 = 9:8 (lo/goj e)po/gdooj). Efectivamente, la razón
2187:2048 es mayor que 2048:1944:
2187_____(139)_____2048_____(104)_____1944
196
Por un lado, (2048:15=136,53)< 139 < (2048:14=146,28); y por otro,
(1944:19=102,31)< 104 <(1944:18=108). Luego (2187:2048) > (2048:1944), y la
fracción menor (to\ e)/latton tmh=ma) queda dentro de la consonancia de cuarta, pues
ésta llega, desde 1536, hasta 2048. De hecho, (2048:1944) = [(256:243)·8], la razón
del a)potomh/ (cf. Porph. in Harm. 130.18, a)/ra o)kta/kij gi/gnontai oi( a)riJmoi\ oi(
aflj ktl.). Para otra reescritura diferente de la operación de Ptolomeo, vid. Mathie-
sen, op.cit., p.443.
197
Un locus perplexus cuya lectura puede tener más de un sentido, en fun-
ción de si hacemos una pausa antes o después de a(marti/an: este acusativo puede
ser entendido como complemento de u(polhpte/on (en oposición a ma/xhn), o bien
dentro del período siguiente. Düring (op.cit., pp.185-186) menciona todas las interpretaciones ofrecidas, a las que podemos añadir aquí la traducción de Barker
(GMW, p.297), que no seguimos en absoluto: “One should not suppose that this sort
of conflict is between reason and perception, but that is the fault of those who adopt
erroneous premises, the more recent of them having employed a combination based
434
on both sets of criteria”. Las dos puntuaciones son aceptables, y a pesar del argumento de autoridad de Porfirio, que entiende a(marti/an h)/dh tw=n newte/rwn (in
Harm. 130.27-28), nosotros seguimos la interpretación de que a(marti/an sea complemento directo de u(polhpte/on, sin entender un zeugma (cf. Ptol. Harm. 28.2-3).
A su vez, u(potiJeme/nwn puede referirse a personas (17.18) y a cosas (cf. Porph. in
Harm. 130.26-27), y ambas interpretaciones son aceptables. Los new/teroi son los
teóricos aristoxénicos, cf. la misma expresión en Nicom. Harm. 261.5, 263.23, aunque también, como apunta Barker (BPH, p.105) pueden englobar al tipo de autores
que se mueven entre una consideración matemática de la harmónica y la incorporación de material aristoxénico (por ejemplo Arístides Quintiliano, Teón de Esmirna,
Nicómaco, etc); no obstante, este capítulo está dedicado a ellos, y hay que recordar
que Ptolomeo en 6.24-7.11 bosquejó un esquema de las escuelas musicales: allí se
decía de los aristoxénicos que do/ntej toi=j dia\ ai)sJh/sewj katalambanome/noij
o(dou= pare/rgon w(/sper katexrh/santo t%= lo/g%, kai\ par’ au)to\n kai\ para\ to\ fai-
no/menon (...) para\ to\ faino/menon de\ o(/ti kai\ tou/touj (sc. tou\j a)riJmou\j) e)pi\
a)noikei/wn tai=j ai)sJhtikai=j sugkataJe/sesi paraba/llousi merismw=n. Es decir,
que en lo que respecta a la percepción (ai)/sJhsij), los aristoxénicos, a pesar de que
la tomaban como criterio, no se mantenían coherentemente en ella, pues la sugkata/Jesij ai)sJhtikh/ ofrece unas divisiones que después no guardan coherencia con
los números asignados a ellas. Lo que Ptolomeo hace en 27.1 es explicitar el problema aún más. Aquí sugkata/Jesij no significa “combination”, como entiende
Barker, sino que es usada en el mismo valor que en el pasaje ptolemaico anteriormente citado. En el caso de 27.1 va contra el lo/goj porque los aristoxénicos están
utilizando el criterio perceptivo en los intervalos menores, algo que Ptolomeo no
puede aceptar puesto que estableció que la percepción no es fiable en tales intervalos (en I 1). Por eso para la refutación de esta incorrecta aplicación de los criterios,
Ptolomeo hace uso de las matemáticas, o lo que es lo mismo, del lo/goj.
Y por otro lado, esta aplicación de los criterios va contra la ai)/sJhsij (al
igual que en 7.11), porque inmediatamente después (27.4-14) Ptolomeo dice que la
ai)/sJhsij coincide a gritos con las medidas numéricas que ofrece el canon en los
intervalos consonantes; hecho que, entonces, obvian los aristoxénicos al omitir dichas medidas (los lo/goi e)pi/tritoi o h(mio/lioi). Si esto es así, no es coherente que
435
entonces entiendan la cuarta como dos tonos y un semitono exacto, pues entonces
ya no tendrímos razón sesquitercia de 4:3 exacta, como reconoce (ke/kragen) la
percepción.
Se puede remitir 27.5-6 a supra 5.2-3, donde los intervalos son tomados
mediante el oído pero comprobados indefectiblemente con la razón; en 27.5, con el
monocordio, se confirma, efectivamente, la primera impresión del oído (también en
las consonancias). El problema de los aristoxénicos, según Barker (op.cit., p.103),
residiría en que las consonancias son afinadas de oído –sin problemas– pero no
confrontadas con aquéllas que da la razón (el canon monocordio), y por tanto contienen un elemento, por mínimo que sea, de inseguridad. Ésta es la diferencia, según Ptolomeo, en el establecimiento de las hipótesis (27.2). Pero nos parece éste un
punto problemático dada la insistencia de Ptolomeo, a pesar de esto, en la solvencia
de la ai)/sJhsij para la aprehensión de las consonancias (cf. 12.18-20, 23.15-16,
27.4) así como para los intervalos de gran tamaño, por lo que la comprobación de
las consonancias con un procedimiento racional no debería ser una exigencia del
sistema. Esta exigencia de confrontación racional, no obstante, es la que lleva, al
final del razonamiento ptolemaico, a la exigencia de reconocer que el intervalo que
resta del dítono y la cuarta es el leima, dos de los cuales no hacen un tono. Por ello
la quinta nunca se alcanzaría correctamente (27.5). Pero a pesar de todo, señala
Barker, Aristóxeno dejó una puerta abierta a la posibilidad de error (cf. Aristox.
Harm. 70.16-19) pues toda la demostración debe ser sancionada por el oído.
198
Long (op.cit., p.169 y 178, n.50) ha puesto de relieve la semejanza del
texto ptolemaico (mo/non ou) ke/kragen) con S. E. M. VII 257 mo/non ou)xi\ tw=n trixw=n
(…) lamba/netai (sc. h( katalhptikh\ fantasi/a).
199
200
Sc. oi( new/teroi, cf. Porph. in Harm. 130.3.
La crítica tiene su fundamento en lo expresado anteriormente en las
capacidades de cada uno de los criterios en lo que a su exactitud en la aprehensión
de intervalos se refiere (cf. 5.8-6.3): la ai)/sJhsij es competente para los intervalos
mayores (por ejemplo, la cuarta y la quinta, como acaba de declarar Ptolomeo),
pero necesita del lo/goj para los más pequeños. Según Ptolomeo, los aristoxénicos,
436
aún basándose en la percepción como criterio único, estarían haciendo justo lo contrario (cf. BPH, p.102).
201
Gr.tai=j prw/taij kai\ kuriwte/raij, sc. kri/sesi siguiendo a Düring,
op.cit., p.187, pero cf. Porph. in Harm.131.9-10, ma=llon de\ prosa/ptousi kri/seij
e)nanti/aj tai=j prw/taij kai\ kuriwte/raij tw=n lo/gwn, h(mioli/ou le/gw kai\ tou=
e)pitri/tou.
202
Conforme a Euc. Sect. Can. prop.3 (152.1-3), Epimori/ou diasth/matoj
ou)dei\j me/soj, ou)/te eiÂj ou)/te plei/ouj, a)na/logon e)mpesei=tai a)riJmo/j.
203
El segundo de los cálculos está destinado a la comparación entre semi-
tono y leima, una demostración que remite a Euc. Sect. Can. propp.3 y 16 y cuyos
cálculos parecen haber sido un lugar común en las matemáticas aplicadas a la harmónica, como se desprende de los pasajes que citaremos. Ptolomeo pudo conocer
tales pasajes y sin duda intentó mejorar la demostración. Así, que la división más
aproximada de 9:8 sea 17:16 y 18:17 lo admiten Arístides Quintiliano (95.20 ss.) y
Gaudencio (Harm. 343.1-10) mediante la operación de doblar los o(/roi de la razón:
8·2=16, 9·2=18, dos números (16 y 18, entre sí en relación sesquiáltera) entre los
que se encuentra el 17 (cf. Procl. In Ti. II 179, 18 ss. y Aristid. Quint., loc.cit.: tou\j
prokeime/nouj o(/rouj diplasia/santej e)poi/hsan me\n e(kkai/deka kai\ o)ktwkai/deka,
metacu\
de\
tou/twn
euÂron
e)mpeso/nta
to\n
e(ptakai/deka).
Así, el lo/goj
e)fekkaide/katoj (17:16) es mayor que el e)feptakaide/katoj (18:17; estos dos lo/goi
sumados dan 9:8), de modo que, según Gaudencio, el leima no es el semitono como
mitad exacta del tono, pues (18:17)·(18:17) no resulta 9:8. Gaudencio recalca que
no sólo 18:17 no es el semitono aristoxénico, sino que incluso 18:17 no es el leima,
pues éste es aún menor (vid. infra). ¿Cuál es entonces el valor del semitono aristoxénico? Lógicamente, sería mayor que 18:17 pero menor que 17:18 (Ptol. Harm.
27.19). Un intento es el de Adrasto citado por Teón de Esmirna (69.12 ss.), quien
mantiene que el semitono es 17:16 (to\ h(mito/nion di\j e)po/gdoon e)/stai, toute/stin
e)fekkaide/katon); ahora bien, 17:16 no es la media geométrica de 9:8. Pero supo-
niendo como semitono 17:16, entonces 17 supera a 16 por 1:16 (cf. GMW, p.223
n.61); en el caso del leima, con quien lo compara, 13 (su u(peroxh/ entre los términos; cf. Boeth. Mus. III 5 [= Philol. DK 46A26] extrae esta cifra al considerar el
437
tono como 27, siendo así 13 el lei/mma, 14 el a)potomh/ y 1 la ko/mma; vid. E. Frank,
Plato und die sogenannten Pythagoreer, Darmstadt 1962, pp.265 ss.) es menor que
1:18 de 243 (ib. 69.15-16, ta\ de\ ig / tw=n smg / e)stin e)n lo/g% plei/oni
o)ktwkaideka/tou: 243:18>13). Ptolomeo sigue este procedimiento, y mientras que
Adrasto sólo operaba con una razón (17:16), el alejandrino intenta hallar una cifra
entre dos razones, 17:16 y 18:17, una cifra entera que se añada a la u(peroxh/, 13:
sólo es posible situar el 15 entre 1:16 de 243 y 1:17 de 243 (si el semitono está entre 17:16 y 18:17, tiene que hallarse entre 1:16 y 1:17 del denominador, es decir, de
243). Así, 15 se suma a 243 resultando 258, y hallamos que 258:243 es la razón del
semitono aristoxénico; restándole el leima, vemos que la desviación es de 129:128
(13,47 cents). Establecida la diferencia con el semitono, el leima se sitúa, dentro de
la sucesión de números racionales, menor que 19:18 pero mayor que 20:19 (vid.
nota 345): así Arístides Quintiliano (loc.cit.), quien dice que el leima es aproximadamente 20:19 más 505:504; Anon. Bellerm. 75 lo sitúa de otra manera: mayor que
1:18 pero mayor que 1:19, o sea, 1+(1:18,692307); Ptolomeo, más adelante (50.910), lo establecerá de una manera mucho más simple: e)la/ttwn me\n gino/menoj tou=
e)pi\ ih’, mei/zwn de\ tou= e)pi\ iJ’, “resultando menor que 19:18 pero mayor que 20:19”.
Gaudencio (loc.cit.) sólo dice que es menor que 18:17 pero en Teón (86.15-87.3)
leemos incomprensiblemente que es mayor que 18:19 (ta\ snj /... o(/j e)sti plei/wn h)\
e)poktwkaide/katoj).
204
Cf. supra 5.12-15 con el mismo razonamiento. Barker (BPH, p.103) cri-
tica a Ptolomeo, pues éste no parece tener en cuenta que Aristóxeno sí concibe que
la percepción perciba sin ayuda la cuarta, de modo que tampoco la necesitaría para
tres cuartas: el “error acumulado” de Ptol. Harm. 5.15 ss. no se produciría entonces.
En cuanto al dítono, no se trata de que “no sean capaces de producirlo una sola vez”
(28.6), pues para Aristóxeno tal intervalo no se produce de inmediato por la percepción, sino mediante el movimiento de consonancias (Aristox. Harm. 68.15 ss.).
Barker rechaza la argumentación ptolemaica sobre la base de que, siendo la demostración aristoxénica sostenida por los intervalos distinguibles mediante la percepción sin error (y que Ptolomeo también acepta, cf. 23.15, 12.18-20, 27.4), la teoría
de los aristoxénicos no está diseñada para el discernimiento de la justa dimensión
del semitono, y por tanto Ptolomeo no puede exigir a los aristoxénicos la diferencia
438
con el leima. En realidad, el método de las consonancias de Aristóxeno sólo toma
de oído las consonancias de cuarta y quinta, lo cual no ofrece problemas; ni siquiera
lo hace así con el dítono, como Ptolomeo afirma. Sugiere Barker (op.cit., p.103,
n.10) que quizá haya que suponer una fuente intermedia entre Aristóxeno y Ptolomeo; de hecho, éste se refiere a los “más recientes autores”.
205
Aristóxeno, en cambio, sí halla en cambio el dítono mediante consonan-
cias: cf. Harm. 70.3 ss.
206
Es decir, “simple” en el sentido de no estar compuesto por dos interva-
los sucesivos, cf. Aristox. Harm.9.11-12.
207
El capítulo 11 es el último del bloque crítico al aristoxenismo –más ade-
lante volverá a la doctrina de los géneros del tarentino en I 12–, y constituye otra
vuelta de tuerca en su ataque al uso de la ai)/Jhsij como criterio en los intervalos
más pequeños: la conclusión que se desprende es que un intervalo como la diferencia entre una octava de razón 2:1 y seis tonos, la llamada coma pitagórica (aunque
Ptolomeo no le da nombre) ni siquiera es percibido. En efecto, (9:8)6: (2:1) =
531441:524288, aproximadamente 24 cents. Éste es un intervalo nada despreciable
(incluso mayor que la diferencia entre semitono y lei=mma, 13 cents) si pensamos
que tal desajuste constituye el problema del círculo de quintas en la afinación pitagórica y es el origen de la aparición de los temperamentos posteriores: dicha coma
pitagórica también es la diferencia entre doce quintas justas (el círculo completo) y
siete octavas, así como la diferencia entre a)potomh/ y lei=mma. La existencia de dicho intervalo, o mejor, el conocimiento del desajuste entre octavas y quintas era
conocido por Euclides, que lo formula, de manera más simple que Ptolomeo, en la
Sectio Canonis, propp.9 y 14: en la prop.9 se declara que seis intervalos sesquioctavos son mayores que uno doble (157.5-6, ta\ e(\c e)po/gdoa diasth/mata mei/zona/
e)sti diasth/matoj e(no\j diplasi/ou) y en la 14 que una octava es menor que seis
tonos (160.20, to\ dia\ pasw=n e)/latton h)\ e(\c to/nwn). Ptolomeo, dentro de su posición
pitagórica, acepta también los cálculos pero los da por demostrados.
Por tanto, este capítulo 11 es complementario del anterior: si se demuestra
que una cuarta (4:3) es menor que dos tonos y medio, la octava (2:1) debe ser me-
439
nor que seis tonos, una magnitud ésta que aceptan los aristoxénicos. La prueba del
desajuste la realiza Ptolomeo en el canon, aumentando el número de cuerdas hasta
ocho. Como ya antes (cf. supra 20.19 ss.), hay una preocupación por las condiciones de la prueba: la igualdad en todas las cuerdas se logra por el hecho admitido
(30.14-16) de que el mayor grosor de una cuerda se ve compensado por el exceso
de tensión de la más fina, en longitudes iguales y siempre según la misma proporción según Ptolomeo (en la idea de que la tensión se consigue con el menor grosor;
de ahí las características de A y B, “compensadas” mutuamente y produciendo dos
sonidos i)so/tonoi, cf. 30.6-7 y supra 9.1-3 con los mismos presupuestos físicos).
Este argumento de la compensación no es nuevo, pero sirve a otros autores para
exponer otros problemas, como la asignación de números grandes a notas graves
(Adrasto, ap. Theo Sm. 65.13-22, du/o ga\r i)/swn to/ te mh=koj kai\ pa/xoj xordw=n kai\
taÅlla o(moi/wn to\ plei=on ba/roj dia\ th\n plei/w ta/sin to\n o)cu/teron poih/sei fJo/ggon.
e)pei\ ga\r to\ plei=on ba/roj plei/w ta/sin poiei=, plei/ona th\n e)/cwJen prosdi/dwsi
du/namin t%= kat’ au)to\n o)cute/r% fJo/gg%, e)la/ttona dia\ tou=t’ e)/xonti th\n i)di/an
i)sxu\n tou= e)carth/matoj. dh=lon w(j a)ntestramme/nwj o( baru/teroj, th\n oi)kei/an au)tou=
du/namin plei/w kekthme/noj tou= e)carth/matoj, e)parkei= pro\j to\ sw/zein th\n oi)kei/an
a(rmoni/an te kai\ sumfwni/an) o dar argumentos contra la teoría cuantitativa del so-
nido (Thphr. ap. Porph. in Harm. 63.11-14, e)n de\ tai=j xordai=j to\ i)/son kata\
Ja/teron dh=lon: o(/s% ga\r eu)tonwte/ra h( th=j leptote/raj ta/sij, tos%/de h( a)nei=sJai
dokou=sa paxute/ra: ou(/tw te o(/s% i)sxuro/teroj o( hÅxoj e)k th=j lepto/teraj, tos%/de
baru/teroj o( e(/teroj). Cf. también Nicom. Harm. 243.17-20 (tw=n me/n ge e)ntatw=n ai(
ta/seij
ai(
mei/zonej
kai\
eu)tonw/terai
mei/zonaj
kai\
o)cute/rouj
fJo/ggouj
a)perga/zontai, ai( d’ o)ligw/terai nwxeleste/rouj te kai\ barute/rouj). Ptolomeo re-
coge este lugar para asegurar la fiabilidad y la homogeneidad de su demostración,
pues no en vano dispone de todo el aparato físico-acústico pitagórico que desplegó
en el capítulo 3, y que permite verificar mediante la ai)/sJhsij que la coma pitagórica existe.
208
En la obra conservada de Aristóxeno no se dice tal cual, pero por su-
puesto es inferible de su demostración de que la cuarta está compuesta de dos tonos
y un semitono, así como su supuesto de que el tono es divisible en dos partes iguales (Harm. 69.8 ss.; cf. 71.5-6, th=j u(peroxh=j ou)/shj toniai/aj te kai\ ei)j i)/sa divrh440
me/nhj wÂn e(ka/teron h(mito/nion). Explícitamente lo leemos, sin embargo, en el aris-
toxénico Cleónides (Harm. 194.7-9): ...to\ dia\ pasw=n, to/nwn e(/c, oiÂo/n e)sti to\ a)po\
proslambanome/nou e)pi\ me/shn. De nuevo se hace evidente que Ptolomeo está usan-
do material más reciente y no el tratado del mismo Aristóxeno.
209
A juicio de Düring (op.cit., p.189) y Alexanderson (op.cit., p.11) se trata
de Aristóxeno. Solomon (op.cit., p.35) dice que Ptolomeo tiene en cuenta la música
de su época, pero sin duda es una referencia a cualquier músico competente cuya
ai)/sJhsij no sea motivo de duda de cara al dilema que viene a continuación (28.20
ss.); es improbable que Ptolomeo se refiera al tarentino llamándolo así después de
la crítica vertida, además del hecho ya comentado de que no parece que se esté refiriendo a él mismo.
210
Por ejemplo, una sucesión do-re-mi-fa#-sol#-la#-si#, donde para la afi-
nación pitagórica no son iguales las notas do-si#. En el libro III de la Harmónica de
Aristóxeno no se halla la posibilidad de secuencia semejante.
211
Esto es, modificando la afinación de las cuerdas y produciendo tonos
menores.
212
213
Es decir, nuestra percepción.
Es decir: (a) si la percepción es fiable (pues ocurre tal cosa, por ejemplo
en el caso de la octava, incluso careciendo la nuestra de a)sJe/neia), entonces la
razón (lo/goj) demostrará que es falso, algo que no les agradaría a los aristoxénicos,
según Alexanderson (op.cit., p.11); o bien (b) si se debe a la falta de exactitud de la
percepción, otro problema será la perfecta aprehensión de los dítonos (para la cuarta), porque el incremento es mayor, cf. supra 5.12-26.
214
Es decir, la misma razón interválica dispuesta varias veces (y cuyo pro-
ducto resultase un intervalo consonante). Esto se debe a que un intervalo superparticular, como dice Sectio Canonis, no puede dividirse en dos de forma igual (asimismo Ptol. Harm. 27.16-17). Esto es justamente lo que hacen los aristoxénicos,
que suponen una suerte de sistema temperado.
441
Nuestra traducción sigue la interpretación de Düring, que consideramos la
mejor. Los escolios, así como Barker (GMW, p.299) y Alexanderson (op.cit., pp.1113) suponen “cuerdas” donde Düring entendía “magnitudes” (Wallis “diferencias”).
Esta última interpretación es superior, pues da sentido a lo que viene a continuación, y es un colofón a lo dicho antes por Ptolomeo acerca de los seis tonos en sucesión y la razón doble. El sentido del texto, aunque redactado por Ptolomeo de
forma esquiva, es que el resultado de la repetición sucesiva de un mismo intervalo
no da lugar a ningún intervalo consonante, ya antendamos al número que componga
tal repetición, ya a su igualdad (para otras interpretaciones, vid. nota al texto). Esto
es una consecuencia del carácter no temperado del sistema de afinación pitagórico y
de la imposibilidad de dividir un intervalo e)pimo/rioj en dos iguales (cf. Euc. Sect.
Can. prop.3).
215
Cf., sin embargo, Porph. in Harm. 133.4 kata\ to\n au)to\n tro/pon
ai)sJh/sewj.
216
Cf. Euc. Sect. Can. prop.6: to\ dipla/sion dia/sthma e)k du/o tw=n megi/stwn
e)pimori/wn sune/sthken, e)/k te tou= h(mioli/ou kai\ e)k tou= e)pitri/tou.
217
Cf. infra 69.16-17 y la imposibilidad de la igualdad (i)so/thj) en la pro-
gresión del me/loj; esto ya lo estableció Aristóxeno (Harm. 36.12-14). Ptolomeo se
apoyará en esta imposibilidad para refutar la progresión (parau/chsij, 69.17) de los
to/noi mediante excedentes iguales, sean éstos cuales sean (contra, vid. Cleonid.
Harm. 204.10). Todo el aparato de la crítica ptolemaica a la inexactitud de la división de la cuarta y la octava del libro I contribuye, además, a desmontar las progresiones por incrementos iguales entre los to/noi, como se verá en el libro II.
218
65:65 son 26,84 cents, el doble de la diferencia entre semitono y leima
(cf. supra 24.19; se trata del doble porque una octava contiene dos cuartas) establecido en 129:128, o sea, 13,47 cents; más exacto es 74:73 (23,55 cents). Siguiendo a
Euc. Sect. Can. prop. 9 también obtenemos esta razón 65:64 de manera aproximada, pues como ya se ha dicho, (9:8)6:(2:1) = 531441:524288, una razón muy cercana a 65:64 (el cociente de la primera es 1,01364 y el de la segunda 1,0156). La más
exacta es, como afirma Mathiesen (op.cit., p.444) es 64,8732:64.
442
219
Esta parte de la exposición de Ptolomeo se basa en Euc. Sect. Can. prop.
9 (= 157.5 ss.), que asigna números enteros para cada cuerda. En la demostración
ptolemaica, cada segmento de cuerda entre el puente fijo y el móvil sería 8 novenas
partes del segmento de la cuerda anterior. Pero esto se hace tras hacer la división en
el kano/nion, de modo que la percepción no nos engañe en la colocación del puentecillo y resulte así al final la octava 2:1, con lo que la demostración habría fallado.
De ese modo, al comparar con las medidas racionales el resultado sobre las cuerdas,
la percepción ha de reconocer su error y reconocer la verdadera medida (de acuerdo
con 6.6-9).
220
Estos condicionantes para la construcción del canon y las operaciones
con las cuerdas los vimos en 22.1-3 (igualdad de tono a iguales longitudes).
221
“Longitud”; en 10.13, distancia porque se trataba de comparar el fun-
cionamiento de este factor de la producción del sonido tanto en cuerdas como en
auló y voz humana.
Grosor y densidad eran factores de la producción del sonido ya estudiados
en I 3. La introducción de la longitud de la cuerda está determinada porque la tensión aumenta con la disminución de la longitud, y viceversa (30.7). Esta relación ya
la estudió también Ptolomeo en 10.6, “los sonidos son modificados en sentido inverso a las distancias (cf. 10.1-3). Pues, así como la distancia mayor desde el origen
resulta con respecto a la menor, es el sonido procedente de la distancia menor con
respecto a la que procede de la mayor”, y éste es el principio que guía también el
comportamiento del sonido en las cuerdas, según 10.12-14: “en las cuerdas resultan
de forma absoluta más agudos los producidos con distancias menores entre los
puentes que con distancias mayores”.
Por otra parte, si se afinan dos cuerdas iguales en tono (i)so/tonoi), la que
tenga una mayor longitud será menos densa. Pero como las cuerdas que intervienen
en el canon de 8 cuerdas tienen la misma longitud (30.2-3, e)n i)/soij mh/kesi), es la
relación tensión / grosor lo que Ptolomeo tiene que estudiar para asegurarse de que
tales factores no intervienen en la consecución de conclusiones erróneas.
443
222
Cf. supra 9.10-13, “y cada una de estas cosas no sucede propiamente a
causa de lo denso o fino en sí mismo, sino por la tensión, porque a tales cosas les
sucede que son más tensas, y lo más tenso resulta más vigoroso en las percusiones:
esto resulta más compacto, y esto, más agudo”. El presente pasaje es un eco del
inmediatamente citado. Aunque con problemas textuales (cf. N.Ed. ad locum), el
sentido está claro: en las cuerdas del experimento con el canon, las posibles desigualdades entre ellas referidas a la longitud o grosor se equilibran con la tensión
(según Ptolomeo, en un grado similar). Aquí la tensión (ta/sij) sustituye a la densidad porque aquélla es el factor nivelador que no lo es ésta: de este modo, dice Ptolomeo, la tensión actúa (tonoi=) como un contrapeso si es que hubiera desigualdades
respecto a la longitud, por ejemplo; como consecuencia, la densidad (y la tensión)
de las cuerdas de mayor longitud será igual a la de las cuerdas de menor longitud. A
esto se dedican las siguientes líneas del texto. Cf. Porph. in Harm. 134.4 ss., “pues
tensa y endurece, y por ello la tensión es más similar a las cuerdas de menores longitudes”.
223
Es decir, a igual longitud y buscándose la misma altura tonal, el montan-
te de la tensión que hay que incrementar en la más gruesa es el mismo que el que
sobra en la más fina. La relación se pudo establecer a la vista de las condiciones
prácticas de un experimento, pero no es fácil disponer con exactitud la relación
exacta entre diferente grosor y carencia de tensión. Lo inverso a lo establecido por
Ptolomeo lo leemos, como ya hemos visto, en Teofrasto (ap. Porph. in Harm.
63.11-15), quien se basa igualmente en observaciones generales –y verosímilmente
sin un experimento-, que conducen a la misma indeterminación. En el experimento
de Ptolomeo, que sin duda sí se había enfrentado realmente a los problemas de las
diferencias en las cuerdas, A y B tienen la misma altura tonal, pero las diferencias
de grosor son suplidas con una diferencia de tensión; ésta es la razón que quiere
establecer. La tercera cuerda tiene el grosor de la segunda (el grosor más fino) pero
la tensión de la más gruesa (más tensión que la más fina). El hecho de que no se
pueda decir la diferencia exacta de ta/sij entre A-B y G indica que la determinación
exacta de la razón o proporción entre ta/sij y perioxh/ no estaba al alcance experimental de Ptolomeo Pero es que tampoco es necesario: la conclusión, como mues-
444
tra Barker (op.cit., p.203), es que si longitudes iguales ofrecen igualdad de tono
(i)sotoni/a), las diferencias que hubiese entre ellas en tensión y grosor no intervienen
en el sonido, y por tanto quedan neutralizadas entre sí. Ésta es una evidencia al alcance de cualquier músico acostumbrado a afinar cuerdas: una cuerda más gruesa
necesita de un volumen añadido de tensión para adquirir una altura tonal determinada, volumen que no le hará falta a otra cuerda más fina, porque es más densa; y
viceversa. Lo que no es comprobable es que el montante de tensión y grosor sea
exactamente el mismo pero de foma invertida.
224
225
Por lo dicho en 30.14-16.
Esto se debe, en la relación (lo/goj) establecida por Ptolomeo, a que las
razones entre tensión y grosor son proporcionales a los sonidos; ésta es una conclusión de las dos primeras afirmaciones que preceden inmediatamente. El complemento de la afirmación de 31.11-12 es la de 31.15-16.
226
Las equivalencias, basadas en la compensación grosor-tensión en la
misma razón (cf. 30.13-16) se pueden expresar así, donde t es tensión, g grosor, y el
guión —, la relación (pro/j). Las ecuaciones críticas son aquéllas que compensan
grosor y tensión, es decir, la primera y la última (cf. igualmente Wallis, op.cit.,
p.55):
(Gt —Bt) = (Ag —Gg), (Gt —Bt) = (At —Bt), (Gg —Ag) = (Ag —Bg) y
(At —Bt) = (Ag —Bg).
Este tipo de consideraciones acústicas no las volveremos a ver hasta los experimentos de G. Galilei en el Renacimiento, con sus Discorsi e dimostrazioni matematiche (Leiden 1638), cf. J. James, The Music of the Spheres. Music, Science
and the Natural Order of the Universe, New York 1995, p.94.
227
Una vez establecida la doctrina sobre las diaforai\ tw=n yo/fwn, se pasa a
las diaforai\ tw=n genw=n o doctrina sobre los géneros, conforme al programa de
Aristox. Harm. 24.16 ss. y 44.10 de la a(rmonikh/.
En la revisión de los géneros de otros autores, Ptolomeo empieza por aquéllos que presenta Aristóxeno (Harm. 28.3 ss., 57.13 ss.), debido ante todo al presti445
gio de este autor y la “canonización” de sus divisiones tetracordiales. A este respecto, Solomon (op.cit., p.40, n.196) añade que es más verosímil que Ptolomeo exponga las divisiones tetracordiales eliminando en primer lugar las que considera “peores”, revisando después las pitagóricas y acabando finalmente con las suyas. En lo
que a Aristóxeno se refiere, nuestro autor expone los géneros del tarentino a la manera de éste, con fracciones de tono y evitando su expresión en razones; los números que emplea Ptolomeo están en la tradición de la división del tono por Aristóxeno en doce partes, que podemos leerlo en Rhyth. II 23.15 (oiÂon e)n toi=j diasthmatikoi=j to\ dwdekathmo/rion tou= to/nou)y, como sucede también para otros aspectos ya
vistos antes están presentes en la obra de aristoxénicos tardíos como Cleonid.
Harm. l92.12-193.2; también, con las cifras dobladas para evitar fracciones y operar con enteros (según Porph. in Harm. 138.10 ss.), en Arístides Quintiliano
(17.23). Estos números son los que presenta Ptolomeo, pero en II 14 aparece la
cuarta aristoxénica dividida en 30 partes, como en Rhyth. y Cleónides. Sin duda es
por ello que Porfirio parece apoyar una relación directa con el mismo Aristóxeno,
cf. op.cit. 125.24 ss. y 137.25. Sin embargo, según Schönberger (op.cit., p.100) y
Düring (op.cit., p.194), el uso por Ptolomeo de oiÂon (33.20) hace dudar de que Aristóxeno haya operado con tales números.
228
229
En I 7.
Barker (op.cit., pp.113-114) señala las posibles interpretaciones del tér-
mino en este contexto (no hay relación con su ocurrencia en 125.10, donde no tiene
un sentido técnico). En primer lugar, podría ser una variante de lo/goj (“razón”) con
el sentido de que el producto de las tres razones que integran la consonancia de
cuarta resulta 4:3 (así también SPH, p.39). En segundo lugar, en el contexto de la
oración, se podría interpretar como “el número de divisiones posibles de la cuarta”,
entendiéndose tal división de forma exhaustiva. En último lugar, a)nalogi/a como
“proporción entre tres números” o “tres términos”: en este caso, 1 (la homofonía
“que es una”, 32.13 e(\n o)/n), 2 (el número de las primeras consonancias, ib. e)k du/o) y
3 (el número de divisiones de la primera consonancia, 32.14 e)k triw=n); cf. Euc.
Elementa V 8, a)nalogi/a de\ e)n trisi\n o(/roij e)laxi/sth e)sti/n.
446
230
Se llama “fija” (e(stw/j) a cualquiera de las dos notas “fijas” que señalan
los límites de un tetracordio (cf. Michaelides, op.cit., p.136). La premisa de que
para el estudio de los ge/nh han de conservarse inmóviles (en altura) los límites del
tetracordio, lo recoge también Ptolomeo; Aristóxeno (Harm. 43.3-8) encuadra este
hecho en el marco de la comprensión (cu/nesij) de la música como algo fijo y cambiante a la vez; lo cual se ejemplifica en el estudio de las diaforai\ tw=n genw=n: ou)
dei= d’ a)gnoei=n o(/ti h( th=j mousikh=j cu/nesij a(/ma me/nonto/j tinoj kai\ kinoume/nou
e)sti...eu)Je/wj ga\r ta\j tw=n genw=n diafora\j ai)sJano/meJa tou= me\n perie/xontoj
me/nontoj, tw=n de\ me/swn kinoume/nwn. Düring ya señaló la semejanza del pasaje de
Ptolomeo con Aristox. Harm. 57.14, tw=n me\n a)/krwn meno/ntwn, tw=n de\ me/swn kinoume/nwn; más concretamente, los sonidos e(stw=tej son designados por Aristóxeno
(Harm. 28.11) como a)ki/nhtoi: e)n tou/t% ga\r du/o me\n oi( perie/xontej fJo/ggoi
a)ki/nhtoi/ ei)sin e)n tai=j tw=n genw=n diaforai=j, du/o d’ oi( periexo/menoi kinou=ntai. Pto-
lomeo sigue un esquema sintáctico parecido, y alejado de las definiciones paralelísticas de Cleonid. Harm. 185.18-20, Nicom. Harm. 263.11-14 o Alyp. 368.9-12.
231
Gr. kinou/menoi, es decir los sonidos “móviles” (en altura) del interior del
tetracordio, y cuyas variaciones de tensión dan lugar a los géneros de la melodía. La
expresión de Ptolomeo (tw=n de\ metacu\ du/o kinoume/nwn) guarda relación con Aristox. Harm. 57.15 tw=n de\ me/swn kinoume/nwn, y quizá tuviera a la vista algún pasaje
como el de Cleónides (Harm. 185.17-21), e(stw=tej me\n ouÅn ei)sin o(/soi e)n tai=j tw=n
genw=n diaforai=j ou) metapi/ptousin, a)lla\ me/nousin e)pi\ mia=j ta/sewj. kinou/menoi
de\ o(/soi tou)nanti/on pepo/nJasi: e)n ga\r tai=j tw=n genw=n diaforai=j metaba/llousi
kai\ ou) me/nousin e)pi\ mia=j ta/sewj. Schönberger da cuenta del uso de kinou/menoi
por el más pitagórico fero/menoi (cf. Euc. Sect. Can. 165.4), pero o bien hemos de
pensar que el uso de kinou/menoi en Ptolomeo se justifica por el contexto aristoxénico del pasaje, o bien hay que postular una equivalencia entre ambos términos, dado
que fero/menoi se encuentra en autores como Baquio (Harm. 299.14) o Aristides
Quintiliano (9). Nótese que en el tratamiento de Ptolomeo faltan clasificaciones
asociadas a la distinción entre notas fijas y móviles como la de baru/puknoi y
a)/puknoi (cf. Alyp. 368.12 ss.)
447
232
Ya en Aristóxeno metabolh/ es un término musical que designa un cam-
bio en el orden melódico (pa/Jouj tino\j sumbai/nontoj, Harm. 47.20). Hay que llegar hasta la tratadística posterior para hallar definiciones completas, mediante términos como meta/Jesij en Cleonid. Harm.180.7, cf. Aristid. Quint. 22.11 ss. y
Anon. Bellerm. 27 y 65 a)lloi/wsij; Cleónides (op.cit. 205.2-4) afirma que se produce o(/tan e)k diato/nou ei)j xrw=ma h)\ a(rmoni/an, h)\ e)k xrw/matoj h)\ a(rmoni/aj ei)/j ti
tw=n loipw=n metabolh\ ge/nhtai. Por su parte, Baquio (Harm. 304.13-15) da una de-
finición parecida, con el verbo de movimiento mete/lJv (él la llama metabolh\ genikh/). La doctrina ptolemaica sobre la metabolh/ se desarrolla en II, 7, aunque a
nuestro autor sólo le interesa la modulación de tono. Aquí define la modulación de
género como una ki/nhsij (las notas móviles del interior del tetracordio, cf. infra
53.12); en este tipo de metabolh/ evidentemente hay que pasar al sonido correspondiente en el tetracordio con la misma función. Cf. J. García López, “Sobre el vocabulario ético-musical del griego”, Emerita 37 (1969), pp.335-352.
233
El género (ge/noj) es uno de los elementos constituyentes de la harmónica
griega más característicos. Los griegos distinguieron tres géneros, llamados enarmónico, cromático y diatónico, en función de la disposición interna de los intervalos, que seguía en general patrones determinados; además, como iremos viendo en
la obra de Ptolomeo, el cromático y el diatónico tenían variantes llamadas xro/ai.
Debido al estado de las fuentes de que disponemos, los géneros más conocidos y
sin duda más estudiados son los que transmitió Aristóxeno a lo largo de su Harmónica, si bien podría discutirse en qué grado las medidas que este autor aporta correspondían a la práctica real. La triple distinción a la que nos hemos referido hay
que encuadrarla en la tradicional ordenación de la harmónica en siete aspectos que
hace la tratadística, uno de los cuales es el referido peri\ genw=n.
No obstante esta clasificación triple, los géneros sufrieron a lo largo del tiempo procesos de preponderancia o eliminación. Aunque hubo modulaciones entre
ellos, las fuentes coinciden en el prestigio del enarmónico –aunque fuera el cromático el propio de la citarodia profesional– y sobre todo en la dificultad de ejecución,
a causa de sus cuartos de tono. A pesar de que Ps.Plutarco admira la nobleza de tal
género (de Mus.1145A-C), es cierto que hubo un avance del género diatónico en
448
detrimento del enarmónico desde época clásica hasta el final, pues Ptolomeo lo
señala (Harm. 43.6), y prueba de ello es que los restos de música que nos han sido
transmitidos están mayoritariamente escritos en género diatónico (West, op.cit.,
p.277 ss.).
Sobre la cuestión del origen de los géneros, hay autores que se inclinan por
un origen en el enarmónico, como Da Rios (Armonica, Roma 1954, p.28, n.4); concretamente el género cromático procedería de la costumbre de “dulcificar” (glukai/nein) el enarmónico (Aristox. Harm. 30.5); incluso, según Teón de Esmirna (90-
92), de la “decoloración” del diatónico. Lo que parece probado es que la consideración de las variantes de los tetracordios como “géneros” se debe a Aristóxeno (cf.
Belis, op.cit., p.54, n.2), aunque ya antes Arquitas los hubiese estudiado.
A cada género estaba asociado un hÅJoj determinado y su nomenclatura obedecía a una etimología establecida (cf. Theo Sm. 54-56). Así, el enarmónico, que
debía su nombre quizá a la densidad armónica de su microtonalidad (cf. Aristid.
Quint. 92.19 ss.), tenía un carácter estimulante y temperado. Del cromático se nos
dice que toma su nombre por “colorear” los demás géneros, mientras que el diatónico lo debe a su “abundancia de tonos” (Anon. Bellerm. 26 a partir de Arístides
Quintiliano). El carácter del cromático es dulce y triste, mientras que el del diatónico es varonil y austero (cf. Procl. in Ti. II 169.1). Todas estas distinciones las veremos cuando comentemos los géneros en cuestión.
234
Las definiciones habituales ofrecen como término característico
diai/resij (o también dia/Jesij), cf.Aristid. Quint. 15.21 ge/noj de/ e)sti poia\ tetraxo/rdou diai/resij, Cleonid. Harm. 180.1 ge/noj de/ e)sti poia\ tetta/rwn fJo/ggwn
diai/resij o Gaud. Harm. 331.7 ge/noj de/ e)sti poia\ tetraxo/rdou diai/resij kai\
dia/Jesij. Más imaginativo se muestra Bacch. Harm. 309.15-16, ge/noj de/; me/louj
hÅJoj kaJoliko/n ti paremfai=non, e)/xon e)n e(aut%= diafo/rouj i)de/aj. Ptolomeo usa, él
sólo, sxe/sij (poia\ sxe/sij pro\j a)llh/louj tw=n suntiJe/ntwn fJo/ggwn th\n dia\ tessa/rwn sumfwni/an, cf. supra 56.7-8 la definición de eiÅdoj, poia\ Je/sij tw=n kaJ’
e(/kaston ge/noj i)diazo/ntwn e)n toi=j oi)kei/oij o(/roij lo/gwn).
235
Esta afirmación también la encontramos, con variaciones, en otros
tratadistas, aunque no referidas necesariamente a los géneros, como aquí. Según
Barker (GMW, p.302, n.108) apunta que aquí hÅJoj, como más adelante 36.18 o
449
(GMW, p.302, n.108) apunta que aquí hÅJoj, como más adelante 36.18 o 43.8, no se
refiere al carácter de la persona que oye la música, sino al de la propia música (como por ejemplo Aristox. Harm. 30.5-8; aunque no siempre es así, cf. Ptol. Harm.
114.1, donde el carácter es el de las personas); no obstante, en las fuentes, el carácter afectado es el del oyente. Citemos dos ejemplos clásicos donde se puede leer los
tipos de h)/Jh, Cleónides y Arístides Quintiliano, expuestos en la siguiente tabla
comparativa. Cuando una melodía pasa de un hÅJoj a otro, hay una metabolh\ kata\
melopoian, como veremos en los pasajes; la melodía puede tener tres tipos de ca-
racteres, sistáltico, diastáltico y hesicástico o intermedio (no se habla, pues, de los
géneros melódicos, como hace aquí Ptolomeo). Ahora bien, a la vista de tales testimonios, el tratamiento de Ptolomeo es muy simplista, pues en primer lugar sólo
refiere el hÅJoj de la melopeya al género, lo que sin duda es una reducción; en segundo lugar, ni siquiera cita la etiqueta propia de cada hÅJoj, sino que para el diastáltico emplea una forma adjetival y para el correspondiente sistáltico utiliza una
forma derivada del verbo suna/gein, equivalente más o menos a suna/getai de Cleónides (vid. tabla infra, en negrita). Será en 120.21-23 cuando emplee la terminología común de Cleónides y Arístides (cf. infra N.Tr. 868). Sin duda esto es así porque en primer lugar a él no está haciendo un recuento exhaustivo de los elementos
de la harmónica, sino una revisión del método de ésta: la melopoia no aparece como tal expresamente en la Harmónica, y por tanto el alejandrino pasa de puntillas
por esta teoría. En segundo lugar, el hÅJoj y sus tres tipos que veremos en las demás
fuentes es, como hemos dicho, el del oyente, mientras que aquí sin duda es el de la
melodía. A Ptolomeo no le interesa demasiado el hÅJoj entendido en su acepción
tradicional de la tratadística musical, y habremos de esperar al libro III para conectar los distintos elementos de la harmónica con el alma humana y el universo. Por
último, la clasificación suele ser triple: como se ha dicho, los caracteres son sistálticos, diastálticos (o diastáticos) y hesicásticos, mientras que en el tratado de Ptolomeo aparecen los dos primeros, y asociados a los géneros, lo que indica que de
alguna manera los géneros a los que él asocia tales caracteres participan de los caracteres descritos en las fuentes. Ptolomeo, como vemos aquí y en los capítulos
siguientes, no se ocupa de los hÅJh de los géneros salvo en lo que dice aquí; le inter-
450
esa más bien una descripción de su constitución interna adecuada al faino/menon y
congruente con unas determinadas hipótesis matemáticas.
e)/sti de\ malakw/teron me\n to\
sunaktikw/teron
tou=
hÅJouj,
32.23-33.1
suntonw/teron de\ to\ diastatikw/teron
Ptol.Harm.
kai\ o(/ti kaJo/lou to\ me\n
120.19-23
e)narmo/nion ge/noj kai\ tw=n
dro/mwn o( e)la/xistoj sustaltika\ tugxa/nei, to\ me\n tou= me/louj,
o( de\ tou= ta/xouj, to\ de\ diatoniko\n ge/noj kai\ tw=n dro/mwn o(
me/gistoj diastatika/
Aristid. Quint. h)/Jei, w(/j famen th\n me\n sus30.12-17
taltikh/n, di’ hÂj pa/Jh luphra\
kinou=men, th\n de\ diastatikh/n,
di’ hÂj to\n Jumo\n e)cegei/romen,
th\n de\ me/shn, di’ hÂj ei)j e)remi/an
th\n yuxh\n peria/gomen. h)/Jh de\
tau=ta e)kalei=to, e)peidh/per ta\
th=j yuxh=j katasth/mata dia\
tou/twn prw=ton e)Jewrei=to/ te
kai\ diwrJou=to.
Ptol.Harm.
Cleonid.
e)/sti de\ diastaltiko\n me\n hÅJoj
Harm. 206.3- melopoiaj, di’ ou shmai/netai
18
megalopre/peia kai\ di/arma
yuxh=j a)ndrw=dej kai\ pra/ceij
h(rwikai\ kai\ pa/Jh tou/toij
oi)kei=a. xrh=tai de\ tou/toij
ma/lista me\n h( trag%di/a kai\
tw=n loipw=n de\ o(/sa tou/tou
e)/xetai tou= xarakth=roj. sustaltiko\n de\, di’ ou suna/getai
h( yuxh\ ei)j tapeino/thta kai\
a)/nandron dia/Jesin. a((rmo/sei de\
to\ toiou=ton kata/sthma toi=j
e)rwtikoi=j pa/Jesi kai\ Jrh/noij
kai\ oi)/ktoij kai\ toi=j paraplhsi/oij. h((suxastiko\n de\ hÅJo/j
e)sti melopoii/aj, %Å pare/petai
h)remo/thj yuxh=j kai\ kata/sthma e)leuJe/rio/n te kai\
ei)rhniko/n. a(rmo/sousi de\ au)t%=
u(/mnoi, paia=nej, e)gkw/mia, sumboulai/ kai\ ta\ tou/toij o(/moia.
236
“el más suave es el más capaz de
conducir el carácter, mientras que
el más tenso lo es de expandirlo”
“y porque, en general, el género
enarmónico y la menor de las velocidades producen una contracción,
aquél de la melodía y ésta de la rapidez; el género diatónico y la mayor de las velocidades, una expansión”
“y por el ethos [difieren entre sí las
composiciones melódicas], tal como
llamamos sistáltica a aquella composición melódica mediante la cual
provocamos pasiones de tipo aflictivo, diastáltica a la que utilizamos
para exaltar el ánimo, e intermedia
a aquella mediante la cual conducimos el alma a la tranquilidad. Estos
eran los llamados ethe, ya que mediante ellos se observaban y se corregían primero los estados del alma”.
“el carácter diastáltico de la melopeya es aquél a través del cual se da
a entender la grandeza, una elevación varonil del alma, acciones
heroicas y emociones propias a esto.
Los utiliza sobre todo la tragedia y
de los demás cuantos tienen relación
con el carácter de éste. Sistáltico, a
través del cual se conduce al alma a
su disposición más baja y cobarde.
Tal estado se adapta a las emociones del amor, a los trenos, lamentos
y semejantes. El caráter hesicástico
de la melopeya es aquél al que siguen la tranquilidad del alma y una
situación libre y en paz. Se le adaptan los himnos, peanes, encomios,
consejos y similares”.
La clasificación ptolemaica de los géneros se estructura en dos ejes: por
un lado, y primero, la diferenciación entre género malakw/teron y género sun451
tonw/teron; por otro, y en segundo lugar, la distinción tradicional en tres géneros,
enarmónico, cromático y diatónico. Respecto al primer eje, el malakw/teron corresponde al género enarmónico, mientras que el suntonw/teron lo hará al diatónico, cf.
Porph. in Harm.136.7-9. Cuanto mayor sea el intervalo más agudo en un género,
más “suave” (malako/j) será ese género; lo opuesto es lo “tenso” (su/ntonoj), es
decir, un intervalo agudo en el tetracordio relativamente pequeño. El carácter de
oposición como extremos entre suave / enarmónico y tenso / diatónico introduce la
forma metacu/ pwj tw=n ei)rhme/nwn (33.2) para el cromático (e infra Ptol. Harm.
39.23 o(do\j de/ tij, un camino entre ambos extremos) y la nueva distinción, que ahora es triple. El género cromático se define en otras fuentes también como un género
“intermedio” (o que “colorea”): cf. el pasaje interpolado de Aristid. Quint. 92.24,
xrwmatiko\n de\ kalei=tai para\ to\ xrw/zein au)to\ ta\ loipa\ diasth/mata (cf. Anon.
Bellerm. 26). Más adelante (39.25-40.1) establecerá Ptolomeo una definición de lo
tenso y lo suave: malakw/tera de\ fai/netai kaJo/lou ta\ mei/zona to\n h(gou/menon
e)/xonta lo/gon kai\ suntonw/tera ta\ e)la/ttona (cf. 56.8-11), lo que hace que el en-
armónico sea el más suave con su dítono o tercera mayor en el to/poj h/gou/menoj, y
los diferentes tipos de diatónico, género a)/puknon, los más tensos, con una parupa/th más elevada.
A pesar de que aquí Ptolomeo identifica totalmente el carácter malako/j al
género enarmónico y el su/ntonoj al diatónico, lo malako/j o su/ntonoj tienen que
ver con la altura de las notas móviles en cualquiera de los géneros; no hay en las
fuentes identificación absoluta entre enarmónico y malako/j. La referencia de Ptolomeo es relativa entre los géneros, pues el enarmónico es el que tiene la lícano más
baja. El doble eje clasificatorio de Ptolomeo se puede entender, como hace
Schönberger (op.cit., p.97), como invertido; de hecho, responde a criterios clasificatorios diferentes; en 39.25 ss. Ptolomeo demostrará la utilidad de esta doble clasificación, si bien admite allí un cromático más suave que los demás (de ahí que hable
de la “vía” desde el más suave al más tenso).
En la tratadística, en primer lugar se presentan los tres géneros y luego sus
variedades (más tensas o más suaves); después, los conceptos mismos de “suave” y
tenso”. Por su parte, Ptolomeo hace de este último par un criterio clasificador en
tanto que identifica género y accidente de género (identidad ptolemaica enarmónico
452
= más suave). En definitiva, las dos “divisiones” no tienen significación histórica,
como señala Barker (BPH, p.114).
237
Según Ps.Plutarco (de Mus. 1137E), el género cromático “es más anti-
guo que el enarmónico…hay que decir que es más antiguo de acuerdo con el descubrimiento y uso de él por la humanidad” (pero cf. Aristox. Harm. 24.20-25.1). En
Quaest. conv. III 1.1, Plutarco dice que Agatón fue el primero en utilizarlo en tragedia; este género parece tener su origen en la práctica citaródica, con Lisandro de
Sición, en el siglo VI a.C., con el favor no tanto de la tragedia como sí del ditirambo y el nomos citaródico (cf. Th. Reinach, La musique grecque, Paris 1926, p.19).
Rara vez se empleaba solo, pues las fuentes hablan de que “coloreaba” (vid. infra),
por lo que variaba una melopeya de otro género (así utilizado ocupa el tetracordio
superior de la escala modal: por ejemplo, en los tropika/ de Ptol. Harm. II 15).
Efectivamente, quizás el género cromático no fuera sino una “desviación”,
no habiendo sido estudiado sistemáticamente hasta Aristóxeno (Harm. 63.2 ss.),
según la misma denominación de xrw=ma, “color”. Esta “coloratura” la expresa el
Anon. Bellerm. 26, donde se conjetura que se “desvía del diatónico” (en efecto,
comparte en su variante tensa el primer intervalo); Arístides Quintiliano (92.24,
xrwmatiko\n de\ kalei=tai para\ to\ xrw/zein au)to\ ta\ loipa\ diasth/mata) da como
explicación etimológica el que “colorea a los demás sistemas”; cf. Adrasto ap. Theo
Sm. 55.
Sea como fuere, el género cromático tenía un hÅJoj dulce y triste al decir de
Anon. Bellerm. 26 y Arístides Quintiliano, y la búsqueda de esta “dulzura” es causa
de la variación del to/poj (variación de afinación) de la nota lícano (Aristox. Harm.
30.9 ss.). Tal es la explicación de Aristóxeno a la decadencia del género enarmónico: no un abandono de éste, sino una versión decadente próxima al cromático; se
sustituía al parecer el dítono enarmónico de razón 81:64 por el más “dulce” de razón pitagórica 5:4, en realidad una tercera mayor (cf. Ps.Plut. de Mus. 1145D, Ptol.
Harm. 34.18 ss. y II 14). Según Aristóxeno, tal versión sigue siendo enarmónica,
pero estéticamente es inferior (cf. Harm. 33.18-34.14, 36.8-12 y Ps.Plut. de Mus.
1145 A-C). Este carácter será rechazado por Platón (Lg. 802c-d) por corruptor.
453
Como en el género enarmónico, Ptolomeo es fuente para los cálculos de
muchos autores cuya única noticia está aquí. R. P. Winnington-Ingram (“Aristoxenus and the Intervals of Greek Music”, CQ 26 [1932], p.202) clasifica tales cromáticos en dos grupos: un primer grupo cuyo pycnón sería un tono menor: Eratóstenes, Dídimo y Ptolomeo (malako/n); y un segundo grupo cuyo pycnón sería un tono
mayor: Arquitas (al igual que los kanonikoi/). Esta misma clasificación es la de Düring (op.cit., p.255). Ptolomeo (Harm. 37.1 ss.) va a criticar a Aristóxeno dos
hechos: por una parte la insignificante diferencia entre la diesis del cromático suave
y la del diatónico (1/24 de tono) y el hecho insólito de hacer los pukna/ simétricos.
238
Nuestro autor constituye la fuente única para conocer los cálculos que
para el primero de los géneros, el enarmónico, hicieron autores como Dídimo, Arquitas o Eratóstenes. Este género, llamado por Aristóxeno a(rmoni/a, parece que fue
inventado por Olimpo (cf. Ps.Plut. de Mus. 1134F), que según West (op.cit., p.163
ss.) dividió el semitono de un primitivo tricordio con un infijo de cuarto de tono,
creando así el género enarmónico –aunque Aristóxeno piense que el diatónico es el
más antiguo–. Fue el más prestigioso en la Antigüedad, debido a su dificultad de
ejecución (a)nw/taton, Arist.Harm.25.2; prueba de su dificultad es que ni siquiera
tenía variantes como los otros), por la exigencia de exactitud (Aristid. Quint. 16.1014) y porque tenía un hÅJoj noble (Anon. Bellerm. 26). Ps.Plutarco se queja de que
la gente haya abandonado el género enarmónico (de Mus. 1145 A-C) al dejarse llevar por la pereza, aun siendo “el más bello de los géneros”; en 43.7-8, Ptolomeo
afirma que ya no es un género familiar al oído, o(/ti ou) pa/nu xai/rousi toi=j sfo/dra
e)klelume/noij tw=n h)Jw=n, quizá por su dificultad de ejecución (otras fuentes nos
hablan de este abandono, por ejemplo Porph. in Cat. IV.1, 120.6 Busse, Simp. in
Cat. 192.11 Kalbfleisch, Macr. Comm. II 4, 13). Lo que es evidente es que su dificultad de ejecución le obligó a luchar contra el género “más natural” según
Aristóxeno, el diatónico, comenzando un proceso de pérdida del género enarmónico
que quedó como algo teórico (por ejemplo, las escalas de Aristid. Quint.18.5 ss.);
en el siglo V a.C. había sido el género dominante, y como tal fue usado por
Píndaro, Simónides y la tragedia. Incluso era el primer género por su etimología
(Aristid. Quint.15.25), pues su nombre lleva a la pura “armonía” mientras que el
cromático es una “desviación”, un matiz (xro/a) que también Ptol. Harm. 33.2
coloca como intermedio entre enarmónico y diatónico. De cualquier forma, los
454
intermedio entre enarmónico y diatónico. De cualquier forma, los restos de música
que nos han sido transmitidos están en género cromático y diatónico si son de época
helenística; en cambio los de época romana están todos en diatónico. Además hay
rastros de que no se perdió del todo (D. H. Comp. 62-63), y Ptolomeo dice que aún
hay gente que lo canta (Harm. I 16); a este respecto el testimonio de Gaudencio
(Harm. 332.1) es significativo: en su época están en franco retroceso tanto el género cromático como el género enarmónico: h( xrh=sij e)kleloipe/nai kinduneu/ei. En
los últimos tratados, el género enarmónico es ya, a nuestro juicio, una reliquia teórica que se conserva en la distinción tradicional de los géneros por parte de todos
los autores (incluso Alipio transmite las quince escalas en los tres).
Este género es clasificado por Ptolomeo como el “más suave”, malakw/teron, cf. Harm. 32.20, porque, según Ptol. ib. 39.25-26, “aparecen en general
más suaves los que tienen una razón primera [i.e., más aguda] menor”. De acuerdo
con Winnington-Ingram (op.cit., p.198), atendiendo al pycnón, los diferentes tipos
de enarmónico de los teóricos –aunque éste sea monoeidh/j, cf. Anon. Bellerm. 52 y
Porph. in Harm. 141.26– se pueden clasificar en dos grupos: aquéllos cuyo pycnón
es un semitono mayor (16:15, 112 cents), como el pycnón de Arquitas, Dídimo y
Ptolomeo; y por otro lado, aquéllos cuyo pycnón es un leima (256:243, 90 cents)
como consecuencia de una afinación por consonancias, como el de Eratóstenes. Por
su parte, Düring (op.cit., p.249) establece una clasificación ligeramente diferente a
la de de Winnington-Ingram, al atender al intervalo superior o h(gou/menon: habría
entonces tres grupos, el primero con una tercera mayor (5:4, 386 cents) en dicha
posición (Arquitas, Dídimo, Ptolomeo); un segundo grupo con un dítono (81:64,
408 cents), el caso de Eratóstenes, con un intervalo de 19:15; y un tipo intermedio,
Aristóxeno, con un intervalo de unos 398 cents.
239
West, según su teoría de los infijos (op. cit.,, p.163 ss.), supone que el
género diatónico surge al completar el tricordio primitivo enarmónico con la adición de un segundo infijo (pues a su vez ese tricordio nació de la adición de un infijo a un semitono primario). Del género diatónico se sabe que era el más antiguo
(Aristox. Harm. 24.20) pero no tenía el prestigio del enarmónico (Ps.Plut. de
Mus.1145A-C), y que su hÅJoj era varonil y austero (Anon. Bellerm. 26 o Aristid.
455
Quint. 92.23). Su denominación se explica por su acumulación de tonos (Aristid.
Quint.15.26, Nicom. Harm. cap.11 o Anon. Bellerm. 26). Su facilidad de emisión
respecto al enarmónico hizo que desplazase a aquél de tal manera que la música que
se componía tendía al género diatónico, aunque hubiese mixturas de diatónico y
cromático.Quizá la música diatónica fue exclusiva de ciertas regiones de Grecia,
según algunos testimonios, y fue estudiado por Filolao (quien vivió en el sur de
Italia) pero sea como fuere en el siglo IV a.C. el género diatónico le había ganado
mucho terreno al enarmónico (cf. Gaud. Harm. 332.1). Además, al éxito del diatónico en la práctica se le añade la preferencia por este género en la octava pitagórica,
que era de género diatónico (Nicómaco Harm. cap.11 y Plat. Ti. 35b), pero con un
semitono de razón 256:243, el leima.
240
Pukno/n es un adjetivo que generalmente omite su sustantivo (su/sthma,
cf. Aristox. Harm. 31.17, 37.5 y 62.14-16); designa la parte del tetracordio formada
por los intervalos menores (los más graves) que, sumados, son menores que el restante. Es un hecho perceptivo según Barker (GMW, p.162, n.76) y no cuantitativo –
a pesar de sus definiciones– como evidenciaría su propio nombre (cf. otras denominaciones como xrw=ma o e)narmo/nioj), y que representa “un cierto carácter al oído”
(ib.) más allá de la magnitud que represente, aunque ésta no supere nunca un tono y
cuarto, y aún más allá de consideraciones matemáticas (Euc. Sect. Can. prop.18
demuestra matemáticamente que el pukno/n no se divide en dos intervalos iguales:
ai( parupa/tai kai\ ai( tri/tai ou) diairou=si to\ pukno\n ei)j i)/sa). Ptolomeo lo define
con la temporal o(/tan oi( pro\j t%= baruta/t% du/o lo/goi tou= loipou= e(no\j e)la/ttouj
gi/nwntai sunamfote/roi, precisando que es una característica de los géneros enar-
mónico y cromático (que como consecuencia tienen un carácter más suave, cf. 35.1;
para las magnitudes pícnicas de las variedades de estos dos géneros, cf. Aristox.
Harm. 63.1 ss., Cleonid. Harm.189.9 y Anon. Bellerm. 52). La definición de Ptolomeo está entroncada con la de Aristóxeno (Harm. 31.3-5), lege/sJw to\ e)k du/o
diasthma/twn sunesthko\j a(\ sunteJe/nta e)/latton dia/sthma perie/cei tou= leipo-
me/nou diasth/matoj e)n t%= dia\ tessa/rwn, frente a otras diferentes como la más
simple pero sutil de Bacch. Harm. 298.1-2 (compuesto de dos intervalos menores
en cualquier género) o la de Aristid. Quint. 9.15-16 (determinada posición de tres
sonidos). Estas definiciones tardías no concuerdan con la aristoxénica en el sentido
456
de que tal “compuesto” (sugkei/menon) deba ser menor que el intervalo restante,
pero según Zanoncelli (op.cit., p.292, n.16) “permette di ampliare il concetto di
picnon, generalizzando a tutti i generi la funzione degli intervalli gravi del tetracordo”. Aunque en la tratadística hay una simplificación de los géneros, según la autora italiana la definición de Baquio apuntaría a dar cuenta de las particiones complejas y tendentes a la simetría de un Ptolomeo. Para éste, el pycnón es un hecho perceptivo ante todo (pero cf. Euc. Sect. Can. 18) y un dato de la ai)/sJhsij según
38.12 ss., que permite anticipar que el intervalo e(po/menon del pycnón va a ser siempre menor que los demás frente a las divisiones iguales de Aristóxeno. Por ello, en
sus divisiones tetracordiales de I 15, los géneros con pycnón mantienen para éste la
razón menor producto de la división en dos del intervalo 4:3; de tal modo, la razón
está de acuerdo con los datos de los sentidos.
241
Lo a)/puknon es lo propio del género diatónico, que no tiene pukno/n, pues
sus dos intervalos menores, sumados, superan al restante o h(gou/menon: según Ptolomeo (33.7-8), o(/tan mhde\ eiÂj tw=n triw=n lo/gwn mei/zwn gi/nhtai tw=n loipw=n du/o
sunamfote/rwn (Ptolomeo habla de lo/goi, no de diasth/mata). Como en el caso de
la definición de pukno/n, el concepto procede de Aristóxeno (Harm. 37.5):
u(pokei/sJw meta\ to\ pukno\n h)\ to\ a)/puknon tiJe/menon su/sthma ktl. Una definición
diferente se lee en Arist. Quint. 9.14 ss. Barker (op.cit., p.302, n.109) apunta la inexactitud de la definición ptolemaica, porque no es exhaustiva: el caso del género
apuntado por Aristóxeno (Harm. 65.15 ss.) donde el intervalo me/son es mayor
(lixano/j del diatónico tenso y parupa/th del cromático suave, 1/3, 7/6, 1). Aquí
sería inconcebible que se contase como pukno/n los intervalos e(po/menon y h(gou/menon
(cf. Ptol. Harm. 37.6 ss.), pues está claro que pukno/n y a)/puknon se refieren a los
intervalos e(po/menon más me/son (cf. Aristid. Quint. 9.15-20). La definición de Ptolomeo es inexacta al no referirse a estos dos intervalos, pero apurándola, deja una
posibilidad a géneros como el descrito. Que no se refiere a dichos intervalos lo
prueba Ptolomeo (40.14 ss.), cuando 16:15 no puede ser h(gou/menon por quedar un
intervalo e(po/menon mayor, así como las divisiones de los géneros con pycnón. En
los géneros a)/pukna (diatónicos) la razón menor, procedente de la división de la
cuarta en dos superparticulares cercanas, queda en el h(gou/menon, mientras que la
457
mayor es de nuevo dividida en dos, para completar los intervalos me/son y e(po/menon
(cf. Ptol. Harm. 40.10-42.7).
242
Cf. Aristox. Harm. 57.2 ss. No parece que Aristóxeno dividiese el tono
en 8 partes, pero sí encontramos una división en 12 en Rhyth.II 23.15 y Cleonid.
Harm.192.12 ss.
243
Como sustantivo del verbo dii/hmi, este sustantivo expresa la idea de un
“envío hacia fuera”, un “pasaje” (cf. Arist. GA 720b). En música también es un “paso” o una “transición” (¿quizá referido a la [semi-] obstrucción de los agujeros del
auló? Cf. West, op.cit., p.235, n.42), pero de naturaleza interválica. En general es
todo intervalo que sea menor que un semitono, pero la música griega antigua se
caracterizaba por su microtonalidad (al igual que la música oriental moderna), y por
tanto era capaz de reconocer varios tipos de diesis, sobre todo dependiendo del género en que nos encontremos. El término di/esij fue compartido por autores de procedencia diversa: aparece en Filolao (DK 44B6), se ha asociado con los a(rmonikoi/
(cf. Bélis, op.cit., pp.183-184) y es muy común en la obra de Aristóxeno. Por ello,
di/esij significa cosas diferentes para tales autores: en Filolao equivale al leima (y
bien podría ser éste el origen), al parecer para los a(rmonikoi/ consistía en un cuarto
de tono (cf. Pérez Cartagena, op.cit., p.275) y para los aristoxénicos su magnitud,
como veremos, dependía de la xro/a del género. Arístides Quintiliano la define como “disolución”, pues es el intervalo más pequeño capaz de emitirse y de ser percibido (12.8): “llamaban diesis al intervalo más pequeño de la voz, en tanto que es su
punto de disolución” (dia/lusij). Esta peculiaridad de ser lo más pequeño perceptiblemente ya lo adelanta Aristóxeno, que siempre con el criterio de oído y voz como
límites, dice que en el progreso hacia el mínimo, “pues ni la voz puede emitir con
claridad un intervalo menor que la menor de las diesis, ni el oído distinguirlo hasta
el punto de determinar de qué parte de la diesis o de cualquier otro de los intervalos
conocidos se trata” (Harm. 19.16-20.1).
Aristóxeno habla de los tipos de diesis en Harm. 46.1 ss.; Ptolomeo toma,
para su exposición de la doctrina de Aristóxeno, el concepto de diesis del tarentino,
en 29.12. Arístides Quintiliano (12.6-8) dice de ella que es el punto de disolución
(dia/lusij), en tanto que intervalo más pequeño de la voz. Esta peculiaridad de ser
458
lo más pequeño perceptiblemente ya lo adelanta Aristóxeno, que siempre con el
criterio de oído y voz como límites, dice que en el progreso hacia el mínimo, ou)/te
ga\r h( fwnh\ die/sewj th=j e)laxi/sthj e)/latton e)/ti dia/sthma du/natai diasafei=n ou)d’
h( a)koh\ diaisJa/nesJai w(/ste kai\ cunie/nai ti/ me/roj e)sti\ ktl. (Harm., loc.cit.).
Para el tarentino la diesis, como paso interválico en el tetracordio, es melódica,
pues “no melódico” es todo aquel intervalo que no tiene lugar en el sistema,
a)mel%/dhton ga\r le/gomen o(\ mh\ ta/ttetai kaJ’ e(auto\ e)n susth/mati (Harm. 33.4-5).
244
Aristóxeno (Harm. 57.5) llama diesis enarmónica, di/esij e)narmo/nioj, al
cuarto de tono; diesis cromática, di/esij xrwmatikh/, al tercio de tono que entra en
los géneros cromáticos. Ptolomeo (Harm. 33.12) la llama malako/j porque ésta es la
menor de las cromáticas, e)laxi/sth según Aristóxeno. La diesis del cromático sesquiáltero la llama Aristóxeno (Harm. 63.10) “sesquiáltera de la enarmónica”, tw=n
die/sewn e(kate/ra e(kate/raj tw=n e)narmoni/wn [sc. h(mio/lia]; Ptolomeo define esta
diesis sesquiáltera como to\ de\ te/tarton meta\ tou= o)gdo/ou, es decir, ¼ + 1/8 = 3/8 de
tono (cf. Anon. Bellerm. 52), la diesis enarmónica (1/4) más su mitad (1/8), lo que
justamente significa h(mio/lioj.
En cuanto al semitono, se refiere al intervalo visto en I 10.
245
El primer tipo de enarmónico que presenta Ptolomeo es el de Aristóxeno
(24 + 3 + 3 partes de tono, o bien 398 + 50 + 50 cents), que, como el tarentino, no
expone mediante razones, sino mediante partes, lo que se tomado como la postura
del “temperamento” frente a su contraria, la de Ptolomeo; pero según J. M. Barbour
(Tuning and Temperament: a Historical Survey, East Lansing, Michigan 1951,
p.22), esta vaguedad tenía como intención expresar de un modo general “the impression that current tunings made upon the ear”. De él, Ptolomeo dice que sus intervalos e(po/menon y me/son son, cada uno, de diesis enarmónica (die/sewj
e)narmoni/ou), y el restante o h(gou/menon, de dos tonos (du/o to/nwn): cf. Aristox. Harm.
63.1-2, ...e)narmo/nioj e)n v to\ me\n pukno\n h(mito/nio/n e)sti to\ de\ loipo\n di/tonon. Aristóxeno había definido la diesis enarmónica (57.5) como to\ te/tarton [sc. me/roj tou=
to/nou]. La expresión de Ptolomeo, que combina ambos pasajes, recuerda más a
Cleonid. Harm. 190.10-11, mel%dei=tai ga\r kata\ di/esin kai\ di/esin th\n i)/shn kai\
di/tonon. Según Ptolomeo, el tarentino habría dividido la cuarta en 60 partes, pero
459
aquí está claro por 29.28 oiÂon que se trata de una asignación de números más cómoda, porque en II 13 Ptolomeo vuelve a los géneros aristoxénicos con una cuarta
de 30 partes, citando expresamente al tarentino (o(/saj Aristo/cenoj u(poti/Jetai).
Las fuentes nos dan también estas 30 partes, empezando por una cita de Porfirio del
desaparecido Peri\ Melopoiaj de Aristóxeno (Porph. in Harm. 124.24 ss.), seguido
de Cleonid. Harm. 192.13-15 y Porph. in Harm.137.25. La elección de 60 partes
por 30 está motivada por obtener en el cromático sesquiáltero números enteros (los
tres octavos de tono de cada intervalo del pycnón, se pueden contar como 9 y no
como 4½).
La progresión enarmónica (ascendente) sería entonces de 6, 6 y 48 partes.
Winnington-Ingram (loc.cit.) da un cálculo en cents de 50 + 50 + 398. Según este
autor, este dítono de 398 cents cae entre la tercera mayor y el dítono pitagórico,
estando más cerca del segundo; además, él utiliza la afinación por consonancias
(Aristox. Harm. 56-58) y habla de un diatónico “dulcificado” (glukai/nein) –frente
al suyo– que comportaría una mayor elevación de la lícano, que conseguiría así una
tercera mayor. La consecuencia es el reconocimiento, pues, de la diferencia entre
este tipo de intervalo y el dítono, la coma sintónica de razón 81:80, intervalo éste
cuyo
exiguo
tamaño
hace
a
Ptolomeo
acercar
el
diatónico
ditonal
([9:8]·[9:8]·[256:243]) en 45.3-19 al diatónico tenso ([10:9]·[9:8]·[16:15]), por no
“diferir en nada considerable” (45.5); pues 81:80 es la diferencia entre los dos tipos
de tono o la que existe entre 16:15 y el leima. Winnington-Ingram sugiere así que
Aristóxeno estaría más cerca del grupo segundo de su clasificación (de hecho, es el
más cercano al enarmónico de Eratóstenes, con un dítono y un pycnón de leima).
246
“Último” traduce a e(po/menon, literalmente “el siguiente”, “el que viene a
continuación”; es un adjetivo referido a dia/sthma, uno de los tres que dividen el
tetracordio y cuyas magnitudes diferenciadas originan los ge/nh (cf. 32.17 y N.Tr.
247, 248). El intervalo e(po/menon es el último en sentido descendente (cf. Ps.Arist.
Pro. XIX 33, p.95) siguiendo a los dos anteriores, h(gou/menon o primero y me/son o
central (estos términos son utilizados también por Ptolomeo en su obra astronómica, pero son términos técnicos referidos a la eclíptica, cf. Toomer, op.cit., p.20).
Para el alejandrino (cf. Harm. I 15, 38.9-11 y 37.7-8) como para Aristóxeno (cf.
Harm. 65.2 ss.), este intervalo, de acuerdo con la ai)/Jhsij, es menor que el siguien460
te o central (me/son); tampoco Euc. Sect. Can. (prop.18) admitía división igual del
pycnón. Sin embargo Aristóxeno divide normalmente el pycnón en dos intervalos
iguales (Ptol. Harm. 37.7-8, Aristox. Harm. 65.3-4), pero admitirá como e)mmele/j
un tetracordio con el e(po/menon como intervalo mínimo (cf. Winnignton-Ingram,
op.cit., p.197).
Mucho más tarde, el bizantino Paquimeres retomará esta nomenclatura para
los intervalos del tetracordio, explicando el término en Mus. 153.34-35, to\n
e)la/xiston, au)to\n dh\ to\n e(po/menon, o(/ti e)la/xiston fe/rei lo/gon pro\j tou\j loipou\j
du/o.
247
El intervalo “central” (me/son) está entre el más agudo o h(gou/menon y el
más grave o baru/teron; cf. Bacch. Harm. 307.17-19 con variaciones en la nomenclatura, Tw=n sumfwniw=n ei)/dh po/sa; –tri/a. –ti/na tau=ta; –Ap’ e)sxa/tou e)pi\
e)/sxaton, a)po\ me/sou e)pi\ me/son, a)f’ h(goume/nou e)pi\ h(gou/menon.
Cf. la explicación de Paquimeres al término (Mus. 153.33-34): to\n mei/zona
to\n kai\ me/son, o(/te mei/zona lo/gon fe/rei pro\j to\n loipo\n to\n e(po/menon.
248
El dia/sthma h/gou/menon (en 110.20 utilizará prohgou/menon), traducido
aquí por “primero”, es para Ptolomeo el primer intervalo del tetracordio empezando
por el agudo (cf. Ps.Arist. Pro. XIX 33, p.95); su magnitud, como señalará Ptolomeo (39.23-40.1) determinará el carácter más tenso o más suave del género. Este
término coincide con el uso por parte de Baquio, como hemos visto en la nota anterior, lo que indicaría que la nomenclatura no es original de Ptolomeo.
También se entiende por h(gou/menoj la nota me/sh, cf. 44.1, h( ga\r t%==
h(goume/n% fJo/gg% sunaptome/nh dia/zeucij, la que Ps.Plut. de Mus.1135A llama
h(gemw/n; cf. Ps. Arist. Pro. XIX 33, 95.7. Ptolomeo nombra así a los diasth/mata,
pero también a los to/poi del tetracordio (39.22, to\n e(po/menon e)fe/cei to/pon) y los
lo/goi que los ocupan (36.7-8 to/n te ga\r e(po/menon e)/xonta lo/gon).
Cf. Pachym. Mus. 153.31-32, (h(gou/menon) o(\n kai\ me/giston le/gousin, o(/ti to\n
me/giston lo/gon pro\j tou\j loipou\j du/o fe/rei.
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