Número Áureo

TEMA DE INVESTIGACIÃ N:
“EL NÃ MERO DE ORO”
ï •
CURSO:
PROFESORADO EN MATEMÔTICA
4TO AÃ O
TEMA:
El número de oro.RESUMEN:
ELECCIÃ N Y DELIMITACIÃ N DEL TEMA
La elección del tema de investigación surgió en nuestra búsqueda permanente por relacionar los
contenidos matemáticos con otras áreas, pensamos que podrÃ−a interesarles interiorizarnos acerca del
origen y uso del número de oro, tan valorado por incontables artistas que han recurrido a él para ajustar las
proporciones de sus obras. Es un tema que nos permite trabajarlo en forma interdisciplinaria con Ciencias
Sociales, Ciencias Naturales, Música, Literatura y Educación Plástica.
El número de oro es un número que aparece repetidamente en la vida diaria, sin embargo poco se sabe de
él y esto último no se refiere al desconocimiento de dicho número sino más bien al desconocimiento de
su presencia en diferentes situaciones cotidianas y que, de una manera u otra, reducen la visión de un
aprendizaje integral.
De acuerdo a la Resolución Nº 13269/99. Tomo 1. Ôreas Curriculares, y atendiendo al tema que se trata
en este trabajo, los números irracionales aparecen citados en el apartado Contenidos, Tercer Ciclo,
Números y Operaciones. El siguiente es un extracto de la totalidad de los contenidos donde estarÃ−an
incluidos los números irracionales.
• Números reales: noción de número real, propiedades. Completitud.
• Encuadramiento y aproximación de números reales.
• La lectura, escritura e identificación de números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos (N,
Z, Q, R).
• El ordenamiento y la ubicación en la recta de números pertenecientes a los distintos conjuntos
numéricos.
• Propiedades de los distintos conjuntos numéricos. Análisis comparativo.
• Operaciones en distintos conjuntos numéricos.
1
• La interpretación del sentido de las operaciones en los distintos conjuntos numéricos.
• Propiedades de las operaciones en distintos conjuntos numéricos. Análisis comparativo.
• Distinción del tipo de número necesario en función de la situación a resolver.
Es notable que los números irracionales no se designan explÃ−citamente, sin embargo es un conjunto más
que deberÃ−a ser incluido cuando se estudia el conjunto de los números reales. Todo docente conoce este
tema pero, como se citó anteriormente, poco se sabe de ellos.INTRODUCCION:
Objetivos de la investigación:
El presente trabajo solo busca brindar un “torbellino de ideas” para toda persona o docente interesado que lo
considere necesario para determinados fines. Es sabido que la Sucesión de Fibonacci y la Proporción
Ôurea se encuentran en diversos escenarios y las aplicaciones son muchas. A fin de acotar la temática los
ejemplos que se muestran son para:
• Mostrar y manipular los procedimientos de obtención del número de oro.• Relacionar el contenido matemático con distintas áreas.MARCO TEà RICO
• Números metálicos
• Tres números con nombre
• La sección áurea y el número de oro
• El rectángulo áureo
• Pitágoras y el número de oro
• La sucesión de Fibonacci
• La trigonometrÃ−a y el número de oro
• El número de oro en el arte y las construcciones
• El número de oro en la naturaleza
• El número de oro en la música
• El número de oro en la vida diaria
• El número de oro en literatura
• Curiosidades áureas
• Plan de clase:”El número de oro”
DESARROLLO DEL MARCO TEÃ RICO
NÃ MEROS METALICOS:
Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde
la época griega hasta nuestros dÃ−as en el arte, el diseño y la musica. Es el llamado número de oro
(representado habitualmente con la letra griegaï •) o también sección áurea, proporción áurea o
razón áurea que forma parte de un conjunto de números especiales llamados números metálicos.
Algunos de ellos son:
Número de plata (ï
Número de bronce (ï
Ag):
Br):
2
TRES NÃ MEROS CON NOMBRE
Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" son nombramos con una
letra. Estos números son:
• El número designado con la letra griega ï“ = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la
circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2. ï“ .radio=ï“ .diámetro).
• El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático
suizo del siglo XVIII) que aparece como lÃ−mite de la sucesión de término general .
• El número designado con letra griega ï •= 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la
inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.
Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten
periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas
cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5).
Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es
que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama
trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la
ecuación de segundo grado es que da como resultado el número de oro.
LA SECCIà N ÔUREA Y EL Nà MERO DE ORO
La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el
segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación
de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o
forma de seleccionar proporcionalmente una lÃ−nea se llama proporción áurea.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente
Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver
Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=.
Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el menor,
Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro.
EL RECTÔNGULO ÔUREO
Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus
proporciones.
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices
del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del
rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la
proporción entre los dos lados es (nuestro número de oro).
Obtenemos asÃ− un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo
podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura
3
(Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc.).
Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la
figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.
En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas
de los tres puntos serán entonces:
Vamos a demostrar
que los vectores y son proporcionales:
Por lo tanto, los tres puntos están alineados.
PITÔGORAS Y EL Nà MERO DE ORO
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en
las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y AnaxÃ−menes. Hacia el
530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con
propósitos religiosos, polÃ−ticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofÃ−a de Pitágoras se
conoce sólo a través de la obra de sus discÃ−pulos.
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de
los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teorÃ−a de los
números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para
ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonÃ−a en el universo. A través de estos estudios,
establecieron una base cientÃ−fica para las matemáticas. En geometrÃ−a el gran descubrimiento de la
escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado
de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con
el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La
persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de
las ideas pitagóricas.
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el sÃ−mbolo de los seguidores de
Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde
sólo tenÃ−an lugar los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio sÃ−mbolo se encontrara
un número raro: el número de oro.Â
Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.
Â
También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea.
Â
4
LA SUCESIÃ N DE FIBONACCI
Consideremos la siguiente sucesión de números:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el
siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.
Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci".
La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las
hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros
catorce términos de esta sucesión:
Â
t1
1
t2
1
t3
2
t4
3
t5
5
t6
8
t7
13
t8
21
t9
34
t10
55
t11
89
t12
144
t13
233
t14
377
• Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3  + 1 = 8). Si
sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5    + 1
= 13).
• Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5) sale el sexto término
(t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7)
sale el octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21).
• Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6) y añades 1, sale el
séptimo término (t7), (1+3+8  + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que
ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) y añades 1, sale el noveno término (t9), (1+3+8+21 + 1
=34).
• Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t4=3 y t5=5; elevando al cuadrado y sumando:
32+52=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando
al cuadrado y sumando: 82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercero término de la
sucesión.
• Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del
quinto y el sexto término: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros
términos, sale el producto del sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13.
• Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos
de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:
1Â : 1Â Â =Â 1Â Â Â
  2 : 1  = 2
  3 : 2  = 1´5
  5 : 3  = 1´66666666
  8 : 5  = 1´6
 13 : 8  = 1´625
 21 :13 = 1´6153846....
 34 :21 = 1´6190476....
 55 :34 = 1´6176471....
 89 :55 = 1´6181818....
5
 Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto
mayores son los términos, los cocientes se acercan más a ï •=1,61803.... En lenguaje matemático,
Efectivamente,Â
ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ
LA TRIGONOMETRÃ A Y EL NÃ MERO DE ORO
Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta figura sólo aparecen
tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es
el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales
seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de
estos y no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos,
que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudes de estos segmentos cumplen:
a>b>c>d.
Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno.
Triángulo ABE
ÂÂÂÂÂÂ
Triángulo ABF
ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ
Triángulo AFG
ÂÂÂÂÂÂ
Como 72º=180º-108º, se verifica que sen72º=sen108º.
Â
En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones:
Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, la razón entre cada
una de ellas y la siguiente es constante e igual a nuestro número de oro.
Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y haciendo b=1:
(El numero de oro)
Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea.
Como consecuencia, se verifica
EL NÃ MERO DE ORO EN EL ARTE Y LAS CONSTRUCCIONES
El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, si
bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas del arte. A continuación
se detallan algunos ejemplos de este uso.
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Pirámide de Keops:
El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data
del 2600 a.C..
Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente,
aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento
funerario en apariencia simple.
El Partenón Griego:
En la figura se puede comprobar que AB/CD=ï •. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número
áureo, por ejemplo: AC/AD=ï • y CD/CA=ï •.
Â
El Templo de Ceres:
El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triángulos
áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico.
Tumba Rupestre de Mira:
La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor basa su construcción en un pentágono áureo, en el que el
cociente de la diagonal y el lado de dicho pentágono es el número áureo.
Â
Leda Atómica:
7
El cuadro de DalÃ− Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica,
especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal
forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis
geométrico realizado por DalÃ− basado en el pentagrama mÃ−stico pitagórico.
EL NÃ MERO DE ORO EN LA NATURALEZA
En el Hombre:
En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los
dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este
número.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este
dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en
1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artÃ−sticas. En
particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo
sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la
circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la
longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un
ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la
distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
La Espiral LogarÃ−tmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD
del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado
EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir
indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el
vértice O de una espiral logarÃ−tmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas.
Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o
espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en
progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que
fuera grabada en su tumba.
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La espiral logarÃ−tmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas
formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene
invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
Otra espiral basada en el número áureo es la que se construye tomando como base un triángulo isósceles
cuyo ángulo menor mide 36°. A partir de cada triángulo se construye otro triángulo isósceles cuyo
lado menor coincide con el mayor del triángulo anterior.
Los cocientes entre el lado mayor y el lado menor de cada triángulo tienden hacia el número de oro.
La espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices consecutivos de estos
triángulos.
El resultado es otra similar cuya pulsación, el factor de crecimiento es el número áureo.
GeanologÃ−a:
El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la
sucesión de Fibonacci, y por lo tanto, al número áureo.
Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se queda en su
colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando
origen asÃ− a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo. Si
observamos el árbol genealógico (figura 1) de un zángano, podemos ver como el número de abejas en
cada generación es uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.
Botánica:
En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la
distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.
EL NÃ MERO DE ORO EN LA MÃ SICA
En la música también se puede aplicar para fraccionar una obra musical.
Al analizar minuciosamente las sonatas de Mozart, muchos especialistas advirtieron la presencia de la razón
aurea.
Estos hallazgos, además de los cálculos relacionados con temas diversos que fueron encontrados en los
margenes de algunas de sus partituras, sugieren la idea de que Mozart habria utilizado intencionalmente el
número de oro para dividir algunas de sus obras.
El número de oro también es utilizado para la construcción de violines.
El arte de la contrucción del violÃ−n floreció en el siglo XVII y comienzos del siglo XVIII. Para el
cálculo de determinadas proporciones del instrumento, ciertos métodos tradicionales aplican el número
de oro.
EL NÃ MERO DE ORO EN LA VIDA DIARIA
Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de
identidad y también en las cajetillas de tabaco. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco,
9
construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.
Â
EL NÃ MERO DE ORO EN LITERATURA
EL HOMBRE QUE CALCULABA
CAPÃ TULO XXIV
En el cual BeremÃ−s, por medio de fórmulas, calcula la belleza de una joven. La división áurea. Cómo
se determina, sin error, el valor numérico de la Belleza.
Uno de los hombres más populares de Bagdad es un turco, llamado Hassan Muarique, quien ejerce el cargo
de jefe de guardias del sultán.
HabÃ−a yo observado que Hassan se tornaba dÃ−a a dÃ−a uno de los más asiduos concurrentes del “Patito
Dorado”. Raro era el dÃ−a en que el guapo capitán de policÃ−a no se presentara a hacer una consulta al
calculista.
Hoy, al regresar de la mezquita, encontré a Muarique en animada conversación con BeremÃ−s. Se trataba
de la resolución de un nuevo problema, que parecÃ−a muy complicado, pues vi al talentoso matemático,
indeciso, analizando figuras y aplicando fórmulas sin llegar a un resultado satisfactorio.
Al final se retiró el turco con los guardias que lo acompañaban.
Sólo entonces pude oÃ−r la explicación, de labios de BeremÃ−s, de aquel raro interés del turco por la
ciencia.
Me contó el calculista lo siguiente:
- Hassan Muarique, capitán de la guardia, resolvió casarse con una joven llamada Zaira, hija del mercader
Abul Lahabe, de Basora. No querÃ−a, sin embargo, arriesgarse a pedir a la jovencita en casamiento, sin
asegurarse previamente de si ella era hermosa o estaba desprovista de encantos. Ya habÃ−a recurrido a todos
los artificios imaginables para descubrir el rostro de Zaira, pero sin resultado. No quiso, sin embargo, guiarse
únicamente por las informaciones de las viejas “ catbeth”, ya que esas casamenteras exageran las virtudes de
las novias para engañar a los pretendientes ingenuos. Ante ese inconveniente, Hassan me ha pedido lo
auxiliase a resolver el problema. ¿Cómo deberá hacer para asegurarse, antes del casamiento, de la belleza
de su esposa?
Hallé original aquella consulta y le dije:
- La Matemática dispone de recursos maravillosos. Con el auxilio de dicha ciencia puede el hombre calcular
el peso de un camello, la altura de una torre o la belleza de una mujer. Y como él me mirase con ojos
espantados, aclaré: “SÃ−, con el auxilio de una relación geométrica, puede el matemático determinar
si una joven es hermosa o fea, es decir, si sus formas son perfectas o no. Es enteramente innecesario, para el
novio, ver el rostro de su futura esposa para prevenirse contra cualquier desilusión. Basta dispones de media
docena de medidas y aplicar a ellas las “fórmulas matemáticas de belleza” ”.
- ExigÃ− -prosiguió BeremÃ−s- que Hassan obtuviese ciertas medidas del rostro de Zaira. Esas medidas,
tomadas en el interior del “harem” por una “catbet”, fueron entregadas al pretendiente. Disponiendo de los
datos del problema, apliqué las fórmulas, calculé las relaciones, y llegué matemáticamente al
siguiente resultado: “La joven Zaira, hija del mercader ABul-Lahabe, es linda como la décima tercera
hurÃ− del Cielo de Alah”.
- Es increÃ−ble -observé- que pueda el Ôlgebra llegar a ese resultado. ¿Es posible saber en que consiste
esa fórmula matemática de Belleza?
- Nada más fácil -replicó BeremÃ−s-. Puedo explicar una relación curiosa, de un modo elemental y
simple.
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Dada cierta magnitud AB (representada en este caso por un segmento de recta), podemos dividirla al medio, o
en dos partes desiguales. La división en dos partes desiguales puede ser hecha, es claro, de una infinidad de
maneras diferentes.
Entre las divisiones de AB en partes desiguales, ¿habrá alguna preferible a las otras?
- SÃ− -contesta el matemático-. Existe una manera “simpática” de dividir un todo en dos partes desiguales.
Veamos en que consiste esta forma de división.
Consideremos el segmento AB dividido en dos partes desiguales.
Admitamos que esas partes desiguales representen la siguiente relación:
“El segmento total es a la parte mayor, como la parte mayor es a la parte menor.”
La proposición es la siguiente:
Segmento total: parte mayor = parte mayor: parte menor
Esa división corresponde a la forma simpática que pueden presentar las dos partes desiguales. Podemos
formular la siguiente regla:
“Para que un todo dividido en dos partes desiguales parezca hermoso desde el punto de vista de la forma, debe
presentar entre la parte menor y la mayor la misma relación que entre ésta y el todo.”
En el rostro femenino "matemáticamente" hermoso, la lÃ−nea C de los ojos divide a la medida total
AB, en media y extrema razón.
Hasta hoy no se consiguió descubrir la razón de ser o “por qué” de esa belleza. Los matemáticos, que
llevaran hasta muy lejos sus estudios y observaciones, exponen varios y curiosos ejemplos que constituyen
elocuentes demostraciones para el principio de esa división que los romanos llamaban “divina proporción”
o “división áurea”.
Podemos llamarla también división en media y extrema razón.
Es fácil observar que el tÃ−tulo puesto por el calÃ−grafo en la primera página de una obra divide, en
general, la medida total del libro en media y extrema razón.
Lo mismo sucede con la lÃ−nea de los ojos, que divide, en las personas bien proporcionadas, la medida total
del rostro en media y extrema razón. Se observa también la divina proporción en las partes en que las
falanges dividen los dedos de la mano. La división en media y extrema razón se puede hallar también en
la Música, en la Pintura, en la Escultura y en la Arquitectura.
En la división áurea la relación entre el todo y la parte mayor, es igual, más o menos, a:
809 / 500
En las lÃ−neas principales del rostro femenino “matemáticamente hermoso” resulta constante aquella
relación.
Obtenidas, pues, las medidas que me parecieron necesarias, apliqué la fórmula de la divina proporción a
la joven Zaira, y verifiqué que su belleza se expresaba por el número:
808/500 que difiere muy poco del valor que define la perfección.
Mediante ese resultado pude afirmar al apasionado Hassan que su novia era encantadora.
- ¿Y no temes equivocarte, amigo? -observé-. La belleza femenina resulta, a veces, de ciertos detalles que
la Matemática no puede apreciar. ¡Cuántas veces el encanto de la mujer resulta de la manera de
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sonreÃ−r, del tono de voz, de cierta delicadeza de espÃ−ritu y de mil otros pequeñÃ−simos detalles que, en
ocasiones, para los enamorados, son todo!
BeremÃ−s no respondió. Bajó la cabeza y quedó en silencio, como si estuviese preocupado por nuevas y
profundas meditaciones.
Malba Tahan.
CURIOSIDADES ÔUREAS
Potencias. Los números guardan unas curiosas relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a
partir de la ecuación que tiene como solución el número de oro:
Potencias 2. Consideremos la sucesión de término general: . Si calculamos los primeros términos,
podemos observar una curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias
Podemos concluir que la sucesión dada se convierte en
Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede obtener sumando los dos anteriores. Lo curioso
es que esta relación es la misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci.
Limites. Comprobemos que los siguientes lÃ−mites dan como resultado el número de oro:
ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ
1Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â 2
ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ
1. Llamemos "L" al valor del lÃ−mite. Fácilmente se comprueba que se verifica la ecuación . Elevando al
cuadrado los dos miembros y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación final . Una
de las soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro .
2. Sea "M" el valor del lÃ−mite. Se comprueba la relación . Quitando denominadores y pasando todos los
términos a la izquierda se obtiene la ecuación cuya solución positiva es el número de oro.
BIBLIOGRAFIA:
• Argentina, Prov. De Bs. As., Dirección Gral. De Cultura y Educación. Resolución Nº 13269/99.
Tomo I. Ôreas Curriculares. Matemática. 1999.
• Argentina, Prov. De Bs. As., Dirección Gral. De Cultura y Educación. Matemática 9. Cuaderno
de trabajo 3.
• Argentina, Prov. De Bs. As. Enciclopedia Interactiva Siglo XXI. Tomo III. Editorial MM Océano
Grupo Editorial S.A.
• Aurucis, Patricia I.; Carione NoemÃ− H.; DÃ−az, Fabián G.; Schaposchnik, Ruth A. Matemática
9. Editorial Tinta Fresca. EGB 3.
• Carione, NoemÃ− H; Carranza, Susana G; Diñeiro, MarÃ−a Teresa; Latorre, MarÃ−a Laura y
Trama, Eduardo E. Matemática 3. Editorial Santillana. Secundaria
• Kaczor, Pablo J.; Schaposchnik, Ruth A.; Franco Eleonora; Cicala, Rosa A. y DÃ−az, Bibiana H.
Matemática I. Editorial Santillana. Polimodal.
• Kurzrok, Liliana; Altman, Silvia;Comparatore, Claudia. Matemática. Números y Sucesiones.
Editorial Longseller. Polimodal.
• Microsoft Corporation. Enciclopedia Encarta 2000.
• Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Capitulo XXIV. Ediciones Pluma y Papel.
• Extractos de internet:
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http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/naturaleza.html
http://www.ubu.es/averroes/investig/aulavirtual/trabajos_03/trabajo12.pdf
Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el
Norte de Ôfrica y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre
otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano.Â
Julio Cesa De Mello E Souza nació el 6 de mayo de 1895, en la ciudad de RÃ−o de Janeiro. Adoptando el
pseudónimo de Malba Tahan, desenvolvió su aptitud como escritor. Su libro mas famoso es “El Hombre
que Calculaba” que fue traducido a varios idiomas. Falleció el 18 de junio de 1974.
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