∫ −

Aplicaciones de Balances de Energía en Reactores Batch
Para un reactor batch, el BdeM se expresa como la ecuación para determinar el tiempo de
residencia:
xA
dx A
t = NA0
0 ( − rA )V
Separando variables:
dx A
V
=
dt
N A0
∫
Esta es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) con condiciones iniciales: t = 0 , xA = 0
Para resolver esta ecuación es necesaria otra que relacione la temperatura T y la conversión xA:
el BdeE. Para un sistema por lotes (batch) operando en estado no estacionario:
E–S+Q–W=A
(− ∆Ĥ RXN )(− rA )V + UA (Tm − T ) =
dE dH
dT
≈
= mCp
dt
dt
dt
Que también es una EDO con condiciones iniciales: t = 0, T = T0
Existen en general tres situaciones que pueden presentarse:
(a) Se tiene una temperatura constante o bien un programa de temperaturas
(b) Se tiene un flujo de calor especificado (cero, constante o una función del tiempo)
(c) El sistema no opera isotérmico ni adiabático y hay transferencia de calor con los
alrededores
Cada uno de estos casos tiene una estrategia de solución diferente debido a la naturaleza de cada
uno de ellos.
(a) Temperatura Especificada.
En este caso, la ecuación del BdeM se puede resolver en forma independiente del BdeE, pues al
estar especificada la temperatura constante o como un programa de temperaturas, las EDOs se
desacoplan. El BdeM se resuelve independientemente integrando la ecuación para obtener el
tiempo de residencia:
t = N A0
∫
xA
0
dx A
kC nA V
Si el volumen es constante:
Ingeniería de Reactores
70
M. A. Romero 2003
t = C A0
∫
xA
0
dx A
=
kCnA
∫
1
xA
0
dx A
k(1 − x A ) n
Si hay cambio de volumen, a presión y temperatura constante:
t = C A0
∫
xA
0
dx A
1
= n −1
n
kC A (1 + εx A ) C A 0
∫
xA
(1 + εx A ) n −1 dx A
0
Cuando la temperatura es una función del tiempo (programa de temperaturas), el BdeM se debe
resolver como una EDO con condiciones iniciales:
dx A
(1 − x A ) n  T0 
= kC nA−01
 
dt
(1 + εx A ) n −1  T 
n −1
El BdE se utiliza para calcular los requerimientos de transferencia de calor para lograr la
temperatura o programa de temperaturas:
(−∆Ĥ RXN )(−rA )V + UA(Tm − T) = ΣN i Cp i
dT
dt
Insertando el BdeM y multiplicando por dt:
(− ∆H) )N
RXN
Integrando,
A0
dx A + UA(Tm − T )dt = ΣNi Cpi dT
∫
(−∆Ĥ RXN )N A0 dx A +
∫ UA(Tm − T)dt = ΣN Cp ∫ dT
i
i
= ΣNi Cpi (T − T0 )
(−∆Ĥ RXN ) N A 0 x A +
Para calcular el flujo de calor, se despeja Qtotal y se deriva respecto al tiempo:
=
[
d ΣN i Cp i (T − T0 ) − (−∆Ĥ RXN ) N A 0 x A
dt
]
Esto nos da el programa de flujo de calor requerido para mantener las condiciones de
temperatura especificadas.
(b) Flujo de Calor Especificado.
En este caso el BdeM y BdeE se establecen como:
Ingeniería de Reactores
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M. A. Romero 2003
dx A
V
=
(−rA )
dt
NA0
&
dT (− ∆Ĥ RXN )(− rA )V + Q
=
dt
ΣN i Cp i
Utilizando la forma integrada del BdeE:
∫
& dt = ∑ N Cp (T − T )
(−∆Ĥ RXN )N A0 x A + Q
i
i
0
Si Q = f(t), es una constante o cero (operación adiabática), resolviendo la integral se tiene una
relación temperatura-conversión que puede sustituirse en el BdeM para resolverlo. Si el Cp no
es constante:
∫
t
∫
T
& dt = ∑ N Cp dT
(−∆Ĥ RXN )N A0 x A + Q
i
i
0
T0
y el BdeE es una ecuación no lineal que relaciona T y xA que hay que resolver simultáneamente
con la EDO del BdeM. Para el caso de un reactor batch adiabático:
( −∆Ĥ RXN )N A0 x A = ∑ N i Cp i (T − T0 )
Despejando T en función de xA:
T = T0 +
(− ∆Ĥ )N
RXN
A0
xA
Si xA tiende a 1,
(T − T0 ) =
(−∆Ĥ RXN ) N A 0
ΣN Cp
i
i
A esto se le conoce como la elevación adiabática de temperatura.
(c) Sistema no-isotérmico, no-adiabático.
En este caso la ecuación del BdeM no se puede resolver en forma independiente del BdeE y
solamente aplica una solución simultánea de las EDOs:
dx A
V
=
(−rA )
dt
NA0
Ingeniería de Reactores
72
M. A. Romero 2003
dT (− ∆Ĥ RXN )(−rA )V + UA(Tm − T)
=
dt
ΣN i Cp i
Aplicaciones de Balances de Energía en CSTRs
Recordando, cuando los Cp son constantes:
[
& = ΣF C p (T − T ) + F x ∆Ĥ 0 + ∆ C p (T − T )
Q
i0
i
i0
A0 A
RXN
i
R
]
donde T es la temperatura de operación del reactor, ∆Cp representa el efecto de la T sobre el
∆HRXN, Q = UA(Tm – T) y A es el área de transferencia de calor.
Ejemplo de BdeE en CSTRs
Se desea diseñar un reactor batch para la isomerización de A: A→B. La reacción es irreversible
y tiene una cinética de primer orden. A y B son líquidos a temperatura ambiente y ambos tienen
un punto de ebullición extremadamente alto. Determinar el volumen de reacción necesario para
producir 2,000,000 lb de B en 7,000 horas de operación por año.
La reacción se llevará a cabo en uno o más CSTRs iguales en serie operando @ 163°C y que la
corriente de alimentación consiste de A puro @ 20°C. Considerar:
(a) Un solo CSTR.
(b) Tres CSTR´s del mismo tamaño en serie.
DATOS Y SUPOSICIONES :
Expresión de la velocidad de reacción: kCA
k @ 163°C = 0.8 hr-1
Energía de activación = 28,960 cal/mol
Calor de reacción = -83 cal/gr
Peso molecular = 250
Calores específicos = 0.5 cal/gr°C
Densidades = 0.9 gr/cm3
Conversión deseada: 97% de A
SOLUCION.
(a) Un solo CSTR:
Primeramente se calcula el flujo de alimentación a procesar en forma continua en el CSTR:
Ingeniería de Reactores
73
M. A. Romero 2003
FA 0 =
(2,000,000lbB / año)(453.5 g / lb)
= 133,578.8 g / hr
(0.97lbB / lbA)(7,000hr / año)
El balance de materia de un CSTR en función del tiempo espacial para una reacción en fase
líquida es:
C
− C Ai
τ = Ai−1
− rAi
sustituyendo la expresión de velocidad de reacción -rAi = kCAi =
τ1 =
C Ai−1 − C Ai C A 0 − C A1 C A 0 − C A 0 (1 − x A1 )
=
=
=
kC A1
kC A 0 (1 − x A1 )
− rAi
Calculando el flujo volumétrico de alimentación:
L
g 1 cm 3
1L
×
= 148.42
v 0 = 133,578.8 ×
3
hr 0.9g 1,000cm
hr
Así, el volumen del reactor se puede calcular:
VCSTR = v0τ = (148.42 L/hr)(40.42hr) =
Planteando el BdeE para el CSTR:
[
& = F (T − T ) θ Cp +F x ∆Ĥ 0 + ∆Cp(T − T )
Q
A0
0 ∑ i
i
A0 A
RXN
R
∑ θ Cp
i
i
]
= θ A Cp A + θ B Cp B =
rearreglando:
{
[
$ 0 + ∆Cp(T − T )
& = FA 0 (T − T0 )Cp A + x A ∆H
Q
RXN
R
]}
Sustituyendo el valor de las variables involucradas,
& = 133,578.8 g (163 − 20)°C × 0.5 cal + 0.97 − 83 cal  × 1 BTU
Q

hr 
g°C
g  252 cal

Ingeniería de Reactores
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M. A. Romero 2003
= −4,775.97
BTU
hr
(b) 3 CSTR´s del mismo tamaño en serie:
Aplicando el BdeM al reactor i y despejando la concentración de salida:
τi =
C Ai−1 − C Ai
− rAi
C Ai =
C Ai−1
1 + kτ
Aplicando la ecuación para los tres reactores:
C A1 =
C A0
1 + kτ
CA2 =
C A0
C A1
=
1 + kτ (1 + kτ)2
C A3 =
C A0
CA2
=
1 + kτ (1 + kτ )3
De esta última ecuación se determina el tiempo espacial:
1 − x A3 =
C A3
1
=
C A 0 (1 + kτ )3
Sustituyendo valores y despejando:
1 − 0.97 = 0.03 =
1
(1 + 0.8τ)3
El volumen del reactor se puede calcular:
VCSTR = v0τ = (148.42 L/hr)(2.77hr) = 411.12 L
con un volumen total de 3(411.12) = 1,233.36 L
Planteando el Bde E para el i-ésimo CSTR:
[
$ 0 + ∆Cp(T − T )
& i = FA 0 (Ti − T0 ) ∑ θ i Cp i +FA 0 ( x Ai − x Ai −1 ) ∆H
Q
RXN
i
R
Ingeniería de Reactores
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]
M. A. Romero 2003
Sin embargo, se desconocen las conversiones intermedias xA1 y xA2, por lo que hay que
determinarlas. Del BdeM del primer CSTR:
C A1 =
despejando xA1:
x A1 =
C A0
= C A 0 (1 − x A1 )
1 + kτ
kτ
0.8(2.77)
=
=
(1 + kτ) 1 + 0.8(2.77)
Del BdeM del segundo CSTR:
C A 2 = C A 0 (1 − x A 2 ) =
C (1 − x A1 )
C A1
= A0
1 + kτ
Sustituyendo xA1 y despejando xA2:
x A2 = 1 −
(1 − x A1 )
= 1−
=
(1 + kτ)
1 + 0.8(2.77)
Aplicando el Balance de energía sobre el CSTR 1:
[
$ 0 + ∆Cp(T − T )
& 1 = FA 0 (T1 − T0 )Cp A + FA 0 ( x A1 − x A 0 ) ∆H
Q
RXN
i
R
]
sustituyendo valores:

cal  1 BTU
& = 133,578.8 g (163 − 20)°C × 0.5
Q
+ (0.689 − 0) − 83  ×
=
1
hr 
gr°C
 252 cal

Balance de energía sobre el CSTR 2:
[
& = F Cp (T − T ) + F ( x − x ) ∆Ĥ 0 + ∆Cp(T − T )
Q
2
A0
A
2
1
A0
A2
A1
RXN
2
R
]
sustituyendo valores:
& = 133,578.8
Q
2
hr
× (0.903 − 0.689) × −83
cal
×
1 BTU
=
252 cal
Balance de energía sobre el CSTR 3:
[
& = F ( x − x ) ∆Ĥ 0 + ∆Cp(T − T )
Q
3
A0
A3
A2
RXN
3
R
Ingeniería de Reactores
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]
M. A. Romero 2003
sustituyendo valores:
& = 133,578.8
Q
3
hr
Ingeniería de Reactores
× (0.97 − 0.903) × −83
cal
×
1 BTU
=
252 cal
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M. A. Romero 2003