File - Apuntes de mates

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Ejercicios resueltos
125
Las matrices asociadas a g ◦ f y f ◦ g son, respectivamente
⎛
⎞
0
3
8
14 −13
⎟
⎜
g ◦ f ⇐⇒ BA = ⎝ 3
3
1 ⎠ f ◦ g ⇐⇒ AB =
16 −22
7
2 −11
Las ecuaciones pedidas son:
g ◦ f : R3 −→ R3
⎞ ⎛
0
x1
⎟ ⎜
⎜
=⇒ ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 3
7
x3
⎞⎛
⎞
3
8
x1
⎟⎜
⎟
3
1 ⎠ ⎝ x2 ⎠
2 −11
x3
⎛
Análogamente,
f ◦ g : R2 −→ R2 =⇒
x1
x2
=
14 −13
16 −22
x1
x2
Propiedades de las operaciones con aa.ll.
Siempre que las siguientes composiciones tengan sentido, y siendo f, g, y h
homomorfismos y λ escalar, se verifica que:
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
(f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h
h ◦ (f + g) = h ◦ f + h ◦ g
λ(f ◦ g) = (λf ) ◦ g = f ◦ (λg)
3.7
Ejercicios resueltos
Ejercicio 3.1 Determinar una aplicación lineal f : R4 → R3 , sabiendo que
(−1, 0, 0, 1) y (1, 3, 2, 0) constituyen un sistema generador de Ker f y que los
vectores (1, 1, 1) y (0, −2, 1) generan a Img f .
Solución: Para que quede determinada una aplicación lineal debemos conocer los transformados de una base, por lo que, en primer lugar, debemos
establecer una base de R4 como una ampliación de la base de Ker f .
−1
0
0
1 1
3
0
2 −1
0 =
= −3 = 0
0
0
1
0 1
3 0
0
0
1 126
Aplicaciones lineales.
una base de R4 está constituida por
B R4 = {(−1, 0, 0, 1), (1, 3, 2, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
Una aplicación f con las condiciones requeridas es la que transforma e3 en
(1, 1, 1) y e4 en (0, −2, 1), por lo que
f (−1, 0, 0, 1) = (0, 0,
f ( 1, 3, 2, 0) = (0, 0,
f ( 0, 0, 1, 0) = (1, 1,
f ( 0, 0, 0, 1) = (0, −2,
0)
0)
1)
1)
Es decir
⎛
⎜
⎜
A⎜
⎝
−1
0
0
1
1
3
2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎞
⎛
0
⎟
⎟ ⎜
⎟=⎝ 0
⎠
0
⎛
⎞ −1
1
0 ⎜
⎟⎜ 0
1 −2 ⎠ ⎜
⎝ 0
0
1
1
1
⎛
⎞
2
0 − /3
1
0
⎜
⎟
A = ⎝ −2
0
1 −2 ⎠
1 −1
1
1
⎛
0
⎜
A=⎝ 0
0
0
0
0
0
0
1
3
2
0
⎞
1
0
⎟
1 −2 ⎠ =⇒
1
1
0
0
1
0
siendo
0
0
0
1
⎞−1
⎟
⎟
⎟
⎠
=⇒
x = Ax
Ejercicio 3.2 Sean V y W espacios vectoriales reales de dimensiones 3 y 4
respectivamente, B = {v1 , v2 , v3 } una base de V , B = {w1 , w2 , w3 , w4 } una de
W y f la aplicación lineal determinada por:
f (v1 ) = 2w1 − w2 + w3 + w4
f (v2 ) =
w2 − 2w3 + w4
f (v3 ) = 4w1 − w2
+ 3w4
a) Obtener las ecuaciones de f .
b) Determinar Ker f e Img f .
Ejercicios resueltos
127
Solución:
a) Por tratarse de dos bases de U y V se tiene
x∈V
=⇒ x = x1 v1 + x2 v2 + x3 v3
x = f (x) ∈ W =⇒ x = x1 w1 + x2 w2 + x3 w3 + x4 w4
y como por ser f lineal se verifica que
f (x) = f (x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 ) = x1 f (v1 ) + x2 f (v2 ) + x3 f (v3 ) =⇒
x = (2x1 + 4x3 )w1 + (−x1 + x2 − x3 )w2 + (x1 − 2x2 )w3 + (x1 + x2 + 3x3 )w4
Al ser únicas las coordenadas de un vector respecto de una base, las
ecuaciones de f son
x1 = 2x1 + 4x3
x2 = −x1 + x2 − x3
x3 = x1 − 2x2
x4 = x1 + x2 + 3x3
b) Para determinar Ker f resolvemos el sistema
+ 4x3
2x1
−x1 + x2 − x3
x1 − 2x2
x1 + x2 + 3x3
2
0
4
−1
1 −1
1 −2
0
1
1
3
→
1
0
2
−1
1 −1
1 −2
0
1
1
3
→
=0
=0
=0
=0
1
0
2
0
1
1
0 −2 −2
0
1
1
es decir, las ecuaciones implı́citas de Ker f son
x1 + 2x3 = 0
Ker f ≡
x2 + x3 = 0
Sus ecuaciones paramétricas vienen dadas por
x1 = −2λ
x2 = −λ
x3 = λ
y una base de Ker f es
B Ker f = {(−2, −1, 1)}
→
1
0
0
0
0
1
0
0
2
1
0
0
128
Aplicaciones lineales.
Para determinar la imagen, debemos ver qué columnas de A son linealmente independientes.
2 −1
1
0
1 −2
4 −1
0
1
1
3
→
2 −1
1
0
1 −2
0
1 −2
1
1
1
→
2 −1
1
0
1 −2
0
0
0
1
1
0
Ası́ pues, una base de la imagen es
B Img f = {(2, −1, 1, 1), (0, 1, −2, 1)}
Ejercicio 3.3 Consideremos la aplicación lineal f : R3 → R2 , definida por
f (x, y, z) = (−2x + y, 3z). Calcular las ecuaciones de f
a) Respecto de las bases canónicas.
⎧
⎪
B = {(1, 2, −1), (0, 1, 0), (3, 1, 1)} de R3
⎪
⎪
⎨
b) Respecto de las bases
y
⎪
⎪
⎪
⎩
B = {(0, 2), (−1, 1)}
de R2
⎧
⎪
C = {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de R3
⎪
⎪
⎨
c) Respecto de las bases
y
⎪
⎪
⎪
⎩ C = {f (1, 1, 1), f (0, 1, 0)}
de R2
Solución: Sean B y B las bases canónicas de R3 y R2 respectivamente.
a) La base canónica de R3 es B = {(1, 0, 0)(0, 1, 0), (0, 0, 1)} y sabemos que
f (e1 ) = f (1, 0, 0) = (−2 · 1 + 0, −3 · 0) = (−2, 0)
f (e2 ) = f (0, 1, 0) = (−2 · 0 + 1, −3 · 0) = ( 1, 0)
f (e3 ) = f (0, 0, 1) = (−2 · 0 + 0, −3 · 1) = ( 0, −3)
por lo que llamando ABB a la matriz asociada a f respecto de las bases
canónicas, se verifica que
−2 1 0
−2 1 0
ABB (e1 e2 e3 ) =
=⇒ ABB I =
0 0 3
0 0 3
es decir
ABB =
−2 1 0
0 0 3
con
xB = ABB xB
Ejercicios resueltos
129
b) Sabiendo que el cambio de base de la base B a la base canónica B viene
dado por
0 −1
xB = xB
2
1
y que el de la base B a la canónica B viene dado por
⎛
⎜
⎝
1
2
−1
0
1
0
⎞
3
⎟
1 ⎠ x B = xB
1
se tiene
xB = ABB xB =⇒
xB =
0 −1
2
1
−1
0 −1
2
1
⎛
xB
⎛
1
⎜
ABB ⎝ 2
−1
1
⎜
= ABB ⎝ 2
−1
0
1
0
0
1
0
⎞
3
⎟
1 ⎠ xB =⇒
1
⎞
3
⎟
1 ⎠ xB ⇐⇒ xB = ABB xB
1
es decir
ABB =
=
0 −1
2
1
−1 − 3/2 1/2 −1
0
−1
5
−2 1 0
0 0 3
⎛
1
⎜
⎝ 2
−1
0
1
0
⎞
3
⎟
1 ⎠=
1
Las ecuaciones de f respecto a las bases B y B son, por tanto
− 3/2 1/2 −1
xB = ABB xB con ABB =
0
−1
5
c) Teniendo en cuenta que
f (1, 1, 1) = (−2 · 1 + 1, 3 · 1) = (−1, 3)
f (0, 1, 0) = (−2 · 0 + 1, 3 · 0) = ( 1, 0)
=⇒ C = {(−1, 3), (1, 0)}
130
Aplicaciones lineales.
y procediendo igual que antes llegamos a que
⎛
⎞
1 0 0
−1 −2 1 0 ⎜
1 0 1
−1 1
⎟
ACC =
⎝ 1 1 0 ⎠=
0 0 3
0 1 1
3 0
1 0 1
Las ecuaciones de f respecto a las bases c y c son, por tanto
1 0 1
xC = ACC xC con ACC =
0 1 1
Ejercicio 3.4 Sea f el endomorfismo de R3 definido por
• f (1, 1, 0) = (3, 6, 9).
• Si L =< (1, 2, 3) > entonces x1 = x3 es una ecuación implı́cita de f −1 (L).
• En la matriz asociada a f respecto de la base canónica a11 = 1 y a33 = 3.
Se pide:
a) La matriz asociada a f , respecto de las bases canónicas.
b) La dimensión, una base y unas ecuaciones implı́citas de Ker f e Img f .
Solución:
a) Al tener una sola ecuación implı́cita
dim f −1 (L) = dim R3 − número de ecuaciones implı́citas = 3 − 1 = 2
x1 = x3 =⇒ Bf −1 (L) = {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}
Sabemos entonces que
f (1, 1, 0) = (3, 6, 9)
f (1, 0, 1) = (λ, 2λ, 3λ)
f (0, 1, 0) = (μ, 2μ, 3μ)
⎫
⎪
⎬
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 0
3 λ μ
⎜
⎟ ⎜
⎟
=⇒ A ⎝ 1 0 1 ⎠ = ⎝ 6 2λ 2μ ⎠ =⇒
⎪
⎭
0 1 0
9 3λ 3μ
⎞
⎞−1 ⎛
⎞⎛
3−μ μ
−3 + λ + μ
1 1 0
3 λ μ
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟⎜
A = ⎝ 6 2λ 2μ ⎠ ⎝ 1 0 1 ⎠ = ⎝ 6 − 2μ 2μ −6 + 2λ + 2μ ⎠
9 − 3μ 3μ −9 + 3λ + 3μ
0 1 0
9 3λ 3μ
⎛
Ejercicios resueltos
131
a11 = 1 =⇒ 3 − μ = 1 =⇒ μ = 2
a33 = 3 =⇒ −9 + 3λ + 3μ = 3 =⇒ −9 + 3λ + 6 = 3 =⇒ λ = 2
por lo que
⎛
⎞
1 2 1
⎜
⎟
A=⎝ 2 4 2 ⎠
3 6 3
b) El núcleo viene determinado por Ax = 0, por lo que sólo tiene una
ecuación implı́cita
Ker f ≡ x1 + 2x2 + x3 = 0
Sus ecuaciones paramétricas son
x1 = −2λ − μ
x2 = λ
x3 = μ
λ = 1, μ = 0 =⇒ (−2, 1, 0)
λ = 0, μ = 1 =⇒ (−1, 0, 1)
es decir, una base del núcleo es
B Ker f = {(−2, 1, 0), (−1, 0, 1)} =⇒ dim Ker f = 2
Para determinar la imagen de la aplicación, sabemos que las columnas
linealmente independientes de la matriz A constituyen una base de Img f ,
por lo que
B Img f = {(1, 2, 3)} =⇒ dim Img f = 1
Las ecuaciones paramétricas son
x1 = λ
x2 = 2λ
x3 = 3λ
y las ecuaciones implı́citas
Img f ≡
2x1 − x2 = 0
3x1 − x3 = 0
Ejercicio 3.5 Sean los homomorfismos f : R4 → R3 y g : R3 → R3 tales
que:
1. f (e1 ) = (1, 2, −3), f (e2 ) = (2, 1, 3), f (e3 ) = (1, 3, −3).
132
Aplicaciones lineales.
2. (1, 0, 0, 1) ∈ f −1 (L), siendo L ≡
x1 − 2x2 = 0
x2 − x3 = 0
3. g(0, 0, 1) = (1, 1, −1)
4. Ker g ◦ f ≡ x1 − x2 + x3 − 2x4 = 0
Determinar:
a) f , g y g ◦ f .
b) Unas ecuaciones implı́citas de Img g ◦ f .
c) Una base de (g ◦ f )(L1 ), siendo L1 ≡ x1 − x2 + x4 = 0
Solución:
a)
L≡
x1
x2
−
−
2x2
x3
=0
=0
⎧
⎪
⎨ x1 = 2λ
=⇒
x2 = λ
⎪
⎩ x3 = λ
=⇒ B L = {(2, 1, 1)}
(1, 0, 0, 1) ∈ f −1 (L) =⇒ f (1, 0, 0, 1) ∈ L =⇒ f (1, 0, 0, 1) = (2λ, λ, λ)
f (1, 0, 0, 1) = (2λ, λ, λ)
=⇒ f (e4 ) = (2λ − 1, λ − 2, λ + 3)
f (1, 0, 0, 0) = (1, 2, −3)
Podemos decir por tanto, que
⎛
1
⎜
Af = ⎝ 2
−3
⎞
2
1 2λ − 1
⎟
1
3 λ−2 ⎠
3 −3 λ + 3
Por otra parte,
Ker g ◦ f ≡ x1 − x2 + x3 − 2x4
⎧
x1
⎪
⎪
⎪
⎨ x
2
=⇒
⎪ x3
⎪
⎪
⎩
x4
=λ−μ+γ
=λ
=μ
=γ
por lo que una base de Ker g ◦ f viene dada por
B Ker g◦f = {(1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (2, 0, 0, 1)}
Ejercicios resueltos
133
x ∈ Ker g ◦ f =⇒ g ◦ f (x) = 0 =⇒ g(Af x) = 0
y dado que
⎛
1 −1
⎜ 1
0
⎜
Af ⎜
⎝ 0
1
0
0
2
0
0
1
⎞
⎛
⎞
3 0 2λ + 1
⎟
⎟ ⎜
⎟
⎟=⎝ 3 1 λ+2 ⎠
⎠
0 0 λ−3
sabemos que
g(3, 3, 0) = (0, 0, 0)
g(0, 1, 0) = (0, 0, 0)
=⇒
g(2λ + 1, λ + 2, λ − 3) = (0, 0, 0)
g(0, 0, 1) = (1, 1, −1)
⎛
⎞ ⎛
⎞
3 0 0
0
0
1
⎜
⎟ ⎜
⎟
Ag ⎝ 3 1 0 ⎠ = ⎝ 0
0
1 ⎠
0 0 1
0
0 −1
de donde
⎛
⎞⎛
⎞−1
⎛
0
1
3 0 0
⎟⎜
⎟
⎜
=⇒ Ag = ⎝
0
1 ⎠⎝ 3 1 0 ⎠
0 −1
0 0 1
⎛
⎞ ⎛ ⎞
2λ + 1
0
⎜
⎟ ⎜ ⎟
Además, Ag ⎝ λ + 2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ =⇒
λ−3
0
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
0
0
1
2λ + 1
λ−3
0
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
0
1 ⎠⎝ λ + 2 ⎠ = ⎝ λ − 3 ⎠ = ⎝ 0
⎝ 0
0
0 −1
λ−3
−λ + 3
0
0
⎜
Ag = ⎝ 0
0
por lo que
⎛
⎜
Af = ⎝
1
2
−3
2
1
1
3
3 −3
0
0
0
⎞
0
1
⎟
0
1 ⎠
0 −1
⎞
⎟
⎠ =⇒ λ = 3
⎞
5
⎟
1 ⎠
6
La matriz asociada a la aplcación compuesta g ◦ f es Ag◦f = Ag · Af
⎛
⎞
−3
3 −3
6
⎜
⎟
Ag◦f = ⎝ −3
3 −3
6 ⎠
3 −3
3 −6
134
Aplicaciones lineales.
b) Una base de Img g ◦f la forman las columnas linealmente independientes
de la matriz Ag◦f , por lo que sólo consta de un vector
B Img g◦f = {(1, 1, −1)}
Sus ecuaciones paramétricas son
x1 = λ
x2 = λ
x3 = −λ
y por tanto, sus ecuaciones implı́citas son
x1 − x2 = 0
Img g ◦ f ≡
x1 + x3 = 0
c) La variedad L1 ≡ x1 − x2 + x4 = 0 tiene por ecuaciones paramétricas
x1 = λ − μ
x2 = λ
x3 = μ
x4 = γ
por lo que una base de L1 es
B L1 = {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}
y un sistema generador de g◦f (L1 ) lo forman los transformados de dichos
vectores:
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞ 1
1
0 −1
0 −1
−3
3 −3
6 ⎜
⎜ 1
⎟
0
0 ⎟ ⎜
0
0 ⎟
⎜
⎟⎜ 1
⎟
Ag◦f ⎜
3 −3
6 ⎠⎜
⎟ = ⎝ −3
⎟=
⎝ 0
⎝ 0
1
0 ⎠
1
0 ⎠
3 −3
3 −6
0
0
1
0
0
1
⎛
⎞
0 −3
9
⎜
⎟
= ⎝ 0 −3
9 ⎠
0
3 −9
por lo que
B g◦f (L1 ) = {(1, 1, −1)}
Ejercicio 3.6 En R3 , respecto de la base canónica, se consideran las variedades lineales:
L2 =< (1, −1, 1) >
L1 : x − y = 0
Ejercicios resueltos
135
a) Probar que R3 = L1 ⊕ L2 .
b) Calcular, respecto de la base canónica, la matriz de todos los endomorfismos f de R3 tales que f (L1 ) ⊂ L2 y f (0, 1, 0) = (1, 0, −1).
c) Comprobar que todos los endomorfismos del apartado anterior tienen, a
lo sumo, rango 2. ¿Existe algún endomorfismo de rango 1?
d) Encontrar f ∈ End(R3 ) que cumple las condiciones del segundo apartado
y que además (1, 1, 1) ∈ Ker f , f (1, 0, −1) = (−3, 2, −1). ¿Es único? En
tal caso, calcular una base de los subespacios f −1 (L1 ) y f (L2 ).
Solución:
a) Las ecuaciones paramétricas de L1 son
x1 = λ
x2 = λ
x−3=μ
por lo que una base de L1 es
B L1 = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}
Un sistema generador del subespacio suma lo constituyen los vectores de
la base de L1 junto con el vector (1, −1, 1) de la base de L2 , y dado que
los tres son linealmente independientes L1 + L2 = R3 .
Además, por ser dim(L1 + L2 ) = dim R3 = 3
dim(L1 + L2 ) = dim L1 + dim L2 − dim(L1 ∩ L2 ) =⇒
3 = 2 + 1 − dim(L1 ∩ L2 ) =⇒ dim(L1 ∩ L2 ) = 0 =⇒ L1 ∩ L2 = {0}
por lo que la suma es directa, es decir
L1 ⊕ L2 = R3
b) f (L1 ) ⊂ L2 =⇒
⎧
⎨ f (1, 1, 0) = (λ, −λ, λ)
⎩
f (0, 0, 1) = (μ, −μ, μ)
y al ser f (0, 1, 0) = (1, 0, −1) se tiene que
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 0 0
λ
μ
1
⎜
⎟ ⎜
⎟
Af ⎝ 1 0 1 ⎠ = ⎝ −λ −μ
0 ⎠ =⇒
0 1 0
λ
μ −1
136
Aplicaciones lineales.
⎛
⎞⎛
⎞−1 ⎛
⎞
λ
μ
1
λ−1
1
μ
1 0 0
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
Af = ⎝ −λ −μ
0 ⎠ ⎝ 1 0 1 ⎠ = ⎝ −λ
0 −μ ⎠
λ
μ −1
0 1 0
λ + 1 −1
μ
c)
λ−1
1
μ
−λ
0 −μ
λ + 1 −1
μ
→
λ−1
−1
0
→
1
1
0
μ
0
0
λ−1
1
−1
1
2
−2
μ
0
0
λ
−1
0
0
1
0
→
→
μ
0
0
de donde se deduce que el rango de los endomorfismos no puede ser 3,
es decir
rg f ≤ 2
Para que rg f = 1 han de ser λ = μ = 0, en cuyo caso nos queda el
endomorfismo cuya matriz asociada es
⎛
⎞
−1
1
0
⎜
⎟
Af = ⎝ 0
0
0 ⎠ con rg f = 1
1 −1
0
d)
f (1, 1, 1) = ( 0, 0, 0)
=⇒
f (1, 0, −1) = (−3, 2, −1)
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
λ−1
1
μ
1
1
0 −3
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
0 −μ ⎠ ⎝ 1
0 ⎠=⎝ 0
2 ⎠ =⇒
⎝ −λ
λ + 1 −1
μ
1 −1
0 −1
⎛
⎞ ⎛
⎞
λ+μ
λ−1−μ
0 −3
λ+μ=0
⎜
⎟ ⎜
⎟
+μ ⎠=⎝ 0
2 ⎠ =⇒
⎝ −λ − μ −λ
−λ + μ = 2
λ+μ
λ+1−μ
0 −1
(1, 1, 1) ∈ Ker f =⇒
es decir, λ = −1 y μ = 1, por lo que la solución es única
⎛
⎞
−2
1
1
⎜
⎟
Af = ⎝ 1
0 −1 ⎠
0 −1
1
Ejercicios propuestos
137
Como L1 ≡ x1 − x2 = 0, la ecuación implı́cita de f −1 (L1 ) viena dada
por
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛ ⎞
1
1
x1
0
−2
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
0 −1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ =⇒
1 −1
0 ⎝ 1
0 −1
1
0
x3
⎧
⎪
⎨ x1 = λ + 2μ
f −1 (L1 ) ≡ −3x1 + x2 + 2x3 = 0 =⇒
x2 = 3λ
⎪
⎩
x3 = 3μ
⎫
λ = 1 μ = 0 =⇒ (1, 3, 0) ⎬
=⇒ B f −1 (L1 ) = {(1, 3, 0), (2, 0, 3)}
⎭
λ = 0 μ = 1 =⇒ (2, 0, 3)
Como un sistema generador de f (L2 ) está constituido por los transformados de una base de L2 y ésta sólo tiene al vector (1, −1, 1) que se
transforma mediante f en
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
−2
1
1
1
−2
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
0 −1 ⎠ ⎝ −1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠
⎝ 1
0 −1
1
1
2
una base de f (L2 ) la constituye el vector (−2, 0, 2) o bien cualquiera
proporcional a él, es decir
B f (L2 ) = {(1, 0, −1)}
3.8
Ejercicios propuestos
Ejercicio 3.7 Consideremos la aplicación lineal f : R3 → R3 definida por
f (x, y, z) = (2x + y, −z, 0)
a) Determinar Ker f y hallar una base de dicho subespacio.
b) Hallar el rango de f .
c) ¿Pertenece (6, −2, 0) a Ker f ?
Sol : B Ker f = {(1, −2, 0)}, rg f = 2, (6, −2, 0) ∈ Ker f .