Ejemplo de proceso aleatorio Definici´on del experimento aleatorio
Anuncio
Ejemplo de proceso aleatorio
Definición del experimento aleatorio
Cuatro posibles resultados: ω1 , ω2 , ω3 , ω4
Probabilidades: P(ω1 ) = P(ω2 ) = P(ω3 ) = P(ω4 ) =
Descripción analı́tica del proceso
!
1,
X(t, w1 ) =
0,
!
2,
X(t, w2 ) =
0,
!
e−t ,
X(t, w3 ) =
0,
!
sin(t),
X(t, w4 ) =
0,
Grado Ing. Telemática (UC3M)
1
4
si t ≥ 0
si t < 0
si t ≥ 0
si t < 0
si t ≥ 0
si t < 0
si t ≥ 0
si t < 0
Teorı́a de la Comunicación
Procesos Aleatorios
1 / 14
Señales del proceso aleatorio
............................................................................................................................................................................................................
....
.
1.5
....
....
.
1
........................................................................................................................................................................................................................
..... ............. ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
.. . ...... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..
0.5
......... .... ...................... ..... .... ..... .... ..... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... ....
...... .... .... ........................................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
.
.
0 .................................... .... ... .. ... .. ... .. .. .......................................................................................................................................
... ... .. ... ... ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ...
................. X(t, ω1 ) ... ... .... ... ... ... .... ... .... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ...
.. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . .. .
-0.5
................. X(t, ω2 ) .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... .... .... ..... .... .... .... ..... .... .... ....
.....
.. ..
......
......
......
......
......
......
......
......
.
-1 ................. X(t, ω3 ) ..
................. X(t, ω4 )
2
-2
-1
0
1
Grado Ing. Telemática (UC3M)
2
3
5
4
Tiempo (t)
Teorı́a de la Comunicación
6
7
8
9
Procesos Aleatorios
10
2 / 14
Realización del proceso aleatorio si ω = ω1
2
1.5
...........................................................................................................................................................................................................
.....
..
0.5
....
..
.
.
0 .................................... ....
1
-0.5
-1
................. X(t, ω1 )
-2
-1
0
1
2
Grado Ing. Telemática (UC3M)
3
5
4
Tiempo (t)
6
7
Teorı́a de la Comunicación
8
9
Procesos Aleatorios
10
3 / 14
Realización del proceso aleatorio si ω = ω2
............................................................................................................................................................................................................
....
.
....
.
.....
.
.....
..
....
.
..........................................
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
................. X(t, ω2 )
-2
-1
0
1
Grado Ing. Telemática (UC3M)
2
3
5
4
Tiempo (t)
Teorı́a de la Comunicación
6
7
8
9
Procesos Aleatorios
10
4 / 14
Realización del proceso aleatorio si ω = ω3
2
1.5
..
............
.. ....
0.5
.... .............
.............
..
..............................................
.
.
...............................................................................................................
0 .................................... ....
1
-0.5
-1
................. X(t, ω3 )
-2
-1
0
1
2
Grado Ing. Telemática (UC3M)
3
5
4
Tiempo (t)
6
7
Teorı́a de la Comunicación
8
9
10
Procesos Aleatorios
5 / 14
Realización del proceso aleatorio si ω = ω4
2
1.5
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..
0.5
..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... ....
.. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
.
.
0 ..................................... .... ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
-0.5
................. X(t, ω4 ) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
-1
1
-2
-1
0
1
Grado Ing. Telemática (UC3M)
2
3
5
4
Tiempo (t)
Teorı́a de la Comunicación
6
7
8
9
Procesos Aleatorios
10
6 / 14
Media del proceso aleatorio
2
1.5
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...
..
.....
.
..
...
....
.
...
...
....
.
...
..
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.. . .
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ...
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
......... .. ..
.. ...
.. ..
.. ..
.. ...
.. ..
.. ..
.. ..
.. ...
.. ...
...... ... ..
.. ...
.. ....
.. ...
.. ....
.. ....
.. ....
.. ....
.. ...
.. ...
....... ..............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . ...
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. .
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ...
.. ..
... .. ...
.. .. ........
.. ...
.. ...
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ...
.. ...
..... ... ... ........
... ....
... ...
... ...
... ...
... ....
... ....
... ....
... ....
... ...
.. ...... ..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
....... ..
..
..
.. ..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
........ ...
..
..
..
..
... ..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
..
.
..
. .......... ..
..
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.... ...
..
..
..
..
.
..
.............
..
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ..
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.................................. ..
..
..
..
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.. ..
...................................................................... ..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
..
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
..
.
......................................
..
........................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................
...
..
.
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
..
..
.
.
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
..
..
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. .
.. .
.. .
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. .
.. .
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
.
.. .
.. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. .
.. ..
.. ..
.. ..
.
.
.. ..
.
.
.
.
.. ..
.. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.. ..
.. ..
.. ..
.
.. ..
.
.
.
.. ..
.. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. .
.. .
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
... .
... .
.. .
.. .
... .
... ..
... ..
... ..
... ..
... ..
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
..
..
..
..
..
.
.
!!!!!!!!!
!
!
! !!!!!!!
!!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!!
1
!!! !!!! !!! !!!! !!! !!!! !!! !!!! !!! !!!!! !!! !!!!! !!! !!!!! !!! !!!!! !!! !!!!! !!! !!!!!
! ! ! !!! !! !!! !! !!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!
!! !!!!!
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!!
!!!!
!!!!!
!!!!!
!
0.5
!!!
!
!!
!
0 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
-0.5
-1
-2
0
-1
1
2
Grado Ing. Telemática (UC3M)
3
5
4
Tiempo (t)
7
6
8
Teorı́a de la Comunicación
9
Procesos Aleatorios
10
7 / 14
Autocorrelación del proceso aleatorio
*+,)&-)!.
&('
&
"('
"
&"
'
"
)!
Grado Ing. Telemática (UC3M)
!!
"
Teorı́a de la Comunicación
#
!
$
%
&"
)&
Procesos Aleatorios
8 / 14
Ejemplo de proceso aleatorio
Proceso aleatorio gausiano
1
fX(t1 ),X(t2 ),··· ,X(tn ) (x1 , x2 , · · · , xn ) = "
(2π)n det(C)
1
·e 2
− (x−µ)C−1 (x−µ)T
Vector de medias: µ = [µ1 , µ2 , · · · , µn ]T
µi = E[X(ti )] = 0
Matriz de covarianzas: C, dada por
Ci,j = Cov(X(ti ), X(tj )) = e||ti −tj ||
Grado Ing. Telemática (UC3M)
Teorı́a de la Comunicación
2
Procesos Aleatorios
9 / 14
Realización del proceso aleatorio
3
2
1
0
-1
.....
.....
.
........
.....
.... .....
. ...
...
.....
....
.
...
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
..
..
..... ........
...
.
.
.
.
.
.
....
...
..
..
.
...................
.....
.
.
.
.
... ..
.....
..
........
.
.
.....
.
..
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...... ..
....
....
............
.... ........
............
-2
-3
................. X(t, ω)
0
1
2
Grado Ing. Telemática (UC3M)
3
4
5
6
Tiempo (t)
Teorı́a de la Comunicación
7
8
9
Procesos Aleatorios
10
10 / 14
Otra realización del proceso aleatorio
3
2
....
.... ........
.
...
..
.............
.
.
.
...
.
.
.
.
.
1
...
.
.
...
.
.
...
.
...
.
....
.
...
.
....
.
...
.... ...................
.
.....
.
.
.
.
.
.
.....
.....
.
........
..
0
.
.
......
.
.....
.
.
.........
....
..
..............
..
.
.. ..
....
.
.
....
..
..... ...
.
.
-1
.
.
.... ..
.......
..........
-2
-3
................. X(t, ω)
0
1
2
3
Grado Ing. Telemática (UC3M)
4
5
6
Tiempo (t)
7
Teorı́a de la Comunicación
8
9
Procesos Aleatorios
10
11 / 14
Otra realización del proceso aleatorio
3
2
.....
...
..... ......
...
..
.
...
.
1
...
............
.....
.
.
.
...
...
..
....
.. ..
...
.
.
.
........................................ .....
.........
...
0
...
....
.......
....
....
.
.
...
....
.
.
..
.
..... ...
.
.
.
....
....
.........
..
.....
.
-1 ..
.
.
.......................
-2
-3
................. X(t, ω)
0
1
2
Grado Ing. Telemática (UC3M)
3
4
5
6
Tiempo (t)
Teorı́a de la Comunicación
7
8
9
Procesos Aleatorios
10
12 / 14
Media del proceso aleatorio
3
2
1
............
.... ......
... ...
..........
... ...
...... ......
. .
.
...
.. ..
..
...
.. ...
..
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
... .
..
....
.
..
....... ...........
.. ..
..... .... ..... ...
...
...........
...
............. ........
...
... ... .... ....... ......
..
.. ...
...
.
..... ........
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.. .
.
.
.
.
.
.
.. .
.
.......... ....
...
.
......
.........
.. .
...
.. ... ... ...
.. ..
.
...
.
.. ...................... ............... ...... ....... ...
........... ..
..
.. .... ..... .... ... ...
..
.............
...
..................................
.... .. ... ..
... .. ..
..
........................................ ...
..
.....
.. ................
....... ........
................
............. ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.... ..
........ .
... ...
. .
.. ..........................
.... .... ..
...... ... ..
... ... .. ...
......
..
... ........ .... .............
.
... ...
...
..............
.......
... .... ..
. .... .................
...... .... ...
... .... ..........
......
... ... ........
.............. ...................... ...................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ... .........................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......... ........
.
...... ... .... ...........
.......
. . .. ....
..... ..................... ....... .. .. ....
. ..
...
. .
............
..........
.........
......
........... ..................... ... ................................ ......... ........
.
.
.
.
... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
..... ................. ........ ... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ....
.... . ...
... . ..
....................... . ..... ...
... .................................. ......
.....
.... ...
.
.... ..
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. . ....................... .............. .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
. .... ... ...... ....
.... .. .... .. .. ..
........
. .. ... .. ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. .... ..... .. ....
.
.. ....
.
.
.
.
.
.
.
.
...
... ... ... .. ..
... .. ...
.
.
.
.
.
.... .... .........
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. ....... .... ... .... ... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. ....
.
.
... .. ... ..
... .. . ... ....
.....
.
.
.
.
.... ...... .. ..... ... ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ...
.
.
.. .. .... ......... .... .................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
...
... .....
.......
. .. .. ........ ..
...
... ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.... .........
.
..
.. . .. . .
.
.
.
.
...
... .....
...
.
......
.... ....... .
..
.. .. ....... ............................... ............. .............................................. .................................................................... ...... .................
....... ...
... ................................. ............ ................... ........ ...
....
........
.... ............
......... .... ...... .. .... ......... .....
................
.....................
.. ...
.... ... .. ...............................
...
....... .. .......... .. ....... ... .........
........... ..
..... .. .. .. ..................................................................
...
...... ...
.. ...
.
.... .....
.. ......... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.............. ... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... .
..... .. .....
............. ....... ..
............. ... .
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..... ... .. ... ... .. ..
....... ... .. ....
........
......... .. ... .......... ........
....... .... .... .... ... ... ... ....
..... .........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........... ..... .. ........ ....
.
. .
...
.... ................
..... ... ....... .......
.............
.. . .. . . .
.. ......
.... .. ... ...... ..........
.. ........ ... ... .. ... .....
..
............. ........
. ..
... .......... ......
... ........ ....
.. ....... ................ ...... ....................... ... ....
....................
..
. ....
... ........................................................................... ........ ..........
.. .............
...
.. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................. ........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
. .
.
....
.. . . ...
.... ....
.
. .
..
................
...
...
........ ...
...
. . ..
...
....
.............. ........ ......................... .... ... ......
.... .......... .... .... ............ .....
.... ....
................ .......... ...................
...
... ...................
.. ... ........................... .... ....
....
....... .........
................
. .
.... ... .....
... ...
.... ... ................
.... ..... ... ................
.. ...
. .
.. .... ......
............
..... ..... ...... .................... .......
....
............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ..... ....... ................................ ..........
.
.
.
....
.
.
.
.
....... . ... ........ .... ......
....
.. .. ..... ...... ................
..
.... .......
.............. ... ..
.... ....
.......... ....... ........ ........
...
....
.. ..
....... .... ..... ...............
.... ...............
.... ....
.. ...
. ..................................
....
..... ....... .....
...... ...... ......................................................................................................
..
...
...
....
......
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
..................
....
................................
...
..................
..
.
.
.
...
.....
.
...
..
........................
...
...
.
...
.
...
.
.
.
.
.
.
...
.
....
.
.
.
.
.
...
....
..
..
......
.....
...
..
......................
...
..
.
.
...
..
...
..
...
..
...
.
.
....
...
................
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
!!!!
0 !!
-1
-2
-3
!!!!!!!!!!!!!Media de X(t, ω)
0
1
2
3
Grado Ing. Telemática (UC3M)
4
5
6
Tiempo (t)
7
8
Teorı́a de la Comunicación
9
10
Procesos Aleatorios
13 / 14
Autocorrelación del proceso aleatorio
&('
*+,)&-)".
&
!('
!
!!('
&!
'
)"
Grado Ing. Telemática (UC3M)
!
!
"
Teorı́a de la Comunicación
#
$
%
&!
)&
Procesos Aleatorios
14 / 14
