Grupo de Renormalización

Ref. D. Gross Lectures on QFT C16
Esquemas de Renormalización independientes de las masas.
φ0 =
p
Z φ φ, m0 = Zmm, λ0 = Zλλ
En este curso usaremos RD y substracción minimal.
I
Γn(ε)
1
n
dε
Γren =
ε
2πi
En este caso tenemos, dado que λ0 tiene dimensión ε:
φ0 =
p
Z φ φ, m0 = Zmm, λ0 µ−ε = Zλλ
(1)
Todos los Z no tienen dimensiones. Zi = Zi(λ, ε). Además, podemos escribir, a partir de la
última relación de (1), λ = λ(λ0 µ−ε , ε),con lo cual:
Z(λ, ε) = Z(λ0 µ
−ε
X Zn(λ)
, ε) = 1 +
εn
n=1
n
2
Γ (λ, m, µ) = Z φ (λ0 µ−ε , ε)Γn0 (λ0, m0, ε)
n
µ es un parámetro arbitrario cuyo único rol es fijar la escala de la Física
donde definimos m, λ, φ.
−n
∂ n
∂
−ε
n
2
Z (λ0 µ , ε)Γ (λ, m, µ)
µ Γ0 (λ0, m0, ε)|λ0,m0,ε = 0 = µ
∂µ
∂µ φ
n
−2
∂
∂
n − n2 −1
−ε
n
(λ0 µ , ε)µ Z φ Γ (λ, m, µ) + Z φ (λ0 µ−ε , ε)µ Γn(λ, m, µ)|λ0,m0,ε = 0
− Zφ
∂µ
∂µ
2
∂
µ Γn(λ, m, µ)|λ0,m0,ε − nγ(λ)Γn(λ, m, µ) = 0
∂µ
1
∂
γ(λ) = 2 µ ∂µ ln Z φ es la dimensión anómala de φ.
∂
∂
β(λ) = µ ∂µ λ|λ0,m0,ε, γm = −µ ∂µ lnZm(λ0 µ−ε , ε)|λ0,m0,ε, función β.
∂
∂
∂
∂
µ ∂µ Γn(λ, m, µ)|λ0,m0,ε = µ ∂µ Γn(λ, m, µ) + µ ∂µ λ|λ0,m0,ε ∂λ Γn(λ, m, µ) +
∂
∂
µ ∂µ m|λ0,m0,ε ∂m Γn(λ, m, µ)
∂
∂
∂
∂
−1
−1
−1
|λ0,m0,ε = m0 µ ∂µ Zm
|λ0,m0,ε = mZm ∂µ Zm
|λ0,m0,ε = mγm
µ ∂µ m|λ0,m0,ε = µ ∂µ m0Zm
Callan-Zymanzyk
∂
∂
∂
µ ∂µ Γn(λ, m, µ) + β(λ) ∂λ Γn(λ, m, µ) + γm(λ)m ∂m Γn(λ, m, µ) − nγ(λ)Γn(λ, m, µ) = 0 (2)
• β , γm , γ no dependen de m, µ, ε. No dependen de m porque la funciones
de renormalización no dependen de m. No pueden depender de µ porque son
adimensionales.Dado que (2) es finita cuando ε → 0, las dimensiones anómalas no pueden
depender de ε.
∂
∂
∂
−ε −1
• β(λ) = µ ∂µ λ|λ0,m0,ε = µ ∂µ λ0 µ Zλ =−λε − λµ ∂µ l nZλ |λ0,m0,ε
λ0,m0,ε
Significado del GR
∂
∂
∂
µ ∂µ Γn(λ, m, µ) + β(λ) ∂λ Γn(λ, m, µ) + γm(λ)m ∂m Γn(λ, m, µ) − nγ(λ)Γn(λ, m, µ) = 0
Método de las características:
µ̇ = µ,λ̇ = β(λ) ,ṁ = γm(λ)m.
n
n
n
n
Γ̇ (λ, m, µ) = nγ(λ)Γ (λ, m, µ), Γ (λ, m, µ) = Γ (λ(t0), m(t0), µ(t0)) e
n
R
t
dtγ(λ(t))
t0
Flujo del GR:
µ(t) = µ0et
t → ±∞. Supongamos λ → λ0(punto fijo), λ̇ → 0
β(λ) = β(λ0) + β ′(λ0)(λ − λ0) + ....,
β(λ0) = 0
′
λ˙ = β ′(λ0)(λ − λ0), λ − λ0 = Aetβ (λ0)
• λ0 es un punto fijo atractivo(estable) en el UV(t → +∞) si β ′(λ0) < 0
• λ0 es un punto fijo atractivo(estable) en el IR(t → −∞) si β ′(λ0) > 0
• Una teoría es asintóticamente libre en el UV si λ0 = 0 es un punto fijo estable en el UV.
• Una teoría es asintóticamente libre en el IR si λ0 = 0 es un punto fijo estable en el IR.
Significado del GR
Figure 1. Punto fijo estable UV
Figure 4. Teoría asintóticamente libre IR
En la zona donde la teoría es
asintóticamente libre es válida la teoría de
perturbaciones alrededor de λ0 = 0.
Figure 2. Punto fijo estable IR
Figure 3. Teoría Asintóticamente libre
UV
n
n
Γ (λ, m, µ) = Γ (λ(t0), m(t0), µ(t0)) e
n
R
t
d tγ(λ(t))
t0
∼ Γn(λ(t0), m(t0), µ(t0)) enγ(λ0)(t−t0)
Por esto γ es la dimensión anómala del campo.
Consideremos una función de Green adimensional. Por ejemplo
4
G(λ, m, µ) = Γ (p1, ....p4)
4
Y
i=1
s
p2i
Γ2(pi)
∂
∂
Esta satisface la ecuación del GR homogénea.DG = 0, DG = µ ∂µ G + β(λ) ∂λ G +
∂
γm(λ)m ∂m G
Tenemos:G(pi(t) = etpi , λ, m, µ) = G(pi , λ, me−t , e−tµ) = G(pi , λ¯(t), m̄(t) e−t , µ)
El comportamiento de la función de Green para momentos piet está determinado por la
constante de acoplamiento efectiva λ̄(t).
Funciones 1PI:
Γn(etpi , λ, m, µ) = e(4−n)tΓn(pi , λ, me−t , µe−t) =
R t
(4−n)t−n 0 dt ′ γ(λ̄(t ′)) n
e
Γ (pi , λ¯(t), m̄ e−t , µ)