PROBLEMA 1, GRUPO 9

PROBLEMA 1, GRUPO 9
Demuestra que (X, T ) es un espacio topológico discreto si y solo si todos sus
puntos son abiertos.
Demuestra que en la topología usual de R no hay conjuntos propios (o sea, ni
el vacío ni R) que sean a la vez abiertos y cerrados.
Demuestra que en la recta de Sorgenfrey el intervalo [0, 1) es a la vez abierto y
cerrado.
Utiliza lo anterior para concluir que (R, Tu ) 6≈ (R, S).
Demostración.
(1) La implicación ⇒ es inmediata, ya que si (X, T ) es un espacio topológico
discreto, en tal caso todo subconjunto suyo es abierto, y por tanto los
unipuntuales también.
Veamos ahora que si X es un espacio topológico en el cual todos sus
puntos son abiertos, entonces debe ser el espacio topológico discreto. Para
ello basta ver que todo conjunto es abierto. Sea A ⊂ X , como A = ∪x∈A {x}
y {x} es abierto, entonces A es abierto por ser unión de abiertos.
(2) Supongamos que A ∈ Tu . Por el ejercicio 1 del grupo 5, A = ∪n∈N (an , bn )
donde an < bn < an+1 donde N es o bien nito o bien N. En todo caso
an < bn < an+1 para ciertos n ∈ N , bn , an+1 ∈ R por ser A propio.
Obsérvese que bn ∈ C = R \ A, pero en cambio C no es entorno de bn ya
que (bn − ε, bn ] 6⊂ C .
(3) Dado x ∈ [0, 1) basta tomar y = 1 > x para comprobar que [x, y) ⊂ [0, 1).
Análogamente ocurre con su complementario C := (−∞, 0) ∪ [1, +∞).
Sea x ∈ (−∞, 0), entonces tomando y = 0 > x se tiene de nuevo que
[x, y) ⊂ (−∞, 0) ⊂ C . Sea x ∈ [1, +∞), basta tomar y = x + 1 > x para
que se cumpla que [x, y) ⊂ [1, +∞) ⊂ C . por lo tanto ambos son abiertos
de Sorgenfrey y así C es abierto de Sorgenfrey, con lo que A es cerrado.
(4) Si hubiera un homeomorsmo f : (R, Tu ) → (R, S), entonces f −1 (A) debería ser abierto, cerrado y propio de (R, Tu ), lo que contradice (2).
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