OPERADORES MATEMATICOS teoría y

180
CAPITULO VI
OPERADORES MATEMÁTICOS
OPERADOR MATEMÁTICO:
Ejemplo:
Es un símbolo matemático que por sí sólo no tiene
significación; pero que en la matemática tiene una
enorme importancia.
Si:
x • y³ = x - y2,
Hallar: (4 • 27) • (6
2 • 512)
Solución: ......
Operadores
matemáticos
clásicos
Operadores
matemáticos
arbitrarios
Ejemplo:
+, -, . , : ,
, ! , log,
*, #, D,  , a, q, %, Å,
Se define en Z:
sen, cos, tg, ctg, sec,
o, !,
,
,
,
2a + 7 ; si “a” es par
csc, ò , å , | |, [ ], p
a =
a + 3 ; si “a” es impar
OPERACIÓN MATEMÁTICA
Es una estructura matemática que relaciona
operadores matemáticos con cantidades mediante
una “Ley de formación”.
Calcular:
q q
q q
(9 ) - (6 )
Solución: ......
Operaciones Usuales:
Ejemplo:
8 + 3 = 11
20 ¸ 2 = 10
3
8 = 2
Su respuesta se deduce
por su ley que se supone
conocida ya que son
operaciones universales.
Si:
x
x = ———
y
x+2
x
x = ———
x-2
Log4 64 = 3
" x Î Z - {0 ; 2}
Operaciones NO Usuales
Hallar:
21 operadores
4*3=?
9q2=?
#
5 =?
28
Su respuesta depende
de la ley de formación
que se dé en cada caso
f (-2) = ?
Solución: ......
181
OPERACIONES EN TABLAS DE
DOBLE ENTRADA
Ejemplo:
Se define en el conjunto:
A = {a, b, c, d}
Fila de entrada
*
a
b
c
d
Columna
de
entrada
a
a
b
c
d
b
b
c
d
a
c
c
d
a
b
*
a
b
c
d
d
d
a
b
c
a
d
a
b
c
b
a
b
c
d
c
b
c
d
a
d
c
d
a
b
Þ .............................
b * c = ................................
d * b = ................................
2. Conmutativa:
" a, b Î A Þ a * b = b * a
Ejemplo: En el conjunto:
El orden de los elementos en la operación no altera
el resultado.
A = {1, 2, 3, 4} se define:
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Ejemplo:
En N se define la adición:
5 + 8 = 8 + 5 Þ la adición es conmutativa en N.
Ejemplo:
En N se define la sustracción:
6 - 9 ¹ 9 - 6 Þ la sustracción no es conmutativa en N.
Calcular:
(1 2)(2 4)
E = ——————
(3 3)(4 1)
Solución: ......
PROPIEDADES: Se define en el conjunto A, una
operación representada mediante el operador (*).
1. Clausura:
" a, b Î A Þ a * b Î A
Se toma un par de elementos del conjunto A y se
realiza con ellos la operación definida, si el resultado
de dicha operación pertenece al conjunto A,
entonces se dice que la operación cumple la
propiedad de clausura o también que la operación
es cerrada en el conjunto A.
En tablas:
*
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
c
d
a
c
c
d
a
b
d
d
a
b
c
Criterio de la diagonal:
1. Se ordena la fila y la columna de entrada. En el
mismo orden y a partir del vértice del operador.
2. Se traza la diagonal principal (desde el vértice
del operador).
3. Se verifica que a ambos lados de la diagonal y en
forma simétrica queden elementos iguales.
4. Si en todos los casos los elementos son iguales,
la operación es conmutativa.
5. Si en al menos un caso uno de los elementos es
diferente, la operación no es conmutativa.
182
Ejemplo:
Ejemplo: Se define:
*
2
4
1
3
1
3
1
2
4
2
4
2
3
1
3
1
3
4
2
4
2
4
1
3
ab
a * b = ——
2
Calcular el elemento neutro
En tablas:
Ordenando:
*
a
b
c
d
a
d
a
b
c
b
a
b
c
d
c
b
c
d
a
Ejemplo:
2
2
4
6
8
4
4
6
8
2
1
3
4
1
2
2
4
1
2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
Þ e = .....................
.............................
Þ.............................
*
2
4
6
8
*
1
2
3
4
d
c
d
a
b
6
6
8
4
4
8
8
2
2
6
Criterio:
1. Se verifica que la operación sea conmutativa.
2. En el cuerpo de la tabla se buscan: una fila igual
a la fila de entrada y una columna igual a la
columna de entrada. Donde se intercepten, se
encontrará el elemento neutro “e”.
4. Elemento inverso:
"a Î A, $ a
.................................
Þ ................................
-1
-1
-1
elemento inverso de “a” / a * a = a * a = e
3. Elemento Neutro:
$e Î A/"a Þ a * e = e * a ¹a
Ejemplo:
Se define: a * b = a + b - 2
e = elemento neutro
I) En la adición el elemento neutro es el cero (0).
a+0=0+a=a
II) En la multiplicación el elemento neutro es
el uno (1).
ax1=1xa=a
Ejemplo:
Se define: a * b = a + b + 3
Calcular el elemento neutro
-1
-1
Calcular: 3 ; 4 ; 6
-1
Solución:
Calculando “e” se sabe:
a*e=a
a+e-2=a®e=2
Luego se sabe:
-1
a*a =e
-1
3*3 =2
-1
3*3 =2
-1
3+3 -2=2
-1
Þ3 =1
183
Se sabe:
Ejemplo:
-1
Hallar:
a*a =e
-1
-1
-1
-1
E = [(3 * 5 ) * (1 * 7)] * 7
4*4 =2
-1
-1
4+4 -2=2
Solución:
-1
Þ4 =0
Por definición de la tabla:
También:
-1
1
3
5
7
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
3 * 3 = ....... = 3 * 3 Þ 3 = 3
En tablas:
*
1
3
5
7
-1
1 * 1 = ....... = 1 * 5 Þ 1 = 5
Þ 6 = ....................
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
1. Se verifica que la operación sea conmutativa.
2. Se busca el elemento neutro “e”.
3. Aplicamos teoría de elemento inverso.
5 * 5 = ....... = 5 * 1 Þ 5 = 1
7 * 7 = ....... = 7 * 7 Þ 7 = 7
Luego, reemplazando:
E = .........................................
.........................................
\ E = ................
184
PRACTICANDO 01
01. Si:
a * b = 3ª + b - 8
06. Se define:
2a + b; si a ³ b
a#b=
Calcule: E = 2 * 6
a + b; si a < b
a) 3
d) 5
b) 2
e) 7
c) 4
a) 10
d) 15
02. Se define:
3a * 2b=
a -
b
b) 2
e) 4
a
c) 3
b
c
d
3x
-1
a) 1
d) 5
a) 40
d) 45
5
-4
2
3
x
b) 2
e) 6
c) 4
b) 30
e) 36
c) 35
09. Dada la función definida por:
F(x) =
x2 - 2; si -2 £ x £ 3
2x + 3; si x < - 2
Calcule:
Hallar: (2 q 1) + (4 q 2)
J = F(2) + F(-1) + F(-3) + F(4)
b) 11
e) 14
c) 12
05. Si:
b
a
a + b ; (a + b); par
a * b =
ab ; (a + b) : impar
b) 28
e) 29
a) 9
d) 11
b) 13
e) 8
c) 7
10. Se define:
x* = x² - (n + 2)x + 6n + 1
Calcular “n” si:
Calcular: (2 * 1) * (1 * 3)
a) 30
d) 36
c) 12
3x - 1; si x > 3
04. Si: a q b = a² - 3b
a) 10
d) 13
b) 13
e) 14
Calcular: f (7)
=
8
a) 15
d) 11
08. Si: f (x + 2) = x² + 3 x
= ab - bc
Hallar “x”.
c) 13
Hallar: f (3) + f (4) + f (5)
Hallar el valor de: (12 2)
a) 1
d) 0
b) 12
e) 16
07. Se define: f (x) = (x 2)²
(27 * 6)
03. Si:
Hallar: (2 # 1) # (2 # 3)
(n - 2)* = 7
c) 32
a) 2
d) -1
b) 1
e) -2
c) 0
185
11. Si se cumple:
Calcule: E = 8 # 9
m & n = (m + n)
m*n
a) 1
d) 5
Además: 7 & 2 = 81
2 & 1= 3
2 & 3 = 125
Calcular: E = 20
20
a) 1
d) 5
b) 2
e) 7
16. Si:
ab=
c) 3
= 3X + 5
9
4
b) 2
e) 3
c) 4
17. Si A * B = 2A - B ,
A#B=2B-A
Calcular:
Además: (2 * A) # (2 * 3) = (8 * A)
9
Hallar el valor de A.
+
12
a) 43
d) 51
b) 24
e) 27
c) 34
a) 5
d) 8
b) 6
e) 9
c) 7
a+b
c-d
18. Si: a # b = ——— ; c $ d = ———
2
2
Si:
3x - 4
=
x² + 1
eDf=e.f ; g*h=g-h
Hallar : {[(7 # 9) $ 2] D 1}* 0
Calcule:
11
+
a) 0
d) 3
5
a) 8
d) 51
14.
a+b
3b=
Si:
X+5
13.
y
2
Hallar: “b”
a) 1
d) 5
12.
a 2 + 2b 2
*7
b) 2
e) 7
c) 3
b) 36
e) 27
c) 34
b) 1
e) 4
c) 2
19. Sean a y b números reales. Si a * b es igual a
la parte entera de a(a + b)/5 + b/5 y si a # b
es igual a la parte entera de a x b/5.
El valor de (11, 5 * 15, 1) # 16, 5 es:
Si:
3
3
5ª # b = a 2b
a) 16
d) 15
b) 17
e) 19
c) 14
Calcule: E = 125 # 27
20.
a) 13
d) 21
b) 23
e) 27
c) 24
Si: R * = 3R + 1 ................ (5 £ R £ 9)
P * 2P
Hallar : 24 * - 4 * + 8 * - 6 * - 15 *
15. Si:
b
a
a # b = (a + b)
(b - a)
a) 11
d) 9
b) 21
e) 7
c) 16
186
26.
21.
Si: x ¡ y = xy - yx ó x ? y =
Hallar el valor de:
xy
D
a) 1
d) 4
D
D
D
D
E=8 .3 - 5 .7 + 4 .9
Hallar: [(3 ¡ 2) ? 4]
b) 2
e) -2
D
Sabiendo que:
c) 3
D
x = 4x + 2 ...(Si “x” esperar)
22.
Si: A =
15
A
A,B =
y
5A² - 2B²
4,5
Hallar:
a) 40
d) 80
4,6
a) 1
d) 4
23.
b) 2
e) 5
Si a = a2 + a
a
= a2 + a + 1
Si: A * B = 6A + 2B
a) 3410
d) 3230
28.
156
b) 3140
e) 3240
Si a D b =
c) 0
ab + ab
E = [1D 4 + 4D 9 + 9D 16 + 16D 25 + 1]
a) 3
d) 6
a = a² + a + 1 .............. 0 < a < 6
b = b² + b 1 .............. 1 < b < 5
29.
b) 4
e) 8
Si: a * b = 8 y
b
A
+
Hallar: a * b
B
a) 3
25.
a) 42
d) 33
b) 31
e) 40
Hallar:
N
donde:
M
M =
c) 28
d) 3
> 2, si
M
0< N <4
0< M <8
y
M
c) 3220
Hallar:
b) 1
e) 4
Hallar:
c) 70
[5 * 12] * [14 * 6] * [3 * 2]
a
a) 2
d) 3
b) 60
e) 90
Hallar el valor de :
y
a =
Si además:
Si:
27.
c) 3
a - a
Hallar:
24.
D
y = 3y - 1
2
30.
16
24
c) 5
a#b=9
a
b) 72
e) 2
c) 2
27
36
Sean
a, b, c números positivos. Si
definimos:
a * b = a + b , si a y b son pares.
a * b = a . b. , si a ó b no es par.
N =N
Entonces: (1 * 3) * 6 es igual a:
a) 3
d) 4
2
b) 3
2
e) 2
2
c) 2
3
1/4
a) 24
d) 10
b) 18
e) 8
c) 15
187
PRACTICANDO 02
1. Si:
a ¨j b = a² - b²,
4. Si:
a
F(x) = F(a + b) - F(a - b)
b
Hallar el valor de:
(4 j ¨ 3) - (3 ¨ 4).
Además: F(x) = 4x + 3
3
Calcule: E =
1
a) 7
d) 10
F(x)
a) 15
d) -7
b) 8
e) 11
2. Se define:
= (x + 1)
a+b
———
2
Hallar: E = (22 L 28) - (15 L 17)
aLb =
2
a) 5
d) 2
Hallar “n” en:
n
c) 7
c) 9
5. Si:
x
b) 14
e) 0
b) 4
e) 1
c) 3
= 100
6. Sabemos que:
a) 3
b) 2
c)
3 -1
e)
2 -1
a
= 3a
Hallar entonces:
d)
2
5
3. El resultado de la operación:
¸
1/3
[ (3 * 2) * (4 * 3) ] * (2 * 4) = 3
a) 45
d) 41/3
Corresponde a la tabla:
I.
* 2 3 4
II.
* 2 3 4
2 2 3 4
2 2 3 2
3 3 2 3
3 3 3 4
4 4 4 2
4 4 4 3
b) 43
e) 56
c) 30/2
-1
7. Si: n L m = (m + n)/2 - 1/(2 m )
Hallar el valor de:
E = 2L 4L 8L 16L 32L [...]
b) 1
e) 8
c) 2
8. Sea (+) la operación definida en:
A = {a, b, c} mediante la tabla:
III.
* 2 3 4
+
A
B
C
2 3 4 2
3 4 3 3
4 3 2 4
a) Sólo I
d) I y II
a) 0
d) 4
b) Sólo II
e) I y III
c) Sólo III
a) 2 a
d) c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
Hallar:
E = 4a + 3b + 2c
b) 2 b
e) b y d
c) 2 c
188
9. Si: M ª N = (a² - 4bc)
a² + b ; si: a > b
13.
a=M+N
b=N-M
c=a-b
a + b² ; si: a £ b
Entonces hallar: (2 * 3) * (3 * 2)
Hallar: 1 ª 3
a) 0
d) 3
Definimos: a* b =
a) 84
d) 132
b) 1
e) 4
b) 96
e) 121
c) 143
c) 2
#
10. Consideremos el conjunto:
A
14. Si: (A k B) =——————
#
#
B (A - B)
%
A = {x Î N / x £ 30} en el cual se define una
operación representada por D mediante la
siguiente tabla.
#
Además: N = 1 x 2 x 3 x 4 ....... x N
(5 D 3) + 4
Calcular E = ——————
(7 D 2)
D
1
2
3
4
%
Hallar: E = (7 k 5) + (8 k 3)
1
2
3
4
5
7
9 11
8 10 12 14
11 13 15 17
14 36 18 20
a) 56
d) 28
15.
b) 77
e) 100
%
c) 144
a
Si: Db = 2b - ab ;
a * b = a + (a # b) , además:
x # y = y² - x
a) 2
d) 1/3
b) 1
e) 2/5
c) 1/2
Calcular el valor de:
(2*3)
M =D
A+ B
11. Si : A Ñ B = ————
A - B
a) -4
d) -7
Además : 8 Ñ B = 7 ; B = ??
a) 3
d) 7
12. Si:
b) 4
e) 6
b) -3
16. Dados: A 9 B = A
c) 5
A
50 * * 14 = 45
B=B
A% B =
20 * * 12 = 17
(-2*1)
A+ B
A+ B
A+B
x
c) -2
e) - 5
;
y
-1
Calcular: (3 % -1) si:
180 * * 25 = 173
2 5
x = ———
2 6
Hallar: (122 * * 10) + (91 * * 25)
a) 128
d) 76
b) 205
e) 82
c) 93
a) 9
b) 81
d) 1
e) 81
c) 9
2
2
189
22. Si: a Ì b = ab + b - a ,
hallar “x” en: (5Ìx) = [(7Ì4) Ì10],
17. Si a f b = a + b + 3ab,
Hallar “x” en: a f x = 1
luego determinar: (x Ì x)
a) 1/3(a + 1)
b) (a + 1) / (3a + 1)
c) (1 - a) / (3a + 1)
d) -(a + 1) / (3a + 1)
a) 50
d) 25
e) a² + 3ª - 1
23.
(a + b)²
18. Si : a # b = ————
2
m % n = m² - n², Hallar “r - s” en:
(r % s) - (r # s) = (1/2)
a) 8
d) 32
b) 16
e) 4
b) 30
e) 65
b) 3
e) 0
Se define
c) 64
P+8
como P = ———
P-1
a
= 2a ; si a es impar
a
= a ; si a es par o cero
m = m
25.
b) 4 y -2
e) 4 y 12
3 +7 - 6
a) 25
d) 18
Hallar “m” en:
a) 4 y 2
d) -2
c) 4
Si: x
b) -5
e) 20
x2 4 ;
Si:
R
R + H + 15
H = ——————
2
26.
3
X²
b) 120
e) 60
c) 125
B = (B + 1)² , hallar “D” en:
D
a) 3
d)
b) 11
e) 15
y
c) 12
x
Si: x f y = x + y ; a # b = ab + ab
b) 3
e) 1
c) 5
(q%r)*p
r = ————
(r * q)%p
2
Además: x % y = y - x
y * x = 2xy - y
Si: p
q
= 100
b) 9
2
3 - 2 )
a) 4
d) 6
27.
21. Si:
= x(x + 4)
simplificar la expresión:
5#3
M = ———
2f3
5
a) 105
d) 81
+
a) 10
d) 13
x = 14
Hallar:
x
c) 16
Calcular el valor de:
R= ( 3
20.
c) 1/2
24. Definamos la operación:
hallar:
19.
c) 40
SI: mÑ n = (2m + 3n 1) ,
hallar “x” en: (x + 1)Ñ (2x + 2) = 7
a) 1
d) ¼
-3
1/2
e)
c)
2 -1
Hallar: E = (2
-2
a) -3
d) 1/9
b) 9
e) 1
- 3)
3 -1
c) 0
190
28.
e
a
b
c
d
a
c
d
a
b
Hallar “x” en: a
b
d
a
b
c
c
a
b
c
d
e
b = xec
-1
a) a
d) d
29.
32.
Se define e como:
d
b
c
d
a
Si
S ® E = (S + E) (S « e) ;
(a + b « b) = 2 ab
Hallar: 3 ® 2
a) 4
d) 20
b) 5
e) 25
c) 10
-1
33.
b) b
c) c
e) otro valor
Sean A // B = A + B N ; si 1 < N < 5 ;
A // B = A + B + N; si 5 < N < 10
Donde “N” es la suma de cifras de los
operadores A y B .
De acuerdo a la siguiente tabla, hallar:
Hallar: (12 // 15) // (3 // 1)
R = [(a a b) a (b a c)] a c
a) 9
d) 36
e
a
b
c
d
e
a) e
d) b
a
a
b
c
d
e
b
b
c
d
e
a
c
c
d
e
a
b
d
d
e
a
b
c
e
e
a
b
c
d
b) d
e) a
34.
Si: n = x¹ + x² + x³ + ........ + x
a) 1 + x
c) c
4
2
d) x + x
35.
b) 50
e) 36
c) 45
n
Hallar el valor de: E = 4 ¸ 2
2f(n+1) - 1
30. Si: f(n) = —————
2
Calcular: f(101) ; si f(5) = 2
a) 101/2
d) 80
b) 4
e) 0
b) 1 + x
4
6
2
e) x + x
2
c) x + 2
2
Dado la siguiente tabla:
Hallar el valor de:
c) 5/2
31. Si a # b = a + b ; p f q = p - q ,
§
1
2
3
1
3
1
2
2
1
2
3
3
2
3
1
M = (323 § 212) § (111 § 231)
hallar “x + y” si se sabe que:
a) 122
d) 321
b) 211
e) 332
c) 311
36. Si se sabe que:
32 # 10 = 26
50 # 33 = 58
18 # 17 = 26
Hallar “x” en 50 # x = x # 30
a) No se puede b) 5
d) 4
e) 0
c) 6
a) 5
d) 13
b) 7
e) 15
c) 10
191
PRACTICANDO 03
1.
Se define:
6.
n x+1 = 3 n
x -2
n x-1
(b Ñ a) a
Siendo: a Ñ b = —————
b
Hallar: a + b, si se sabe que:
Además:
n 0
= 2 y
n
1
= 3
a = 10 + b
Hallar: n 4
a) 10
d) 12
2.
b) 17
e) 11
Se define : m q n =
m
a) 0
d) 3
c) 8
n
7.
Hallar: 10 q (x y z)
b) 1
e) 4
c) 2
Si: m q n = m² - n²
Hallar x(positivo) en: (x - 10) q 3 = 91
Si: 2 q x = 3 q 4 = 5 q z
a) x
3
d) x
3.
aab= b a
Si:
Hallar “x” :
8.
-1
b) 28
e) 22
c) 20
b
Se define: a q b = ——
a
x a (2 - x) = 2 a 6
a) 30
d) 8
4.
a) 18
d) 26
c) x2
b) x
6
e) x
b) 64
e) 32
Resolver:
c) 128
[3 q (x + 2)] + [4 q (x 3)] - [12 q (x - 1)] = 2
Siendo: f(x) = 2x² + 8x - 9n
a) 2
d) 6
b) 3
e) 4
c) 5
Además:
x
a
2
F(x)
8a
-138
9.
5.
Se define:
Calcular:
1
a) 2 —
3
d)
5
—
3
b) 18
e) 10
f
Señale la alternativa correcta:
a) Entre 1 y 1
b) Entre 2 y 25
c) Entre 1,5 y 2
d) Entre 2 y 3
e) Entre 2,5 y 3
c) 14
ax
ax + b
——— = ——
b
ax - b
10.
5
[f(2) + f(3)] ¸ —
3
4
b) —
5
e) 2
1
—
4
a² - b
Hallar: E = [(5 * 9) * 3] * 5
Hallar: “m”, sabiendo que “n” y “a” son enteros
positivos.
a) 16
d) 12
Si: a * b =
3
c) —
5
Se define en IR: a q b = b(a + 1- b) + a
Indicar el menor valor entero positivo “M”, tal
que: 5 q x < M
a) 12
d) 15
b) 13
e) 16
c) 14
192
11.
La operación n* es definida como
n* = n(n +1).
Entonces el valor de (2*) (3*) (4*) es:
a) 120
d) 720
12.
b) 240
e) 1 440
13.
b) ½
e) ¾
Definimos: a * b =
14.
a) 1
d) 4
18.
c) 4
a² + b : si : a > b
19.
b) 96
e) 121
b) 9
e) N.A.
c) 8
20.
Se definen estas operaciones :
a) 2
d) ½
b) 10/13
e) 1 1/21
a c
b d
1+b
b) ———
1 + 3b
-b
d) ———
1 + 3b
b
e) - ———
1 + 3b
Se define las operaciones:
b) 19
e) 71
c) 0
Hallar el valor de:
[(2 * 3) * (4 * 2)] [(2 * 1) * (2 * 2)]
*
2
3
4
1
1
3
4
1
2
2
4
1
2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
c) 1 19/13
a) 1
d) 4
b) 2
c) 3
e) Otro valor
= ad - bc
Hallar y en:
21.
4 1
6 5
+
3 x
1 y
=
La operación
n
es definida como:
5 1
x y
n
= n(n + 1)
Entonces el valor de
a) 1
d) 7
1-b
c) ———
1 + 3b
Usando los valores de la tabla adjunta:
6*4
Entonces: ——— es igual a:
8D5
Si:
b
a) ———
1 + 3b
a) 29
d) 60
a D b = 2a - b
p * q = 3p + q.
16.
Considerando la operación :
a Å b = a + b + 3ab
Hallar el valor de x en: b Å x = 1
Entonces hallar: E = (4 * 5) + (5 # 4)
Si: (x + 1) * 2y = x(y + 1)
a) 21
d) 10
c) 3
a # b = (a + b) * (a - b)
a * b = (a + b) . (a - b)
c) 143
Hallar: 3 * 6
15.
b) 2
e) 5
a + b² : si : a £ b
Entonces hallar: (2 * 3) * (3 * 2)
a) 84
d) 132
Si: a ^ b = 2a + b cuando a > b
a ^ b = 3a b cuando a £ b
Hallar: (3 ^ 4) (-2 ^ -3)
c) 360
Si la operación o es definida como:
n+2
n = ———
n²
Entonces: 4 = ?
a) 3/8
d) 3/7
17.
b) 3
e) 9
2 . 3
. 4
c) 5
a) 120
d) 720
b) 240
e) 1 440
c) 360
es:
193
22.
Definimos:
a² + b ; si : a > b
a*b=
a + b ; si : a < b
28.
3x + 2
x = ————
2x
Sea la operación:
Entonces, el valor de x en:
x
= x es:
entonces, hallar : (2 * 3) * (3 * 2)
a) 13
d) 16
b) 14
e) 17
a) 1
d) 4
c) 15
29.
23.
Definamos la operación:
b) 2
c) 3
e) Otro valor entero
Se define, las operaciones:
n = 2n - 5
n = 2 n
a
= 2a ; si a es impar
a
= a ; si a es par o cero
Hallar x en:
a) 17
d) 12
hallar:
a) 25
d) 18
3
x
=
6
b) 7
e) 19
-
3
c) 15
+ 7 - 6
b) -5
e) 20
c) 16
30.
1
Si: a * b * c = —— (a + b + c)
2
Hallar “x” en:
24.
a) 18
d) 21
25.
b) 17
e) 23
c) 15
Sabiendo que para todo número impar n, se
define:
n = 1 + 3 + 5 + ......... + n
hallar el valor de:
a) 100
d) 425
26.
5*1*x
7
————— * 1 * 2 = ——
7*9*x
4
Si: a D b = 2a + 3b ; hallar : 3 D 4
a) 3
d) 6
31.
Se define la operación:
27.
b) 9
d) 10
e) 7
x
x
a) 10
d) 1
b) 14
e) 16
2
+
3
c) 8
c) 11
32.
30 0 42
Luego. Hallar: x = —————————
(2 0 6) 0 (12 0 20)
b) 8
e) 12
= x(x + 6)
Según esto hallar el valor de:
= x² - 1
2mn
Se define: m O n = ———
m+n
a) 7
d) 11
Se definen las operaciones:
c) 400
¿Cuál es equivalente al producto de 3 y 4 ?
a) 12
c) 2
x = x2 - 9
35 - 25
b) 600
e) 625
b) 5
e) 4
c) 10
1
Se define: a Ä = —— (a2 + b2)
2
(2Ä3) Ä(1Ä3)
Calcular el valor de: R = —————————
(1Ä3)
——— Ä(1 Ä 2)
(1Ä1)
a) 1, 512
d) 5, 215
b) 2, 152
e) 1, 125
c) 5, 125
194
33.
Se define:
38.
Se define:
5a - 3b ; si: (a > b)
a+b
aqb=
= ab
2a + b ; si (a £ b)
a-b
Calcular: (2 q 1) (4 q 6)
a) 90
d) 108
Entonces hallar:
12
39.
8
+
8
a) 20
d) 10
b) 64
e) 6
c) 0
c) 98
Se define:
q
3
5
7
12
b) 88
e) 104
3
5
3
7
5
3
7
5
7
7
5
3
Hallar “x”,
(7 q 7) q (3 q 5) = x(5 q 7)
34.
2
Se define: a # b = a b
2
a) 1
d) 7
Calcular: 22 222 # 22 221
35.
a) 1
d) 444 443
b) 2
e) 44 443
Si: f(3x 5) =
5x + 9
+
c) 44 443
40.
b) 11
e) 13
41.
Si:
x
b) 2
e) 5
x
a) 1
d) 5
Si:
a a b = 2a - b
a) 6
d) 8
b) 5
e) 4
c) 7
c) 3
42.
= 2x - 3
m+n
Se define: m # n = ———
n
Hallar “x”. (x # a) + (x # b) = 3
= 3x - 5
Calcular:
c) 5
(4 a 3) (2 a 1)
Calcular: ———————
1 a (2 a 3)
Se define: a q b = 8a - 3b
a) 1
d) 4
b) 4
e) 7
c) 12
Calcular: (2 q 5) q (4 q 10)
37.
Se definen: a # b = ab -1 + 1
aqb=a-b
a) 3
d) 6
a) 10
d) 9
c) 5
Hallar “x” : (4 q x) # 6 = 0, 83
x+1
Hallar: f(19)
36.
b) 3
e) 2
2
+
b) 3
e) 6
3
a) a + b
c) 4
d) 1
a+b
b) ———
ab
e) ab
ab
c) ———
a+b
195
43.
Se define en Z+ .
45.
x = x (x + 1)
Hallar “n” :
n +1
a) 6
d) 10
44.
= 5 256
b) 8
e) 7
Se define: f(x - 2) = 8x - 3
c) 9
46.
Se define:
mDn=n-m
x-b
Hallar “x” : ———
a
1
x-a
——— = —
a
b
a) 1 + a + b
c) a b
b) a + b
d) a2 b2
e)
Si: m # n = m² - mn + n²
Hallar: f(4n + 1)
Calcular: (2 # 1) # (2 # 3)
a) 32 + 24 n
b) 32 n + 21
c) 30n + 1
d) 32 n + 8
e) 0
a) 30
d) 37
47.
b) 32
e) 38
c) 39
Si:m * n = 3m - 7n
Hallar “x” : (3x - 2) * (x - 3) = 37
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
1
—
b
196
b = a² x 4 b
a
1. Se define en Z
5. Se define en R x = 1 -
1
x
calcule
Calcule
4
9
…
2 +1 +1 +1 … +1
2
80 operaores
A) 70
B) 72
D) 62
E) 65
C) 60
A) 81
2. Se define en R
= 2x - 5
x
Calcule
4
A) 3
B) -1
D) 0
E) 7
3. Se define en R
C) -3
7
Calcule
67
80
B) -2
D) -4
E) -5
C)
81
3
81
E) 1
81
6. Se define en R
x
= x + 1 ; x = x³
2x+3+1
2
=5
A) -1
1
calcule el valor de m en la siguiente ecuación
x =
además
D)
B)
m-7
C) -3
A) 9
B) 10
D) 5
E) 17
=2 7
C) 19
7. Se define en R
4. Se define en R
x = (x - 83)x+5
a*b=
Calcule
a² - b ; a < b
a+b;a=b
b² - a ; a > b
100
2
A=
3
4
calcule
E = [(-5 * -3)] * 4 + (5 * 7) * - 6
1
A) 1
B) 2
D) 4
E) 100
C) 3
A) -12
B) 10
D) -4
E) -6
C) 6
197
8.
Se define en N
12. Se define en R
2a
b
a
3b =
halle el valor de
E = (128 243) (2
a² + b²
a(b * a) = a * b
donde a * b > 0
calcule E = 16 * 2 + 8 * 8
9)
A) 5 10
B) 3 10
D) 7
E) 6
C) 5
A) 8
B) 16
D) 64
E) 24
C) 32
13. Se define en R
9.
Se define en R
x
= n(n + 2)
n-1
n-1
=
x*y
además
= n² - 1
a
1
(x² + 1)
2
= (x + y)
•
b = 53
halle a² + b²
calcule E = 3 x 2
A) 0
B) 1
D) 3
E) 4
A) 2
B) 5
D) 6
E) 3
C) 4
C) 2
14. Si [x] = n •® n £ z < n + 1 ; " x Î R, n Î Z
m = m(m + 24); m > 0
halle P(2) en
[2,5] + [-2,5] - [-0,1] + a²
P(a) =
a - [-1,08]
x
A) 4
B) 2
D) -2
E) 1
10. Se define en R
halle
= 4x - 40
C) -1
23
A) -2
B) 2
D) -26
E) 26
C) 3
15. Se define en R una operación que relaciona
dos elementos mediante el operador *
como el doble producto de sus términos,
multiplicando por el inverso multiplicativo
de la suma de los mismos.
11. Se define la operación en Z
x = x+5 + 2
halle A =
1
1
1
1*
3 * 2 *
3
además 10 = 10
calcule 70
A)
A) -14
B) -24
D) 10
E) 14
C) -4
4
B)
9
9
4
D) 2
3
E) 2
5
C)
1
3
198
1.
Se define la siguiente operación
A
3
B
4
C
A+B
C
Calcule M = 1 2 3
2.
A) 1
B) 3
D) 5
E) 2
A) -1
B) -2
D) 2
E) 3
6.
Calcule:
m
+1
n
Halle el valor de x en
(4 * 5) qx = 5/6
B) -3
D) 6
E) 5
D) 2
E) 8
7.
4.
a
b
c
=
C) 3
8.
D) 25
E) 49
2
1 +
3
2
3 +
5
A) 1/70
B) 1/71
D) 69/71
E) 71/70
Si
2
69
71
C) 70/71
Se define la siguiente operación para tres
C) 81
m-7
5.
2
5 …+
7
casos. Se define x = x + 1 ; x = x²
Calcule el valor de m en la siguiente
ecuación.
halle E = (12D11)(10D11)
B) 36
a
bxc
Calcule:
Si se cumple que:
23 D 12 = 15
33 D 21 = 18
27 D 22 = 36
10 D 83 = 11
A) 64
C) 6
Si
S=
E) 5
27
B) 4
n+1 - n-1 =4
D) 4
64
b
= (a6) (6 b)
C) -6
Calcule el valor de n en
B) 2
3 1
2
a²
A) 24
Si x = x² - 2x + 3
A) 1
C) 1
Si se cumple que
Si a * b = a - b
A) 3
= 4
C) 4
ymqn=
3.
n
2
Calcule:
=2 7
x+1 = 3x - 2
n-1 = 4
A) 64
B) 36
D) 25
E) 49
C) 32
199
9.
. en R como
Se define la operación O
. b=
aO
a² - 1 ; a < b
a² - b² ; a ³ b
B) 0
D) -2
E) 2
D) 2
E) 4
a*b
C) 1
C) 1
= 5a ; a*b > 0
a + 2 = a² + 1
Calcule 13 * 29
10. Si
m©n =
B) 0
14. Si
. 5)O
. 2
. 2)O
Calcule ((3 O
A) -1
A) -1
m(m + 2n) + n(n - 4m)
A) 8
B) 8
D) 13
E) 29
C) 10
m(m - 2n) + n(n + 4m)
15. Si
Calcule 5©3
M(x² - 2) =
A) 1/8
B) 1/16
D) 8
E) 1/4
x² + 1 , halle M(-1)
C) 16
A) 2
B) 3
D) 2
E) 0
C) 1
11. Se define x = 2x + 1
16. Si se cumple
Además x = 5
1
Entonces el valor de E =
4
A) -2
B) -1
D) 2
E) 3
-x
C) 1
f(x + 1) = f(x) + 2x + 1 y además f(1) = 1
Calcule f(16)
A) 210
B) 256
D) 190
E) 310
17. Si x² + 1
12. Si
x - 1 + x + x + 1 = 10
= x²
halle el valor de:
C) 149
+1
12 — 10
o =2
halle el valor de
0 + 1 + 2 + 3 + … + 53
A=
A) -2
B) -1
D) 1
E) 2
C) 0
3 + 6 + 9 + 12 +…+ 48
A) 45/8
B) 15/4
D) 9/16
E) 3
C) 17/4
18. Si
x² + 4
=x+1
halle el valor de:
13. Si
13
n
fn = (-1) + 1
An = F1 + F2 + f3 + ..... + fn
A) -1
B) 1
Calcule M = A100 - A99
D) -2
E) 0
C) 2
200
19. Se define en R
M(x) = Ax² + Bx + R(x) y
R(x) = x + 1
Si M(M(0)) = 0
Calcule A + B
A) -1
B) -2
D) 0
E) 3
C) 2
E) 13
m m² m³ m
+
+
+ 4 +...; n>m,
n
n² n³
n
halle el valor de
E = (1D2)(2D3)(3D4)...(99D100)
mDn =
A) 20!
B) 50!
D) 100!
E) 200!
C) 99!
x
26. Si 3 = x³
E = 1 * 3 + 3 * 5 + 5 * 7 + … + 15 * 17
A) 1/17
B) 16/17
D) 15/17
E) 17/16
C) 17/15
2n + 5 n + 1
3
4
3
2
Halle M = 10x² + 1
halle el valor de "x" en 729
A) 2
B) 3
D) 5
E) 6
= 25mx + 16
C) 4
Calcule [[1] + [2]]
A) 5
B) 5/6
D) 7/5
E) 8/5
C) 6/5
22. Si A(x + 2) = 2x
Calcule
A(x)
A(4x) - 12
Además 9m = 64
27. Se define la operación [x + 3] = x² - 3
además: x =
A=
D) 11
C) 10
4
Calcule
21.
B) 9
25. Si
1 1
+
20. Si a* b = - ; a, b Î Z
a b
n =
A) 7
A) 6
B) -2
D) 13
E) 22
C) 16
28. Si se cumple que m* n = (2n)² - 3m, halle
1/2
E = 3* 3* 3* .....
A) 4
B) 2
C) 1/2
D) 8
E) 1/8
D)
23. Si aDb = a(a + 2b) + b(b - 4a)Ù
(a* b)D1 = 4a + 1
2002
halle 2*2
A) 3
B) 2
D) 2000
E) 2001
A) 3
C) 4
29. Si
B) 2
3
C) 2
E) 5
1
(x³ + 2)
3
m n = (m + n)(m-n)
x =
Además
a
b =
46
halle a³ - b³
24. Si
x+1
n+3 +
= 3x - 1, halle el valor de n en
n-2
= 55
A) 6
B) 12
D) 36
E) 48
C) 18
201
34. Sabemos que
x
= P(x) - P(y),
y
30. Si P
calcule M =
a * b² = 2( b * a²) - ab
P(4) P(9) P(16)
+
+
P(2) P(3) P(4)
A) 2
B) 4
D) 8
E) 10
4
Calcule
3 * 2
6
C) 6
A) 2
B) 3
D) 2
E) 6
C) 1
31. Se define
35. Si f(m² + 2) =
(x - 3)² - 4 ; x impar
x-6=
9 - x ; x par
(m + 2 )(m - 2 )
m²
-1
Calcule
Además f(x) = 3x , halle la suma de valores
de x.
2
A) -9
B) 9
D) -9
E) -21
C) 18
32. Se define las operaciones D y (*) de la
siguiente manera:
• (a + b)Db = (a + 2b)*b y
A) -6
B) -1
D) 7
E) 9
36. Si a#b = a - 2(b#a)
halle E = 1#5
A) 2
2(m + 1)
• (m - n) *n =
n
C) -7
B) 3
C) 4
1/3
D) 1
E) 2
halle 6D2
A) -7
B) 8
D) -9
E) 17
C) 11
37. Si
x
x
= (x - 1) (x² + x + 1)
= x² + 1
halle el valor de m en
33. Si
x² - 3x + 2
= x² + 3x + 2
Donde: x > 0
2
= 3m - 84
Calcule "x", en:
x + 22
= 420
A) 106
B) 108
D) 112
E) 114
25 operadores
C) 110
A) 10
B) 12
D) 20
E) 25
C) 15
202
38. Se define
A) 15
D) 15
4
b
= a4 x 8 b
a²
Calcule:
16
a+b
logab
#b
B) 900
D) 1200
E) 600
C) 400
n+1
; n ¹ 1,
n-1
calcule R =
-1
, halle el
valor de E = 2#3 + 3#2
A)
=
E) 250
además a = (logba)
A) 800
n
2
C) 2 15
42. Si logba • logab = 1
25
3
39. Si
B) 15
D)
1
1
B)
4
2
2
3
E)
5
C)
1
5
5
3
43. En el conjunto A= {1, a, a²} se define la
operación * dada por la tabla.
72 operadoras
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
40. Si
2x + 3
= 6x + 5
x-1
= 6x + 8
y
Calcule
5
-
C) 3
a
a
a²
1
-1
a²
a²
1
a
-1
Calcule w = a + (a²)
A) a(a + 1)
B) a² + 1
D) (a + 1)²
E) 2a + 1
C) a²(a + 1)
7
A) 2
B) 52
D) 38
E) 16
40. Si a * b = (a+b)² ;
C) -2
-2* 2*1 + 1
44. Se define en B= {1, 2, 3, 4} la operación #,
mediante la siguiente tabla:
*
2
1
3
4
n = 2n - 1
Calcule el valor de la expresión
E=
* 1
1 1
a a
a² a²
2
1
2
3
4
1
2
3
4
1
3
3
4
1
2
4
4
1
2
3
Además (3#1)#x = 2#4
Calcule [(x#x) # (2#3)]#4
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
203
45. Definimos (*) en el conjunto
A = {0, 2, 4, 6, 8} mediante la tabla
siguiente
*
0
2
4
6
8
0
4
6
8
0
2
2
6
8
0
2
4
4
8
0
2
4
6
8
2
4
6
8
0
0
4
6
8
0
2
Marque verdadero (V) o falso (F) según
corresponda
I.
II.
III.
IV.
[1Dx]D3 = 3; si x = 1
Se cumple la propiedad conmutativa
Se cumple la propiedad de clausura
El elemento neutro es 3
A) VVFF
B) VFVF
C) VFVV
D) FVFV
Calcule x en (x-1 * 2-1) * (6 * 8)-1 = 2
E) FVVF
Además a-1 : elemento inverso de a
A) 2
B) 4
D) 8
E) 0
C) 6
48. Se define en el conjunto A = {a; b; c; d;}
la operación definida mediante la siguiente
tabla.
*
a
b
c
d
46. En el conjunto M = {a; b; c; d} se define
la operación # mediante la tabla.
#
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
c
d
a
c
c
d
a
b
d
d
a
b
c
a
a
b
c
d
b
b
a
d
c
c
c
d
a
b
-1 -1
-1
d
d
c
b
a
-1
Halle E = [(d * a ) * b ] b donde a :
Elemento inverso de a.
¿Cuál de las siguientes alternativas es
falsa?
A) El elemento neutro es a.
B) La operación # es conmutativa.
C) Cada elemento de M tiene su inverso.
D) Hay varios elementos neutros.
E) El elemento neutro es único.
47. Se define en A = {1; 2; 3; 4; 5} la siguiente
tabla:
D
1
2
3
4
5
1
3
4
1
2
5
2
4
3
2
5
1
4
2
5
4
3
1
5
5
1
5
2
3
A) a
B) bc
D) d
E) db
C) c.d
49. Se define en R
aDb = a + b - 7, calcule (5-1D6-1)²
-1
Observación: a elemento inverso de a.
A) 10
B) 36
D) 81
E) 100
C) 49
50. Definimos en R a * b = a + b - 5, además
n-1: elemento inverso de n. Halle
(1-1 * 2-1) * (-33)-1
A) 10
B) 20
D) 50
E) 0
C) -30
204
1. Si:
a² + 2b²
a b = ————
a + b²
y
9
3b =—
4
06.
2.
a) 1
d) 4
b) 2
e) 3
ó x ? y = xy
Hallar: [(3 ¡ 2) ? 4]
Hallar: “b”
a) 1
d) 5
Si: x ¡ y = xy - yx
b) 2
e) -2
c) 3
c) 4
Si A * B = 2A - B , A # B = 2 B - A
07.
15 A
————
Si: A =
4,5
y
5A² - 2B²
A , B = ————
2
Además: (2 * A) # (2 * 3) = (8 * A)
Hallar el valor de A.
a) 5
d) 8
3.
Hallar:
b) 6
e) 9
c) 7
a) 1
d) 4
a+b
c-d
; c $ d = ———
Si: a # b = ———
2
2
eDf=e.f
4, 6
08.
b) 2
e) 5
Si a = a2 + a
c) 3
y
a = a2 + a + 1
; g*h=g-h
Hallar:
Hallar : {[(7 # 9) $ 2] D 1}* 0
a
a) 0
d) 3
4.
b) 1
e) 4
-
a
c) 2
156
Si además: a = ———
a
Sean a y b números reales. Si a * b es igual
a la parte entera de: a(a + b)/5 + b/5 y si a #
b es igual a la parte entera de a x b/5.
a) 2
d) 3
b) 1
e) 4
c) 0
El valor de (11,5 * 15,1) # 16,5 es:
9.
a) 16
d) 15
5.
b) 17
e) 19
Hallar : 24 * - 4 * + 8 * - 6 * - 15 *
b) 21
e) 7
a
= a2 + a + 1 .............. 0 < a < 6
b
= b2 + b 1 ................ 1 < b < 5
c) 14
Si: R * = 3R + 1 ................ (5 £ R £ 9)
P * = 2P ..................... (R > 9)
a) 11
d) 9
Si:
c) 16
Hallar:
a) 42
d) 33
A + B
b) 31
e) 40
c) 28
205
10.
Hallar:
M
15.
N
M
0< N
> 2, si:
0< M
donde: M
=
M
y
a) 3
b) 3 2
d) 4 2
e) 2 2
<4
<8
N
a * b = a + b , si a y b son pares.
a * b = a . b. , si a ó b no es par.
=
N
Entonces: (1 * 3) * 6 es igual a:
a) 24
d) 10
c) 2 3
16.
11.
Sean a, b , c números positivos. Si definimos:
b) 18
e) 8
c) 15
Definimos la operación entre los números “a”
y “b” como sigue:
Hallar el valor de:
a*b=a+b-1
D
D
E=8 .3
D
D
- 5 .7
D
D
+ 4 .9
El valor de (2 * 3) * 2 es :
Sabiendo que:
D
x
y
D
a) 3
d) 6
17.
= 3y - 1
b) 60
e) 90
c) 70
18.
[5 * 12] * [14 * 6] * [3 * 2]
a) 3410
d) 3230
b) 3140
e) 3240
Si a D b =
c) 3220
Hallar:
E = [1D4 + 4D9 + 9D16 + 16D25 + 1]
14.
b) 4
e) 8
Si a * b = 8
b
y
c) 5
a#b=9
a
Hallar: a * b
a) 316
d) 324
b) 72
e) 236
b) 14
e) 44
c) 22
a*a
Si: aDb = ——— , y
a+b
x * y = x - 2y entonces 6 D 2 es:
ab + ab
a) 3
d) 6
Definimos la operación entre números
enteros:
a * b = 2a , si 0 < b < 20 y
a * b = b + 1 en otros casos, entonces:
(5 * 21) * 3 es igual a :
a) 4
d) 28
Si A * B = 6A + 2B
Hallar el valor de :
13.
c) 5
= 4x + 2 .... (Si “x” es par)
a) 40
d) 80
12.
b) 4
e) 7
c) 227
1/4
a) -¼
d) ½
b) -¾
e) 2
c) 1/4