Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural MODELACIÓN

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
MODELACIÓN DE LA INTERACCIÓN DINÁMICA
SUELO-ESTRUCTURA USANDO ECOgcW
Gerardo A. Corona Carlos 1 y Javier Avilés Lopez 2
RESUMEN
Para edificios diseñados conforme a reglamento, la interacción dinámica entre la estructura y el suelo se tiene
en cuenta sólo en el modo fundamental de vibración, aplicando un modelo simplificado que considera los
efectos en el periodo, amortiguamiento y ductilidad. Sin embargo, con la ayuda de computadoras personales
es posible desarrollar modelos tridimensionales del sistema suelo-estructura. En este trabajo se ilustra la
forma de modelar la interacción en estructuras sobre cimentaciones someras y con pilotes usando el programa
de cómputo ECOgcW. El programa define un nudo maestro en la base de la estructura, donde condensa los
grados de libertad de la cimentación y concentra los resortes elásticos que representan la rigidez del suelo. Se
calculan las fuerzas sísmicas elásticas usando análisis modal espectral en combinación con los nuevos
espectros de sitio reglamentarios. Estas fuerzas se reducen por ductilidad con los nuevos factores de reducción
de resistencia que consideran efectos de sitio e interacción suelo-estructura. El procedimiento propuesto
puede emplearse con otros programas de análisis estructural, siempre que los resortes elásticos se determinen
por separado y la reducción por ductilidad se haga apropiadamente. Asimismo, se muestra un ejemplo
numérico del análisis sísmico de un edificio típico con distintos tipos de cimentación.
ABSTRACT
For code-designed buildings, soil-structure interaction is accounted for on the fundamental mode of vibration
only, by using a simplified model that considers the effects on the period, damping and ductility. With the aid
of personal computers, however, it is possible to develop three-dimensional models of the soil-structure
system. In this work, the way of modeling the interaction effects in structures on shallow and pile foundations
is illustrated, making use of program ECOgcW. A master node at the base of the structure is defined by the
program, where the degrees of freedom of the foundation are condensated and the elastic springs representing
the soil stiffness are concentrated. The elastic seismic forces are computed by the use of modal dynamic
analysis in combination with the new site-specific design spectra specified in the code. These forces are
reduced by ductility with the new strength reduction factors that consider both site and interaction effects. The
proposed procedure can be used with other programs of structural analysis, providing that the elastic springs
are previously known and the reduction by ductility is properly made. Also, a numerical example of the
seismic analysis of a typical building with different types of foundation is shown.
INTRODUCCIÓN
La interacción dinámica suelo-estructura consiste en un conjunto de efectos producidos en la estructura y el
suelo como resultado de la deformabilidad de éste ante excitación sísmica. La interacción modifica las
propiedades dinámicas relevantes que tendría la estructura supuesta con base indeformable, así como las
características del movimiento del suelo en la vecindad de la cimentación. El alargamiento del periodo
fundamental, la modificación del amortiguamiento asociado y la reducción de la ductilidad, respecto a los
valores de base rígida, son producto de la interacción inercial (Avilés y Pérez-Rocha, 2003). Si el cimiento es
suficientemente rígido, la interacción cinemática se manifiesta en una reducción de los movimientos de
traslación de la cimentación (filtrado de los componentes de alta frecuencia de la excitación sísmica), así
como en la generación de cabeceo y torsión de la cimentación (Luco y Wong, 1987). No obstante lo anterior,
se ha observado (Avilés y Pérez-Rocha, 2003) que para la ciudad de México es conservador efectuar sólo el
1
G. C. Ingeniería y Diseño, S.C. Calzada del Arco 82, Col. Sta. Cruz Guadalupe, 72160 Puebla, Pue.
Teléfono: (222) 284.5969, Fax (222) 284.59993, [email protected]
2
Instituto Mexicano de Tecnología del Agua, Pase Cuauhnahuac 8532, 62550 Jiutepec, Mor. Teléfono:
(777) 329.3600; Fax: (777) 329.3679, [email protected]
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análisis de interacción inercial, siempre que los efectos de sitio sean considerados en la determinación del
movimiento de campo libre empleado como movimiento de entrada para la cimentación.
Figura 1. Espectros de sitio para diseño sin (línea continua) y con (línea discontinua) interacción, para
un sitio con Ts = 2 s y una estructura con H e R = 3 y D R = 1.
Debido a la excepcional deformabilidad de las arcillas de la ciudad de México, los efectos de sitio e
interacción suelo-estructura que se presentan durante temblores intensos alcanzan niveles muy superiores a
los usuales en otras ciudades asentadas sobre depósitos de suelo blando (Reséndiz y Roesset, 1986). Pese a
que ambos fenómenos se relacionan entre sí, para propósitos de diseño es conveniente reconocerlos por
separado. En las nuevas disposiciones reglamentarias para el Distrito Federal (NTCDS, 2004) así se hace, al
definir un espectro específico de sitio que se modifica por interacción suelo-estructura, como se ilustra en la
figura 1.
Figura 2 Cociente de cortantes con base flexible y rígida, para un sitio con Ts = 2 s y una estructura
con H e R = 3 y D R = 1.
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En la ciudad de México, las amplificaciones dinámicas del subsuelo adquieren valores extraordinariamente
altos cuando los periodos predominantes de la excitación y el suelo son similares. De igual forma, la
interacción puede ocasionar considerables incrementos o reducciones de la respuesta estructural, dependiendo
de la relación entre los periodos fundamentales de la estructura y el sitio. Específicamente, cuando el periodo
de la estructura es menor que el del sitio, la interacción es perjudicial, pero en caso contrario es benéfica,
como se muestra en la figura 2. Es interesante notar que mientras los mayores incrementos en las resistencias
requeridas ocurren en sistemas no lineales, las mayores reducciones suceden en sistemas lineales. Esto es
debido esencialmente al alargamiento del periodo estructural y la disminución del factor de reducción de
resistencia al considerar la interacción. Esto último se aprecia en la figura 3 aplicando el criterio especificado
en las normas para la reducción por ductilidad en función de las condiciones de sitio.
Figura 3. Factores de reducción de resistencia sin (línea continua) y con (línea discontinua)
interacción, para un sitio con Ts = 2 s y una estructura con H e R = 3 y D R = 1.
Los resultados que se muestran en la figura 2 son los que se obtienen, según las normas, al tenerse en cuenta
los efectos de interacción exclusivamente en el modo fundamental de vibración de la estructura. No obstante,
con la ayuda de computadoras personales es posible desarrollar modelos de interacción multimodales que
satisfagan los requisitos reglamentarios. El propósito de este trabajo es presentar un método de análisis
sísmico tridimensional implantado en el programa de cómputo ECOgcW (2002), que cumple con los
requisitos de interacción de las normas. El método está basado en el análisis modal espectral, modelando la
rigidez del suelo con los resortes elásticos especificados en las normas. Es particularmente importante
modelar la rigidez del suelo en función de la frecuencia de vibración. Los espectros de sitio y los factores de
reducción de resistencia utilizados con este método son exactamente como los mostrados en las figuras. 1 y 3,
respectivamente.
3
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PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO REGLAMENTARIO
De acuerdo con las normas, si se opta por el análisis estático con la opción que toma en cuenta el periodo
fundamental de vibración, el cortante basal de la estructura con base indeformable está dado por
Vo =
a
Wo
Q'
(1)
donde a es la ordenada espectral elástica para el periodo y amortiguamiento de la estructura con base
indeformable y Q ′ el correspondiente factor de reducción por ductilidad. Por simplicidad, aquí y en lo que
sigue se omite el factor de reducción por sobrerresistencia, ya que no depende de las condiciones de sitio ni de
la interacción suelo-estructura. La contribución de los modos superiores de vibración está implícitamente
considerada al emplear el peso total de la estructura Wo en lugar de su peso efectivo We ≈ 0.7Wo . Si se
considera la flexibilidad del suelo, el cortante basal modificado por interacción es
 a a~ 
~
a
Vo = Wo −  − ~  We
Q'
 Q' Q ' 
(2)
donde a~ es la ordenada espectral elástica para el periodo y amortiguamiento del sistema (consultar la norma)
~
y Q ′ el correspondiente factor de reducción por ductilidad. El segundo término de esta expresión representa
la reducción del cortante basal por efectos de interacción en el modo fundamental de vibración. El signo de
este término puede ser negativo, con lo que en lugar de una reducción tendremos un incremento del cortante
~
basal. Una vez calculados Vo y Vo , los efectos de interacción se consideran multiplicando por el cociente
~
Vo
a~ Q'
= 0.3 + 0.7 ~
Vo
a Q'
(3)
cualquier respuesta estructural calculada para la condición de base rígida. La variación de este factor con el
periodo estructural Te es la que se ejemplifica en la figura 2 para ciertas condiciones de interacción. En
~
ninguna situación, el valor de Vo Vo ha de tomarse menor que 0.75 ni mayor que 1.25, según las normas.
Los desplazamientos laterales de la estructura en la dirección de análisis, corregidos por interacción con el
suelo, se determinan con la expresión
~
~ V
Xi = o
Vo

M 
 X i + (hi + D) o 
Kr 

(4)
donde M o es el momento de volteo en la base de la cimentación y X i el desplazamiento lateral del i-ésimo
nivel de la estructura con base rígida, calculados usando las fuerzas sísmicas sin modificar por interacción; D
es la profundidad de desplante y K r la rigidez de rotación de la cimentación. El segundo término de esta
expresión representa la contribución de la rotación de la cimentación. En las normas se especifica que el valor
~
de X i relativo al terreno debe tomarse en cuenta en el cálculo de los efectos de segundo orden, así como en
la revisión del estado límite por choques con estructuras adyacentes. Nótese que la determinación del factor
~
Vo Vo permite evaluar las consecuencias de la interacción en el cortante basal y el desplazamiento lateral de
la estructura.
El procedimiento de interacción suelo-estructura descrito anteriormente ha sido implantado en el programa de
cómputo ECOgcW. Esta opción puede ser activada cuando se recurre al análisis sísmico estático. Si se opta
por el análisis dinámico modal, los efectos de interacción se tienen en cuenta usando un modelo
tridimensional del sistema suelo-estructura, el cual se explica en la siguiente sección.
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MODELO COMPUTACIONAL TRIDIMENSIONAL
Para tener en cuenta los efectos de interacción en los modos superiores de vibración es necesario analizar el
sistema completo. Para propósito de análisis dinámico, la mayor hipótesis requerida es suponer que la
cimentación posee suficiente rigidez y resistencia de suerte que se mueve como cuerpo rígido. De esta forma
es posible definir un nudo maestro en la base de la estructura donde se condensan los grados de libertad de la
cimentación, a saber: traslación en dos direcciones horizontales ortogonales, cabeceo alrededor de los
respectivos ejes y torsión alrededor del eje vertical.
La rigidez del suelo se modela con elementos estructurales sin masa, es decir: resortes elásticos de traslación,
cabeceo y torsión. Estos parámetros expresan tanto la rigidez como la inercia del suelo y son dependientes de
la frecuencia de vibración; dicha dependencia se debe a la influencia que la frecuencia tiene en la inercia del
suelo, puesto que su rigidez es esencialmente independiente de ella. Para su cálculo se aplican los criterios
que se detallan en las normas, aunque pueden emplearse métodos alternos basados en principios establecidos
y resultados conocidos de la dinámica de cimentaciones.
Siguiendo el enfoque de rigidez usado en análisis estructural, las ecuaciones de vibración libre del sistema
tienen la siguiente forma matricial:
 K ee

 K ce
K ec 
M
− ω2  ee
K cc 
 0
0   U e  0
  =  
M cc   U c  0
(5)
donde M ii y K ii son submatrices de masa y rigidez, respectivamente; los nudos de la estructura se
identifican con el subíndice “e” y los de la cimentación con el subíndice “c”. De acuerdo con las normas, la
masa de la cimentación y sus inercias rotacionales son despreciadas. Además, U e y U c son los vectores de
desplazamiento de la estructura y la cimentación, respectivamente.
El cálculo de las frecuencias y modos naturales de vibración del sistema se realiza aplicando a la ec. 5
cualquier técnica estándar de valores característicos. Sin embargo, como los resortes de la base son función de
la frecuencia predominante de vibración, el análisis de vibraciones libres se hace por medio de iteraciones,
iniciando con los valores de los resortes para la condición de base rígida y terminando con los
correspondientes a la frecuencia del sistema.
Las fuerzas sísmicas modales se determinan haciendo uso de los nuevos espectros de sitio reglamentarios,
considerando el amortiguamiento del sistema para el modo fundamental ( β ≥ 1) y 5% de amortiguamiento
para los modos superiores de vibración ( β = 1). Estas fuerzas se reducen por ductilidad con los nuevos
factores reglamentarios de reducción de resistencia, considerando la ductilidad del sistema (consultar la
norma) para el modo fundamental y la ductilidad nominal Q para los modos superiores de vibración. De esta
forma se cumple con la disposición reglamentaria de que los efectos de interacción en el amortiguamiento y la
ductilidad han de tomarse en cuenta sólo en el modo fundamental de vibración; la contribución de los modos
superiores se evalúa como se establece para estructuras de base rígida.
Cabe señalar que los desplazamientos laterales de la estructura que se obtienen con este procedimiento ya
incluyen la contribución de la rotación de la cimentación, incluso la traslación de la misma, puesto que la
estructura se analiza sobre resortes elásticos que se deforman en traslación y rotación.
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MODELACIÓN DE LA INTERACCIÓN CON ECOgcW
Los siguientes pasos describen la forma en que está incorporada la interacción suelo-estructura en ECOgcW.
1.
Se crea la geometría básica del modelo de la manera usual, teniendo en cuenta que todos los nudos
de apoyo deberán estar al mismo nivel y empotrados.
2.
Se definen los parámetros del análisis sísmico, que puede ser estático o dinámico modal. Al
seleccionar las NTCDS versión 2004, aparece en la parte inferior de la ventana los botones para
definir el suelo y las características de la cimentación.
Figura 4. Parámetros análisis sísmico
3.
Si se tiene un estudio del suelo para el sitio, se capturan los valores de cada estrato para calcular el
periodo del sitio. Se pueden definir tantos estratos como sea necesario, la ventana agrega renglones
conforme se capturan los estratos. El periodo del sitio lo calcula el programa siguiendo el
procedimiento establecido en las NTCDS. La profundidad de los depósitos firmes, H s , la determina
como la suma de los espesores de los estratos definidos.
Figura 5. Datos de suelo
Si no se dispone de un estudio del sitio, se pueden obtener estos valores de los mapas de isoperiodos
e isoprofundidades de las normas y capturarlos en la ventana que recibe los datos de la cimentación.
4.
Se definen los datos de la cimentación, la cual puede ser somera, sobre pilotes o mixta.
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Figura 6. Cimentación somera
5.
Para los tres tipos de cimentación, se captura el enterramiento, la relación de Poisson del suelo y el
amortiguamiento histerético.
Si no se capturó la estratigrafía del punto 3, se capturan en esta ventana los valores de periodo del
suelo, profundidad de los depósitos firmes y peso volumétrico medio del suelo.
6.
Si la cimentación es somera, se captura la información de cada placa de apoyo (losa de cimentación o
zapata) que forme la cimentación.
Los datos que se capturan son las coordenadas de su centro geométrico ( Xcg,Ycg ), sus dimensión
paralela al eje X y al eje Y ( dX , dY ) y las características de la placa en dirección X y Y . Para
este último campo se captura L si la dimensión es larga y C si es corta. Así, una zapata aislada
tendrá CC en este campo, una zapata corrida con dimensión larga paralela a X tendrá LC y una
losa de cimentación tendrá LL . Esta ultima información la emplea el programa para determinar los
radios equivalentes.
7.
Si la cimentación es a base de pilotes, se captura su módulo de elasticidad y se selecciona el tipo de
pilotes, de fricción o de punta.
Para cada pilote se captura su centro geométrico ( Xcg,Ycg ), diámetro ( d ) y longitud ( Lg ). La
ventana irá abriendo renglones conforme se capturen mas pilotes.
Figura 7. Cimentación sobre pilotes
8.
Si la cimentación es mixta, se captura la información descrita para cimentación somera y sobre
pilotes.
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Figura 8. Cimentación mixta
9.
Se selecciona la opción Interacción suelo-estructura en la ventana de análisis sísmico.
10. Todos los demás datos (cargas, combinaciones, etc.) se definen con el mismo procedimiento que se
sigue para los edificios sin interacción.
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Se revisó un edificio de 20 niveles, con entrepisos de 3.30 m, 5 crujías de 6 m en el sentido X y 4 crujías de
5 m en el sentido Y . Todas las columnas tienen una dimensión de 80x60 cm y las trabes de 35x70 cm.
La carga muerta se consideró de 650 kg/m2 más el peso propio de los elementos. El peso propio de los
elementos equivale a una carga de 455 kg/m2. La carga viva se consideró de 250 kg/m2, salvo en azotea que es
de 100 kg/m2.
La combinación para determinar las masas para el análisis sísmico se consideró con el 100% de la carga
muerta mas el 70% de la carga viva.
El edificio se consideró ubicado en una zona cercana al cruce de Calzada de Guadalupe y Circuito interior,
teniendo un periodo predominante del suelo Ts = 1.1 s, de acuerdo con el mapa de isoperiodos de las normas
y una profundidad de los depósitos firmes profundos de 25 m.
El las figuras 10 y 11 se muestran los valores capturados para cimentación somera y cimentación a base de
pilotes.
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Figura 10. Datos cimentación somera
Z
Y
X
E
6
D
5
C
4
B
3
A
2
1
Figura 9. edificio analizado
Figura 11. Datos cimentación a base de
pilotes
9
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El edificio se analizó con los métodos estático y dinámico modal, considerando a la cimentación formada por
el cajón, los pilotes y la combinación de ambos elementos (mixta). En la tabla 1 se resumen los valores que
resultan para los cortantes de base rígida y flexible, en las dos direcciones de análisis, así como para el factor
~
Vo Vo antes de tener en cuenta los límites reglamentarios.
Tabla 1. Resumen de valores obtenido para edificio analizado
Q =1
Método/cimentación
Q =2
V x (ton)
V y (ton)
V x (ton)
V y (ton)
Estático/rígida
Estático/cajón
2404
1639
0.682
3067
1697
0.533
1189
944
0.794
1513
1017
0.673
Estático/pilotes
1729
0.719
1727
0.563
980
0.824
1033
0.683
Estático/mixta
1949
0.811
2076
0.677
1058
0.890
1195
0.790
Dinámico/rígida
Dinámico/cajón
2053
1365
0.665
2527
1326
0.525
1016
800
0.788
1246
806
0.647
Dinámico/pilotes
1444
0.703
1362
0.539
837
0.824
827
0.664
Dinámico/mixta
1629
0.794
1613
0.638
901
0.887
959
0.770
~
Vo Vo
~
Vo Vo
~
Vo Vo
~
Vo Vo
~
Vo Vo
~
Vo Vo
Las principales observaciones que se desprenden de la interpretación de estos resultados son las siguientes:
1.
2.
Los métodos de análisis estático y dinámico modal arrojan resultados similares que confirman, por
un lado, la precisión del procedimiento simplificado reglamentario y, por otro, la validez del modelo
computacional tridimensional implantado en ECOgcW.
~
La interacción es benéfica en todos los casos, Vo Vo < 1, siendo más favorable para comportamiento
elástico, Q = 1, que para comportamiento inelástico, Q = 2. Esto es congruente con los resultados de
la fig. 2, puesto que el periodo de la estructura ( Tx = 2.126 s y T y = 1.892 s) es mayor que el periodo
del sitio ( Ts = 1.1 s)
3.
Independientemente del método de análisis, la cimentación mixta (cajón y pilotes) es la más rígida,
causando los menores efectos de interacción; mientras que la cimentación de cajón es la más flexible,
causando los mayores efectos de interacción.
Cabe señalar que no se ha tomado en cuenta el efecto de grupo de pilotes. Este efecto es debido a la
interacción dinámica entre pilotes a través del suelo. Actualmente se encuentra en proceso la implantación en
ECOgcW de un eficiente procedimiento de superposición propuesto por Dobry y Gazetas (1988) para pilotes
de fricción, usando factores de interacción dinámica que reflejan la influencia de un pilote activo sobre otro
pasivo. Por tratarse de un problema dinámico, la rigidez de grupo puede ser menor o mayor que la rigidez de
conjunto aquí empleada.
10
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COMENTARIOS FINALES
Se ha descrito la forma de modelar la interacción dinámica suelo-estructura usando el programa de cómputo
ECOgcW. Si se opta por el análisis estático, se aplica directamente el procedimiento simplificado
reglamentario. Pero si se recurre al análisis dinámico modal, se analiza la estructura tridimensional sobre
resortes elásticos en sustitución del suelo. Con ello se toma en cuenta los efectos de interacción en los
periodos y modos naturales de vibración. Para considerar los efectos en el amortiguamiento y la ductilidad, se
hace uso de espectros de sitio y factores de reducción de resistencia modificados por interacción sólo en el
modo fundamental.
El procedimiento se ilustró con un ejemplo numérico del análisis sísmico de un edificio típico. Se evaluaron
los efectos de interacción aplicando los métodos de análisis estático y dinámico modal. La comparación
satisfactoria entre resultados confirmó, por un lado, la precisión del procedimiento simplificado reglamentario
y, por otro, la validez del modelo computacional tridimensional. Asimismo, se evaluó el efecto del tipo de
cimentación, encontrándose que la cimentación mixta es la más rígida (menores efectos de interacción),
mientras que la cimentación de cajón es la más flexible (mayores efectos de interacción).
REFERENCIAS
Avilés J y Pérez-Rocha L E (2003), "Soil-structure interaction in yielding systems", Earthquake
Engineering and Structural Dynamics, Vol. 32, pp. 1749-1771.
Dobry R y Gazetas G (1988), "Simple method for dynamic stiffness and damping of floating pile groups",
Geotechnique, Vol. 38, pp. 557-574.
Corona G. (2002), ECOgcW, "Programa para el análisis y diseño de edificios de concreto".
Luco J E y Wong H L (1987), "Seismic response of foundations embedded in a layered half-space",
Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 15, pp. 233-247.
NTCDS-RCDF (2004), "Normas técnicas complementarias para diseño por sismo", Reglamento de
Construcciones para el Distrito Federal, Gaceta Oficial del Departamento del Distrito Federal.
Reséndiz D y Roesset J M (1986), "Soil-structure interaction in Mexico City during the 1985
earthquake", International Conference on the 1985 Mexico Earthquakes, Factors Involved and Lessons
Learned, ASCE, New York.
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