EL CÁLCULO EN LA ESCUELA: LAS CUENTAS, ¿SON UN

EL CÁLCULO EN LA ESCUELA: LAS CUENTAS, ¿SON UN PROBLEMA?
Graciela Chemello1
El cálculo es, fundamentalmente, un conjunto de procedimientos, y su ejecución está
unida a los instrumentos que se utilicen para su realización. Por eso, podemos hablar de
cálculo mental, de cálculo con lápiz y papel, de cálculo con ábaco, de cálculo con
calculadora, etcétera.
No olvidemos que la palabra cálculo proviene de calculus, la palabra latina que significa
piedra pequeña, que era el instrumento con que sus inventores realizaban las cuentas.
Para los romanos, calcular era sinónimo de manejar correctamente las piedras que
usaban para hacer las cuentas.
El cálculo aritmético, entonces, está ligado a la necesidad de resolver cotidianamente
múltiples situaciones. La naturaleza y el contexto del problema determinan el grado de
exactitud exigido en la respuesta y la necesidad de uno u otro tipo de cálculo.
Hace ya tiempo que la enseñanza del cálculo en la escuela ha dejado de ser satisfactoria,
tanto por la baja eficacia que esta enseñanza ha tenido2, como por el cambio en la
demanda social de las competencias deseables por desarrollar en los alumnos con
respecto a esta cuestión.
Trataremos de fundamentar una propuesta para trabajar con el cálculo durante la EGB,
que nos parece superadora de algunas de estas dificultades.
En primer lugar, nos ocuparemos de la elección de instrumento de cálculo, es decir, de la
relación entre e cálculo necesario para resolver un problema, el contexto que este
problema proporciona y el tipo de números que involucra.
En segundo lugar, queremos señalar que al pensar el trabajo con el cálculo, partimos de
una cuestión esencial en la Didáctica de la Matemática: ¿cómo hacer que los
conocimientos enseñados tengan sentido?3
Para que los alumnos puedan construir el sentido, el cálculo no debe plantearse en forma
aislada, sino como parte de un problema para resolver. Consideramos que el cálculo
adquiere su sentido por los problemas que resuelve, y también por los que no resuelve (o
sea, sus límites de aplicación). A su vez, reflexionar sobre el cálculo producido,
analizando cómo y por qué funciona, posibilitará construir el sentido como problemática
propia de la disciplina.
Adecuar el instrumento a la necesidad
Durante muchos años, la enseñanza del cálculo estuvo centrada en que los alumnos
adquirieran la destreza de usar algoritmos convencionales para operar, tarea a la que los
docentes dedicaron gran parte de las horas de clase4.
1
Graciela Chemello es especialista en Didáctica de la Matemática. Asesora de escuelas en el área y del Ministerio de
Cultura y Educación de la Nación. Integrante del equipo de asesores de la Secretaría de Educación de la Municipalidad
de la Ciudad de Buenos Aires.
2
La baja eficacia está referida a las dificultades de los alumnos para saber cuándo usar cada operación en un problema
dado, cómo controlar el resultado obtenido, pudiendo explicar los porqués de los distintos pasos de los algoritmos.
3
En “Aprender por medio de la resolución de problemas” del libro Didáctica de la Matemática, Charnay dice: “la
construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:
♦ un nivel externo: ¿cuál es el campo de utilización de esa noción y cuáles son los límites de ese campo?
♦ un nivel interno: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta?.”
En nuestra problemática, el nivel externo está relacionado con el tipo de cálculo por utilizar en cada situación particular,
y el nivel interno, con la respuesta a cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado.
4
Hace algunos años, la enseñanza de los algoritmos estaba orientada por un modelo de aprendizaje en donde el saber
debía ser comunicado a los alumnos. Este saber era considerado como algo acabado, ya construido. Por lo tanto, en la
escuela se debían transmitir los algoritmos más económicos que los matemáticos habían inventado para calcular
resultados. El alumno debía aprender, ejercitar y finalmente aplicar en problemas dichos algoritmos.
1
En otras épocas, conocer y usar los algoritmos no sólo daba una amplia autonomía, sino
que era una habilidad que permitía ocupar puestos de trabajo de gestión y mayor
responsabilidad.
La sociedad en que nos toca vivir ha evolucionado. Los cálculos operatorios se
simplificaron a través del uso de instrumentos –al alcance de todos–, como las
calculadoras.
Esta nueva realidad, que no podemos ignorar dentro del ámbito de la escuela, nos obliga
a replanteamos cómo intervenir educativamente.
Entonces, ¿debemos enseñar a nuestros alumnos a calcular únicamente con calculadora,
que es
–indudablemente– el medio más rápido y eficaz de que disponemos para
realizar esta tarea? Una postura coherente, en nuestra opinión, es adecuar el instrumento
a la necesidad.
Caso 1: Cuando alcanza con una respuesta aproximada
Supongamos que estamos frente a una persona que recorre el supermercado, poniendo
distintos productos en su carrito, con una cantidad tope de dinero para gastar. Esa
persona necesitará conocer el valor aproximado del precio total de su compra, para lo
cual, irá sumando precios aproximados de los productos.
Si observamos el comportamiento de dicha persona, veremos que no utiliza lápiz ni papel,
y seguramente tampoco los algoritmos convencionales aprendidos en la escuela. Si debe
sumar $149 y $192, puede aproximar cada precio de distintos modos, entre ellos, el
redondeo o el truncamiento.5
Caso 2: Cuando se necesita una respuesta exacta
En otras ocasiones, es necesario realizar cálculos exactos, y éstos pueden involucrar:
2.a) Números pequeños o redondos.
Por ejemplo, cuando queremos comprar un producto de $800 que está rebajado un 25%,
es necesario conocer el resultado exacto. Como en este problema los números son
redondos, lo mejor será poder operar mentalmente, y no tener necesidad de usar lápiz y
papel ni calculadora. Para operar mentalmente, habrá que restar al precio total la cuarta
parte de éste, es decir:
5
Redondear es aproximar a la decena, centena, etc. más cercana, dependiendo la elección del grado de aproximación
requerido para el cálculo. En este caso, si aproximamos 149 a decenas enteras, veremos que es un número comprendido
entre 140 y 150, y está más cerca de 150. Si aproximamos a centenas enteras, 149 es un número comprendido entre 100
y 200, y está más cerca de 100.
Veamos cómo sería entonces el cálculo aproximado de la suma por redondeo:
redondeo a decenas
redondeo a centenas
149
150
100
→
→
+ 192
+ 190
+ 200
→
→
341
340
300
Truncar es reemplazar por ceros un cierto número de cifras significativas, dependiendo esta cantidad de cifras del grado
de aproximación requerido para el cálculo. En nuestro ejemplo, el cálculo aproximado de la suma por truncamiento
sería:
truncando las unidades
truncando las decenas
149
140
100
→
→
+ 192
+ 190
+ 100
→
→
341
330
200
Pruebe con varios ejemplos con las cuatro operaciones, ¿cuál de los dos modos de aproximación es más fácil de hacer?,
¿cuál aproximación es mejor (más cercana al resultado exacto)?
2
25 % = 1/4
1/4 de 800 = 200
800 - 200 = 600
2.b) Números largos o difíciles.
Si queremos abonar con un cheque lo que hemos gastado en alfombrar una superficie
total de 8,66 m2 sabiendo que el costo es de $11,49 por metro cuadrado, habrá que
averiguar el resultado exacto, pero esta vez hay que operar con números difíciles de
multiplicar mentalmente. En tal caso, conviene disponer de algún instrumento que ayude a
realizar los cálculos, sea éste una calculadora o lápiz y papel. En ambos casos, estos
instrumentos son sólo una ayuda, puesto que su correcta utilización dependerá del
usuario y de su posibilidad de ejecutar dichos cálculos.
Si usa lápiz y papel, deberá recurrir a las tablas (cálculos que habrá memorizado) para ir
realizando las operaciones parciales y luego usará cálculos mentales para estimar si su
resultado es del orden que corresponde en relación a los datos.
Si usa la calculadora, también tendrá que estimar el resultado con un procedimiento
conveniente, para controlar el producto obtenido.
Para estimar en el problema planteado se puede pensar, por ejemplo:
8,66 . 11,49 → 9 . 11 = 99 o sea, alrededor de $100.
Sin embargo, el cheque debe realizarse por el valor exacto en centésimos:
8.66 . 11,49 = $ 99,4924, va a figurar $ 99,49
Otro ejemplo con números grandes y calculadora:
“Hice el cálculo 2465 . 3274 y obtuve el resultado 78.962.112, ¿es correcto?”
En primer lugar, si uno de los dos factores termina en 5, deberíamos esperar que la última
cifra del producto fuera un 0 ó un 5. Si además pensamos que un número cercano al
2500, multiplicado por un número cercano al 3000, debería damos un número cercano al
75 (25 . 3) con cinco ceros, es decir siete millones y pico, pero no setenta y ocho millones
y pico; podemos concluir que se han pulsado mal las teclas.
Entonces: en la escuela sería conveniente trabajar siempre con el cálculo en relación a
los problemas extramatemáticos que resuelve, tratando de que los chicos aprendan a
distinguir frente a cada situación, si es necesario el cálculo aproximado o el exacto. En
este último caso, deberá poder realizarlo mentalmente, con lápiz y papel o con
calculadora. Pero también, en todos los casos deberá buscar la manera de controlar el
resultado, tanto el orden de los números como la razonabilidad de éste.6
Cálculo mental, escrito y con calculadora
Para reflexionar sobre los procedimientos de cálculo, interesa analizar qué conocimientos
se ponen en juego en cada caso. Para ello, detengámonos en la resolución de dos sumas
diferentes en forma escrita con el algoritmo convencional, mentalmente y con la
calculadora. Los cálculos de los que nos ocuparemos son:
175 + 48
57 + 38
6
Controlar el orden de un número significa saber cuántas cifras tiene, o poder encuadrado sabiendo que es un número
comprendido entre tal y cual.
Controlar la razonabilidad del resultado implica estimar en qué medida corresponde al contexto del problema, por
ejemplo, si estamos calculando la posible altura de la puerta de un departamento, ¿es correcto el resultado de 5,10 m?
3
Escrito, con el algoritmo usual, se puede usar el mismo procedimiento para ambos
cálculos.
1 1
175
+ 48
1
57
+ 38
95
223
Se considera el valor posicional de cada cifra de los números que intervienen: unidades,
decenas, centenas. Se suman separadamente, unidades con unidades, decenas con
decenas, etcétera; para ello se escriben los números en columna, pudiéndose escribir
sólo un dígito en cada columna. Se suma comenzando por las unidades, se escribe el
resultado ubicando cada cifra en la columna correspondiente a su valor posicional.
Sumar las cifras por columna implica cambiar el orden de los sumandos (conmutar) y
buscar resultados parciales (asociar) convenientemente.
Al resolver mentalmente se puede usar más de una estrategia. Por ejemplo, dos modos
posibles de descomposición mental de los términos que transforman la operación en otra
equivalente más cómoda.
175 + 48 = (175 + 25) + 23 = 200 + 23
175 + 48=100 + (70 + 40) + (5 + 8) = 210 +13 = 223
Se usan las propiedades asociativa y conmutativa.
Para otros números, conviene otra estrategia. Por ejemplo, un redondeo por
compensación: se alteran los dos términos de la operación buscando el redondeo a ceros
al menos de uno de ellos. Se efectúa una compensación añadiendo a uno de ellos lo que
se le quita al otro, es decir se usa una consecuencia de la propiedad asociativa.
57 + 38 = (57 + 3) + (38 - 3) = 60 + 35 = 95
Al resolver con la calculadora, se pulsa
1
7
5
+
4
8
=
y va apareciendo en el visor
1 → 17 → 175 +
4 → 48 = 223
Los cálculos: productos históricos
4
Finalmente queremos incluir, aunque sea de manera breve, un elemento más en este
análisis. El algoritmo descripto para resolver el cálculo escrito es un producto histórico,
que fue inventado sólo con el uso del sistema de numeración decimal. Otros pueblos, con
otros sistemas de numeración, resolvían los cálculos de maneras diferentes.
Para ver la estrecha relación entre el modo de representar cantidades y el modo de
calcular, veamos, a modo de ejemplo, cómo multiplicaban los egipcios.
Debido a la característica de su sistema de numeración, donde cada símbolo tenía un
valor que componían en forma aditiva para representar las cantidades, su multiplicación
también era aditiva y se basaba en el cálculo de dobles.
Por ejemplo, para multiplicar 5 x 12.
|
||
||||
|||||
Notación egipcia
Notación indoarábiga
||n
| | | | nn
| | | | | | | | nnnn
| | n | | | | | | | | nnnn
1
2
4
12
24
48
Como 5 = 1 + 4, entonces 5. 12 = (1 + 4) .12 = 12 + 48 = 60
En este procedimiento, se utiliza la propiedad distributiva.
Características de los cálculos
A partir de los ejemplos presentados, analicemos las características de los distintos tipos
de cálculo.
El cálculo escrito con el algoritmo usual
§ Permite conservar los resultados, y también una parte de los procesos, con
lo que posibilita localizar y corregir los errores;
§ permite obtener reglas –algoritmos– estrechamente ligadas a la
representación gráfico-simbólica, se trata de manipular símbolos sin referencia
alguna al mundo real;
§ la existencia de reglas permite ejecutarlos automáticamente; no hace falta
pensar ni reflexionar, ni siquiera comprenderlos;
§ necesita del cálculo mental en forma limitada, ya que requiere el uso de las
tablas de sumar y multiplicar;
§ es abreviado, oculta gran parte de las operaciones y las transformaciones
intermedias, que tienen que ver con el uso de las propiedades asociativa,
conmutativa y distributiva;
§ es analítico, los números se consideran rotos, las cifras se operan
separadamente, lo que lleva a perder de vista cuáles son los números con los
que se está operando;
§ la comprensión del algoritmo depende de la comprensión de las reglas del
sistema de numeración posicional decimal;
§ es general, es decir que cada algoritmo funciona igual con todos los
números.
5
El cálculo mental
§ Se hace con la cabeza;
§ es globalizador, toma el número como una totalidad que se puede
descomponer aditiva o multiplicativamente, de forma tal que permite conservar
el valor de los términos de la operación;
§ busca sustituir o alterar los datos iniciales para trabajar con otros más
cómodos o más fáciles de calcular, usando las propiedades conmutativa,
asociativa y distributiva;
§ requiere ciertas habilidades: conteos, recolocaciones, descomposiciones,
redistribuciones, compensaciones;
§ son particulares, ya que los procedimientos dependen de los distintos
números involucrados;
§ sirve para anticipar el resultado.
El cálculo con calculadora
§ La calculadora es la que efectúa el procedimiento;
§ el usuario introduce los elementos necesarios para operar: los números, las
operaciones, y en qué orden deben efectuarse;
§ ahorra los esfuerzos que conlleva el cálculo escrito, permitiendo obviar la
repetición mecánica de reglas;
§ es ajena a los errores de pulsación, factor que no debemos olvidar, pues su
aparición al usar las calculadoras es frecuente y reiterada;
§ permite resolver problemas en los cuales los datos surgen de la realidad y
pueden ser complejos.
Vemos entonces que en el caso del cálculo con calculadora no hay necesidad de
desplegar una estrategia para encontrar el resultado; el procedimiento está a cargo de la
máquina.
Pero, tanto para el cálculo mental como para el cálculo escrito, los procedimientos ponen
en acto las propiedades de las operaciones y una manera de comprender los números, tal
como se muestra en el cuadro.
Operaciones → Propiedades → Puesta en acto
de las
de las
operaciones
propiedades
§ Cálculo con procedimientos no usuales en la escuela:
conocimiento de los números: encuadramiento
aproximación
escrituras aditivas
§ Cálculo con algoritmo tradicional: conocimiento de la representación de los
números.
Construir el sentido del cálculo
Producir procedimientos originales de cálculo, implica:
§ elegir con qué números operar;
§ elegir la operación;
§ desarrollar un procedimiento original;
§ llegar a un resultado;
6
§ reconocer si un resultado es aproximado o exacto;
§ controlar el resultado.
Analizar los procedimientos implica reflexionar sobre:
§ cómo se pensaron los números;
§ qué operaciones se usaron;
§ qué “reglas” se usaron;
§ la economía de pasos empleados;
§ cuáles son los errores y cómo remediarlos.
Veamos si es posible pensar cómo plantear problemas con los distintos instrumentos de
cálculo, de manera que los alumnos vayan construyendo el sentido del cálculo.
Con calculadora
Al analizar las características del cálculo con calculadora, en problemas extramatemáticos
como el de nuestro ejemplo –cálculo exacto de una superficie, para averiguar el costo de
su embaldosado–, vimos que no hay desarrollo de una estrategia. Sin embargo, permite al
alumno centrarse sobre algunos aspectos:
§ planteo (¿qué operación?);
§ organización de las operaciones (¿en qué orden?);
§ interpretación del resultado (¿el resultado es razonable?).
Esto contribuye a la construcción del sentido del cálculo en el nivel externo.
Si pensamos, en cambio, en la calculadora como una herramienta que permite pensar en
problemas intramatemáticos, es posible trabajar con situaciones que requieran de los
alumnos la producción de procedimientos propios, trabajando en el nivel interno.
Veamos ejemplos de problemas internos para resolver con una calculadora elemental de
cuatro operaciones.
Una vez hechos, debe reflexionarse sobre cuáles fueron los conocimientos puestos en
juego. ¿En qué grado podría proponerse cada uno de ellos? ¿Se puede modificar alguno
para trabajarlo en un grado inferior?, ¿y en uno superior?
Para qué proponemos esta reflexión:
1. Para entender mejor o para relacionar las operaciones y obtener otros algoritmos.
§ Dividí 426: 31, suponiendo que no funciona la tecla correspondiente a la
división.
§ 237.225: 16 = 14.826,562 ¿Cuál era el resto de la división antes de bajar
decimales?
2. Para pensar en el valor posicional de las cifras.
§ Poné 2345 en el visor de la calculadora. ¿Cómo harías, en una sola
operación, para que en el visor apareciera 2045?
§ ¿Cómo harías con dos operaciones para que apareciera 2005? ¿Y en una
sola operación?
3. Para trabajar con cálculo mental.
Completá los resultados de las tres columnas.
Calculá con
calculadora
Calculá
mentalmente
Corregí con
calculadora
Bien o Mal ¿Por
qué?
7
82 – 35 = 47
64 – 17 = 47
325 – 124 =
81 – 35 = 46
65 – 17 = 45
315 –124 =
325 – 114 =
315 – 114 =
345 – 144 =
B
M
4. Para trabajar con métodos matemáticos: ensayo-error, redondeo, aproximación.
§ El cociente de dos números enteros consecutivos es igual a 0,9375. ¿Qué
números son?
§ Encontrá el número desconocido para que se cumpla la igualdad: 5_ x _=
392.
5. Para observar regularidades.
Calculá 72, 73, 74, ... 79 ¿Cuál es el último dígito de 745? ¿Podrías decir alguno más?
6. Para investigar.
Observá: (12 + 22). (22 + 32) = 5 . 13 = 65 = 42 +72.
¿Será cierto que: la suma de dos cuadrados perfectos multiplicados por la suma de dos
cuadrados perfectos, es la suma de dos cuadrados perfectos? Generalizando: (a2 + b2) .
(c2 + d2) = m2 + n2.
Actividad
Los siguientes son dos procedimientos para, resolver el primer problema:
“Resolvé 426 : 31 suponiendo que no funciona la tecla correspondiente a la división.”
PROCEDIMIENTO 1: de restas sucesivas.
426
10 veces 31 – 310
→
116
3 veces 31 – 93
→
116
23
Respuesta: 10 + 3 = 13, sobran 23.
Es un procedimiento en el que se usaron restas y multiplicaciones; se descompuso el
dividendo en dos partes (propiedad distributiva).
PROCEDIMIENTO 2:
31 x 11 =
341
31 x 14 =
454
31 x 13 =
403
Respuesta: 13 y sobran 23.
Éste es un procedimiento hipotético para aproximaciones sucesivas, se usaron productos;
se tomó el dividendo globalmente.
8
§ ¿Qué procedimiento es más económico? ¿Cuál es el más sencillo de aplicar
con números más grandes?
§ ¿Cómo cree que lo resolvería un chico de 4° grado? ¿Y uno de 6°?
La enseñanza del cálculo
Con respecto a la enseñanza del cálculo mental y del cálculo escrito, desde la perspectiva
planteada, ambos modos de calcular se trabajan paralelamente: el cálculo mental, como
soporte del cálculo escrito, y el cálculo escrito, como una manera de ir desarrollando
distintas estrategias de cálculo mental con números cada vez más grandes.
Si pensamos que el trabajo en el aula con los procedimientos mismos debería dar lugar a
reflexiones que permitieran a los alumnos ir progresando en su conocimiento acerca de
las propiedades de las operaciones, de los números, sus propiedades edades y su forma
de representación, habría que proponer situaciones para que los alumnos sugirieran
diferentes procedimientos para resolver cada cálculo, lo que nos llevará a realizar cálculos
parciales mentalmente, conservar los pasos por escrito, e ir anticipando el resultado para
prevenir errores.
La enseñanza del cálculo hoy, pasa de proponer situaciones de cálculos con números de
una cifra, a usar el algoritmo convencional aplicable a números de cualquier cantidad de
cifras, interpretando el valor posicional de cada cifra desde la noción de agrupamiento en
base 10. La propuesta es construir un camino entre estos extremos, que evite el salto, la
generalización que los chicos de los primeros grados no pueden abordar.
El algoritmo convencional de cálculo escrito aparecería, entonces, como el último paso de
un proceso de construcción de algoritmos cada vez más económicos (de menor cantidad
de pasos) retornando así el valor a que tuvo históricamente, y pudiendo ser analizado
como el procedimiento que pone en juego una característica esencial de nuestro sistema
de numeración: cuando se suman los cardinales de dos conjuntos, por ejemplo 2 + 3, el
resultado es siempre 5, cualesquiera que sean los elementos de ese conjunto, tanto
cuando se suman unidades (conjuntos de 1 elemento), como decenas (conjuntos de 10
elementos), etcétera.7
¿Cuál es la realidad en las escuelas hoy?
Con respecto a la enseñanza del cálculo en nuestras aulas, encontraremos –en general–
que:
§ Las calculadoras no se usan. Quienes se oponen, dicen que los alumnos
terminarán por no saber operar y que olvidarán las tablas. Podemos contestar a
esta objeción proponiendo que piensen cuánto es lo que saben quienes realizan
cálculos automatizados desprovistos de significado, y en qué medida esas
operaciones repetitivas no son similares a la pulsación de teclas.
§ Se enseña el cálculo escrito con el algoritmo usual. El uso de las reglas y la
consecuente automatización, llevó, poco a poco, a olvidar en muchos casos, las
razones por las cuales se operaba con esos procedimientos, cuál era el origen
de las reglas que se usaban. En otros casos, aunque las razones sean
explicitadas por los docentes, éstas no son comprendidas por la mayor parte de
los alumnos, quienes no pueden dar cuenta de esas razones cuando se les
pregunta. Y esto ocurre, porque quienes explican los procedimientos son los
docentes; ellos se encargan de transmitir procedimientos ya construidos, ellos
son quienes se hacen cargo del sentido.
§ El cálculo mental fue limitado casi exclusivamente al uso de las tablas de
sumar y multiplicar, basado en una simple memorización a ciegas, y dejando de
7
Remitirse al Cap. IX de Psicología del aprendizaje de las matemáticas, de Skemp.
9
lado su valor como actividad de toma de decisiones y elección de estrategias,
fruto de una reflexión personal.
¿Cuál es nuestra propuesta?
Pensar las cuentas
Como dijimos al inicio, es posible plantear a los alumnos la resolución de un problema:
buscar el resultado de un cálculo.
¿Por qué y cómo hacerlo?
Si elegimos como modelo de aprendizaje aquél que se centra en la construcción del saber
por el alumno, habrá que partir de sus concepciones y ponerlas a prueba en distintas
situaciones con distintos obstáculos, para mejorarlas, modificarlas y construir otras.
Puede, por ejemplo, plantearse un problema que los alumnos investiguen individualmente
o en grupos. Los chicos generarán estrategias propias para resolverlo y, frente al cálculo,
procedimientos propios para llegar a los resultados.
La producción de dicho procedimiento será realmente un problema para ellos, si hemos
sabido elegir la situación de manera que les permita poner en juego sus conocimientos
sobre la operación planteada, sus propiedades, los símbolos que deberán manipular.
Al principio –casi seguro–, intentarán anticipar una primera estrategia que, al desarrollarla,
les permitirá comprobar si han obtenido el resultado que querían. En esta etapa, el
procedimiento es producido y frecuentemente también formulado por escrito. Escribir el
procedimiento implicará el uso de ciertas reglas del lenguaje: el uso de los signos de las
operaciones, del signo igual. Este momento de la actividad sirve para formular el
procedimiento puesto en juego.
Los procedimientos originales de los chicos
La producción de procedimientos conduce, necesariamente, a la diversidad de
respuestas. Cada chico elaborará un procedimiento que mostrará cuál es el dominio
efectivo que tiene del campo numérico que conoce.
Las investigaciones sobre las conceptualizaciones de los chicos en relación al sistema
posicional de representación,8 muestran que éstas evolucionan sin apoyarse
necesariamente en concretizaciones externas al sistema. Y, paralelamente a esta
evolución, se observa la producción de procedimientos de cálculo vinculados a la
interpretación que los chicos tienen de los números.
Inicialmente, los chicos elaboran procedimientos basados en el conteo 1 por 1. Contar es
la primera herramienta que los chicos utilizan para resolver problemas numéricos. Estos
procedimientos se apoyan en la manipulación de diversos tipos de simbolización de
cantidades: los palitos, las cifras de nuestro sistema colocadas ordenadamente, y en
algunos casos los cálculos mentales.9
Luego, la memorización inicial de algunos cálculos va dando lugar a la construcción de
otros nuevos, que pasarán más tarde al repertorio de los memorizados.10 Van armando
8
Recomendamos leer el artículo “El sistema de numeración, un problema didáctico”, de Delia Lerner y Patricia
Sadovsky.
9
En “El aprendizaje del cálculo”, se describen los distintos procedimientos de conteo, que usan los chicos de 5 y 6 años
aproximadamente para averiguar la cantidad de elementos de una colección obtenida uniendo otras dos. Por ejemplo:
XXX + XXX
conteo:
1, 2, 3
1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
sobreconteo:
1, 2, 3
1, 2, 3, 4
3, y 4, 5, 6, 7.
dobleconteo:
1, 2, 3
4 (1), 5 (2), 6 (3), 7 (4)
10
Estas ideas son ampliadas en el cap. V de Los niños reinventan la aritmética y el cap. V de Reinventando la
aritmética II, escritos por Constance Kamii.
10
así una red de relaciones en el conjunto de números que dominan, que les permiten
construir escrituras aditivas de cada número, y que contribuye a la construcción del
sentido del número.11
Posteriormente, el descubrimiento de regularidades en la serie numérica les permite ir
instrumentando conteos más complejos, por ejemplo, de 10 en 10, de 5 en 5, de 2 en 2,
que luego utilizan en los procedimientos que desarrollan.
Entonces, estos procedimientos se elaboran manipulando las cifras, pero sin tener en
cuenta inicialmente su valor posicional en términos de decenas y centenas. Durante algún
tiempo, el valor posicional es interpretado por los chicos en forma algorítmica, teniendo en
cuenta aspectos aditivos o multiplicativos. En esta etapa, el 26, por ejemplo, será
interpretado como 10 + 10 + 6, y luego como 2 veces 10 + 6.
Esta manera de pensar los números conduce a la producción de procedimientos donde
los números son pensados como totalidades, y en general, en ellos se van escribiendo los
pasos intermedios.
Veamos ejemplos de procedimientos originales realizados por alumnos de 31 grado frente
al problema de repartir una ganancia de $ 254 entre cuatro socios, o sea $ 254: 4.
11
Construir el sentido del número, o de un cierto dominio numérico, implica poder usar esos números en situaciones
significativas, donde los números funcionen como herramientas eficaces para resolver esas situaciones.
Las situaciones en que se pueden usar los números pueden ser comunicativas, comparativas o de cálculo. De tal modo,
poder efectuar cálculos en un cierto conjunto numérico contribuye al conocimiento y dominio de ese conjunto.
11
Analicemos los distintos tratamientos dados por los chicos al dividendo:
Johanna y Maia han elaborado procedimientos a partir del conteo 1 por 1, Johanna
manipulando palitos, Maia manipulando palitos y los números de la serie. Pensaron en
254 como 1 + 1 + ... o en 1, 2, 3, 4, ..., 254. Johanna contó lo que le dio a cada uno de los
socios, y Maia, que comenzó de la misma manera, buscó luego una cantidad que
duplicada dos veces estuviera cerca de 254.
Laura consideró un resultado aproximado que le fuera fácil sumar cuatro veces, y con la
cantidad restante, repartió contando bolitas de a 1. Es decir, que pensó en 254 como
totalidad descompuesta en dos partes aditivas 200 + 54.
Federico y Lionel pensaron en 254 como una totalidad y buscaron sumas o productos
sucesivos que se fueran acercando a la cantidad total por repartir.
12
Los procedimientos son distintos, además, porque: algunos llegan a un resultado, otros no
terminan la tarea propuesta, algunos llegan a un resultado aproximado y otros a un
resultado exacto; algunos comprueban su respuesta, otros no. También usan diferentes
operaciones para resolver este reparto y no todos han escrito la respuesta del problema.
Es evidente que esta diversidad de producciones necesita de un docente que vaya
interviniendo individualmente en forma distinta en cada situación. En algunos casos,
habrá que preguntar: ¿cuál es la respuesta?; en otros: ¿comprobaste si tu respuesta es
correcta?, o ¿la respuesta que escribiste corresponde a tu resultado?
Se propondrá luego la confrontación de los procedimientos. En una rueda grupal,
conducida por las preguntas del docente, cada uno explicará su procedimiento, cómo
llegó al resultado. Esto posibilitará a cada chico, frente al posible cuestionamiento de un
compañero, dar razones de por qué cree que su procedimiento es adecuado y por qué
cree que el resultado es correcto; es decir que deberá validar su procedimiento. También
llevará a evaluar el uso del lenguaje simbólico, si todos entienden cómo escribió su
procedimiento, si hay otras maneras de escribirlo, en qué son distintas su representación
y la de un compañero.
Como vemos en nuestro ejemplo, en un grupo de alumnos, en una misma clase, hay
respuestas muy diversas.
Todos aprovecharán de este intercambio grupal. El progreso en la comprensión y la
producción de los procedimientos se dará para cada chico de otra forma según cuál haya
sido su producción inicial. La intervención del docente no intentará borrar las diferencias,
sino que las reconocerá e intentará que cada alumno progrese desde sus
conceptualizaciones a otras más avanzadas.
Para ello, el docente podrá preguntar:
§ qué procedimientos llegaron a un resultado;
§ cuáles son los resultados exactos y cuáles son los aproximados;
§ cuál es el resultado exacto;
§ si es posible el resultado para esos datos;
§ cuáles fueron los valores de las cifras en los procedimientos que llegaron y
en los que no llegaron al resultado correcto;
§ cómo se usaron los signos para escribir cada una de las cuentas.
Finalmente, el docente deberá institucionalizar los conocimientos puestos en juego:
§ al dividir, las partes son iguales;
§ puede sobrar algo del reparto;
§ para dividir por 4 se puede dividir por 2, dos veces;
§ qué operaciones se usaron en los distintos procedimientos;
§ para dividir un número por otro, se puede dividir primero una parte y después
otra.
En otra clase, podrá proponer un problema que lleve a la profundización de alguna de las
conclusiones de la puesta en común. Por ejemplo:
§ La comprobación de una regla que haya sido usada por alguno de los
chicos, es decir probar si esa regla se cumple siempre. Para ello, habrá que
probar en otros casos, si se encuentra un ejemplo donde no se cumpla,
etcétera. En nuestro ejemplo, se podría tratar de probar alguna de las dos
conclusiones señaladas anteriormente (“para dividir por 4 se puede dividir por
2,...” y “para dividir un número por otro...”).
§ Cómo repartir lo que sobra (cuando no se le puede dar una unidad entera
más a cada uno).
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El procedimiento: ¿instrumento para resolver un problema, u objeto de reflexión?
En situaciones como la que hemos descripto, los procedimientos originales de los chicos
son un instrumento que elaboraron para llegar a una respuesta correcta. Pero los
procedimientos pueden ser también objeto de reflexión. Si junto a la producción del
procedimiento de cálculo, se pide a los alumnos que lo expliquen por escrito, cada chico
deberá pensar ¿qué hice?, ¿cómo lo hice?. Esto le hará tomar conciencia de qué es lo
que sabe, cuál es el conocimiento que tiene disponible, para luego apoyarse en lo que
sabe para obtener otros resultados. Explicar el procedimiento utilizado, implica empezar a
reflexionar sobre éste.12
Se podrán luego proponer también otras actividades en las que los procedimientos sean
objeto de reflexión. En ellas, se pueden presentar cálculos resueltos con distintos
procedimientos de una clase anterior para analizar cuáles son más económicos, o un
procedimiento incorrecto y proponer que se descubra si hay error y cómo se corrige;
también procedimientos tomados de la historia de la Matemática para descubrir qué
propiedades se usaron, y qué relación tiene esa manera de operar y su sistema de
numeración.
La reflexión sobre los procedimientos, unida a la búsqueda de un procedimiento de
resolución más económico, llevará a la comprensión del algoritmo usual, como así
también de las reglas de nuestro sistema de numeración.
Partir de un modelo de aprendizaje constructivista, implica no apuntar desde el principio al
saber acabado, y aceptar su carácter provisorio. Para ello, debemos tomar ciertos
“errores” sistemáticos de los chicos como parte del proceso, utilizándolos para avanzar en
la construcción de los procedimientos que mencionamos antes.
Graciela Chemello – Agosto de 1995
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Este tipo de actividades desarrolla en los alumnos una capacidad metacognitiva, es decir la posibilidad de tomar
conciencia “de lo que piensa, y de cómo lo piensa para que, a largo plazo, él mismo pueda pensado y modificarlo de
manera autónoma según sus necesidades”.
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