Racionalización de denominadores

Escuela Nacional Adolfo Pérez Esquivel – U.N.C.P.B.A.
3º año
Radicación – Operaciones con irracionales – Racionalización de denominadores
Recordando…
RADICACIÓN
Dado un número real a y un número entero positivo n, se llama raíz enésima de a
a otro número real x tal que x elevado a n es igual a a.
Simbólicamente:
∀ a ∈R , ∀ n∈N;
donde: n es el índice de la raíz
a es el radicando
;
;
n
a=x
⇔
xn = a
x es la raíz enésima de a
es el signo radical.
Signos: para calcular el signo de toda raíz debemos pensar siempre en la operación
contraria, la potenciación.
Ejemplos:
¾ 38 = 2
porque 23 = 8
¾ 5 − 32 = − 2
porque
¾
= −32
225 = ± 15 porque (15 )2 = 225 y (− 15 )2 = 225
¾ 6 64 = ± 2
¾
(− 2)5
porque (2)6 = 64 y (− 2)6 = 64
−36 no tiene solución real, porque 6 2 = 36 y ( −6 ) = 36
2
Ninguna raíz de índice par y radicando negativo tiene solución en R.
La radicación no es cerrada en R.
Por lo antedicho, podemos expresar la definición dada de la siguiente manera:
∀ a ∈R , ∀ n∈N;
n
a=x
⇔
xn = a
bajo la condición de que si n es par entonces a es mayor o igual a cero.
Para recordar: Propiedades de la radicación
∀ a , ∀ b , a ,b∈ R , ∀ m , ∀ n , m ,n ∈ N , m y n pares ⇒ a ≥ 0 y b ≥ 0 valen las
siguientes propiedades:
n m
Raíz de raíz
Propiedad
distributiva de la
radicación respecto
del producto
a =
n.m
a
3 2
La raíz de otra raíz es otra raíz
cuyo radicando es el mismo y
cuyo índice es el producto de
los índices dados.
m
a .b =
m
a.
m
b
La radicación de un producto
es igual al producto de las
Ing. María Beatriz Bouciguez - 1
64 = 3.2 64 = 6 64 = 2
Porque:
3
3 2
64 = 3 8 = 2
27 . 8 = 3 27 . 3 8 = 3.2 = 6
Porque:
3
27 . 8 = 3 216 = 6
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raíces de cada uno de los
factores.
m
m
Propiedad
distributiva de la
radicación respecto
de la división
m
a±b ≠
m
a±
m
Extracción de
factores de una raíz
Simplificación de
exponentes e índices
2
64 + 36 = 8 + 6 = 14
100
= 25 = 5
4
Porque:
b
64 + 36 ≠ 64 + 36
64 + 36 = 100 = 10
100
100 10
=
=
=5
4
2
4
La radicación de un cociente
(con denominador no nulo) es
igual a la raíz del numerador
dividida
por
la
raíz
del
denominador.
NO distributiva de la
radicación respecto a
la suma y a la resta
2
a
a
=
b mb
25 − 9 ≠ 25 − 9
25 − 9 = 16 = 4
Se descomponen en factores el
radical, se distribuye la raíz y se
simplifica los factores cuyos
exponentes sean múltiplos del
índice.
La potenciación y la radicación
por ser operaciones inversas.
Pueden simplificarse
exponentes con índices
cuando la base es positiva.
Se debe tener precaución
cuando se trabaja con números
negativos.
25 − 9 = 5 − 3 = 2
18 = 32.2 = 32 . 2 = 3 2
( 8)
3
6
Porque:
= 82 = 64
( 8)
3
2
Porque:
6
= 26 = 64
32 = 3
2
32 = 9 = 3
Si el índice y el exponente del radicando son iguales:
Ö La raíz es igual a la base de la potencia cuando el exponente es impar.
Ö La raíz es igual al valor absoluto de la base de la potencia cuando el
exponente es par
n
⎧⎪ a si n es par
an = ⎨
⎪⎩a si n es impar
OPERACIONES CON RADICALES
Radicales semejantes: Son aquellos radicales que tienen el mismo índice y el
mismo radicando.
Ejemplo: 7 19
y
− 5 19
son radicales semejantes cuyos coeficientes son 7 y – 5.
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Sumas algebraicas de radicales: La suma algebraica de radicales semejantes es
otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es la suma algebraica de los
coeficientes de los radicales dados.
Ejemplo:
Â
2 11 − 11 + 3 11 = 11 (2 − 1 + 3 ) = 4 11
Aplicando propiedades, se reducen los radicales de una expresión dada a radicales
semejantes para poder operar:
Â
Realizar la siguiente suma de radicales 3 − 216 + 8 3 40 =
Resolución
3 − 216
Factoreando los radicandos
+ 8 3 40 =
= −6 + 8 3 23 . 5 =
3
Aplicando propiedad de la radicación
= −6 + 8 23 . 3 5 =
Aplicando propiedad de la radicación
= −6 + 16 3 5
Cuando los radicales no se pueden reducir a radicales semejantes, la operación queda
indicada.
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Se llama racionalización de una expresión fraccionaria al procedimiento mediante
el cual se logra que el denominador sea un número racional.
Se consideran los siguientes casos:
1) El denominador es un número que contiene un radical
a) El radical es de índice 2
Â
Ejemplo:
3
7
¿Por qué número multiplicamos
Si multiplicamos a
7 por
7 para obtener un número racional?
7 obtenemos:
7 . 7 = 72 = 7
Entonces multiplicamos al numerador y al denominador por
dado y el denominador queda racionalizado.
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7 , no se altera el cociente
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b) El radical no es de índice 2
En este caso conviene multiplicar por otro radical del mismo índice que el del denominador,
de tal modo que en el radical que se obtenga, todos los exponentes de las potencias del
radicando sean múltiplo del índice.
Ejemplo:
Â
5
1
43
5
1
43
=
5
5
1
43
=
1
5
.
43
5
42
5
42
=
5
42
5
45
=
5 16
5
p
Â
3 a .p 6 . c 8
3
Multiplicamos numerador y denominador por
a2 . c . El exponente de b no se modifica pues
es múltiplo de 3.
p
3 a .p 6 . c 8
=
p
.
3 a2 c
3 a .p 6 . c 8 3 a 2 c
=
p . 3 a2 c
3 a3 p6 c 9
=
p 3 a2 c
a .p 2 . c 3
=
3 a2 c
a .p . c 3
2) El denominador es un binomio que contiene radicales cuadráticos
Ejemplos:
Â
6
denominador irracional
7− 3
Para obtener un número racional, multiplicamos numerador y denominador por
(conjugado de
7− 3)
Utilizando el resultado: (a + b)·(a – b) = a2 – b2, obtenemos:
2
7− 3
=
2
7− 3
.
7+ 3
7+ 3
=
(
) = 2( 7 + 3) = ( 7 + 3 )
2
( 7 )2 − ( 3 )2 7 − 3
2 7+ 3
denominador racional
Â
1 − 11
1 + 11
denominador irracional
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7+ 3
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1 − 11
1 + 11
=
(
)2
( )
( )2 =
1 − 11 1 − 11
1 − 11
1 − 2 11 + 11
.
=
=
2
1 − 11
1 + 11 1 − 11 12 − 11
=
1 − 2 11 + 11 12 − 2 11 − 6 + 11
=
=
− 10
− 10
5
Â
Racionalice cada una de las siguientes expresiones fraccionarias:
1)
2
3
4
=
3
4)
3− 2
y x
7)
2)
3
y
2
=
=
3
5+ 3
=
2
5)
3
denominador racional
2 +1
3)
=
⎛ 1 + 4 8 ⎞ 4 −1
⎜
⎟
⎜ 2 ⎟. 8 =
⎝
⎠
8)
6)
2
(
)=
2 −1
2 −2
3 2− 6
(
6 2 3+ 3
2− x
9) 2 −
Ing. María Beatriz Bouciguez - 5
2+ x
=
)=