Por ejemplo, supongamos que queremos hallar el máximo de la función y = - x2, una parábola invertida con el máximo en x = 1. En este caso, el único parámetro del problema es la variable x. La optimización consiste en hallar un x tal que F(x) sea máximo. Crearemos, pues, una población de cromosomas, cada uno de los cuales contiene una codificación binaria del parámetro x. Lo haremos de la forma siguiente: cada byte, cuyo valor está comprendido entre 0 y 255, se transformará para ajustarse al intervalo [-1,1], donde queremos hallar el máximo de la función. Valor binario Decodificación Evaluación f(x) 10010100 21 0,9559 10010001 19 0,9639 101001 -86 0,2604 1000101 -58 0,6636 El fitness determina siempre los cromosomas que se van a reproducir y aquellos que se van a eliminar, pero hay varias formas de considerarlo para seleccionar la población de la siguiente generación: • Usar el orden, o rango y hacer depender la probabilidad de permanencia o evaluación de la posición en el orden. • Aplicar una operación al fitness para escalarlo; como por ej emplo, el escalado sigma. En este esquema el fitness se escala. • En algunos casos, el fitness no es una sola cantidad, sino diversos números, que tienen diferente consideración. Basta con que tal fitness forme un orden parcial, es decir, que se puedan comparar dos individuos y decir cuál de ellos es mejor. Esto suele suceder cuando se necesitan optimizar varios objetivos. Una vez evaluado el fitness, se tiene que crear la nueva población teniendo en cuenta que los buenos rasgos de los mejores se transmitan a ésta. Para ello, hay que seleccionar una serie de individuos encargados de tan ardua tarea. Esta selección y la consiguiente reproducción, se pueden hacer de dos formas principales: • Basado en el rango: En este esquema se mantiene un porcentaje de la población, generalmente la mayoría, para la siguiente generación. Se coloca toda la población por orden de fitness y los M menos dignos son eliminados y sustituidos por la descendencia de alguno de los M mejores con algún otro individuo de la población. A este esquema se le pueden aplicar otros criterios; por ejemplo, se crea la descendencia de uno de los paladines / amazonas, y ésta sustituye al más parecido entre los perdedores. Esto se denomina crowding y fue introducido por DeJong. En nuestro caso, se eliminaría el cromosoma número 3 y se sustituiría por un descendiente del cromosoma número 2 y otro aleatorio, escogido entre el 1 y el 4. En realidad, para este esquema se escoge un crowding factor, CF. Cuando nace una nueva criatura, se seleccionan CF individuos de la población, y se elimina al más parecido a la nueva criatura. Una variante 6! 1 de éste es el muestreado estocástico universal, que trata de evitar que los individuos con más fitness copen la población; en vez de dar la vuelta a una ruleta con una ranura, da la vuelta a la ruleta con N ranuras, tantas como la población; de esta forma, la distribución estadística de descendientes en la nueva población es más parecida a la real. • Rueda de ruleta: Se crea un pool genético formado por cromosomas de la generación actual, en una cantidad proporcional a su fitness. Si la proporción hace que un individuo domine la población, se le aplica alguna operación de escalado. Dentro de este pool, se cogen parejas aleatorias de cromosomas y se emparejan, sin importar incluso que sean del mismo progenitor (para eso están otros operadores, como la mutación). Hay otras variantes: por ejemplo, en la nueva generación se puede incluir el mejor representante de la generación actual. En este caso, se denomina método elitista. • Selección de torneo: Se escogen aleatoriamente un número T de individuos de la población, y el que tiene puntuación mayor se reproduce, sustituyendo su descendencia al que tiene menor puntuación. Crossover Consiste en el intercambio de material genético entre dos cromosomas (a veces más, como el operador orgía propuesto por Eiben et al.). El crossover es el principal operador genético, hasta el punto que se puede decir que no es un algoritmo genético si no tiene crossover y sin embargo, puede serlo perfectamente sin mutación, según descubrió Holland. El teorema de los esquemas confía en él para encontrar la mejor solución a un problema, combinando soluciones parciales. Para aplicar el crossover, entrecruzamiento o recombinación, se escogen aleatoriamente dos miembros de la población. No pasa nada si se emparejan dos descendientes de los mismos padres; ello garantiza la perpetuación de un individuo con buena puntuación (además, algo parecido ocurre en la realidad; es una práctica utilizada, por ejemplo, en la cría de ganado, llamada inbreeding y destinada a potenciar ciertas características frente a otras). Sin embargo, si esto sucede demasiado a menudo, puede crear problemas: toda la población puede aparecer dominada por los descendientes de algún gen, que, además, puede tener caracteres no deseados. Esto se suele denominar en otros métodos de optimización atranque en un mínimo local y es uno de los principales problemas con los que se enfrentan los que aplican algoritmos genéticos. En cuanto al teorema de los esquemas, se basa en la noción de bloques de construcción. Una buena solución a un problema está constituida por unos buenos bloques, igual que una buena máquina está hecha por buenas piezas. El crossover es el encargado de mezclar bloques buenos que se encuentren en los diversos progenitores, y que serán los que den a los mismos una buena puntuación. La presión selectiva se encarga de que sólo los buenos bloques se perpetúen, y poco a poco vayan formando una buena solución. El teorema de los esquemas viene a decir que la cantidad de buenos bloques se va incrementando con el tiempo de ejecución de un algoritmo genético y es el resultado teórico más importante en algoritmos genéticos. 612 El intercambio genético se puede llevar a cabo de muchas formas, pero hay dos grupos principales: • Crossover n-puntos: Los dos cromosomas se cortan por n puntos y el material genético situado entre ellos se intercambia. Lo más habitual es un crossover de un punto o de dos puntos. 1 • 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 Crossover uniforme: Se genera un patrón aleatorio de unos y ceros y se intercambian los bits de los dos cromosomas que coincidan donde hay un 1 en el patrón. O bien, se genera un número aleatorio para cada bit y si supera una determinada probabilidad se intercambia ese bit entre los dos cromosomas. @ 1 0 0 0 1 0 CO 0 ©/——N/"—\ ® @ ©@®@ 10 1 0 0 0 0 1 0 0 1 (o) 1 0 0 0 10 0 Co) 0 613 • Crossover especializado: En algunos problemas, se debe aplicar aleatoriamente el crossover, el cual da lugar a cromosomas que codifican soluciones inválidas; en este caso hay que aplicar el crossover de forma que genere siempre soluciones válidas. Un ejemplo de estos son los operadores de crossover usados en el problema del viajante. Mutación En la evolución, una mutación es un suceso bastante poco común (sucede aproximadamente una de cada mil replicaciones). En la mayoría de los casos las mutaciones son letales, pero en promedio, contribuyen a la diversidad genética de la especie. En un algoritmo genético tendrán el mismo papel y la misma frecuencia, es decir, muy baja. Una vez establecida la frecuencia de mutación, por ejemplo, uno por mil, se examina cada bit de cada cadena cuando se vaya a crear la nueva criatura a partir de sus padres (normalmente se hace de forma simultánea al crossover). Si un número generado aleatoriamente está por debajo de esa probabilidad, se cambiará el bit (es decir, de 0 a 1 o de 1 a 0). Si no, se dejará como está. Dependiendo del número de individuos que haya y del número de bits por individuo, puede resultar que las mutaciones sean extremadamente raras en una sola generación. No hace falta decir que no conviene abusar de la mutación. Es cierto que es un mecanismo generador de diversidad y por tanto, la solución cuando un algoritmo genético está estancado, pero también es cierto que reduce el algoritmo genético a una búsqueda aleatoria. Siempre es más conveniente usar otros mecanismos de generación de diversidad, como aumentar el tamaño de la población o garantizar la aleatoriedad de la población inicial. Este operador, junto con la anterior y el método de selección de ruleta, constituyen un algoritmo genético simple (AGS) introducido por Goldberg. Otros operadores No se usan en todos los problemas, sino sólo en algunos y en principio su variedad es infinita. Generalmente son operadores que exploran el espacio de soluciones de una forma más ordenada y que actúan más en las últimas fases de la búsqueda, en la cual se pasa de soluciones "casi buenas" a "buenas" soluciones. Entre los operadores más empleados se encuentran los cromosomas de longitud variable, los operadores de nicho (ecológico) y los operadores especializados. C r o m o s o m a s de longitud variable Hasta ahora se han descrito cromosomas de longitud fija, donde se conoce de antemano el número de parámetros de un problema. Pero hay problemas en los que esto no sucede. Por ejemplo, en un problema de clasificación, donde dado un vector de entrada, queremos agruparlo en una serie de clases, podemos no saber siquiera cuántas clases hay. O en diseño de redes neuronales, puede que no 614 se sepa (de hecho, nunca se sabe) cuántas neuronas se van a necesitar. Por ejemplo, en un perceptrón hay reglas que dicen cuántas neuronas se deben utilizar en la capa oculta; pero en un problema determinado puede que no haya ninguna regla heurística aplicable; tendremos que utilizar los algoritmos genéticos para encontrar el número óptimo de neuronas. En este caso, si utilizamos una codificación fregona, necesitaremos un locus para cada neurona de la capa oculta y el número de locus variará dependiendo del número de neuronas de la capa oculta. En estos casos, necesitamos dos operadores más: añadir y eliminar. Estos operadores se utilizan para añadir un gen o eliminar un gen del cromosoma. La forma más habitual de añadir un locus es duplicar uno ya existente, el cual sufre mutación y se añade al lado del anterior. En este caso, los operadores del algoritmo genético simple (selección, mutación, crossover) funcionarán de la forma habitual, salvo, claro está, que sólo se hará crossover en la zona del cromosoma de menor longitud. Estos operadores permiten, además, crear un algoritmo genético de dos niveles: a nivel de cromosoma y a nivel de gen. Supongamos que, en un problema de clasificación, hay un gen por clase. Se puede asignar una puntuación a cada gen en función del número de muestras que haya clasificado correctamente. Al aplicar estos operadores, se duplicarán los alelos con mayor puntuación y se eliminarán aquellos que hayan obtenido menor puntuación o cuya puntuación sea nula. Por ejemplo, en un problema de clasificación en el que hay que clasificar los puntos del cuadrado [0,10] x [0,10] en dos clases, 1 y 2, que no son linealmente separables. Inicialmente se desconoce cuántos vectores son necesarios para clasificar estas clases. El algoritmo genético es capaz de hallar un número óptimo de vectores, a cada uno de los cuales se asigna una etiqueta de clase, tales que el error se hace mínimo, en este caso 4 vectores para la primera clase y 5 para la segunda clase. Cada cromosoma estará compuesto por un diccionario o conjunto de vectores, cada uno de los cuales tiene asignada una etiqueta de clase. O p e r a d o r e s d e N i c h o (Ecológico) Otros operadores importantes son los operadores de nicho. Estos operadores están encaminados a mantener la diversidad genética de la población, de forma que cromosomas similares sustituyan sólo a cromosomas similares y son especialmente útiles en problemas con muchas soluciones; un algoritmo genético con estos operadores es capaz de encontrar todos los máximos, dedicándose cada especie a un máximo. Más que operadores genéticos, son formas de enfocar la selección y la evaluación de la población. Una de las formas de llevar esto a cabo ya ha sido nombrada, la introducción del crowding (apiñamiento). Otra forma es introducir una función de compartición o sharing, que indica cuán similar es un cromosoma al resto de la población. La puntuación de cada individuo se dividirá por esta función de compartición, de forma que se facilita la diversidad genética y la aparición de individuos diferentes. También se pueden restringir los emparejamientos, por ejemplo, a aquellos cromosomas que sean similares. Para evitar las malas consecuencias del inbreeding que suele aparecer en poblaciones pequeñas, estos periodos se intercalan con otros períodos en los cuales el emparejamiento es libre. 615 Operadores especializados En una serie de problemas hay que restringir las nuevas soluciones generadas por los operadores genéticos, pues no todas las soluciones generadas van a ser válidas, sobre todo en los problemas con restricciones. Por ello, se aplican operadores que mantengan la estructura del problema. Otros operadores son simplemente generadores de diversidad, pero la generan de una forma determinada: • Zap: En vez de cambiar un solo bit de un cromosoma, cambia un gen completo de un cromosoma. • Creep: Este operador aumenta o disminuye en 1 el valor de un gen; sirve para cambiar suavemente y de forma controlada los valores de los genes. • Transposición: Similar al crossover y a la recombinación genética, pero dentro de un solo cromosoma; dos genes intercambian sus valores, sin afectar al resto del cromosoma. Similar a éste es el operador de eliminación-reinserción, en el que un gen cambia de posición con respecto a los demás. A p l i c a n d o O p e r a d o r e s Genéticos En toda ejecución de un algoritmo genético hay que decidir con qué frecuencia se va a aplicar cada uno de los algoritmos genéticos; en algunos casos, como en la mutación o el crossover uniforme, se debe de añadir algún parámetro adicional, que indique con qué frecuencia se va a aplicar dentro de cada gen del cromosoma. La frecuencia de aplicación de cada operador estará en función del problema; teniendo en cuenta los efectos de cada operador, tendrá que aplicarse con cierta frecuencia o no. Generalmente, la mutación y otros operadores que generen diversidad se suele aplicar con poca frecuencia; la recombinación se suele aplicar con frecuencia alta. En general, la frecuencia de los operadores no varía durante la ejecución del algoritmo, pero hay que tener en cuenta que cada operador es más efectivo en un momento de la ejecución. Por ejemplo, al principio, en la fase denominada de exploración, los más eficaces son la mutación y la recombinación; posteriormente, cuando la población converge en parte, la recombinación no es útil, pues se está trabajando con individuos bastante similares y es poca la información que se intercambia. Sin embargo, si se produce un estancamiento, la mutación tampoco es útil, pues está reduciendo el algoritmo genético a una búsqueda aleatoria y hay que aplicar otros operadores. En todo caso, se pueden usar operadores especializados. El Z e n y los A l g o r i t m o s G e n é t i c o s Este es el título de un artículo que publicó Goldberg en la conferencia sobre algoritmos genéticos celebrada en el año 1989 (ICGA 89), en donde da una serie de consejos para que se apliquen los algoritmos genéticos debidamente y avisa a aquellos que se quieren apartar de la ortodoxia. Deja que la naturaleza sea tu guía: Dado que la mayoría de los problemas a los que se van a aplicar los algoritmos genéticos son de naturaleza no lineal, es mejor actuar como lo hace la naturaleza, aunque intuitivamente pueda parecer la forma menos acertada. Si queremos desarrollar sistemas no lineales que busquen y aprendan, mejor que comencemos (como mínimo) imitando a sistemas que funcionan (Goldberg). Estos sistemas se encuentran en la naturaleza. 616 Cuidado con el asalto frontal: Aveces se plantea el problema de pérdida de diversidad genética en una población de cromosomas. Hay dos formas de resolver este problema: aumentar el ritmo de mutación, lo cual equivale a convertir un algoritmo genético en un algoritmo de búsqueda aleatoria, o bien introducir mecanismos como el sharing, por el cual el fítness de un individuo se divide por el número de individuos similares a él. Este segundo método, más parecido al fúncionamiento de la naturaleza, en el cual cada individuo, por bueno que sea, tiene que compartir recursos con aquellos que hayan resuelto el problema de la misma forma, funciona mucho mejor. Otro caso que surge a menudo en los grupos de discusión es el tratar de optimizar AGs mediante AGs; es mucho mejor tratar de entender el problema que acercarse a él de esta manera. Respeta la criba de esquemas: Para ello, lo ideal es utilizar alfabetos con baja cardinalidad (es decir, con pocas letras) como el binario. No te fíes de la autoridad central: La naturaleza actúa de forma distribuida, por tanto, se debe minimizar la necesidad de operadores que "vean" a la población. Ello permite, además, una fácil paralelización del algoritmo genético. Por ejemplo, en vez de comparar el fitness de un individuo con todos los demás, se puede comparar sólo con los vecinos, es decir, aquellos que estén, de alguna forma, situados cerca de él. Software El software que más se utiliza para trabajar con algoritmos genéticos actualmente es: Gwin2, Algoritmo Genético Interactivo en Java, TSP Solver, RISK Optimizer y Evolver, entre otros. Gwin2: Aparece en casi todos los sitios como WinGA, es un programa que permite ejecutar algoritmos genéticos simples, cambiar sus parámetros y que incluso admite ampliaciones mediante la programación de nuevas funciones en Pascal. Fue realizado por I.R. Munro, de la Universidad de Hertfordshire. Está disponible en la página web Zooland, y en el sitio ftp del autor. Algoritmo Genético Interactivo en Java: En esta página Web, situada en el sitio denominado Evolvica (universidad de Erlangen), al cual se puede acceder desde la página de aplicaciones evolutivas en Java, http://www.systemtechnik.tu-ilmenau.de/~pohlheim/EA_Java/ea_java.html, se ejecuta un algoritmo genético interactivo. Para ello, es necesario acceder a la dirección Web — mediante un browser que admita Java, como el Netscape Navigator 2 o el Internet Explorer 3. TSP Solver: Este programa permite cambiar parámetros como el tamaño de la población, las tasas de inversión y de mutación y el número "élite" que obtendrá la convergencia del problema a una solución más o menos rápida. RISK Optimizer: Utiliza la Simulación de Monte Cario para seleccionar datos y aplica después los algoritmos genéticos. Evolver: Aplica directamente los algoritmos genéticos, sus mutaciones y variables, directamente sobre los datos propuestos. 617 ALGORITMOS MEMÉTICOS Son procedimientos basados en la población y se han mostrado con técnicas más rápidas que los Algoritmos Genéticos para algunos tipos de problemas. Básicamente combinan procedimientos de Búsqueda Local con operadores de cruce o mutación, por lo que algunos investigadores los han visto como Algoritmos Genéticos Híbridos o Algoritmos Genéticos Paralelos o Métodos de Búsqueda Local genética. El método, descrito originalmente en el trabajo de Moscato (1989), está ganando amplia aceptación en particular en los conocidos problemas de Optimización combinatoria, donde grandes problemas se han solucionado en forma óptima y donde otros metaheurísticos han fallado. Un reciente tutorial sobre meméticos puede encontrarse en Moscato y Cotta (2001). COLONIA DE HORMIGAS Estableciendo una observación a la naturaleza con respecto al comportamiento de las hormigas, donde éstas se comunican por medio de una sustancia química llamada Feromona, para encontrar el mejor camino entre el nido y el alimento, en el último tiempo se ha empezado a estudiar el An Colony System (ACS), es decir, los sistemas de colonias de hormigas, basados en el comportamiento de las hormigas reales, de acuerdo a su conducta colectiva. Lo que se pretende es trabajar en el computador con métodos de simulación para encontrar el camino más corto entre sus nidos y las fuentes de alimentación, lo cual se guarda en la denominada matriz de feromonas Dorigo y Gambardella (1997). PARTÍCULAS SWARM Este método de optimización se basa en el comportamiento grupal de algunos animales, tales como una bandada de pájaros, un cardumen de peces o un enjambre de abejas. Este algoritmo de solución se genera a partir de dicha población y la manera como se comportan frente a determinadas situaciones, o sea, como enfrentan la dificultad. Este algoritmo conocido como Particles Swarm (PS), es decir, nube de partículas, trabaja de la siguiente manera: cada uno de estos grupos de animales busca comida y no sabe dónde está, ninguno de los individuos sabe dónde está la comida, pero conocen la distancia a la misma; la alternativa más eficiente es seguir al individuo que se encuentra más cerca de la comida. Kennedy y Eberhart (1995). Algunas aplicaciones del algoritmo de la nube de partículas corresponden a diversos problemas multidimensionales, identificación de procesos, optimización de funciones numéricas, entrenamiento de redes neuronales, entre otros. 618 EJERCICIOS RESUELTOS I • ¿ Q u é se e n t i e n d e por b a c k p r o p a g a t i o n y cuál es la i m p o r t a n c i a de la red b a c k p r o p a g a t i o n ? Las redes de r e t r o p r o p a g a c i ó n o redes de p r o p a g a c i ó n hacia atrás h a c e n referencia a un a l g o r i t m o de a p r e n d i z a j e más q u e a una arquitectura d e t e r m i n a d a . La r e t r o p o p a g a c i ó n consiste en p r o p a g a r el e r r o r hacia atrás, es decir, de la capa de salida hacia la capa de e n t r a d a , p a s a n d o por las capas ocultas intermedias y a j u s f a n d o los pesos de las conexiones con el fin de reducir d i c h o error. La i m p o r t a n c i a d e la r e d b a c k p r o p a g a t i o n consiste e n su c a p a c i d a d d e o r g a n i z a r u n a r e p r e s e n t a c i ó n i n t e r n a del c o n o c i m i e n t o en las capas ocultas de n e u r o n a s , a f i n de a p r e n d e r la relación q u e existe entre u n c o n j u n t o de entradas y salidas. 9 ¿ Q u é p r o b l e m a s de clasificación se p u e d e n resolver con una n e u r o n a ? U n a n e u r o n a sólo p u e d e hacer una separación lineal en el espacio de entradas. C u a n d o este espacio es de dos d i m e n s i o n e s , esta separación lineal consiste en una recta q u e separa dos semiespacios; c u a n d o es de tres dimensiones, consistirá en un plano que separa dos semiespacios, y, en g e n e r a l , c u a n d o es de N dimensiones, consistirá en un espacio de N - l d i m e n s i o n e s q u e d i v i d e el espacio de N d i m e n s i o n e s en dos. 3 * ¿ Q u é papel d e s e m p e ñ a el u m b r a l de activación de una n e u r o n a ? D e s e m p e ñ a el papel de fijar el nivel del potencial de acción eléctrico q u e se d e b e alcanzar para p r o v o c a r un d i s p a r o o u n a activación en una n e u r o n a o en un n o d o de u n a red artificial, c o m o consecuencia de un pulso de potencial de acción excitatorio. A ^F» ¿ Q u é es un p e r c e p t r ó n multicapa? ¿ Q u é estructura tiene? ¿ C ó m o se o b t i e n e su salida ? U n p e r c e p t r ó n es una red con a l i m e n t a c i ó n hacia a d e l a n t e , c o m p u e s t a de varias capas de n e u r o n a s entre la e n t a d a y la salida de la m i s m a ; esta red p e r m i t e establecer regiones de decisión m u c h o más c o m p l e j a s q u e las de dos semiplanos, c o m o lo hace el p e r c e p t r ó n de un solo nivel. 5 • ¿Cuál es la diferencia entre m o d e l o s n e u r o n a l e s y a l g o r i t m o s neuronales? Los m o d e l o s n e u r o n a l e s r e s p o n d e n a la f o r m a y los a l g o r i t m o s neuronales a c ó m o a p r e n d e n las redes neuronales. 619 EJERCICIOS PROPUESTOS I • Si se tiene la siguiente red neuronal; calcular su salida al aplicarle como entradas los vectores (1 0 2 1 2) T y (1 o 0 1 0) T, considerando: a. Función de activación lineal (identidad) en las dos capas. b. Función de activación binaria {0,1} en las dos capas, suponiendo que el valor umbral es 3 2 • Si se tiene la siguiente red neuronal: Considerando como función de activación para todas las neuronas la función lineal f (X)=2 X, calcular la salida de la red para el patrón de entrada X = (-3 1 4 2)T 620 3. Dados los siguientes padres: 621 APÉNDICE INTRODUCCIÓN Presentamos a continuación algunos programas de computador que nos permiten resolver de una manera más práctica la mayoría de problemas que se presentan en Investigación de Operaciones. CALCULADORAS Inicialmente se muestra un pseudoprograma en calculadora científica (por ejemplo Casio, Hewlett Packard y Texas Instruments, entre otras) para solucionar los tableros del algoritmo Simplex: ? —>A: ? —>B: ?—> C: ? D:(A-((B*C) -D)) 0 donde A corresponde al dato antiguo, B y C son las proyecciones y D es el elemento pivote; un cálculo será el siguiente: ?1 ?2 ?3 ?4 En la pantalla aparecerá - 0,5 COMPUTADOR Paquetes WINQSB: Comenzamos con el WINQSB (Quantitative Systems Business para Windows) Versión 1.0 de Yih - Long Chang, el cual resuelve Análisis de Muestreo de Aceptación, Planeación Agregada, Análisis de Decisión, Programación Dinámica, Problemas de Localización y Esquemas, Pronósticos, Programación Meta, Teoría de Sistemas de Inventarios, Planificación del Trabajo, Programación Lineal y Entera, Procesos de Markov, Planeación de Requerimiento de Materiales, Modelos de Redes, Programación No Lineal, PERT - CPM, Programación Cuadrática, Cartas de Control de Calidad, Análisis de Colas y Simulación en Sistemas de Colas. 623 Empezamos con la introducción de un modelo de Programación Lineal en la primera plantilla: MIN W = 2,5 X¡ + 2 X 2 Con sus restricciones: 1. 6 X, + 3 X 2 > 200 2. 3 X| + 5 X 2 > 180 X,, X 2 > 0 * * En la segunda plantilla podemos observar la solución gráfica: Xj = 21,9; * X 2 = 22,86 y * W* = 100,48 y en la tercera plantilla aparece la solución analítica X] = 22; X 2 = 23 y W* = 101, estos resultados los aproxima el programa. En la plantilla cuatro se plantea un problema de Programación Meta: MIN W = 3 X 2 + 2 X 3 MAX Z = 10 X, + 9 X 2 + 8 X 3 Sujetas a: 1. x , -f X2 2. 3. x , -f 4. 3 X, > 30 X2 + x3 > 50 x2 + x3 < 80 + 2X3 < 120 X,,1 X 2 , x 3 > 0 * * * En la plantilla cinco se encuentra la solución X] = 16; X 2 = 14; X 3 = 36; W* = 114; Z* = 574. En la plantilla seis se plantea un problema de PERT - CPM y en la plantilla siete se consigue el camino crítico, el cual corresponde a la ruta CFJL con una duración de 33,83 días. En la plantilla ocho se plantea un problema de inventarios donde está la demanda, el costo inicial y las unidades; en la plantilla nueve encontramos el resultado: costo de arranque del tamaño de lote mes 1: 57, mes 2: 57, mes 4: 57 y mes 6: 14 unidades con un costo total de $1170. En la plantilla diez se escribió el planteamiento de un problema de colas de un servidor, la rata de llegadas por hora, la rata de servicios por hora y los costos. En la plantilla once se encuentran los 624 resultados: cantidad de personas en el sistema, cantidad de personas en la cola, tiempo esperado en el sistema, tiempo esperado en la cola, probabilidad de estar ociosos los servidores, probabilidad de tener que esperar una persona cuando llega, entre otros. En la plantilla doce hay un problema de simulación en sistemas de colas con cinco estaciones, seis buffers y los sitios iniciales de arranque; luego de la simulación se obtiene un tiempo actual de 100,22 horas con 4,3 observaciones en la plantilla trece. En la plantilla catorce se presenta un problema de Programación No Lineal: MIN W = X? + 2 X, X 2 + 2Xf + X^ - X 2 X 3 + X] + 3 X 2 - X 3 Con sus restricciones: 0 ^ X, < 100 0 ^ x 2 < 200 0 ^ x 3 < 300 0 Xj, x 2 ,,X 3 > La solución la encontramos en la plantilla quince: X* =0; X 2 = 0 ; X 3 =0,5341; W* = -0,2488. En la plantilla dieciséis tenemos un problema de Programación Dinámica, con las siguientes unidades disponibles para los ítems A, B, C y D 5, 3,4 y 2 respectivamente y una capacidad de 20 unidades y con capacidad 10, 6, 3 y 5 unidades requeridas respectivamente. En la plantilla diecisiete encontramos la respuesta: 0, 2, 1 y 1 para los ítems A, B, C y D con un valor de 31 unidades. 625 PLANTILLA 25 626 PLANTILLA 25 I Linear and integer Programming fite fmmt Retins Utto WrAw Help »»'a nil in ¿IUÏ HP? Ü Combined Repot I lor IIP Sample Prohlem ] 22:32:31 | Decision j Solution Variable ; Vakie 01 Sunday ! ] December Unit Coti or Total Profit c(jj Contribution •» [ 2003 Reduced Cott Satis Status 1 XI 22,0000 2.5000 55.0000 2.5000 at bound « X2 23,0000 2.0000 46.0000 2,0000 at bound Objective Function (Min ) - 101.0000 Constraint Lett Hand Side Direction 1 CI 201,0000 200,0000 1.0000 0 2_ C2 181,0000 180.0000 1.0000 0 Right Hand Slack Side CM Surplus Shadow Price Combined Report lot IIP Sample Problem ¡Result* PLANTILLA 4 ¿fp linear and Integer Goal F File Ed* fgmai Solve and Anafore ; jfljfties Wridov* WrQSB Help HZZZM1HI H 6P Sample Problem •e G1 : A Variable - > A I MinGI Max:G2 C1 » I C J 3 2 10 3 8 1 1 C2 1 C3 1 C4 3 1 j R. H. S. 36 1 >- 50 1 80 2 120 LowerBound 0 0 0 UpperBound M M M Continuous Continuous Continuous Variable Type Direction 627 PLANTILLA 25 PLANTILLA 6 628 PLANTILLA 25 PLANTILLA 8 629 PLANTILLA 13 M Inventory Theory and £ file forma* gesults Ußte* (¿eip EC JE m iJDtlsl ô.Oû laiEi & t o i Sizing for Inventory Probtet« Expected Production 12-09-2003 month Demand (Lot S we J Setup! Inventory fruirà) 1 20,0000 57,0000 0 7,0000 24.0000 40.0000 57,0000 Ye« 4 30.0000 57.0000 Yes 35.0ÛCMJ 14.0000 Ye* Solution Method: EQQ 6 ^ 23 > $ @ 3 30.0000 0 0 $ 386,00 0 t 400,00 0 t 706.00 0 11.035.00 SI ,0000 21.0000 0 % T077.00 0 0 $ 1 170.00 Total Cost .1 $ 1 170.00 37.0000 No 3 No Cumulative Cost « Yes 30.0000 5 jBlmuu»! L 2 £ xpected Back or der gjAPgNDlCE • Miciosol | ^Graphic* Se;vet PLANTILLA 10 [ [ ^ I n v e n t o r y Theory ... 0116am. PLANTILLA 25 PLANTILLA 12 631 PLANTILLA 13 IB UBBII JFLM^cmJ ;: ^ 3S? > S Q .-.lai filli]dal *j| 1]APÉNDÍCE PLANTILLA 14 |¡i Nonlinear Programming £te Ed* Formal Jk^eandÁn^ze : X «fe! .CE* Wies Whdw V/r^SB Help EES A |"I"| a 1 a |Df j a l L É R L E M B "" W Ì « < 1 o I F a i NLP Sample Probiere Mimt»« e ÜI "2*2X1 *X2-*2X2~2*X3"2-X2"X3*X1 •3X2-X3 OBJ / Conslrain* / Variable Bound Mimmi? e XI X 1 "2+2X1 *X2+2X2"2+X3~2~X2"X3*X1 +3X2-X3 — — — X2 >«0, <-200 X3 >«0. < - 3 0 0 ;|B Inicio I & & > £*- Q 3 ^Graphem Serv* | IjAPÉNDICE - Mkwsot | p V o p r a Q* ¿Sim PLANTILLA 13 PLANTILLA 16 PLANTILLA 25 Dynamic Programming Fife Format Besufcs yfcfcies Wnidow Help Oí 0.00 A B- Solution fot QSB P. 112: Knapsack Problem 1203-2003 Stage Item Decision Return Total Hem Name Quantity (X) Function Return Value 8a Tot of igS inicio) ; Return 0 4c 20 4 7d 7 10b Value » Jgj M f § Q : ^APÉNDICE Mbrosst] % Graphic* Server Capacity Celt mam 20 8 5 0 CPU « 0,01 [ [ ^ D y n a m i c Program.. 08:48 pm LINDO A continuación presentamos el programa LINDO (Linear INteractive Discrete Optimizer) de Lindo Systems Release 6.00. En la plantilla dieciocho escribimos un problema de Programación Lineal: MAX Z = 200 X, + 240 X 2 Sujeta a: 1. 6 X] + 12 X 2 < 120 2. 8 X ! + 4X2 < 64 X,,X2 > 0 En la plantilla diecinueve encontramos la solución: X* = 4 ; X 2 = 8; Z* = 2720. 634 PLANTILLA 25 MAX 200 XI + 240 X2 ST 6X1+ 12X2 <=120 8X1 + 4 X2 <= 164 XI,X2 >= 0 jj mi™*>\ S : IjAPÉNDiCE -M*mSoHWc.d[|^LlNÖO - l<unt*ted>j jj 2>>,f @ 05:48 am PLANTILLA 19 aPUNDO [Repenti Window J LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) i 2720.000 VARIABLE X1 X2 X1,X2 VALUE 4.000000 8.000000 0,000000 REDUCED COST 0.000000 0,000000 0,000000 ROW SLACK OR SURPLUS 2) 0.000000 3) 4) 0,000000 0.000000 DUAL PRICES 15,555555 13.333333 I 0.000000 NO. ITERATIONS* jJ „^-.f ' Inicio I # S 13 > # § 9 ij] APÉNDICE • Microwft WordH^UNDO - fRep^ WL J>4 05.53 am 635 MATHEMATICA Continuamos con el programa Mathematica de Wolfram Research Versión 3.0; inicialmente en la plantilla veinte copiamos y resolvemos el siguiente problema de Programación Lineal: MAX Z = 400 Xj + 200 X 2 Con sus restriccciones: 1. 18 X, + 3 X 2 < 800 2. < 600 3. 9 X, + 4 X 2 X] ^ 4. 80 X2 ^ 150 X b X2 > 0 La respuesta encontrada con la función ConstrainedMax es X, = 0; X2= 150; Z* = 30000y la solución con LinearProgramming es X* = 0; X2 = 150; se debe notar que con esta última función sólo se encuentran los valores de las variables, no el de la función objetivo; además como esta función sólo resuelve problemas de minimización con restricciones de la forma > se multiplicaron por ( - 1) los vectores b y c y la matriz m. PLANTILLA 20 ipj xj «r>ni * A ss Consttainedftlax(400 X1 + 200 X2, {18 X1 + 3 X2 <*= 800, 9 X1 • 4 X2 «« 600, X1 <^80, X2 <* 150}, {X1, X2|l Omni« (30000, {XI 0. X2 150» tn{t2]» B « LínearPrograrnrninglc, m, bj c^ {400, 200); m -{{18, 3), {9,4|, {1.0}, {0, b ^{800, 600,80,150}; UnearPraijramrning(<~1) * c, (~1)*m, <~1)*b} 10,150} S ¿á > # # Z2 636 Mathematica - {Unt*!.. #Mathematica Kemé A 1L26 p. ra /sT UJ BIBLIOTECA Seguimos con el programa Mathematica; en este paso se va a introducir un problema de Programación No Lineal: OPT V = (X - 2)2 + (Y - 1)2 Sujeta a: 1. - X 2 + Y 2. >0 X - Y2 > 0 X, Y >0 Inicialmente se construyen las curvas de nivel de la función objetivo con la función ContourPlot, luego se grafican cada una de las restricciones, posteriormente graficamos la función objetivo y las restricciones con la función ContourGraphics; la respuesta obtenida es: existe un máximo global en el punto (0,0) y un mínimo global en el punto (1,1). Todo este proceso lo conseguimos en las plantillas veintiuno, veintidós, veintitrés y veinticuatro. PLANTILLA 21 HHHMHHMRHi ~lof xj ;r gráficamente el problema Optimizar Qt-2r2Wy*2 x-y*2 «* 0 Solución Curvas de nivel de la función objetivo FDuyj^cx-^+cr-i^i curyasNive! ^ConftoufPloKFtx, yl {K -2. 2), {y, -2, 2), ContourSftading False, Frame -> False, Axes -*• True, AxesOrigín -*• (0, 0), AxesLabei fEje X, "Eje y>, Contours (0.2,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)3 Ej* y :j| Inicio [ ; S ^ rú > # © O Sil APÉNDICE • |ffiSQtVEB2-McK»oft.|[^Ma<he»attca -|2~. 0858 p.m. 637 PLANTILLA 13 • ContourGraphícs* O Conjunto de oportunidades: restl crContoufPio^-x2 +y. {*, ~2. 2i (y, -2, 2). ContourShading -• False. Frame false, Axes True, AxesOrigm <0, 0), «11 * ¿1— <Ú > / ~J ^APÉNDICE -MicrosaL.j §^S0tVE ' Fi2 - Microsoft. jj^Malhewatica - |2~... SOi ».53 Pi^ PLANTILLA 23 :.&;í P* • • « • • ym-.fm.m^ m- • • • • H H H a a i -ContourGraphicsrest2 st Co«itourPío(x - y2, {x. -2, 2>, {y, -2, 2}, ContourShading - Faise, frame -» False. AROS -» True, AxesOrigm {0, 0>, Mesl J y \ 1 .ContourOraphicsLa función objetivo y las restricciones; Sho*[curvasNiv8i, resíl, resí2] jptBInicio j # & > k/ ® 113 «jAPÉNDICE MieroM | WjSQlMm •Mioo^ ..|| jfr Mathematic* - | 2 . . 31 09.00 pun PLANTILLA 25 ¡- Í • Oraphícs» £1 conjunto de oportunidades que es la figura que queda entre !as dos parábolas, es cerrado, acotado y convexo, La función objetivo es convexa Se verifican los teoremas de Weierstrass y Local-gioba!. (0 t 0) es máximo global y (1,1) mínimo global ton: {F[0 ( 0], F [ 1 , 1 ]} M f ^ J S ¿S¡ r A > # © O í jjAPÉNDiCE Micros [ f]S0LV£R2 M í a o ^ . J l # M a t h e m a t i c a -12- S O L V E R (EXCEL) Finalmente presentaremos el Solver de Excel, implementado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline Systems, Inc.; presentaremos un problema de Programación Lineal en la plantilla veinticinco: MAX Z = 10000 XI + 10000 X2 Sujeta a: 1. X! + 3 X 2 < 100 2. X! + 2 X 2 < 200 3. 2 X! + 4 X 2 < 800 X b X2 > 0 En las plantillas subsiguientes, es decir, veintiséis, veintisiete, veintiocho y veitinueve encontramos la solución: X* = 100; X 2 = 0 ; Z* = 1000000, lo cual equivale a decir que se deben producir 100 muñecas Kira y no se deben fabricar muñecas Sakura, para obtener una utilidad de $1.000.000. 639 PLANTILLA 25 ÜlMíciosoft ExcelLíbtolO ArcNvo Edición ¿er Insertar Formio Herramientas Datos Ventana ? Q iä?y a á1 & V; * Raí Él U) i i i í 4 100% - © i * 1 Arfe -16 - i Mjr s ^ff$ s m $ € % seo Ä t i: Cp5 __ - 5» - A •¿ s MUÑECAS i3 C4 A 1 2" 3 4 5 6 1 7 B 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2? ' üSTORES Ptensado Pintura stuche c D e SAKURA MUÑECAS TIEMPO EMPLEADO i ; KIRA 2 E s OLUCION OPTIMA uTILIDAD ifiUNCION OBJETIVO 4 r i 0 0 0 3 2[ 1 1 » ! Ti TIEhf1PO DISPONIBLE 100 200 I 80) KIRA SAKURA 0 0 10000 10000 0 1 .Vi ilü t M1 Informe de respuestas i X Hojal X HojaZ / Hoja3 / W < i i< 1 4.-S ; Dibujo - fe ; Ayloforroas- \ * D O (il 41 t ^ :• m N iUM : LiStD lifilMicro »oft Excel - APÉNDICE - Microbi,| Í0lJbrol0 JÉ nie io¡i m © m >i | O tir 09.29 am PLANTILLA 26 Microsoft Excel • LäwolÖ Ä] Archivo Edición Ver Insertar Formato i 0 ^y * * ¿ t i 54 Él > - RV • • '< - -I 1 Ar»! -10 - K jr s ! & s 3 j $ € % «» í^ E18 1 ; B 2I 3... 4 5Ì 6 ;'LABORES Prensado Pintura Estuche 9 K3RA MUÑECAS SAKURA TfEMPO EMPLEADO TIEMPO DISPONIBLE IDO 100 200 10 ! 111 121 Í3 SOLUCION OPTIMA 14 UTILIDAD 15 I 18 FUNCION OBJETIVO 17 \mì 20 21j 100 10CÖ0 ?000000 SAKURA Til 0 10000 „ I I i !< N ; • M \ Informe de respuestas i / Informe de respuestas 2 XHoÍ*1 / / Hj< j Dfcujo - ^ 4 Aytoformas - \ \ O O ü 4) Il Ö» « Listo ¡¡ Inicio S¿¿$> i? 9 O 1QAF¿N0ÍCÍ • Mtrotoft WodfaübrolO 640 100 200 800 wr N UM : JPCM OS 37 a.«, PLANTILLA 13 osa I l Microsoft Excel tibio! 0 IT] Aí CHIYO £É«ÓR> ver Insertai formio Oafcos ventar» ? D ^ S d « & ? I^ & £ & II i • IO - M JT S i I ì 1 $ € % « <ts iW . - S-A - ; i Anal ^ 3Z *' D ;A, 8 i • -JSC 2 Hoja de cálculo: |Libro10.xls|Hoja1 3 Informe creado: 12'12/íO 09:35:59 a.m. m 5 0 Vaior final 1000000 0 Ô Vaior final 100 Ò Valor oriyinal Celda Hombre 7 8 1 $C$16 FUNCION OBJETfVO KIRA 9 10 11 Celdas cambiantes 12 Celda Nombre 13 $C$13 SOLUC ION OPTIMA CIPA 14 $Ü$13 SOLUCION OPTIMA SAKURA Valor original 15: 18 17 ¡ Restricciones Valor de la celda fórmula Estado Divergencia Hombre 18 Celda 0 100 $E$7<~$F$7 Obligatorio 1§" $E$7 Prensado TIEMPO EMPLE ADO 100 100 $E$6-'-$f $8 Opcional 20 $E$8 Pintura TIEMPO EMPLEADO eoo 200 $ES9<=$F$9 Opcional 21 $E$9 Estuche TIEMPO EMPLEADO _ 100 ic$13>=0 '" Opcional"" """" " Too $C$13 SOLUCION OPTIMA K1RA 22 23 JP$13 SOLUCION OPTIMA SAI- URA ^ , P $D$13>-0 Obl.qatono o H < > >1 >' .Informe de respuesta* 2 / iníome deu $«ns*#dad 1 / Hojat / HojaZ X H j«| Listo Dfcno - k Aytoformas - \ • O H JJ ' 'JL " ' = - S » É jglf^oj ; ¿ ¡¿ > 0 i O 13APENDICE - Nicto^t Wpfdg| ]LÍb>o1Q PLANTILLA 28 m Microsoft Excel LibiolQ i£§jftrcNvoEdición ¿' et insertar formato tjerr ««entas Dafcos Ventara ? - m j D & y rf m s. ? * * e <* « % 2: ¿ li 11 ^ I Aria! » 10 , H X S « S g $ C % WG i* * .& l A Ài jj « Microsoft Excel 9 0 informa de sensibilidad __________ c ;p -jglxj: J ™ jMlcrosoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad lija de cálculo: |Libro10.xlsjHoja1 r o rute creado: 12/12/03 09:49:15 a.m. I Celdas cambiantes 8 Celda Nombre Valor Gradiente Coeficiente Aumento Aumento Igual reducido permisible permisible 100 0 '0000 i r +30 6666.6666G7 0 -23000 10000 20000 1E+30 objetiyo 9 ! $ C $ 13 S O LUC ION OPTIMA KIRÁ ' 10] tbi13 SOLUCION OPTIMA SAKÜRA 'ÏU 12 Restricciones 13' 14 : 15: 16 17 18 19! 20 ; Valor lt|ttaj[ Celda Hombre "$E$7 PnsnsVdo TIEMPO EMPLEADO 100 $E$8 Pintura TIEMPO EMPLEADO 100 $E$9 Estuche TIEMPO EMPLEADO 200 Aumento Sombra Restricción Aumento predo., lado derecho perrnfarible permisible 100 100 100 101300 ÇL 0 200 900 1E+30 _ _ 100 800 ÍE+30 21 ! 22 \4 i > X informo d* respuestas 2 X Informe de sensibilidad i / Hoja! / Hotó' / H j<| !LlS<Dfei OH ^ * 'JL * » = S 1 tD * - k -1 Aytofomas • \ ' * • O ü ^Inicio [ M ^ @ O jAPeNDICE • Microsoft Wofd|]iT)übro1Q i IMA hr PLANTILLA 13 §|f Microsoft Excel - ÜfoiolÖ I Ü Archivo £dic«n Ver Inserta n ^ i d i a r Formato y^ran^ertas Dafcos Ventana * %m ESS ^JSJiSÍ ? % * r*•• a li ms » 10 - M X S IP S il ¡I S € % 000 ; Arial AI « Microsoft E see i 9 0 informe de limites D iE? F [Microsoft Excel 9 J Informe de limites J H l j a de cálculo: |Libro10.xlsfHoja1 l i t * orme creado: 12/12/03 0933:29 a.m. Aj 8 : e Celda objetivo Celda Nombre 10$ 16 FUNCION OBJETIVO KíRA ^om">r8 ^ - A í Igual 10ÖOOQG Celdas cambiantes ÎsSÎËH H ^ W ÍW „.„ Jguaj^ $C$Í3 SOLUCION OPTIMA k i R A 1 0 0 $D$13 SOLUCION OPTIMA SAKURA 0 Limite Celda inferior objetivo o" 0 0 1LB3000 Límite Celda superior objetive ïoo ioooooo 0 1ÛQ000Q D»buio » v., • Aytefcm.as - \ • O a 41 A «» - JL • A - = s mÉ . listo i" í""*"4 . . . i.": . . V ' :i'::?:.':-;:." Inicio;1 « » a * * *t O ; ÇjAPÉNOICE ^MÍcto.ícrftWofd||pjLibío10 i MMl i m j¡r 03.53 am. BIBLIOGRAFÍA Libros ACCINELLI Elvio. Notas de Programación No Lineal. Universidad de la República. Uruguay. 2006. ACKOFF Russell L. / Sasieni Maurice W. Fundamentos de Investigación de Operaciones. Limusa Wiley. México. 1971. ADAM Everet E. / Ebert Ronald J. Administración de la Producción y las Operaciones. Prentice Hall. México. 1994. 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