ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL
MAT4
Una distribución estadística bivariante (bidimensional) es en la que para cada individuo de la
población se estudian dos variables Estas variables se llaman variables marginales.
MEDIA ARITMÉTICA
donde xi e yi son los valores de las variables, ni es la frecuencia (el número de veces que se
repite xi o yi), y N el número de medidas.
VARIANZA
,
) Es la medida de la dispersión de una variable estadística:
COVARIANZA
Mide el grado de correlación entre las 2 variables estadísticas. Se halla calculando la media
aritmética de las desviaciones respecto de la media de cada una de las variables marginales
(x,y)
o bien
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL O DE PEARSON
En una distribución estadística bidimensional, los valores de estas variables pueden tener
una fuerte relación entre sí, una relación baja, o ninguna relación. Se mide con el coeficiente
de correlación de Pearson, que se calcula a partir de las varianzas y de la covarianza:
positiva
covarianza
cero
negativa
no hay correlación
correlación inversa
r
correlación entre las 2
correlación directa
variables
El valor del cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson (r2) indica el grado de
explicación de una variable respecto de la otra; por ejemplo, si en una distribución bivariante,
el r2 de una variable y sobre una variable x es 0,95, significa que al calcular y a partir de x hay
un 5% de variabilidad.
RECTA DE REGRESIÓN
Es la línea que más se ajusta a la nube de puntos de una distribución.
ecuación de la recta
pendiente de la recta
recta de regresión y sobre x
recta de regresión x sobre y
Las rectas de regresión y sobre x y x sobre y se cortan en el punto
; es decir, el punto
que corresponde a las medias aritméticas de las variables marginales x e y.
¡ATENCIÓN! La pendiente de una NO es la inversa de la pendiente de la otra.
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ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL
MAT4
1. EJERCICIO
Y
X
2
5
6
7
9
10
TOTAL
3
4
5
6
7
8
10
TOTALES
4
0
0
0
0
0
4
0
7
0
0
0
0
7
0
11
0
0
0
0
11
0
0
5
5
0
0
10
0
0
3
2
0
0
5
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
2
2
4
18
8
7
1
2
40
Las calificaciones
obtenidas por 40
alumnos de 4º de la
ESO en Matemáticas y
Física figuran en la
siguiente tabla
estadística
bidimensional. En ella,
la variable X es la nota
de Matemáticas, e Y, la
de Física.
Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson, y analiza el grado de dependencia
entre las notas de ambas asignaturas.
2. EJERCICIO
Una empresa dedicada a la elaboración y venta de ropa para jóvenes ha realizado los gastos
en publicidad y ha obtenido las ventas que figuran en la siguiente tabla. Los datos vienen
expresados en miles de euros y se refieren a los últimos 10 años.
7.5
8
8.5
10
10.5
12
13
14
15
18
200
205
230
240
250
270
280
300
310
325
Si denominamos X a la variable gastos en publicidad, e Y a beneficios de ventas, calcula:
a) El coeficiente de correlación lineal. Analiza la dependencia de ambas variables
b) La recta de regresión de Y sobre X
c) La empresa decide invertir el próximo año 25000 euros en publicidad. Si se mantiene
la misma tendencia de los años anteriores, ¿cuál es el volumen esperado de ventas?
d) Si la empresa desea lograr 500000 euros de ventas, ¿cuánto debe invertir en
publicidad?
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1. EJERCICIO - SOLUCIÓN
Realizamos las siguientes tablas:
xi
fi
fixi
fixi2
3
4
5
6
7
8
10
Total
4
7
11
10
5
1
2
40
12
28
55
60
35
8
20
218
36
112
275
360
245
64
200
1292
yi
fi
fiyi
fiyi2
2
5
6
7
9
10
4
18
8
7
1
2
8
90
48
49
9
20
16
450
288
343
81
200
Total
40
224
1378
(xi,yi)
fij
fijxiyi
(3,2)
(4,5)
(5,5)
(6,6)
(6,7)
(7,6)
(7,7)
(8,9)
(10,10)
4
7
11
5
5
3
2
1
2
24
140
275
180
210
126
98
72
200
Total
40
1325
Las medias aritméticas, las desviaciones típicas y la covarianza son:
Calculamos, con estos valores, el coeficiente de correlación de Pearson:
El valor del coeficiente está próximo a 1 → hay una correlación positiva muy alta entre las 2
variables, las notas de matemáticas y las de Física
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2. EJERCICIO - SOLUCIÓN
Realizamos la tabla para los cálculos:
totales
xi
xi2
yi
yi2
xi yi
7,5
8
8,5
10
10,5
12
13
14
15
18
56,25
64
72,25
100
110,25
144
169
196
225
324
200
205
230
240
250
270
280
300
310
325
40000
42025
52900
57600
62500
72900
78400
90000
96100
105625
1500
1640
1955
2400
2625
3240
3640
4200
4650
5850
116,5
1460,75
2610
698050
31700
¡ATENCIÓN! Ten en cuenta que TODAS las frecuencias, en este caso, son 1 →
a) Coeficiente de correlación lineal de Pearson 
 alto grado de dependencia
b) Recta de regresión Y sobre X →
c) Si x=25000 → sustituimos:
euros será
el valor de las ventas.
d) Si y=500000 → en la misma ecuación:
euros debe
invertir en publicidad.
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