14. El Método de Líneas (MOL) - Matemática Aplicada a la Ingeniería

Semidiscretización de la ecuación del calor
E. de Ingenierías Industriales
Métodos Matemáticos I
Jesús Rojo
14. El Método de Líneas (MOL)
2012-13
Semidiscretización de la ecuación del calor
14. El Método de Líneas (MOL)
14. El Método de Líneas (MOL)
Semidiscretización de la ecuación del calor
1 Semidiscretización de la ecuación del calor
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Semidiscretización de la ecuación del calor
El Método de Líneas (MOL)
Se considera el siguiente problema, ligado a una ecuación parabólica
∂ 2 u(x, t)
∂u(x, t)
=
,
∂t
∂x 2
u(x, 0) = sen πx ,
u(0, t) = u(1, t) = 0
x ∈ [0, 1] , t ≥ 0 ,
que representa, por ejemplo, la distribución de temperaturas en una
barra de longitud 1 con distribución inicial sen πx , x ∈ [0, 1] y
temperatura 0 en los extremos, a lo largo de todo el proceso.
Es fácil comprobar que su única solución viene dada por
2
u(x, t) = e −π t sen πx
(o sea, la temperatura tiende a 0 con rapidez).
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Semidiscretización de la ecuación del calor
Definimos en x ∈ [0, 1] los nodos
xn = n · h ,
con h =
1
,
N
n = 0, 1, . . . N − 1, N
o sea, nodos
0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xN−1 < xN = 1
separados por distancias h.
Para cada xn nos vamos a referir a la semirecta ’vertical’
(xn , t) , t ≥ 0 y a considerar en ella una función de t, descripción
de la solución de la ecuación original en derivadas parciales, pero
limitada a la semirecta, en definitiva
un (t) = u(xn , t) ,
t ∈ [0, +∞] .
Nótese que, para los extremos de la barra, las u0 (t) y uN (t) valen
obligatoriamente
u0 (t) = u(x0 , t) = u(0, t) = 0
uN (t) = u(xN , t) = u(1, t) = 0
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pero no son conocidas las que corresponden a los otros índices
n = 1, . . . N − 1.
Como se observa, hemos hecho una discretización en una de las
variables, la x, pero no en la otra, t, que sigue siendo continua.
Esto justifica el nombre dado a este procedimiento, que acaba
obteniendo las soluciones (generalmente numéricas) a lo largo de
las líneas x = xn , t ∈ [0, +∞].
Vamos a ver cómo somos capaces de decir qué es lo que verifican
las funciones
un (t) = u(xn , t) ,
t ∈ [0, +∞] ,
n = 0, 1, . . . N − 1, N .
Fijado un valor de t ∈ [0, +∞], la función (una diferente para cada
valor de t )
f : x −→ u(x, t)
es tal que
∂ 2 u(x, t)
= f 00 (x) ,
∂x 2
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y, en particular,
∂ 2 u(xn , t)
= f 00 (xn ) .
∂x 2
Aproximando esta derivada por la fórmula usual, acabamos
obteniendo
u(xn−1 , t) − 2 u(xn , t) + u(xn+1 , t)
∂ 2 u(xn , t)
=
+ O(h2 ) ,
2
∂x
h2
Ahora bien, u(x, t) verifica
∂ 2 u(xn , t)
∂u(xn , t)
=
= un0 (t) ,
2
∂x
∂t
n = 1, . . . N − 1 ,
y, en definitiva
un0 (t) =
un−1 (t) − 2 un (t) + un+1 (t)
+ O(h2 ) .
h2
Es decir, las funciones un (t) consideradas antes son solución del
sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias
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1
(un−1 − 2 un + un+1 ) , n = 1, . . . N − 1 ,
h2
con un error de truncación de O(h2 ).
Agrupando las soluciones escalares en el vector de funciones
u(t) = (u1 (t) , u2 (t) , . . . , uN−1 (t)) ,
y teniendo en cuenta que las funciones u0 (t) y uN (t) son
(condiciones de contorno) idénticamente nulas, escribimos
matricialmente este sistema como
un0 =
u0 =
1
A u,
h2
donde A es la matriz



A=

−2 1
0 ···
1 −2 1 · · ·
0
1 −2 · · ·
..
..
.. . .
.
.
.
.



.

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Por otra parte, la condición inicial (para u)
u(x, 0) = sen πx ,
da origen ahora a las condiciones iniciales para este sistema
un (0) = u(xn , 0) = sen πxn = sen(π n h) ,
que garantizan solución única del sistema.
Resumiendo, el Método de Líneas (MOL) permite resolver
numéricamente la ecuación parabólica en derivadas parciales como
un sistema lineal y de coeficientes constantes de ecuaciones
diferenciales ordinarias. Naturalmente, aquí entran en juego los
métodos de resolución numérica de este tipo de sistemas.
Es conveniente aclarar el carácter más o menos ’stiff’ que pueda
tener este sistema lineal, y es lo que examinamos a continuación.
Este hecho nos moverá a usar unos u otros métodos, dependiendo
del carácter citado.
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Que el sistema anterior sea ’stiff’ depende de los autovalores de la
1
matriz 2 A. A estas alturas ya nos son conocidos y valen
h
4 n π 2
µn = − 2 sen
, n = 1, . . . , N − 1 .
h
2N
(A es ahora la matriz −B, para la matriz B ya tratada en el
capítulo destinado al caso parabólico). Son reales y negativos, y
más negativos cuando se hace decrecer el tamaño de h, que es el
objetivo si se desea minimizar el error de truncación del sistema
aproximado, cuya truncación es del orden O(h2 ).
O sea, nos encontramos no sólo ante un problema ’stiff’, sino que
nos interesa de alguna manera acentuar dicho carácter.
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Puesto que se trata de un ejemplo sencillo, sabemos que la (única)
solución del sistema lineal es
π 2
2
nπ
un (t) = e −4 N (sen 2 N ) t sen
, n = 1, . . . , N − 1 ,
N
hecho que vamos a comprobar. Por un lado,
π 2 −4 N 2 (sen π )2 t
nπ
2N
un0 (t) = −4 N 2 sen
e
.
sen
2N
N
Por el otro, recordando que h = 1/N,
1
(un−1 (t) − 2 un (t) + un+1 (t))
h2
2
(n − 1)π
nπ
(n + 1)π
2 −4 N 2 (sen 2πN ) t
sen
− 2 sen
+ sen
=N e
.
N
N
N
2
π
2
La parte N 2 e −4 N (sen 2 N ) t es común a ambas expresiones; para el
resto, aplicando
sen(a + b) + sen(a − b) = 2 sen a cos b
para a = n π/N y b = π/N, se tiene
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sen
nπ
(n + 1)π
(n − 1)π
− 2 sen
+ sen
N
N
N
nπ
π
nπ
+ 2 sen
cos
= −2 sen
N N N
nπ
π
= −2 sen
1 − cos
,
N
N
y aplicando ahora
π
,
cos 2 a = 1 − 2 sen2 a , a =
2N
la igualdad continua como
nπ
π 2
= −2 sen
· 2 sen
N
2N
π 2
nπ
= −4 sen
sen
,
2N
N
lo que prueba que, efectivamente
un0 (t) =
1
(un−1 (t) − 2 un (t) + un+1 (t)) .
h2
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Además, estas soluciones un (t) del sistema verifican también la
condición inicial
nπ
un (0) = sen(π n h) = sen
.
N
Desde el punto de vista numérico, ayudándose de métodos
adecuados para sistemas ’stiff’, es posible, haciendo que h → 0,
conseguir una aproximación suficiente de las soluciones sobre nodos
situados sobre las semirrectas x = xn .
Desde el punto de vista matemático, las soluciones un (t) deberían
también aproximarse a las trazas sobre xn = n h = n/N de la
solución conocida u(x, t) del problema parabólico original.
Y así es cuando h → 0 o N → ∞ ya que
lim
N→∞
sen 2πN
π
2N
= 1,
y
lim un (t) = e −π
N→∞
2
t
sen n π h = e −π
2
t
sen π xn = u(xn , t) .
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El Método de Líneas (MOL) que hemos descrito en un ejemplo
lleva una Ecuación en derivadas parciales a un sistema de
Ecuaciones diferenciales ordinarias cuando se buscan soluciones
numéricas para valores nodales de una de las variables,
0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xN−1 < xN = 1 en el ejemplo.
Naturalmente que, a continuación, la búsqueda de la solución
numérica de este sistema lleva a la discretización en la otra
variable, y las soluciones se calculan para nodos
0 = t0 < t1 < t2 < . . .. Finalmente, el proceso total es un método
en diferencias para la Ecuación en derivadas parciales, pero
ejecutado en dos tiempos independientes. La discretización en t en
el ejemplo, es en principio independiente de la inicial en x, e incluso
puede evitarse esta discretización cuando el sistema resultante
presenta una solución analítica razonablemente sencilla.
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Semidiscretización de la ecuación del calor
En este sentido, el MOL tiene un interés que puede ir más allá de lo
numérico, ligando una Ecuación en derivadas parciales con un
problema, ya en una sola variable, de Ecuaciones diferenciales
ordinarias. Y es este campo, numéricamente o no, hay gran
cantidad de resultados utilizables.
Finalmente no hay que olvidar el carácter ’stiff’ del sistema que
resulta en la generalidad de los casos, que lleva a que los avances
hacia valores más y más cercanos de los nodos xn sean prudentes.
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