Pauta P1 - Docencia DIM

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Pauta P1 CONTROL 3 ALGEBRA LINEAL
P1. Sea A de mxn tal que las n columnas de A son l.i.
T
(i) Demuestre que Ker(A) = Ker(A A).
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(ii) Demuestre que r(A A) = r(A), y concluya que A A es invertible.
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(iii) ¿Qué puede decir respecto de AA ?
Solución.
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(i) Sea x en Ker(A), i.e., Ax = 0 /A • , resulta: A (Ax)=A 0=0, implica (A A)x=0, i.e., x ∈ Ker(A A).
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Recíprocamente, sea x en Ker(A A), i.e., (A A)x=0 /A • , /x • , resulta x (A Ax)=x 0=0, implica
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(Ax) Ax=0, y por lo tanto, Ax=0 (ya que, si u=Ax, u u=0, implica u=0), i.e., x ∈ Ker(A).
(ii) La hipótesis de A implica que r(A)=n y m ≥ n. Por (i), nul(A)=dim(Ker(A)) = dim(Ker(ATA))=nul(ATA), y
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el T. de la nulidad y rango aplicado a A y A A implica nul(A A) + r(A A) = n y nul(A) + r(A) = n,
y como nul(A) = nul(ATA), se tiene que r(ATA) = r(A) = n. Ademas, como ATA es de nxn, sigue que
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A A es invertible.
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(iii) La hipótesis de A implica que r(A)=n, m ≥ n y por propiedad de rango, r(A )=n. Si m=n, entonces A y
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A son invertibles lo que implica que AA es invertible. Si m>n, las m filas de A son l.dep., y las m
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columnas de A son también l.dep., lo que implica que r(AA )<m. En caso contrario, i.e., r(AA )=m,
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se tendría que m=r(AA ) ≤ min{ r(A), r(A ) }= min{n,n}=n, implicando m ≤ n, contradicción.
OTRA FORMA
(i) Sea x en Ker(A), i.e., Ax=0. Como Ax = x1A.1+x2A.2+…+xnA.n , donde A.j es la columna j de A, y las
columnas de A son l.i, Ax=0 implica xj=0, todo j, y por lo tanto, Ker(A) ={0}. Para (i), basta probar que
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Ker(A A)={0},
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Supongamos lo contrario, i.e., existe x ≠ 0, tal que (A A)x=0, /x • , implica x (A Ax)=x 0=0, i.e.,
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(Ax) Ax=0, y por lo tanto, Ax=0 (ya que, si u=Ax, u u=0, implica u=0), i.e., x ∈ Ker(A), y como x ≠ 0,
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se contradice que Ker(A) ={0}. En resumen, se cumple que Ker(A) = Ker(A A)={0}.
(ii) La hipótesis de A implica que r(A)=n y m ≥ n. Por (i), nul(A)=dim(Ker(A)) = dim(Ker(ATA))=nul(ATA)=0.
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El . de la nulidad y rango aplicado a A y A A implica nul(A A) + r(A A) = n y nul(A) + r(A) = n, y como
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nul(A)=nul(A A)=0, sigue que r(A)=r(A A)=n. Ademas, como A A es de nxn, sigue que A A es
invertible.
La parte (iii) no cambia.