Guía Juegos Estáticos

MICROECONOMÍA II (UBA)
Profesor Martín Rossi
Ayudante Martín Alfaro
GUÍA 1
Juegos estáticos de información completa
1. Suponga que Juan, fanático de River Plate, le apuesta $100 a Pedro, fanático de Boca
Juniors, a que el super clásico lo ganará River. En caso de empate, ninguno deberá
abonar suma alguna. Analice la situación y comente qué puede decir sobre la misma
desde la óptica de la Teoría de Juegos. ¿Existe en este caso interacción estratégica?
2. Dada la siguiente familia parametrizada de juegos estratégicos de 2 jugadores:
A
B
C
D
(; )
(1; 1)
(3; 2)
E
(; 2)
(1; 0)
(0; 1)
Indique para qué valores de ; y :
(a) A es una estrategia estrictamente dominada.
(b) E no es una estrategia estrictamente dominada.
(c) (A; D) es un equilibrio de estrategias estrictamente dominantes.
(d) (A; D) es un equilibrio de Nash.
(e) C es una estrategia racionalizable.
(f) Todas las estrategias son racionalizables.
3. Considere el siguiente juego entre un incumbente y un entrante potencial. Suponga
que se está discuetiendo la aprobación de una ley de control de la contaminación. El
monopolista, de gran in‡uencia política, puede apoyar la propuesta del Grupo Verde,
apoyar la propuesta de la oposición, o no apoyar una nueva ley que exige controles de
contaminación en todas las empresas de la industria. Suponga que cada propuesta se
aprueba si y sólo si la apoya el monopolista. Los controles de contaminación propuestos
por los verdes aumentarían en $60.000 los costes …jos de cada empresa, tanto si opera en
régimen de monopolio como de duopolio, mientras que la propuesta de la oposición los
aumentaría en $24.000. El entrante potencial puede entrar o no entrar en la industria.
Sin costes de control de contaminación, los bene…cios del monopolio son $120.000 y
los del duopolio $48.000 para cada uno. Si el entrante potencial decide no entrar, sus
bene…cios son nulos. Ambos deben decidir sin conocer lo que hace el otro.
(a) Represente el juego en forma normal y extensiva
(b) Veri…que si existe equilibrio en estrategias dominates
(c) Determine cuáles estrategias se encuentran dominadas
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(d) Explicite las estrategias racionalizables
(e) Encuentre los equilibrios de Nash
4. Existen n …rmas en una determinada industria. Cada una trata de convencer al congreso para que se otorgue un subsidio a la industria. Sea hi el número de horas de
esfuerzo de la …rma i-ésima y sea ci (hi ) = wi (hi )2 , donde wi es una constante positiva,
el costo del esfuerzo de la …rma i-ésima . Cuando los niveles P
de esfuerzoQde las …rmas
son (h1 ; h2 ; :::; hn ) ; el valor del subsidio que es aprobado es i hi + ( i hi ) ; donde
; son constantes.
Considere un juego en el que las …rmas deciden simultánea e independientemente cuántas horas de esfuerzo van a dedicar. Muestre que cada …rma posee una estrategia
estrictamente dominante si y solo si = 0: ¿Cuál es?
5. Dos personas se suben a un colectivo. Hay dos lugares adyacentes vacíos. Cada persona debe decidir si sentarse o quedarse parada. Sentarse solo es más confortable que
sentarse junto a otra persona, aunque esto último es más confortable que quedarse
parado. Suponga que a cada persona sólo le importa su propio confort.
(a) Modele esta situación en forma extensiva y normal y encuentre todos sus equilibrios de Nash. .
(b) Suponga ahora que cada persona es altruista y rankea los resultados de acuerdo
al confort de la otra persona; además, por educación pre…ere quedarse parada
que sentarse si la otra persona se queda parada. Modele esta situación en forma
normaly encuentre los equilibrios de Nash.
(c) ¿Cuál de los resultados conduce a un resultado que sería más deseado desde el
punto de vista de la comodidad? ¿Qué puede concluir?
6. Pablo y Juan descubren que Laura ha estado engañando a Javier. Si bien Pablo y Juan
son …eles amigos de Javier (al contrario de Laura, que no tiene nada de …el), ambos
preferirían que este se entere por un tercero y no tener que ser ellos quienes delatan a
Laura. No obstante, la peor situación para ambos es que Javier no se entere. Ambos
amigos deberán tomar una decisión (contárselo o no) sin saber lo que el otro haga.
(a) Represente el juego en forma normal y extensiva
(b) Determine los equilibrios de Nash
(c) Suponga que Laura no es demasiado indiscreta y en realidad todos los amigos
de Javier saben que lo está engañando. Sean n la cantidad de amigos de Javier.
Encuentre los equilibrios de Nash.
7. Los jugadores de un equipo de fútbol cinco comenzarán un torneo la semana próxima.
Cada uno de ellos posee dos acciones: puede ser individualista o jugar en equipo.
Jugar en equipo permite ganar de manera segura mientras que, si al menos uno de los
jugadores es individualista, el equipo pierde de manera certera. De suyo, los jugadores
pre…eren ganar a perder pero consideran muy aburrido jugar en equipo cuando al menos
uno es individualista y este arruina la jugada cada vez que le llega la pelota (en otros
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términos, en caso de que al menos uno sea individualista, pre…eren también ellos ser
individualistas) Determine los equilibrios Nash de este juego.
8. Sigamos trabajando con un equipo de fútbol cinco. Ahora asumamos que ganar depende del esfuerzo que cada uno de los jugadores hace. En particular, el esfuerzo de
los jugadores determina la probabilidad que existe de ganar. La probabilidad de ganar
viene determinada por el mínimo esfuerzo que realice uno de los jugadores, es decir,
Pr (ganar) = min fe1 ; e2 ; :::; e5 g donde ej 2 [0; 1] re…ere al esfuerzo del jugador j -ésimo.
(a) Asuma que el pago que obtiene cada jugador en caso de que se gane es G con
G > 1 y en caso de perder cada uno obtiene un pago de cero. Además, suponga la
desutilidad del esfuerzo del jugador i-ésimo viene dada por la función Ci (ei ) = ei :
Muestre que todos los equilibrios de Nash del juego involucran un nivel de esfuerzo
simétrico. (Pista: asuma un esfuerzo mínimo e y luego analice qué ocurre si el
jugador i-ésimo escoge un nivel de esfuerzo mayor, igual o menor a ese valor).
(b) Ahora asuma que la desutilidad del esfuerzo del jugador i-ésimo viene dada por
la función Ci (ei ) = e2i : Muestre que los equilibrios de Nash son todos simétricos
con e G2 Para su obtención, se le recomienda seguir los siguientes pasos:
1. Asuma que e ! 1 y gra…que el nivel de utilidad que obtendría el jugador
i-ésimo según el esfuerzo que elija
2. Luego, vea que la mejor respuesta del jugador i-ésimo di…ere en caso de que
e > G2 ó e < G2
9. Un grupo de n ladrones está analizando cuál de las dos decisiones escoger: robar un
casino o insertarse en el mercado laboral y conseguir un trabajo. Si logran asaltar el
casino con éxito entonces se reparten el motín de S pesos en partes iguales entre los
que hayan cometido el robo. Si no logran asaltar el casino con éxito obtienen un pago
de cero. A su vez, en caso de insertarse en el mercado laboral, obtienen una ganancia
de H: Para robar el casino de manera exitosa se necesita de m ladrones (con 2 m
n)
(a) Si las preferencias de los ladrones son tales que n1 S H; ¿cuáles son los equilibrios
de Nash de este juego?
(b) Ahora asuma que para todo k k ocurre que k1 S H pero para k < k ocurre
que H k1 S: A su vez, k cumple que m k n: Encuentre los equilibrios de
Nash.
10. Ante los hechos de inseguridad en el barrio, los n vecinos de una cuadra deciden juntarse
para contratar a un policía que patrulle la cuadra. Cada vecino puede contribuir (con
un monto …jo) o no contribuir. Para contratar al policía, se necesita que al menos
k (entendiendo k como un parámetro que cumple 2 k n) vecinos contribuyan.
Cada vecino ordena los resultados posibles de mejor a peor de la siguiente forma: a)
cualquier caso en el cual el bien es provisto y ella no contribuye su parte, b) cualquier
caso en que el bien es provisto y ella contribuye, c) cualquier caso en que el bien no
es provisto y ella no contribuye, d) cualquier caso en que el bien no se provee pero la
persona contribuye su parte. Formule esta situación como un juego y encuentre los
equilibrios de Nash.
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11. Continuemos con el ejercicio anterior. Asuma que ahora el problema de cada individuo
está dado por decidir cuánto contribuir para seguridad. Sea ci el monto que contribuye
el jugador (i): La cantidad de seguridad que recibe el barrio está dada por la suma de
contribuciones de los jugadores.
P Asuma que la utilidad que recibe el jugador (i) está
ki ci :
dada por ui (ci ; ci ) = ln
j cj
(a) Derive la función de mejor respuesta del jugador (i) :
(b) Asuma que n = 2:
1. Muestre que si k1 = k2 , todos los equilibrios de Nash son simétricos y cumplen
que c1 + c2 = k1 :
2. Muestre que si k1 > k2 , entonces existe un único equilibrio de Nash tal que
c1 = 0 y c2 = k12 :
(c) Asuma ahora un n:genérico. Encuentre los equilibrios de Nash para los casos
donde
1. ki = kj 8i; j
2. ki =
6 kj 8i; j
12. El jefe de una empresa se encuentra analizando ofrecerle un aumento de salario a
dos de sus mejores empleados ejecutivos. No obstante, se encuentra limitado por
el presupuesto que la …rma posee, el cual asciende a 100 mil pesos. Dado que no
está seguro cómo hacer el reparto, propone a sus empleados la siguiente forma de
negociación: ambos realizan una demanda en simultáneo, desconociendo lo que ha
elegido el otro. Las mismas pueden ser de 0, 50 ó 100 mil. Si la suma de los anuncios
es menor o igual a 100 mil, cada jugador se lleva el monto que anotó. En caso contrario,
sus sueldos se verán rebajdos en A miles de pesos:
(a) ¿Qué rol juega el jefe de la empresa? ¿Es un jugador propiamente dicho? Justi…que el por qué sí o el por qué no.
(b) Busque los equilibrios en estrategias dominantes
(c) Determine el conjunto de estrategias racionalizables
(d) Determine los equilibrios de Nash
13. En un curso de Econometría, existen únicamente dos alumnos. Imagine ahora que el
profesor decide …jar notas según una curva: el alumno con el puntaje más alto en el
examen obtendrá un 10, y el restante obtendrá un 4. En caso de igualdad de puntajes,
los dos alumnos obtendrán un 4. Los puntajes en los exámenes están directamente
relacionados con el esfuerzo del alumno: un esfuerzo más alto resulta necesariamente
en un puntaje más alto en el examen. Los alumnos pueden elegir niveles de esfuerzo
(respectivamente, e1 y e2 ) entre los enteros del 1 al 10. Obtener un 10 brinda a un
alumno un pago de 10, mientras que obtener un 4 brinda un pago de 0.
(a) Asuma que el costo de un nivel de esfuerzo e es, para cualquier alumno, e.
1. ¿Existen estrategias dominadas?
4
2. Halle las estrategias racionalizables
3. ¿Existe algún equilibrio de Nash en puras?
(b) Ahora asuma que el costo de un nivel de esfuerzo e es, para cualquier alumno,
e2
2
1. ¿Existen estrategias dominadas?
2. Halle las estrategias racionalizables
3. ¿Existe algún equilibrio de Nash en puras?
14. En un curso de Microeconomía, que consta de cinco alumnos, el profesor propone
decidir la fecha del parcial por votación. La fecha que obtiene más votos gana. Existen
dos fechas potenciales, el 1ro de mayo o el 6 de mayo. No hay posibilidad de abstenerse
y la votación se lleva a cabo por escrito, lo cual hace que cada uno de los alumnos tome
su decisión sin conocer lo que hace el resto. Note que, dado que la cantidad de alumnos
es impar, no hay posibilidad de empate. Cada alumno posee una fecha preferida y sus
preferencias son tales que solo dependen de que gane su fecha preferida o no.
(a) Asuma que todos pre…eren la fecha 1ro de mayo. ¿Existen equilibrios Nash tales
que gana la fecha 6 de mayo?
(b) Continúe asumiendo que todos pre…eren la fecha 1ro de mayo pero ahora asuma
que existen n alumnos. Halle todos los equilibrios de Nash.
(c) Ahora asuma que existen n jugadores y un número k pre…ere el 1ro de mayo y el
resto el 6 de mayo. Halle todos los equilibrios de Nash.
15. Dos equipos con igual número n de participantes de igual fuerza física sostienen los
extremos opuestos de una cuerda muy resistente sobre un charco de barro. Cada uno
de los participantes elige tirar con fuerza o ir a menos. Si un equipo tiene menos
participantes que tiran con fuerza que el otro, sus miembros son arrastrados al barro.
Si ambos equipos tienen igual número de participantes que tiran con fuerza, se declara
un empate. Todos pre…eren ganar a empatar y empatar a perder, pero a la vez son
bastante vagos y hacer fuerza les genera desutilidad.
(a) Asuma que pre…eren perder no haciendo fuerza antes que empatar haciendo
aunque pre…eren ganar haciendo fuerza antes que empatar no haciendo.. Encuentre todos los equilibrios de Nash (Sugerencia: si en principio le resulta muy
compleja la resolución del ejercicio, resuelva para el caso n = 1; n = 2 y luego
generalice para cualquier n):
(b) Suponga ahora que los números de participantes en cada equipo di…eren. Encuentre los equilibrios de Nash.
(c) Ahora suponga que empatar haciendo esfuerzo es preferido a perder no haciendo al
mismo tiempo que continúan pre…riendo ganar haciendo fuerza antes que empatar
no haciendo. Encuentre los equilibrios de Nash.
(d) Suponga que en uno de los equipos se encuentra un participante conocido como
el Titán, una mole de 150 kilos cuya fuerza equivale exactamente a la realizada
por dos personas. Asuma para todos los jugadores las preferencias del inciso a) y
encuentre los equilibrios de Nash.
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(e) Suponga ahora que los números de participantes en cada equipo son n y n + 1
respectivamente. Además, asuma las preferencias del inciso c). Encuentre los
equilibrios de Nash para los siguientes casos:
1. Todos poseen igual fuerza física
2. El Titán es un miembro del equipo con n jugadores
16. Considere un juego donde existen n participantes con n 2: Cada uno de los jugadores
debe anotar en un papel, el cual no es visto por el resto, un número real xi 2 [0; 1]. Una
vez que todos anotaron el número, se recolectan los papeles, lo cual permite computar
n
P
xj
el promedio simple de los números, es decir,
: Los pagos que obtiene el jugador
n
j=1
i-ésimo se encuentran dados por:
n
P
xj ui (xi ; xi ) = xi
n j=1
(a) Dada la función de utilidad especi…cada del jugador i-ésimo, re‡exione sobre cuál
será el objetivo de este al momento de elegir xi
(b) Compute la función de mejor respuesta del jugador i-ésimo
(c) Obtenga todos los equilibrios Nash del juego
(d) Determine todas las estrategias racionalizables
Sugerencia: si le resulta más fácil, comience analizando el caso para el cual n
toma un valor determinado y chico, por ejemplo, n = 3:
17. Realicemos una modi…cación del ejercicio anterior. Suponga ahora que el juego es el
mismo pero el pago se modi…ca:
n
P
xj ui (xi ; xi ) = xi
n j=1
(a) Dada la función de utilidad especi…cada del jugador i-ésimo, re‡exione sobre cuál
será el objetivo de este al momento de elegir xi
(b) Compute la función de mejor respuesta del jugador i-ésimo
(c) Determine todas las estrategias racionalizables
(d) Obtenga todos los equilibrios Nash para el caso donde n = 3
(e) Obtenga todos los equilibrios de Nash para el caso donde n = 4
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