Tensiones de corte en secciones cerradas

 Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS V
MÉTODO PARA EL CALCULO DEL FLUJO DE CORTE PARA SECCIONES DE PARED GRUESA CON ESTADO DE CARGA GENERAL -2008-
Autores:
Dr.Ing. Marcos D. Actis
Introducción
En este apunte desarrollaremos un método para resolver estructuras cerradas
sometidas a esfuerzos combinado de flexión y corte. Para lograr esto se presentaran
distintos tipos de estructuras y cargas. Existen dos métodos para el calculo de ya sea de
estructuras abiertas y cerradas.
1.- Cuando la sección de la estructura esta cargada de modo tal que los ejes de inercia
principales son coincidentes con el estado de carga.
2.- Cuando el sistema de carga no coincide con los ejes principales, para este caso se
puede utilizar el método de los coeficientes K tomando los ejes ubicadas en el centro de
gravedad coincidente con el estado de carga.
1 método.- Secciones abiertas.
En secciones abiertas cuando los espesores son importantes la sección tiene la
capacidad de absorber esfuerzos de torsión y de flexión. Considerando inicialmente el
caso donde el eje de las cargas es paralelo a la dirección de los ejes principales de
inercia y las cargas se encuentran aplicadas en el centro de corte, como se ve a
continuación. Tenemos que,
My
Qy
x
Mx
CG
Qx
y
Del análisis de las tensiones normales obtenemos,
σ=
My
N Mx
+
y+
x
A Jx
Jy
y para las tensiones tangenciales
τ=∫
∂σ
dA
∂z
de esta forma el flujo de corte en la sección queda representado por;
My ⎞
∂ ⎛⎜ N M x
+
y+
x ⎟ dA
∂z ⎜⎝ A J x
J y ⎟⎠
∂M y x
∂M x y
dA + ∫
dA
q =τt = ∫
∂z J x
∂z J y
q =τt = ∫
ya que
∂M
= Q , tenemos
∂z
q =τt =
Qy
Jx
Qx
∫ y dA + J y ∫ x dA
donde dA=dS t.
2 método.- Secciones abiertas con ejes de carga no coincidentes con los
ejes principales de inercia.
Para este, caso donde no coinciden los ejes de las cargas con los ejes principales
de inercia, existen hay dos formas de resolver el problema. La primera consiste en
encontrar los ejes principales de inercia y descomponer el estado de carga en ese par de
ejes y luego aplicar el método anterior. Es decir;
Qy
Qξ
x
CG
Qx
Qη
σ=
η
α
ξ
y
Mξ
N Mη
+
ξ+
η
A Jη
Jξ
entonces
q =τt =
Qξ
Jη
∫ ξ dA +
Qη
Jξ
∫ η dA
donde dA=dS t y.
⎛ Jx + Jy
J η = ⎜⎜
2
⎝
⎞
⎟+
⎟
⎠
1
4
(J x − J y )2 + J xy 2
⎛ Jx + Jy
J η = ⎜⎜
2
⎝
⎞
⎟−
⎟
⎠
1
4
(J x − J y )2 + J xy 2
⎛ 2 J xy ⎞
⎟
α = 12 tan −1 ⎜
⎜ Jy −Jx ⎟
⎝
⎠
Qη = Q x sen α − Q y cos α
Qξ = Q x cos α + Q y sen α
La otra formas de calculo es utilizar el método de los coeficientes K, teniendo un eje
coincidente con el estado de carga y con centro en el baricentro de la sección. En
consecuencia se propone una función con la siguiente forma,
σ = K o + K1 x + K 2 y
My
Qy
x
∫ σ dA = N
∫ σ y dA = M x
∫ σ x dA = M y
Mx CG
Qx
y
Reemplazando tenemos;
=0 =0 ∫ K o dA + ∫ K 1 x dA + ∫ K 2 y dA = N
entonces
K 0 ∫ dA = N
⇒
N
= K0
A
de la misma forma K1 y K2 se determinan como
=0 K 0 ∫ y dA + K 1 ∫ x y dA + K 2 ∫ y 2 dA = M x
K 1 J xy + K 2 J x = M x
[1]
y
=0 K 0 ∫ x dA + K 1 ∫ x 2 dA + K 2 ∫ x y dA = M y
K 1 J y + K 2 J xy = M y
Resolviendo [1] y [2] para K1 y K2 se obtiene
K1 =
M y − K 2 J xy
Jy
[2]
⎛ M y − K 2 J xy
⎜
⎜
Jy
⎝
⎞
⎟ J xy + K 2 J x = M x
⎟
⎠
M y J xy − K 2 J xy 2 + K 2 J x J y = M x J y
K2 =
K1 =
M x J y − M y J xy
J x J y − J xy
2
M y J x − M x J xy
J x J y − J xy 2
Reemplazando en la función propuesta, obtenemos
σ=
N ⎛⎜ M y J x − M x J xy
+
A ⎜ J x J y − J xy 2
⎝
⎛
⎞
⎟ x + ⎜ M x J y − M y J xy
⎜ J J −J 2
⎟
x y
xy
⎝
⎠
⎞
⎟y
⎟
⎠
Esta ultima expresión representa la tensión normal para el caso de flexión en
secciones abiertas o cerradas con ejes de inercia no principales.
El flujo de corte se puede calcular como q = τ t = ∫
∂σ ∂ ⎛⎜ N ⎛⎜ M y J x − M x J xy
+
=
∂z ∂z ⎜ A ⎜ J x J y − J xy 2
⎝
⎝
considerando que
∂M x
= Qy
∂z
∂M y
∂z
∂σ
dA , entonces,
∂z
⎛
⎞
⎟ x + ⎜ M x J y − M y J xy
⎜ J J −J 2
⎟
x y
xy
⎝
⎠
⎞ ⎞
⎟ y⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎠
= Q x , derivando tenemos
∂σ 1 ∂N ⎛⎜ Q x J x − Q y J xy
=
+
∂z A ∂z ⎜ J x J y − J xy 2
⎝
(
⎞
⎛
⎟ x + ⎜ Q y J y − Q x J xy
⎟
⎜ J J −J 2
xy
⎠
⎝ x y
)
(
∂σ Q x J x x − J xy y Q y J y y − J xy x
=
+
∂z
J x J y − J xy 2
J x J y − J xy 2
⎞
⎟y
⎟
⎠
)
reemplazando tenemos que el flujo de corte queda definido como
q = τt =
ya que
Qx
J x J y − J xy
2
(J ∫ x dA − J ∫ y dA)+
J
x
xy
Qy
x J y − J xy
∫ y dA = S x = ∫ x t dS ∫ x dA = S y = ∫ y t dS ,
2
(J ∫ y dA − J ∫ x dA)
y
xy
y considerando un momento
torsor que produzca un flujo de corte qTR, entonces tenemos;
⎡ J y S x ( S ) − J yx S y ( S ) ⎤
⎡ J x S y ( S ) − J xy S x ( S ) ⎤
q =τt = ⎢
Q
+
⎥ Q y + qTR
⎢
⎥
x
2
2
J x J y − J xy
J x J y − J xy
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
Conclusión
Cuando la sección es abierta se aplica cualquiera de las variantes anteriores, en
cambio, cuando la sección es cerrada, las ecuaciones planteados siguen siendo validas
para las tensiones normales ya sea para el caso donde el estado de carga coincide o no
con los ejes principales. Pero para el análisis de las tensiones tangenciales o flujo de
corte en una sección cerrada no es posible utilizar la ecuación planteada anteriormente,
ya que para este caso se debe tratar a la misma como si fuera una sección con carácter
hiperestático, es decir, faltarían datos para poder resolver dichas ecuaciones. En
consecuencia, se desarrollará a continuación un método de calculo para determinar los
flujos de corte en secciones cerradas con estados de carga coincidentes o no con los ejes
principales de inercia
CÁLCULO DE FLUJO DE CORTE EN UNA ESTRUCTURA
MONOCASCO MONOCELDA
dS
dz
qo
S
x
1
γo =
y
Siendo el estado de tensiones y deformaciones en un elemento de la estructura.
τo
q
= o
G Gt
dz
qo
z
S
dS
γo
dwo = γ o dS =
qo
dS
Gt
dwo
Siendo el desplazamiento horizontal debido al estado de carga
q
Δw10 = ∫ dwo = ∫ o dS
S
SGt
To ( S ) = Toy ( S ) = −
Q y S x (S )
Jy
Y el desplazamiento debido a una flujo de corte unitario
Δw11 = ∫
S
q1
dS
dS = ∫
S
Gt
Gt
Planteando el equilibrio en el punto de corte
Δw1 = 0
⇒
Δw10 + T1 Δw11 = 0
qo
T1 = −
Δw10
=−
Δw11
∫ G t dS
1
∫ G t dS
Ejemplo
10
P
1
10
qo
S
q0
dS
SG t
ΔU 10 = ∫
qo (S ) =
Qx S y (S )
Jy
Calculando los momentos estáticos
1)
2)
3)
4)
S1 = 0 = S7
S2 = 5⋅2,5⋅t = 12,5⋅t = S6
S3 = 10⋅5⋅t + S2 = 62,5⋅t = S5
S4 = S3 +5⋅2,5⋅t = 75⋅t
2
1
Tengo que calcular
ΔU 10 ( S ) = ∫
Q y S x (S )
Jx t G
dS = ∫
3
7
4
6
5
qo
dS
Gt
Siendo la ley de variación de los momentos estáticos entre los vértices
S y (S ) = S t S
1-2
t S2
=
20
2
5
5
0
2-3
S y ( S ) = (S 2 + 5 S t )
3-4
S y ( S ) = S 3 + S t (5 − S )
2
10
0
(
= (12.5 t + 5 s t )
)
5
0
10
0
= 62.5 t + t S (5 − S )
2
5
0
Reemplazando
(
)
⎡ 5 t S2
⎤
10
5
qo
dS = 2 ⎢ ∫
dS + ∫ (12.5 t + 5 s t ) dS + ∫ 62.5 t + t S (5 − S ) dS ⎥
ΔU 10 ( S ) = ∫
2
0
0
0
Gt
2
⎣
⎦
3
2
2
3
ΔU 10 ( S ) = 2 ⎡ t S
+ 12.5 t S + 5 t S
+5t S
−t S
+ 62.5 t s ⎤
6
2
2
6
⎢⎣
⎥⎦
= 2 t 125 + 125 + 250 + 125 − 125 + 312.5 = 1500 t
2
6
6
[
ΔU 10 =
S
]
Q y 1500 t
J xG t
=
1500 Q y t
q1=1
JG
ΔU 11 = ∫
ΔU10 + q1 ΔU11 = 0
dS
40
= (5 + 10 + 10 + 10 + 5) =
Gt
Gt
1500 Q y
40
+ q1
=0
JG
Gt
∴
q1 = −
1500
Qyt
40 J
Siendo el estado final de flujo de corte,
65.5⋅P/J
12.5⋅P/J
2
37.5⋅t⋅P/J
3
1
75⋅P/J
7
4
6
5
+
=
25⋅P/J
=
37.5⋅P/J
CASO DE MULTICELDA
Extendiendo el método presentado a una estructura multicelda tenemos
10
10
1
10
ΔU10+ q1 ΔU11 + q2 ΔU12 = 0
ΔU20 + q1 ΔU21 +q2 ΔU22 = 0
q0
dS
S1 G t
ΔU 10 = ∫
ΔU 12 = ∫
dS
t
12 G
ΔU 11 = ∫
dS
t
ΔU 22 = ∫
1G
dS
t
2G
En este caso debemos plantear los siguientes tres estados de carga para poder resolver la
estructura
q
q1
q0
=
1)2)3)4)5)-
q2
+
+
3
4
2
S1 = 0 = S9
S2 = 5⋅t⋅2,5 = 12.5⋅t = S8
S3 = S2 + 10⋅5⋅t = 62.5⋅t = S7
S4 = 2 S3 =125⋅t = S6
S5 = S4 +5⋅2,5⋅t = 137.5⋅t
1
9
5
8
6
7
Siendo la ley de variación de los momentos estáticos entre vértices
5
entre 1-2
S x (S ) = S 2 t
entre 2-3
S x ( S ) = 12.5 t + 5 t S
entre 4-5
S x ( S ) = 125 t + S (5 − S ) t
2
20
10
0
5
0
3
2
2
3
ΔU 10 ( S ) = 2 ⎡ t S
+ 12.5 t S + 5 t S
+5t S
+ 125 t S − t S ⎤
6
2
2
6 ⎥⎦
⎢⎣
P
= 2 t 125 + 125 + 250 + 125 + 625 − 125 = 2125
6
2
6
J xG
[
2125 P
J xG
40
=
Gt
10
=
Gt
ΔU 10 = ΔU 20 =
ΔU 11 = ΔU 22
ΔU 12 = ΔU 21
]
Volviendo al sistema inicial;
S
S
ΔU10+ q1 ΔU11 + q2 ΔU12 = 0
ΔU20 + q1 ΔU21 +q2 ΔU22 = 0
q = qo + q1+ q2
40
10
P
⎧
⎪2125 G J + G t q1 + G t q 2 = 0
⎪
x
⎨
⎪2125 P + 10 q + 40 q = 0
1
2
⎪⎩
G Jx G t
Gt
Resolviendo
q1 = q2
215 P
50
+ q1
=0 ∴
Jx G
Gt
q1 = −
Pt
2125
P t = −42.5
Jx
50 J x
Quedando el estado de final flujos de corte sobre la sección, como
6
20 P t / Jx
30 P t / Jx
30 P t / Jx
4
42.5 P t / Jx
52.5 P t / Jx
40 P t / Jx
42.5 P t / Jx