Algebra Lineal: Ecuación Lineal

Algebra
Lineal:
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de
Matemáticas
Ecuación
Lineal
Ecuación Lineal
Una ecuación lineal en las n variables x1 , x2 , . . . , xn es una
igualdad matemática que puede escribirse en la forma canónica:
Notas
Ejemplos
a1 · x1 + a2 · x2 + · · · + an · xn = b
Los ai se conocen como los coeficientes de la ecuación, y a b se
le llama el término constante. Las variables o incógnitas xi
representan cantidades desconocidas que se desean determinar.
Si el valor de b es cero, se dice que la ecuación es una ecuación
homogénea. Dada la ecuación lineal anterior, a la nueva
ecuación
a1 · x1 + a2 · x2 + · · · + an · xn = 0
se le conoce como la ecuación homogénea asociada.
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Notas
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Ejemplos
• Es común convenir en un ordenamiento de las incógnitas
xi ; de acuerdo a ese orden, a la primera de ellas que no
tenga coeficente cero se le llamará variable delantera,
mientras que las restantes se les llamarán variables libres.
• Note que en la forma canónica todas las variables se
encuentran en el primer miembro, mientras que los
términos donde ellas no aparecen quedan en el segundo.
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Notas
Ejemplos
Ejemplo 1
Indique cuáles opciones contienen ecuaciones lineales:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
−x −
√y = −4 − 2 x − 3 y
x + 2y = 2w + 4z
5 x y + 5 z = −1 + w
x + 5 y + z = x5
−x − 4 y 4 = z
5x + y + 5z = 1 + 5y
cos (x) + 2 y − 3 z = 1
√
5 x +y +z =1
Solución
Sólamente las opciones 1, 2 y 6 contiene ecuaciones lineales.
Los términos resaltados impiden que la ecuación pueda llevarse
a la forma canónica.
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Ejemplos
Ejemplo 2
Indique cuáles opciones contienen ecuaciones lineales y
homogéneas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
x + y + z = 1 − 4y
x = w − 2 y2
−2 x − 3 y = 5 − 4 x − 9 y
x +y =w +z
−3 − 4 x = −3 − 3 x + 5 y
x +x ·y +z =0
Solución
Sólamente las opciones 4 y 5 contiene ecuaciones lineales y
homogéneas: 2 y 6 no son ecuaciones lineales por los términos
resaltados en rojo; 1 y 3 son lineales, pero no homogéneas por
las constantes resaltadas en azul. Las constantes de la ecuación
5 se cancelan.