MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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MATEMATICAS FINANCIERAS
OBJETIVO GENERAL:
Dominio y uso de las herramientas básicas para realizar los cálculos matemáticos,
frecuentemente utilizados en el medio financiero. Particularmente en el Mercado
de dinero y en el de Capitales.
Conocimiento pleno de los conceptos matemáticos y fórmulas que se aplican
en el Mercado de Valores, así como el uso de calculadoras especializadas.
ANA BEATRIZ MARTÍNEZ LÓPEZ
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INTERES SIMPLE
En las operaciones financieras de crédito e inversión que se usa interés simple, el capital
o base de la operación no cambia y los rendimientos del mismo dependen del capital, del
tiempo de la tasa de interés aplicada.
Ejemplo:
Si se invierte un capital de $2,000 durante 4 años al 30 % anual, los intereses que va a
generar este capital serán los siguientes:
Capital:
Tasa de interés
Tiempo:
PERIODO
1
2
3
4
TOTAL
$2,000
30 % anual
4 años
CAP. INICIAL
2000
2000
2000
2000
INTERÉS
600
600
600
600
2400
CAP. FINAL
2000
2000
2000
2000
Si en este momento se retira la inversión, los intereses ganados serán de $2,400 y el
capital de $2,000, lo que dará un total o monto de $4,400.
Si el cálculo de intereses se quiere resolver por fórmula matemática se tendría:
I=Cin
Donde:
I = Interés generado por un cierto capital.
i = Tasa de interés efectiva para el periodo.
n = número de períodos que se permanece un capital invertido o prestado.
En la solución de problemas de interés es muy importante que la tasa de interés esté
relacionado con el tiempo; y al tanto por uno, es decir, si el periodo es anual, la tasa será
anual, si es trimestral, la tasa será trimestral, etc.
Para la solución del problema usando fórmula tendríamos:
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I=Cx i x n
I = 2000 x .30/2 x 8 = 2,400
Como la base o capital no varía el cambio en el periodo no afecto la obtención de
intereses.
Despejando de la fórmula anterior las diferentes variables se puede obtener el capital, el
tiempo y la tasa de interés efectiva para el periodo.
I=Cxixn
C = I /(i x n)
n=I/Cxi
i = (I / C x n)
A continuación veremos un ejemplo para cada variable:
1) ¿Cuánto le contará a usted un préstamo de $1,000 al 24% anual si lo cubre al final de
6 trimestres?
I=Cin
I = 1,000 x .24/4 x 6 = $360
2) ¿Qué capital se invirtió para que después de 6 trimestres a una tasa del 24 % haya
generado intereses por $360 ?
C = I / in
C=
360
.24 / 4 x 6
C = $1,000
3) ¿A qué tasa de interés nominal anual se colocó un capital de $1,000 para que después
de 6 trimestres haya generado un interés de 360?
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i=
I
x
4
100
C x n
i=
360
x
100 : i = 6% trimestral
1000 x 6
i = 6 x 4 = 24 % anual
¿Durante cuántos trimestres se invirtió un capital de $1,000 para que a una tasa de
interés anual del 24% haya producido 360 de intereses?
n=
I
C x I
n=
360
= 6 trimestres
1000 x .24/4
nota: El capital en operación de interés se conoce también como el valor presente del
dinero.
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MONTO O VALOR FUTURO EN INTERES SIMPLE
El monto o valor futuro en operaciones financieras es la suma del capital inicial o valor
presente más los intereses que se generaron durante un cierto tiempo y a una tasa de
interés.
M=C+I
Donde:
C=M-I
I=M-C
Si se desea calcular directamente el monto o valor futuro de una inversión sin calcular
primero los intereses, se puede usar la siguiente fórmula integral.
M=C+I
Donde:
M = C+ Cin
Factorizando con C
M = C(1 + in)
Ejemplo.:
¿Cuál será el monto o valor futuro de una inversión de $1000 que se coloca en una
institución bancaria durante 9 meses al 24 % anual en interés simple?
M = C [ I + (in) ]
M = 1000 [ I + (.24/12 X 9 ) ] = $1,180
Sobre la fórmula de monto o valor futuro se puede determinar el capital, el tiempo y la
tasa de interés efectiva para el periodo.
M = C [ 1 + (in) ]
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En nuestro Ejemplo.
¿Qué capital se invirtió para que después de 9 meses y a una tasa del 24 % anual, haya
dado un monto de $1,180?
C=
M
=
[1 + (in) ]
1180
= 1,000
[1 + 24/12 x 9 ]
Para hacer más sencillo el despeje de el tiempo (n) y de la tasa de interés efectiva (y)
para el periodo use la fórmula de monto sin factorizar.
M=C+Cin
M-C = i
Cn
Donde:
i= M-C
x 100
Cxn
En nuestro ejemplo el planteamiento quedaría de la siguiente forma:
A que tasa de interés anual colocó un capital de $1,000 para que después de 9 meses
haya dado un monto de $1,180.
i= M-C
x 100
Cxn
i = 1,180 - 1,000 x 100 = 2% mensual
1,000 x 9
Para convertirla en tasa nominal anual, se multiplica por 12 meses.
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i = 2 / x12 = 24 % anual
Para despejar n de la fórmula de monto:
M = C +C i n
Donde:
M - C = Cin
M-C =n
Cxi
n=M-C
Cxi
El resultado será el número de periodos que se colocó la inversión.
En el Ejemplo:
¿Durante cuantos meses se colocó un capital de $1,000 para que a una tasa de interés
del 24% anual haya dado un monto de $1,180?
n=M-C
Cx i
n = 1,180 - 1,000
= 9 meses
1,000 x .24/12
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DESCUENTO FINANCIERO
Existen algunos préstamos o instrumentos de inversión que se manejan bajo el régimen
de descuento financiero.
El descuento financiero consiste en cobrar los intereses al inicio de la operación a
diferencia del régimen de intereses donde se cobran al final.
Descuento Bancario
Descuento Financiero
Descuento Racional
En el descuento bancario que es el que más se usa, el interés se cobra o se paga sobre
el monto o valor nominal de la operación (valor final) esta modalidad se usa en Préstamos
Bancarios a corto plazo, factoraje, cetes, papel comercial, etc.
En el descuento racional el interés se cobra sobre el capital o valor inicial de la operación.
Es poco usado en los Mercados Financieros y las fórmulas matemáticas que se usan son
las de interés simple, con la única modalidad que los intereses por descuento se cobran al
principio de la operación. Para esta modalidad de descuento.
Intereses por descuento = ID = Cin
M =C (1 + in)
C=
M
[ 1 + (in) ]
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DESCUENTO BANCARIO
Como los intereses se cobran al principio, sobre el monto, el interés por descuento se
calcula con la siguiente fórmula:
ID = M x (in)
Donde:
ID = Interés que se va a descontar
M = Monto o valor nominal de la operación
I = Tasa efectiva del periodo
n = Número de periodos que va a durar la inversión
Ejemplo:
La Cía. Espejos Pintados, S.A. solicita un préstamo de $10,000 por 12 meses y se le
concede por el régimen de descuento bancario. Si la tasa de interés que le cobra el banco
es de 36% anual, ¿Cuánto se le descontará por intereses y cuánto recibirá la empresa?
ID = M (in)
ID = 10,000 ( .36 x 12 ) = 3600
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El descuento por intereses que le hará el banco será de $3,600, por lo que la empresa
recibirá $6,400 (10,000 - 3,600).
C = M- Y
C = 10,000 -3,600 = 6,400
En los problemas de descuento se pueden determinar 2 tasas:
* La tasa de rendimiento
*La tasa de descuento
La Tasa de Rendimiento comparará el rendimiento que generó el capital sobre el capital
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disponible, y la tasa de descuento, el rendimiento o descuento sobre el monto.
En nuestro problema la tasa de rendimiento nominal anual por el año para el banco y por
lo tanto, tasa de costo efectivo para el cliente será:
Tasa de Rendimiento Nominal = 3,600 x 100 = 56.25 %
6,400
Mientras que la tasa de descuento sería:
Tasa de Descuento Nominal = 3,600 x 100 = 36%
10,000
Dé la fórmula general de descuento bancario:
ID=M (in) se puede despejar
M= ID
in
i= ID x 100
Mn
n= ID
Mi
Para comprobar las fórmulas usemos un Ejemplo:
1) La empresa “X” solicita un préstamo de $ 10,000 a diez meses a una tasa anual del
36% bajo el régimen de descuento bancario. ¿ A cuánto ascenderán los intereses por
descuento ?.
ID= M(in)
ID= 10,000 x (.36/12x10)= $3,000.00
2) ¿ Cual será el monto de un préstamo a 10 meses al 36% por el régimen de descuento,
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si se descontaron $ 3,000.00 ?
M = ID
in
M=
3,000
= $10,000
(.36/12x10)
3) ¿ A qué tasa de interés por descuento se recibió un préstamo de $10,000 en diez
meses para que el banco haya descontado $ 3,000 ?
y= ID x 100
MN
i = 3000 x 100 = 3% mensual
10,000 x 10
i = 3% x 12 meses = 36% anual
4) A cuantos meses se concedió un préstamo de $ 10,000 para que el banco haya
descontado $ 3,000 si la tasa de interés nominal fue del 36% anual.
n=
ID
Mxi
n=
3,000
= 10 meses
10,000 x (.36/12)
En las operaciones financieras por descuento bancario se puede calcular el capital al que
se le han descontado los intereses.
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C = M - ID
Donde:
M = C + ID
ID = M - C
En el Ejemplo anterior
C = M -ID
C = 10,000 - 3,000 = $ 7,000
M = C + ID
M = 7,000 + 3,000 = $ 10,000
ID = M - C
ID = 10,000 - 7,000 = $ 3,000
Si el capital se quiere obtener directamente se puede usar la siguiente fórmula:
M = C - ID
de donde:
C = M - ( M i n) factorizando con M
C = M [ (1 - i n) ]
En nuestro ejemplo.
C = 10,000 [ 1 -(.36/12 x 10) ] = 7,000
De la fórmula anterior
C = M [ (1 - i n) ]
Se puede despejar el monto:
M=
C
(1 - (i n))
También se pueden despejar las variables i y n y para hacerlo se recomienda tomar la
fórmula antes de factorizar.
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C = M - ID
C=M-Min
de donde:
Para despejar la i:
M i n = M -C
i=M-C
x 100
Mxn
Para despejar n:
C = M -M i n
M i n = M -C
n= M-C
Mxi
Para entender las fórmulas anteriores supongamos el siguiente ejemplo:
Si el valor nominal de un cete a 28 días es de $ 10.00 y tiene una tasa de
descuento de 30%.
1) ¿Cuánto deberá pagar por cada título?
C = M x ( 1 - ( i n)
C = 10 x ( 1 - (.30/ 360 x 28) = 9.77
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2) Si la cantidad que se pagó por un cete a 28 días es de 9.77 y la tasa de descuento es
del 30%, ¿Cuál es el valor nominal del título?
M=
C
[1 - (i n]
=
9.77
[1 - (.30 /360 x 28)]
M = $ 10.00
3) ¿A qué tasa de descuento se adquirió un cete a 28 días si se pagó por él $9.77?
i=
M -C x 100
Mxn
i = 10 - 9.77 x 100 = .08214 % en un día.
10 x 28
i = Nominal Anual
.0821428 x 360 = 30%
4) ¿A cuánto tiempo de vencimiento se adquirió un cete por el que se pagó 9.77 si la tasa
de interés es del 30%?
n= M - C
Mxi
n=
10 - 9.77
= 28 días
[10 x (.30/ 360) ]
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DESCUENTO RACIONAL
En el Descuento Racional los intereses se calculan sobre el capital y se descuentan del
monto o valor nominal al principio de la operación.
Las fórmulas a usar son las mismas de interés simple, así es que sólo ilustraremos esta
modalidad con un ejemplo:
El Sr. Rodríguez consigue un préstamo por $ 10,000 con base de descuento racional si la
operación se concerta a una tasa de descuento del 36% a 10 meses.
¿ A cuánto ascenderá la cantidad que va a recibir el Sr. Rodríguez y a cuánto los
intereses que le descontó el banco?
Datos:
Monto = 10,000
Capital = ?
i
=
36% anual
n
=
10 meses
Fórmula:
C=
M
1 + (i n)
C=
10,000 = $ 7,692.31
(1 + (.36/12 x 10)
Capital o cantidad disponible
Intereses por descuento
Intereses por descuento
= $ 7,692.31
= 10,000 - 7,692.31
= $ 2,307.69
Para comprobar que los intereses se calculan sobre el capital.
I=Cin
de donde:
I = 7,692.31 x .36/12 x 10 = $ 2,307.69
Monto = C ( 1 + i n) =
M = 7,692.31 x (1 + .36/12 x 10) = $ 10,000
Si se comparan los intereses por Descuento Racional contra los intereses por Descuento
Bancario resultan menores bajo esta última modalidad, por lo tanto conviene más la
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modalidad de descuento bancario para el inversionista, y más el descuento racional para
el que solicita un préstamo.
Ejemplo:
Determine el importe de intereses por descuento bancario y racional para un instrumento
financiero de $ 20,000 a 60 días, al 30% anual.
Datos:
M
= 20,000
i
= 30%
n
= 60 días
Interés = ?
Cálculo de Interés por Descuento
Bancario
fórmulas
ID = M i n
ID = 20,000 x (.30 /360 x 60)
ID = $ 1,000
C = M ( 1 - (i n)
C = 20,000 ( 1 - .30/ 360 x 60)
C = $ 19,000
o bien:
C = M - ID
C = 20,000 - 1,000
C = $ 19,000
Racional
fórmulas
C = M /( 1 + (i n)
C = 20,000/ [ 1 + (.30/360 x60) ]
C = $ 19, 047.62
ID = M - C
ID = 20,000 - 19,047.62
ID = $ 952.38
o bien.
I=Cin
I = 19, 047.62 x ( .30/360 x 60)
I = 952.38
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INTERES COMPUESTO
Existen Instrumentos de Inversión y Financiamiento que se concertan con base en interés
compuesto, también llamado interés capitalizable.
En el interés compuesto o capitalizable el interés que genera un capital se va acumulando
a éste y se convierte en capital; de tal manera que los intereses se van acumulando sobre
una nueva base a medida que se capitalizan.
En el interés compuesto entonces las variables que intervienen para determinar el
rendimiento son: CAPITAL, TASA DE INTERES, TIEMPO Y FRECUENCIA DE
CAPITALIZACION.
El capital es la cantidad que se invierte o se pide prestada.
La tasa de interés es el porciento del capital que se va a cubrir o se va a pagar
nominalmente sobre el capital.
El tiempo es el número de períodos que se va a usar un capital o se va a invertir (años,
semestres, trimestres, meses, días, etc.).
La Frecuencia de Capitalización es el número de veces que durante un año se van a
acumular los intereses al capital. (una vez al año, semestralmente, mensualmente, etc.)
La Frecuencia de Capitalización es, sin lugar a dudas la variable más interesante en el
interés compuesto, ya que de ella depende un mayor o menor rendimiento sobre un
mismo capital, a un mismo lapso de tiempo y a una cierta tasa.
La Frecuencia de Capitalización puede ir desde una vez al año (anual), hasta una
frecuencia infinita llamada capitalización continua.
Para entender mejor la mecánica del interés compuesto, supóngase que usted invierte $
1,000 al 20% capitalizable anualmente y los deja 3 años.
INVERSION
PERIODOS
C. INICIAL
INTERES
C. FINAL
$
1,000
$
200
$ 1,200
1
$ 1,200
$ 240
$ 1,440
2
$ 1,440
$ 288
$ 1,728
3
Como se puede observar en el cuadro anterior inicialmente se colocaron $ 1,000 al final
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del 1er año, los intereses que generó este capital fueron de $ 200 ( 1,000 x .20 x 1) y
éstos se incorporaron al mismo, dando como resultado un nuevo capital. Como resultado
un nuevo capital de $ 1,200 con lo que se inició el segundo ejercicio. Sobre este nuevo
capital se aplicó la tasa de interés dando como resultado intereses por $ 240 ( 1200 x .20
x 1) y así sucesivamente.
Si los cálculos anteriores los hacemos usando fórmulas matemáticas tendríamos:
VF1 =
VF2=
VF3=
1000 (1.20)
1000 (1.20) (1.20)
1000 (1.20) (1.20) (1.20)
=
=
=
1,200
1,440
1,728
Lo anterior significa que al capital se le va a multiplicar (1 + i) uno más la tasa de interés
efectiva (decimal) tantas veces como se vaya capitalizando los intereses.
VF
= VP (1 + i) (1 + i) (1 + i)............. (1 + i) dando como resultado la fórmula de valor
futuro de una inversión en interés compuesto.
VF
= VP (1 + i)n
de donde:
VF es el importe final de una inversión que incluye capital más intereses después de un
tiempo
1 Es la unidad aritmética
i Es la tasa efectiva para el período (anual, semestral, diaria, etc.)
n Es la frecuencia de capitalizaciones en el año.
En el interés compuesto la tasa de interés efectiva debe estar relacionada con la
frecuencia de capitalización; es decir, si la capitalización es anual, la tasa efectiva será
anual, si la capitalización es mensual, la tasa efectiva debe ser mensual.
Ejemplo:
Determine el valor futuro de $ 100 que se invierten durante 3 años a una tasa del 10% con
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capitalización anual.
Solución:
Capital o Valor Presente:
Tiempo:
Tasa Nominal:
Capitalización:
$ 100
3 años
10%
anual
VF = VP ( 1 + i) n
VF = 100 ( 1 +.10) 3
$ 133.10
VP
100
VF
133.10
0
1
2
3
De lo anterior se desprende que si usted invirtió $100 durante 3 años al 10% anual y al
final recibe 133.10, la diferencia entre el valor del capital final y el valor del capital inicial
son los intereses que generó la inversión.
En interés compuesto entonces los intereses se conocen sacando la diferencia entre el
valor futuro y el valor presente de una inversión. No existe una fórmula matemática para
determinar los intereses debido a que el capital varía cada vez que se le acumulan los
intereses.
Si se desea comprobar las cifras de la inversión anterior, puede hacerse un cuadro.
Inversión:
$100 al 10% a 3 años con capitalización anual.
PERIODO
1
2
3
CAP. INICIAL
100
110
121
INTERES
10
11
12.10
CAP. FINAL
110
121
133.10
Supongamos ahora una capitalización semestral para esta misma inversión:
C=
i=
n
=
100
10%
3 años : 6 semestres
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Capitalización semestral (dos veces al año)
VF = VP ( 1 + i) n
VF= 100 (1 + .10/2)6= 134.01
Obsérvese, que aquí la tasa nominal se divide entre 2 porque la tasa efectiva debe ser
semestral, ya que el número de veces que los intereses se van a incorporar al capital son
dos.
La potencia a que se eleva la expresión es 6 (3 años por 2 veces de capitalización).
Observése también que el capital final o valor futuro de la inversión fue mayor y por lo
tanto los intereses más elevados, debido a la incorporación más rápida de los mismos al
capital.
Supongamos ahora una capitalización trimestral:
Capital:
i:
n
:
100
10%
3 años : 12 trimestres
Con capitalización trimestral ( 4 veces al año)
VF = VP ( 1 + i) n
VF = 100 (1 + .10/4)12=
134.49
Con capitalización mensual:
VF = VP ( 1 + i) n
VF = 100(1 + .10/12)36= 134.82
Con capitalización diaria (año comercial):
VF = VP ( 1 + i) n
VF =100 (1 + .10/ 360)1080= 134.98
Con capitalización 2 veces al día:
VF = VP ( 1 + i) n
VF = 100 (1 + .10/720)2160= 134.98
Observese que en este momento la frecuencia de capitalización dejó de ser importante
para el rendimiento de la inversión ya que el valor futuro de la misma fue el mismo que en
el caso de capitalización diaria, y aunque la capitalización se lleve hasta el infinito el
resultado final de la inversión no cambiará considerablemente.
Por ejemplo, supongamos $ 10’000,000 de capitalización al año.
VF = 100 ( 1 +.10/ 10’000,000)30,000,000 = 134.98
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El valor futuro de la inversión no cambio.
Debido a esto, podemos hablar de lo que se denomina capitalización continua ( n puede
hacerse arbitrariamente grande hasta el infinito), es decir efectuar la capitalización con
una frecuencia infinita durante el año.
Para resolver problemas con capitalización continua se usa el factor dado por el logaritmo
natural llamado e, cuyo valor es 2.71828 (aparece en las calculadoras financieras); y la
fórmula para determinar el valor futuro de una inversión con capitalización continua es:
VF = VP x e i x n
En nuestro ejemplo:
VF = 100 x( 2.71828)3 x.10
VF = 134.98
Ahora bien, si se desea saber como se encontró el valor logaritmo e determine el valor
futuro de 1.00 a diferentes capitalizaciones hasta llevarlo a un número arbitrariamente alto
de capitalización.
PERIODO DE
CAPITALIZACION
1
2
10
100
1,000
10,000
100,000
1’000,000
(1 + I/P)P
(1 + 1/1)1
(1 + 1/2)2
(1 + 1/10)10
(1 + 1/100)100
(1 + 1/1000)1000
(1 + 1/10,000)10,000
(1 + 1/100,000)100,000
(1+ 1/1’000,000)1’000,000
VALOR
2.00
2.25
2.594
2.705
2.7169
2.7181
2.71827
2.71828
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VALOR PRESENTE EN INTERES COMPUESTO
Existen operaciones financieras donde se conoce el valor futuro o monto de la operación y
se desea conocer el valor presente de la misma, por ejemplo cuando se descuenta un
documento, o se quiere reestructurar una deuda, en un momento dado, o bien cuando se
quiere saber cuanto se quiere invertir en este para ahorrar cierta cantidad que se necesita
en el futuro.
El valor presente en una operación financiera es el importe de un capital en cierto
momento.
Para determinar el valor presente de un capital conociendo su valor futuro basta con
despejar de la fórmula del valor futuro el valor presente.
VF = VP ( 1 + i) n
de donde:
VP = VF/ (1 +i)n
Ejemplo:
Supongamos que la Cía. Libros Rotos descuenta una factura con valor de $1,000 que
vence en 3 meses a una tasa de interés del 32% con capitalización mensual. ¿Cuánto
recibirá en este momento por su factura?
VP =
VF =
i =
n
=
?
1,000
32% con capitalización mensual
3 meses
Fórmula:
VP=
VF/(1 + i)n
VP =
1000/(1 + .32/12)3 = 924.08
de donde:
El resultado anterior significa que el valor de la factura en este momento es de $ 924.08
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23
TIEMPO EN INTERES COMPUESTO
Para determinar el tiempo necesario para que el valor presente de un capital se convierta
en un cierto valor futuro con determinada tasa de interés, de la fórmula general de valor
futuro hay que despejar la n.
Fórmula:
VF = VP X (1+I)n
Como n es un exponente en la fórmula para resolver la operación hay que usar
logaritmos.
Logaritmo de un número es el exponente al que está elevada cierta base para obtener
como resultado dicho número.
La base generalmente es 10 y se llama logaritmo común.
Ejemplo:
El logaritmo común de 10 es 1: (10)1 = 10
El logaritmo común de 100 es 2: (10)2 = 100
El logaritmo común de 1000 es 3: (10)3 = 1000
El logaritmo común de 25 es 1.39794: (10)1.3979= 25
Los logaritmos se usan para resolver operaciones matemáticas y tienen 4 propiedades
fundamentales:
Propiedades de los logaritmos:
1) Log (a x b) =
log a + log b Ejemplo:
a2 x a3=a2+3=a5
2) Log a/b =
log a - log b Ejemplo:
a5/a2 = a5-2 = a3
3) Log 1/a =
- log a
4) Log (a) n =
n log a
Ejemplo:
1/a2= a-2
Ejemplo:
(a2)4 = a2x4 = a8
Ya que se conocen las propiedades de los logaritmos se procede a despejar n de la
fórmula de valor futuro.
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24
VF = VP X (1+i)n
VF/ VP = (1+i)n
log VF- log VP = n log (1 +i)
log VF - log VP = n
log (1+i)
Ejemplo:
En cuanto tiempo un capital de $ 1,000 se convierte en $ 1,280.08 si la tasa de interés
vigente en el mercado es del 30% con capitalización mensual.
VP =
VF=
i =
n =
1000
1,280.08
30%
? meses
Fórmula:
n=
log VF - log VP
log (1+y)
n=
log 1,280.08 - log 1000
log ( 1 + .30/ 12)
n=
3.1072371122 - 3.00 = 10 meses
.01072386539
=n
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25
TASA DE INTERES
Para determinar la tasa de interés efectiva en una operación financiera con interés
compuesto se despeja de la formula general de valor futuro y una vez que se conoce ésta
para convertirla en nominal basta con multiplicarla por el número de periodos que la tasa
efectiva se aplica en un año.
Fórmula:
n
VF = VP x (1 + i )
Donde:
n
VF/VP = (1 + i)
Para eliminar la n de la segunda parte de la ecuación se aplica una raíz n a las dos
partes.
n
VF / VP =
n
(1 + i )n
Donde:
n
VF / VP =
1+i
Donde:
n
VF / VP = - 1 = i
i=
[
n
VF / VP -1
100
Si no se quiere trabajar con raíz se convierte en potencia.
i= ( VF/VP)
1/ n
-1)100
A que tasa de interés capitalizable mensualmente se deberá invertir un capital de $10,000
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para que después de 2 años se reúnan $20,327.94
VF = 20,327.94
VP = 10,000
n = 2 años
i= [(VF/VF)
1/ n
-1] x 100
i = [(20,327.94/10,000)
1 / 24
-1]100= 3%
Nota:
n se describe en meses porque la capitalización es mensual.
i = 3 % mensual efectiva
Tasa Nominal Anuall:
3% x 12 meses = 36 % anual.
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27
TASA DE INTERES
La tasa de interés es una operación financiera, es el porcentaje que sobre un capital se
obtiene o se cubre de acuerdo con lo establecido convencionalmente entre el oferente y el
demandante de recursos.
Dentro de la tasa de interés hay varias formas de considerarla y calcularla
TASA NOMINAL:
Es la tasa de interés pactada entre los usuarios del dinero, su expresión es anual, siempre
indica el plazo al cual se refiere la operación.
Ej. Pagaré a 28 días 32%
TASA EFECTIVA:
Es la tasa de interés que va a operar para cada período. Es la que efectivamente se
recibe o se paga periódicamente y al capitalizarla anualmente da un rendimiento efectivo.
Su expresión es con base al plazo y se puede calcular en forma anual.
Ej. 3% mensual o [(1.03)12 - 1] 100= 42.57% anual
Para entender mejor la expresión de tasa efectiva, supóngase que una señora deposita
en un Banco un capital de $6,000 a una tasa del 24% con capitalización mensual y lo deja
durante un año.
1. ¿Cuánto ganó por su inversión?
2. ¿Cuál fue el rendimiento efectivo sobre su inversión ?
3. ¿Cuál es la tasa efectiva?
solución
VF= VP (1+I) n
VF = 6000 (1 + .24/12) 12 = $7,609.45
Si el valor futuro de la inversión es de $7,609.45 y el Capital invertido fue de $6,000, el
interés ganado es de $1,609.45.
% Rendimiento = Interés ganado X100
Capital Invertido
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28
% Rendimiento = 1,609.45 X 100 = 26.82% Anual
6,000
26.82% es el rendimiento que efectivamente ganó la señora por su inversión, y representa
la tasa efectiva para un 24% con capitalización mensual.
La tasa efectiva se pudo haber determinado con base en la tasa nominal: Capitalizando la
tasa efectiva del periodo.
Tasa Nominal
=
24% anual con capitalización mensual
Tasa Efectiva
Mensual
=
24/12 = 2% mensual
Tasa Efectiva
Anual
=
[ (1.02) 12] -1 X100 = 26.82%
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29
TASA REAL:
Es aquella tasa efectiva a la cual se le ha descontado la inflación del periodo.
La tasa se puede determinar usando cualquiera de las fórmulas siguientes:
Tasa Real =
(
1 + i Efectiva
1 + Inflación
)
-1
x
100
% Efectiva - % Inflación
Tasa Real =
(1+ Inflación Decimal)
Ejemplo:
Supóngase que la Sra. del ejercicio anterior que invirtió su dinero durante un año al 24%
de interés capitalizable mensualmente, desea conocer su Tasa Real de rendimiento ante
una inflación anual del 18%.
Tasa Real = [ ( 1 + .2682) -1] 100 = 7.47%
1 + .18
Tasa Real = [ 26.82 - 18] = 7.47%
1.18
Despejando de la fórmula anterior:
Tasa efectiva = [1 + i Real) ( 1 + inflación) -1 ] x 100
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30
TASAS EQUIVALENTES
Son las tasas de interés que con diferentes periodos de capitalización producen los
mismos rendimientos durante un año.
Por Ejemplo:
La Srita. Álvarez invirtió durante un año 100 pesos al 24% con capitalización mensual y la
srita. Anguiano invirtió también 100 al 25.23% con capitalización semestral. Cual de las
dos personas obtuvo un rendimiento mayor sobre su inversión.
Solución:
Srita. Álvarez
VF = VP (1 + I)n
VF = 100 (1+ .24/12)12 = $126.82
Interés Ganado: 126.82 - 100 = $26.82
% Rendimiento : 26.82 X 100 = 26.82%
100
Srita. Anguiano
VF = VP (1 + I)n
VF = 100 (1+ .2523/2)2 = $126.82
Interés Ganado: 126.82 - 100 = $26.82
% Rendimiento : 26.82 X 100 = 26.82%
100
Como se puede observar en el cuadro anterior las 2 personas obtuvieron el mismo
rendimiento debido a que la tasa efectiva para ambas tasas nominales fue la misma.
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31
Inversión Señorita Alvarez:
Tasa Efectiva anual para 24% mensual
T. Efectiva = [ ( 1+ .24/12)12 -1] 100 = 26.82%
Inversión Señorita Anguiano:
Tasa Efectiva para 25.23% semestral
T. Efectiva= [( 1+ .2523/2)2 -1 ] 100 = 26.82%
Para determinar la tasa Equivalente efectiva para cualquier Tasa Nominal existe una
fórmula general:
T. Efectiva Equivalente = [(1 + i )m/n -1)] 100
Donde:
i = Es la tasa efectiva del periodo para la tasa nominal conocida
m = Es el período final o período buscado (mes, año, día, etc.)
n = Es el período inicial o dado (mes, año, día, etc.)
Si aplicamos la fórmula para encontrar la tasa equivalente al 24% con capitalización
mensual, para un cierta tasa con capitalización semestral.
i = es igual al .24/12 = .02 mensual
m = es un semestre (6 meses)
n = es un mes
Quedando la fórmula:
T. Efectiva Equivalente = [(1 + .24/12) 6/1 -1] 100
T. Efectiva Equivalente= 12.616% para un semestre
Para encontrar la tasa Nominal Anual que corresponde a esta Tasa Efectiva Semestral
basta con multiplicarla por 2 semestres.
Tasa Efectiva Semestral = 12.616 X 2 = 25.23% Anual Nominal con capitalización
Semestral.
Encontremos ahora la tasa Equivalente para:
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32
15% de capitalización Trimestral para cierta Tasa con capitalización diaria.
i= .15/4 = .0375 trimestral
m= un día
n= 90 días ( un trimestre)
Tasa Efectiva Equivalente = [( 1 + .15/4)1/90 -1] 100
Tasa Efectiva Equivalente = .0409% por un día
Tasa Equivalente Nominal Anual = .0409 X 360 = 14.73%
Comprobación:
Tasa Efectiva para 15% Trimestral (capitalización)
T. Efectiva = [( 1 + .15/4)4 -1] 100 = 15.86%
Tasa Efectiva Anual para 14.73 a 1 día
T. Efectiva = [8 1+ .1473/360)360 -1] 100 = 15.86%
TASA ACUMULADA:
Es la tasa de interés efectiva acumulada para un tiempo determinado.
Se calcula usando la siguiente fórmula:
Tasa Acumulada = [(1+i1) (1+i2) (1+i3) .... -1] 100
Ejemplo:
La Señora Rodriguez manejó una inversión durante 90 días a las siguientes tasa
Nominales:
36% en 7 días
30% en 30 dias
28% en 45 días
27% en 8 días
¿Cual fue la tasa efectiva Acumulada para los 90 días?
Solución:
Tasa efectiva por periodo
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36% en 7 días =
(.36/360 X 7) =
.7% en 7 días
30% en 30 dias =
(.30/360 X 30) =
2.5% en 30 días
28% en 45 días =
(.28/360 X 45) =
3.5% en 45 días
27% en 8 días =
(.27/360 X 8)
=
33
.6% en 8 días
Tasa Efectiva en 90 días: [(1.007) (1.025) ( 1.035) (1.006) -1] 100
Tasa Efectiva en 90 días = 7.47%
TASA PROMEDIO
Es aquella tasa de interés que corresponde en promedio a un período específico a partir
de una tasa acumulada.
Ejemplo:
Si en el problema anterior la inversión de una persona le dio una tasa efectiva de 7.475
por un trimestre, uno se podría preguntar cual fue la tasa promedio para un mes.
La tasa promedio se determina:
Tasa Promedio = [(1+I)1/n -1] 100
Donde:
“i” representa la tasa acumulada para un periodo.
“n” representa los periodos contenidos en la tasa acumulada.
En nuestro Ejemplo:
Tasa Promedio Mensual = [(1+.0747)1/3 -1] 100
Tasa Promedio Mensual = 2.43%
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34
Otro ejemplo podría ser el siguiente:
Un fondo pagó en un año una Tasa Efectiva del 56%
¿Cuáles fueron las Tasas promedio pagadas en periodo semestral, trimestrales,
bimestrales y mensuales?
Solución:
Tasa Promedio Semestral = [(1.56)1/2 - 1] 100 =
24.90%
Tasa Promedio Trimestral = [(1.56)1/4 -1] 100 =
11.76%
Tasa Promedio Bimestral = [(1.56)1/6 -1] 100 =
7.69%
Tasa Promedio Mensual = [(1.56)1/12 - 1] 100=
3.78%
TASA ANUALIZADA
A veces se conoce la tasa de interés para un periodo y se desea saber cual es la tasa
anualizada a que corresponde dicha tasa periódica
Tasa Anualizada = [(1+I)n -1] 100
La Tasa efectiva mensual de interés que ofrece un instrumento financiero es del 2.5%
cual será la tasa efectiva anualizada.
Solución:
Tasa Anualizada = [(1.025)12 -1] 100 = 34.49%
TASA REMANENTE
Se usa para determinar la tasa que corresponde a un periodo a partir de una tasa Total
Tasa Remanente = [ ( 1+ i final / 1+ i inicial) -1 ] 100
Ejemplo:
La tasa de interés efectiva anual de una inversión es del 42% y en el primer trimestre se
lleva ganado un 12% ¿Cuanto falta por obtener?
Tasa Efectiva Remanente = [(1.42/1.12) -1] 100 = 26.78%
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35
TASA DE RENDIMIENTO EN PESOS INVIRTIENDO EN DOLARES
El rendimiento o tasa efectiva que genera la inversión de un capital mexicano en dólares,
debe considerar dos factores:
a) la tasa efectiva en dólares y la tasa de devaluación del peso.
Tasa de Rendimiento en $ = [1 + i en dólares) ( 1 + devaluación) -1 ] 100
Ejemplo:
Un inversionista mexicano invierte en un instrumento en dólares al 9% a 60 días y la
devaluación que ocurrió en México en ese lapso es de un 4%.
¿Cuál es el rendimiento efectivo en pesos?
Tasa de Rendimiento = [( 1 + .09/6) (1.04) - 1] 100 =5.56% en 60 días.
TASA DE RENDIMIENTO EN DOLARES INVIRTIENDO EN PESOS
El rendimiento efectivo de una inversión en dólares dentro de los mercados financieros
mexicanos, debe tomar en cuenta la tasa de rendimiento en pesos y la tasa de
devaluación del peso.
Tasa Rendimiento en dólares =
invirtiendo en pesos
( 1 + i en $) -1
(1 + devaluación)
x 100
Ejemplo:
Se invirtió un fondo americano en la Bolsa Mexicana y gana el 42% nominal, en un año. Si
la devaluación de la moneda en ese lapso fue de un 18% . ¿Cuál es el Rendimiento en
dólares ?
Tasa de Rendimiento en dólares =
(1 + .42 ) - 1
x 100 = 20.34%
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invirtiendo en pesos
36
(1 + .18)
ANUALIDADES
No siempre las operaciones financieras relacionadas con préstamos o con inversiones se
realizan a través de un sólo pago o de pagos de diferentes importes, a veces se usan
instrumentos financieros donde las cantidades que se reciben o se pagan son periódicos
o iguales. A las cantidades iguales que se presentan en forma consecutiva y por un cierto
tiempo para cubrir un préstamo o inversión se les llama en matemáticas financieras
ANUALIDAD.
El nombre de anualidad no significa necesariamente que el pago igual, se realice cada
año ya que éste puede ser también semestral, bimestral, mensual y hasta diario.
Las anualidades o pagos iguales consecutivos pueden darse al principio de cada período
o al final.
Cuando el pago se recibe o se cubre al principio de cada período se dice que son
Anualidades Anticipadas y se usan generalmente para fondos de inversión, pagos de
rentas, etc.
Cuando el pago se recibe o se cubre al final de cada período se llaman Anualidades
Vencidas Ciertas u Ordinarias, y se usan generalmente para el pago de algunos
préstamos bancarios, créditos por adquisición de muebles, automóviles, etc.
Anualidad Anticipada
(Fondo de Inversión)
100
0
100
1
100
100
100
2
3
4
5
En problemas financieros donde se usan anualidades se puede calcular su valor futuro, su
valor presente y la propia anualidad a partir de un valor presente o de un valor futuro.
Generalmente la capitalización va relacionada con el pago periódico.
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37
ANUALIDADES VENCIDAS
Como ya dijimos son pagos iguales que en forma consecutiva se realizan al final de cada
período y el valor futuro de la serie se localiza al final y su valor presente al principio.
Anualidad Vencida
100
100
100
100
0
1
2
3
100
4
5
VALOR FUTURO DE ANUALIDADES VENCIDAS
Es la suma del valor futuro de todos los pagos al final del plazo de la operación y a una
cierta tasa de interés.
Ejemplo:
Suponga que usted establece un fondo de inversión con su banco y al final de cada mes
deposita 2000 durante 5 meses Si el banco le cubre una tasa de interés del 36% ¿Cuánto
habrá reunido al final de este plazo?
VF
1
2
3
4
5
4
2,000(1+.36/12)
= 2,251.02
3
2,000(1+.36/12)
= 2,185.45
2
=2,121.80
2,000(1+.36/12)
1
2,000(1+.36/12)
= 2,060.00
0
= 2,000.00
2,000(1+.36/12)
SUMA
10,618.27
En este caso el valor final de su inversión será que estará compuesto de 5 pagos de
2,000 igual a 10,000 y la diferencia de 618.27 serán intereses.
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38
Existe una fórmula matemática para localizar directamente el valor futuro de anualidades
vencidas, ya que sería impráctico estar calculando cada uno de los valores futuros de la
operación, sobre todo porque hay algunas que abarcan muchos períodos.
FORMULA PARA VALOR FUTURO DE ANUALIDADES VENCIDAS
VF = A x (1 +i)n -1
i
En nuestro ejemplo:
VF = 2000 X
[(1 + .36/12)5 -1] = 10,618.2
.36/12
ANUALIDAD VENCIDA A PARTIR DE VALOR FUTURO
De la fórmula anterior se puede despejar el valor del pago igual vencido anualidad y así
conocer por ejemplo de cuanto debe ser el depósito periódico para alcanzar una cierta
cantidad al final de un cierto plazo.
A = VF x i
(1 + i)n-1
Usando el mismo ejemplo vamos a suponer que usted necesita al final de 5 meses los 10,
618.27 para reponer el mueble y su pregunta es cuanto debe depositar mensualmente en
forma vencida para cumplir con su compromiso a una tasa de interés del 36% anual.
Aplicando la fórmula tendríamos:
A = 10,618.27 x
36/12
(1 + .36/12)5 -1
=
ANA BEATRIZ MARTÍNEZ LÓPEZ
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39
A = $2,000
El depósito a efectuar en forma vencida durante 5 meses será entonces de $2,000.
VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES VENCIDAS
El Valor Presente de una serie de pagos iguales vencidos es la suma del valor presente
de cada uno de ellos a una cierta tasa de interés y a un cierto tiempo hacia atrás
Por Ejemplo:
Supongamos que usted recibe 5 pagarés de 2,000 anuales vencidos y los descuenta en
este momento. ¿Cuánto recibirá por la serie si la tasa de interés que le cobran es del 20%
Para resolver el problema hagamos un diagrama de tiempo.
VP = VF/(1+I)n
2000
0
1
200 0
2
200 0
3
20 00
200 0
4
5
VP=2000/1.20)1 =1,666.66
VP=2000/1.20)2 =1,388.88
VP=2000/1.20)3 =1,157.41
VP=2000/1.20)4 = 964.51
VP=2000/1.20)5 = 803.76
suma =
5,981.22
El resultado anterior significa que si usted se va esperando a cada vencimiento al final de
los 5 años tendrá 10,000, pero si los descuenta a una tasa del 20% capitalizable en este
momento recibirá $5,981.22, la diferencia entre los intereses.
Para determinar directamente el valor presente de anualidades vencidas existe una
fórmula matemática:
VP = A x 1-(1+i) -n
i
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40
de donde:
VP = 2000 x 1-(1.20)-5
.20
VP = 5,981.22
ANUALIDAD VENCIDA A PARTIR DE VALOR PRESENTE
En muchas operaciones financieras se conoce el valor presente y se requiere el valor del
pago periódico vencido. En este caso se puede despejar la variable anualidad de la
fórmula de valor presente.
A = VP x
i
1-(1+i) -n
Para entender la fórmula anterior vamos a suponer que usted va a adquirir una máquina
que en este momento vale $5,981.22 y la va a pagar con 5 pagos iguales vencidos a una
tasa de interés del 20% y desea saber a cuanto ascenderá cada uno.
Usando la fórmula anterior tendríamos
A = VP x
i
1-(1+I) -n
A = 5,981.22 x
.20
1-(1.20)-5
A = 2,000
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41
Usando calculadora financiera (HP 17 o 19) usted puede encontrar; valor presente, valor
futuro, anualidad, tasa de interés y tiempo usando el programa de valor del dinero en el
tiempo (VDT)
ANUALIDAD ANTICIPADA
Son pagos iguales periódicos que se hacen o se reciben al principio de cada operación.
VALOR FUTURO DE ANUALIDADES ANTICIPADAS
Es la suma del valor futuro de cada pago periódico anticipado al final del plazo de la
operación a una cierta tasa de interés.
Supongamos que usted establece un fondo de ahorro por 5 años depositando 1000
anuales anticipados a una tasa del 25% anual
1
2
3
4
5
5
VF = 1,000(1.25)
= 3,051.76
4
VF = 1,000(1.25)
= 2,444.41
3
VF = 1,000(1.25)
= 1,953.12
2
VF = 1,000(1.25)
= 1,562.50
1
= 1,250.00
VF = 1,000(1.25)
SUMA
10,258.79
Existe una fórmula matemática para encontrar el valor futuro de anualidades anticipadas.
VF = A x (1+i)n-1 x (1+i)
i
de donde:
VF = 1000 x (1.25)5 -1 x (1.25)
.25
VF = $10,258.79
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42
VALOR DE ANUALIDAD ANTICIPADA A PARTIR DE VALOR FINAL
Si se conoce el valor futuro de anualidades anticipadas pero se desconoce el valor del
pago, se puede despejar la variable “anualidad” de la fórmula de valor futuro.
A = VF x i
(1+i)n-1
x
1
(1+i)
En nuestro Ejemplo:
A = 10,258.79
x
.25
x
(1.2595 -1)
1
(1.25)
A = $1,000
VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES ANTICIPADAS
El valor presente de anualidades anticipadas es la suma del valor presente de todos los
pagos a una cierta tasa de interés.
Ejemplo:
Supongamos que usted se gana una beca de 500 al principio de cada año por 5 años y
desea saber cuanto depositó la institución que le otorgó la beca al principio de la
operación si la tasa interés vigente en el mercado es de 30% anual
VP =
VF
(1+I) n
500
VP=500/(1.30) 0 =00
VP=500/(1.30) 1 =384.62
VP=500/(1.30) 2 =295.88
VP=500/(1.30) 3 =227.58
VP=500/(1.30) 4 =175.06
SUMA
1,583.12
1
500
2
500
500
500
3
4
5
ANA BEATRIZ MARTÍNEZ LÓPEZ
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43
La fórmula para determinar al valor presente de anualidades anticipadas es la siguiente:
VP = A x
1-(1+i)-n x (1+i)
i
VP = 500 x 1-(1.30) -5 x (1.30)
.30
= 1,583.12
VALOR ANUALIDAD ANTICIPADA A PARTIR DE
VALOR PRESENTE
Supongamos en nuestro ejemplo que nosotros conocemos el valor presente, pero
desconocimos el valor del pago anual anticipado. Despejando de la fórmula anterior la
“anualidad” tendremos:
A = VP x
i
x
1
1-(1+i)-n
(1 +I)
A = 1,583.12 x
.30
x 1
1-(1.30)-5 (1.30)
A = $500
En la calculadora financiera (HP17 Y 19) se puede calcular el valor presente, valor futuro,
anualidad, tiempo y tasa de interés con el programa valor del dinero en el tiempo.
ANA BEATRIZ MARTÍNEZ LÓPEZ
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TABLAS DE AMORTIZACION
Frecuentemente al concertar un crédito bancario o cualquier otro crédito financiero, el
deudor siente que no cubre capital con sus pagos y que lo único que está pagando son
intereses.
La gran mayoría de deudores bancarios y financieros olvidan que su crédito debe cubrir
intereses y cuando reciben su saldo insoluto se sienten defraudados, pues solo restan
sus pagos al capital, sin tomar en cuenta que por parte de éstos pagos cubren el costo
del dinero (intereses).
Existen muchos modelos de amortización de créditos. En algunos de ellos se cubren más
intereses al principio que al final.
En otras, por el contrario, menos intereses al principio y más al final.
Hay modelos donde la amortización de capital es igual en cada pago; otras donde se
amortiza más capital al principio, y otras donde se amortiza más capital al final, etc.
Cualquiera que sea el modelo que adopte el acreedor o que escoja el deudor es
conveniente mostrar al cliente una tabla de amortización del crédito para que él se de
cuenta como lo va a finiquitar.
También es conveniente explicarle si la tasa de interés que se le va a aplicar a su crédito
es fija o variable y sus implicaciones financieras.
Una Tabla de Amortización es la representación numérica en forma de cuadro de los
pagos que va a hacer el cliente y su distribución a pago de capital e intereses.
A manera de ejemplo mostraremos una tabla de amortización de un crédito por $ 10,000 a
cubrir con pagos iguales anuales durante 5 años a una tasa del 30% anual (fija) y en
capítulo por separado se mostraron otras modalidades de amortización.
Solución:
1) Datos:
Capital
Interés
Tiempo
$ 10,000
30% anual
5 años
(VP)
(Tasa Fija)
2) Importe del pago anual (vencido)
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45
fórmula:
A = VP x [ i/ 1-( 1 +i)-n ]
A = 10,000 x [ .30/1 - (1.30)-5]
A = $ 4,105.81
TABLA DE AMORTIZACION
Préstamo de $10,000 con pagos iguales de $4,105.81 anuales vencidos.
Período
1
2
3
4
5
Suma
Capital
Inicial
10,000
8,894.19
7,456.64
5,587.82
3,158.36
Interés
3,000
2,668.26
2,236.99
1,676.35
947.45
10,529.05
Pago
Anual
4,105.81
4,105.81
4,105.81
4,105.81
4,105.81
20,529.05
Amort.
Cap.
1,105.81
1,437.55
1,868.82
2,429.46
3,158.36
10,000
Capital
Final
8,894.19
7,456.64
5,587.82
3,158.36
0
Como se puede observar en el cuadro anterior:
Los intereses en los primeros años son mayores debido a que el saldo insoluto o capital
que se adeuda es mayor.
El valor de la amortización del capital va aumentando en la proporción de la tasa de
interés que se está usando (30%).
El valor del pago se compone de una parte de intereses y una parte de capital.
A medida que aumenta la amortización de capital disminuye la carga de intereses.
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PRACTICA
INTERES SIMPLE
1.- El Sr. Pérez depositó en un banco $ 1,000 y los dejó 9 meses a una tasa de interés del
22% en interés simple.
a) ¿Cuánto ganó por concepto de intereses?
b) ¿Cuánto retiró en total?
2.- ¿Cuánto le costará por concepto de intereses en préstamo de $ 100,000 por 6
trimestres a una tasa de interés anual del 24%?
3.- ¿Cuánto ganará usted si invierte $2,000 a 28 días al 26% anual?
4.- Determine que capital invirtió la Sra. Rodríguez para que en 6 bimestres hay recibido
por concepto de intereses $2,400 si la tasa de interés anual fue de un 24%.
5.- ¿Qué capital invirtió una persona si en 28 días recibió un interés de $6,090 a una tasa
de interés anual del 27%?
6.- ¿A que tasa de interés se colocó un capital de $ 10,000 para que en 3 trimestres haya
dado un interés de $2,700.
7. ¿A que tasa de interés anual se colocó un capital de $ 20,000 para que en 28 días,
haya dado un interés de $560.
8.- ¿Durante cuantos días colocó un capital de $ 100,000 para que dé un interés de
$36,000 si la tasa de interés anual fue de un 24%?
9.- ¿Durante cuántos días se colocó un capital de $116,000 para que a una tasa de
interés anual del 34% haya dado un interés de $ 7,888?
10.- ¿Durante cuántos meses se colocó un capital de $10,000 para que a una tasa de
interés del 40% haya dado un interés de $2,000?
ANA BEATRIZ MARTÍNEZ LÓPEZ
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11.- ¿Cuál será el valor futuro o monto de una inversión de $40,000 que se colocó en un
banco durante 6 trimestres a una tasa del 36% y cuál fue el interés generado?
12.- ¿Cuál será el valor futuro de una inversión de $10,000 que se deja en un banco
durante 18 meses a un 30% anual?
13.- ¿Cuánto tendría usted que pagar por un préstamo de $2,000 a 60 días al 48% anual
? ¿Cuánto corresponde a interés?
14.- ¿Cuál será el capital que pidió prestado una señora para que después de 9 meses y
a una tasa de interés del 36% haya pagado $31,750?
15.- ¿Qué capital pidió prestado el Sr. Álvarez para que después de 72 días hay pagado
$32,640. Si la tasa de interés anual que se le cobró fue de un 44% y cuánto
correspondió a intereses?
16.- ¿Durante cuántos meses pidió prestado la Sra. Sánchez $5,000 para que a una tasa
del 20% anual haya tenido que pagar $5,750 y cuánto correspondió a intereses?
17.- ¿Durante cuántos días se invirtió un capital de $ 10,000 para que a una tasa de
interés del 32% el inversionista haya retirado $10,640?
18.- ¿A que tasa de interés anual se consiguió prestado un capital de $20,000 para que
después de 8 meses se haya pagado $23,200?
19.- El día de hoy se presenta con usted que es ejecutivo de un banco el Sr. Chacón a
reestructurar 2 deudas que tiene con el banco.
La deuda 1 la firmó hace 4 meses, fue por un capital de $150,000 a 8 meses al 30%
anual.
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La deuda 2 la firmó hace 2 meses y fue por un capital de $ 100,000 a 9 meses al
24% anual.
Para cubrir las 2 deudas desea hacer un pago el día de hoy por $140,000y el resto
cubrirlo en 9 meses al 32% anual.
¿A cuánto ascenderá su pago final?
a) Fecha focal el día de hoy
b) Fecha focal: vencimiento de deuda 3
20.- El Sr. Pérez firmó 2 documentos; uno por $5,000 a pagar en un año y el otro por
$10,000 a pagar en 3 años. En una reestructuración convino pagar en $7,500 ahora y
el resto dentro de 4 años. Si se considera como fecha focal el año el año 4 ¿Qué
cantidad tendrá que pagar al final del 4º año suponiendo una tasa de interés para
todas las operaciones del 20% anual?
Nota: Fecha focal o fecha de valuación es el momento en que se iguala el valor de varias
obligaciones. A esta igualdad se le llama en matemáticas financieras ecuación de valor.
21.- Para adquirir mobiliario el Sr. Rodríguez solicitó un crédito por $20,000 a cubrir en 72
días . Si la operación se concertó el 28 de Diciembre de 1995 al 30% anual con
interés simple.
a) ¿Cuál será el pago total que tendrá que realizar?
b) ¿Cuánto corresponderá a intereses?
c) Fecha de pago
INTERES COMPUESTO
1.- Si usted invierte $5,000 a una tasa del 28% anual durante 2 años, y el banco le ofrece
una capitalización mensual ¿Cuánto recibirá al final del período?
2.- Usando tabla de capitalización, fórmula y calculadora financiera determine el valor
futuro de una inversión de $20,000 a 2.5 años al 30% anual con capitalización
semestral. ¿Cuánto corresponde a intereses?
3.- Determine el valor futuro de una inversión de $100 a 3 años al 10% anual con las
siguientes capitalizaciones:
a) Anual
b) Semestral
c) Trimestral
d) Mensual
e) Diaria
f) Continua
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4.- El Sr. Rodríguez desea invertir $40,000 por 3 años y se encuentra en las siguientes
opciones:
a) 28% con capitalización mensual
b) 30% con capitalización bimestral
c) 26% con capitalización continua
d) 28.5% con capitalización a 28 días
e) 32% con capitalización semestral
f) 34% con capitalización anual
g) ¿Cuál le conviene más?
5.-Una empresa de factoraje adquiere una factura con un valor de $ 40,000 que vence
dentro de 10 meses. Si negoció una tasa de interés del 24% con capitalización
mensual, ¿Cuánto pagará por la factura?
6.- Una empresa descuenta documentos por $50,000 con vencimiento a 6 meses. Si el
banco le cobra un interés del 48% con capitalización trimestral. ¿Cuánto recibe la
empresa?
7.- El Sr. Rodríguez necesita $ 80,000 dentro de 8 meses y ahorita cuenta con fondos.
¿Cuánto necesita depositar en este momento para reunir los $80,000 si la tasa de
interés que le ofrece el banco es de un 30% con capitalización diaria.
8.- Determina el valor presente de una inversión de $ 40,000 que vence en un año y
medio al 36% anual con capitalización bimestral.
9.- Se invirtieron en un banco $ 10,000 por 5 años. Durante los primeros 3 años. La tasa
de interés fue del 30% y durante los 2 siguientes la tasa fue del 26%. Si la
capitalización a que es tuvo sujeto el ahorro fue trimestral ¿Cuál es el valor futuro de
la inversión al final del 3er año y al final de 5º año. ¿Cuánto corresponde a intereses?
10.- Lolita Yañez recibió de regalo de bodas $ 50,000 que le ahorraron sus padres desde
su fecha de nacimiento. Si la joven se casó a los 18 años y la tasa promedio de
interés que pagó el banco fue de un 16% anual con capitalización continua. ¿cuánto
depositaron sus padres en su nacimiento?
11.- ¿A que tasa de interés anual capitalizable mensualmente un capital de $10,000 se
convirtió en 39,905.00 en 5 años?
12.- Si la Sra. Juana del Pozo invirtió $2,000 durante un año y recibió 2,699.38. ¿A que
tasa de interés con capitalización diaria colocó su inversión (año comercial)?
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13.- El Sr. Aguirre adquirió un mueble que de contado valía $1,200 y a crédito para pagar
en 6 meses se lo dieron en $1,432.86. ¿A que tasa de interés capitalizable
mensualmente le aplicaron el crédito?
14.- Si la tasa de interés que ofrece una inversión es de 32% capitalizable
trimestralmente. ¿Cuánto tiempo necesita para que una inversión de $1,000 se le
duplique?
15.- ¿En que tiempo la cantidad de $2,000 se convertirá en $3,023.39 al 20% capitalizable
mensualmente?
15a.- ¿Cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $10,000 para que a una tasa del 40%
con capitalización diaria se convierta en 18,033.98?
16.- Si el Sr. Juanito invierte $2,000 durante 3 años al 28% capitalizable semanalmente
(con 52 semanas).
a)¿Cuál es el valor futuro de la inversión?
b) ¿A cuánto ascendieron los intereses?
17.- Si el Sr. Campos necesita $2,000 dentro de 3 meses y encuentra una inversión que
ofrece el 24% con capitalización diaria, ¿Cuánto debe invertir ahora para reunir la
cantidad?
18.- Si usted desea que $100 se le conviertan en $250 y las tasas que le ofrecen es de un
41.96% con capitalización semanal ¿Cuánto tiempo debe dejar su inversión ( año de
52 semanas)
19.- ¿A qué tasa de interés convertible mensualmente una inversión de $200 se convirtió
en $250 durante 8 meses?
TASAS DE INTERES
1.- Calcula la tasa efectiva para el período y la tasa efectiva anual, para las siguientes
tasas nominales.
a) 24% capitalizable mensualmente
b) 36% capitalizable trimestralmente
c) 42% capitalizable bimestralmente
d) 20% capitalizable semestralmente
e) 32% capitalizable a 28 días
f) 40% capitalización diaria
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g) 36% capitalización continua
h) 30% capitalización anual
I) 54% capitalización semanal
2.- El Sr. Díaz invirtió $2,000 durante un año al 30% con capitalización mensual y desea
saber:
a) Cuál es el valor futuro de su inversión.
b) Los intereses que va a generar su inversión.
c) La tasa efectiva anual de su inversión.
d) Aplicando la tasa efectiva anual sobre su inversión compruebe el valor futuro.
3.- Una señora deposita en un banco un capital de $ 2,000 a una tasa del 30% con
capitalización continua y lo deja un año.
a) ¿Cuál fue el valor futuro de su inversión?
b) ¿Cuánto ganó por su inversión?
c) ¿Cuál fue el rendimiento efectivo sobre su inversión?
d) Usando la tasa efectiva calcule su valor futuro
4.- Determina la tasa efectiva para el período
a) 22% a 28 días
b) 50% a 1 día
c) 65% a 80 días
d) 36% a 7 días
e) 40% a 270 días
5.- Convierte las siguientes tasas efectivas en nominales.
a) 2% en 36 días
b) .2% en 1 día
c) 2.5% en 28 días
d) 7.45% en 45 días
6a.- Una persona invierte en cetes a 28 días a una tasa nominal de 42.74%. Determine la
tasa equivalente si la persona mantienen su inversión:
a) 1 día
b) 10 días
c) 14 días
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d) 20 días
e) 28 días
f) 91 días
7.- A que tasa debe cerrar un inversionista a 6 días para que ésta sea equivalente al
46.24% a 28 días.
8.- Determine la tasa real de las siguientes tasas efectivas:
Tasa efectiva
a) 35% anual
b) 23.4% anual
c) 5.40% mensual
Tasa inflación
18.25% anual
28.45% anual
3.48% mensual
9.- Determine la tasa equivalente nominal para las siguientes tasas:
a) 35% capit. anual______________________________
b) 30% capit. continua___________________________
c) 285 capit. mensual____________________________
d) 42% capit. semestral__________________________
e) 40% capit. diaria______________________________
capit. diaria
capit. semestral
capit. anual
cap. mensual
capit. trimestral.
10.- Un inversionista obtuvo en forma consecutiva los siguientes rendimientos nominales:
42% a 7 días
36% a 28 días
28.6% a 30 días
27.5% a 25 días
¿Cuál fue su rendimiento acumulado efectivo y nominal para los 90 días ?
11.- Usando los datos del problema anterior determine la tasa efectiva real para su
inversión si la inflación por 90 días. fue de: 7.9%
12.- Un fondo pagó en un año una tasa efectiva del 48% anual ¿Cuáles fueron las tasas
efectivas promedio en períodos:
a) semestrales
b) trimestrales
c) bimestrales
d) mensuales
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13.- Un instrumento financiero ofrece una tasa efectiva mensual del 3.2%: ¿cuál es la tasa
efectiva anualizada y cuál es la tasa nominal?
14.- Si un inversionista espera un rendimiento efectivo anual de 64.26% y en el primer
semestre lleva ganado un 39.20% ¿Cuánto deberá ganar en el 2º semestre para
cumplir con sus expectativas.
15.- Calcula las tasa reales suponiendo una inflación anual del 42%
a) 36% capitalización diaria
b) 20% capitalización continua
c) 56% capitalización mensual
d) 48% capitalización diaria
e) 41% capitalización
ANUALIDADES
1.- El Sr. Reyes estableció un fondo de ahorro depositando al final de cada mes durante 5
años $ 100. Si la tasa de interés que le paga el fondo es del 20% anual con
capitalización mensual ¿Cuánto recibirá al final de la operación?
2.- Determine el valor futuro de una serie de pagos trimestrales de $ 500 vencidos al final
de 2 años a una tasa del 30% anual.
3.- Si usted ahorrara en un banco $10 diarios vencidos durante 360 días a una tasa del
28% anual con capitalización diaria las cuales sería el valor futuro de su inversión.
4.- La Sra. Martínez estableció un seguro dote para retirarse depositando $500
semestrales vencidos durante 10 años si la tasa promedio de interés que ganó su
fondo fue de 18% anual con la misma capitalización del pago. ¿Cuánto recibió?
5.- La Sra. López necesita cubrir un pagaré que vence dentro de 9 meses por $ 100,000.
Para cubrir el pagaré establece un fondo de inversión que paga el 32% anual,
haciendo pagos mensuales vencidos iguales. ¿A cuánto ascenderá cada pago que
tiene que depositar? ¿A cuánto ascendieron los intereses que le pagó el banco?
6.- El Sr. Campos programó un viaje a final de año que le va a costar aproximadamente $
50,000 para lo cual abrió un fondo de ahorro depositando al final de cada día una cierta
ANA BEATRIZ MARTÍNEZ LÓPEZ
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cantidad. Usando el año comercial y una tasa del 22% anual con capitalización diaria,
determine el importe del depósito diario que tiene que hacer el Sr. Campos par costear
su viaje.
7.- Un taxista desea cambiar su taxi dentro de 3 años y presupuesta un valor
aproximadamente de $100,000. Si él deposita bimestralmente una cantidad igual a una
tasa del 32%, podrá ahorrar lo que necesita? ¿A cuánto ascenderá la cantidad
bimestral?
8.- La Cía. Computadoras Usadas, S.A. cuenta con una serie de 12 pagarés de $20,000
con vencimiento mensual y como necesita fondos en este momento los descuenta en
su banco . Si la tasa que le aplican es de un 30% con capitalización mensual. ¿Cuánto
recibe por su paquete?
9.- Si usted va a adquirir un auto a crédito y le indican que va a cubrir 40 mensualidades
vencidas de $1,600 porque la tasa de interés que le aplicaron fue del 28% anual ¿Cuál
es el valor del auto de contado? ¿Cuánto va a cubrir de intereses?
10.- Un papá depositó una cierta cantidad en su banco para cubrir 10 pagos semestrales
vencidos de $20,000 en la universidad donde estudia su hijo. Si la tasa de interés
vigente en el mercado es de 22% anual con capitalización semestral. ¿A cuánto
ascendió el depósito?
11.- La Srita. Chacón va a adquirir un auto que de contado vale $60,000 y le ofrecen un
crédito para cubrirlo con 50 pagos iguales mensuales vencidos al 28% anual con
capitalización mensual ¿A cuánto ascenderá el pago? ¿Cuánto pagará de intereses por
el auto?
12.- Si usted establece un fondo de ahorro con pagos mensuales anticipados de $200
durante 5 años a una tasa del 30% anual. ¿Cuánto recibirá al final?
13.- ¿Cuál es el valor futuro de $2.00 diarios anticipados durante 180 días al 28% anual
con capitalización diaria? (use año de 360 días)
14.- ¿Cuál es el valor presente de una serie de 28 pagarés de $1,000 mensuales
anticipados al 38% anual con capitalización mensual?
15.- ¿Qué cantidad mensual anticipada necesitará depositar en un banco para que al final
de 18 meses cuente con $ 2,000 a una tasa del 20%?
ANA BEATRIZ MARTÍNEZ LÓPEZ
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16.- El Sr. Martínez necesita cubrir un pagaré por $ 40,000, dentro de 1 año y medio. Para
juntar la cantidad establece un fondo de ahorros donde depositará una cantidad igual
trimestral anticipada. Si la tasa de interés que le ofrecen es de un 36% con
capitalización trimestral a cuanto ascenderá su depósito? ¿Cuánto correspondió a
capital y cuanto a intereses?
17.- Una empresa tiene 2 deudas con el banco, establecidas el día de hoy.
Deuda 1.- $100,000, a pagar en 2 años a una tasa del 23% capitalizable
trimestralmente.
Deuda 2.- $60,000 a pagar en 5 años con una tasa del 25% convertible
semestralmente.
Un año después de hablar adquirido estas deudas se realiza una renegociación entre
la empresa y el banco y se conviene en sustituir ambas por una sola a pagar al final
del 3er año (a partir de la firma inicial) con una tasa del 24% capitalizable
bimestralmente (este sería la fecha focal).
18.- La Cía. Rombos Verdes cuenta con 3 deudas en su banco.
Deuda 1.- $40,000 a pagar en 6 meses al 20% con capitalización mensual.
Deuda 2.- $50,000 a pagar en 8 meses al 22% con capitalización bimestral.
Deuda 3.- $10,000 a pagar en 9 meses al 24% con capitalización trimestral.
Cuatro mese después se negocia con el banco sustituir las 3 deudas por una sola con
vencimiento a 12 meses al 28% con capitalización mensual .
¿A cuánto ascenderá el pago único? (fecha focal en el pago único).
19.- El día de hoy se presenta el Sr. Torres a renegociar una deuda que tiene con su
banco por $ 40,000 que firmó hace 3 meses para pagar en 9 meses al 36% con
capitalización trimestral. El saldo insoluto que debe, quiere pagarlo con 10 pagos
mensuales iguales vencidos. Si la tasa de interés no ha cambiado a cuánto ascenderá
cada pago?
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20.- La Cía. Azul, S.A. firmó con su banco 2 deudas.
Deuda A.- $50,000 a 2 años al 30% con capitalización mensual.
Deuda B.- $ 100,000 a 4 años al 32% con capitalización trimestral.
Un año después de firmadas las deudas negocia con su banco cubrir las 2 deudas con
8 pagos iguales anticipados semestrales. El banco calcula sus saldos insolutos a las
tasas originales y aplica para la nueva operación una tasa del 40% con capitalización
semestral.
A) ¿Cuál es el saldo insoluto de las dos deudas en la fecha de renegociación?
B) ¿A cuánto ascenderá cada pago semestral para cubrir su deuda total?
21.- Si usted adquiere un auto que de contado vale $45,000 y lo va a pagar con 50
mensualidades vencidas por $ 1,380. ¿Qué tasa de interés anual le están cobrando?
22.- El Sr. Mascareñas adquiere una camioneta que de contado vale $60,000 con
mensualidades para pagar con mensualidades vencidas por $2,390.17 al 30%.
¿cuántas mensualidades necesita cubrir?
DESCUENTO FINANCIERO
1. El Sr. Rodríguez concerta un préstamo bancario por $40,000 a 90 días bajo el régimen
de descuento bancario a una tasa del 32%.
a) ¿Cuánto recibe líquido?
b) ¿A Cuánto asciende el descuento?
2. La cía X, S.A. solicita un préstamo por $50,000 a 180 días y el banco se lo concede
bajo el régimen de descuento bancario al 28% anual.
a) ¿Cuánto descontará el banco por el préstamo?
b) ¿Cuánto entregará a la Cía. X, S.A.
3. El banco le carga un descuento de $1,800 al Sr. Juárez por un préstamo bancario a 60
días realizado el 6 de enero. Si la tasa de descuento es del 30%.
a) ¿Cuánto debe liquidar al vencimiento?
b) ¿Cuánto recibe el Sr. Juárez?
c) ¿Cuándo debe ser liquidado el préstamo?
4. El Sr. Aguirre firmó un pagaré por $60,000 bajo el régimen de descuento bancario el 28
de diciembre d 1995, con vencimiento el 29 de marzo de 1996 y el banco le entregó la
cantidad de $55,093.33
a) ¿por cuánto tiempo fue el préstamo?
b) ¿Cuál fue la tasa de descuento anual que se le cargó?
c) ¿A cuánto ascendió el descuento?
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5. ¿Cuál es el valor al vencimiento de un pagaré que se descuenta al 28% por 100 días.
Si la persona recibe $83,000?
6. El Sr. Andrade desea invertir en cetes y le ofrecen un paquete de 10,000 cetes a 28
días. Si el valor nominal del cete es de $10 y la tasa de descuento en el mercado el 5
de enero de 1996 es del 44.70%.
a) ¿Cuánto pagará por el paquete?
b) ¿A cuánto asciende el descuento?
c) ¿Cuál es la tasa de descuento nominal?
d) ¿Cuál es la tasa de rendimiento nominal?
7.- Si la Sra. Rodríguez adquiere cetes a 90 días en $ 8.89. A que tasa de descuento
concertó su inversión. Compruebe el valor nominal y la tasa de rendimiento nominal
anual de ésta operación.
8.- Si usted pide prestado en un banco $ 100,000 y le ofrecen la operación con base en
descuento racional a una tasa del 32% anual y usted necesita el dinero por 60 días.
a) ¿Cuánto recibirá líquido?
b) ¿A cuánto ascenderá el descuento que le hace su banco?
c) ¿Cuánto tendrá que pagar al vencimiento?
d) Si el descuento hubiese sido por descuento bancario, cuánto hubiese recibido y a
cuanto asciende el interés que le descontaron?
9.- Si usted adquiere cetes a 91 días con valor nominal de $ 10 y la tasa de descuento es
del 46.21%
a) ¿Cuánto pagará por el cete?
b) ¿Cuál es la tasa de descuento nominal anual?
c) ¿Cuál es la tasa de rendimiento nominal anual?
d) Cuál es el valor nominal del cete?
10.- La Cía. Lentes Oscuros solicita un préstamo por $200,000 el 30 de Enero de 1996 a
90 días a una tasa del 42%. Si el préstamo se concerta por descuento bancario.
a) ¿Cuánto recibe la empresa?
b) ¿Cuánto paga por intereses?
c) ¿Cuánto tiene que cubrir’
d) ¿Cuándo debe de pagar el préstamo?
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TRATAMIENTO MATEMATICO DE LA INFLACION
Se dice que la inflación es el aumento generalizado y sostenido en el precio de los
artículos.
Son muchas variables las que intervienen para que en un País se dé inflación, dentro de
las cuales se tienen:
1) Aumento excesivo en el circulante.
2) Déficit en el Gasto Público.
3) Funcionamiento de la máquina de hacer dinero.
4) Desequilibrio entre la oferta y la demanda de productos y servicios.
5) Devaluación en la moneda
6) Inercia psicológica
7) Inflación externa, etc.
La inflación en un país ocasiona una disminución en el poder adquisitivo de la moneda,
incremento en el costo del dinero y desaliento en las inversiones dentro del país, entre
otras cosas.
La inflación se puede medir matemáticamente, ya que es una tasa efectiva en contra del
nacional de un país con ese problema.
Las expresiones matemáticas que se derivan del problema inflacionarios son:
INFLACIÓN ACUMULADA
Es el porciento de inflación que se va acumulando durante un periodo determinado:
Fórmula:
Inf. Acum.= [ (1 + I1 ) x (1 + I2) x (1 + I3) .......-1 ] 100
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Ejemplo:
En los cuatro primeros meses del año de 1995 la inflación del país fue del 9%, 10%, 7%,
5.5% ¿Qué inflación acumulada se tiene al finalizar abril?
Infl. Acum.= [ (1 + .09 ) x (1 + .10) x (1 + .07) (1 + .055) .......-1 ] 100
Infl. Acum.= 35.35%
INFLACION ANUALIZADA
Tomando como base la inflación de un periodo se determina a que inflación anual
corresponde.
Fórmula:
Inf. Anualizada:
[1+ I)n-1 ] 100
Ejemplo:
La inflación en el mes de enero de 1995 fue de 6.5% ¿ Cuál será la inflación anualizada?
Inf. Anualizada:
[1.065)12-1 ] 100 = 112.91%
INFLACION PROMEDIO
Tomando como base la inflación de un período, se puede determinar la inflación promedio
para una parte de ese período.
Fórmula:
Inf. Prom. = [(1 + i)1/n-1 ] 100
Ejemplo:
La inflación del mes de abril de 1995 fue de 5.99% ¿A que inflación promedio diaria
correspondió?
Inf. Prom.= [(1.0599)1/30 -1 ] 100 = .1941%
INFLACION REMANENTE
Es la inflación en que se espera incurrir sobre una base.
fórmula:
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Inf. Reman. = [(1 + I total ) -1] 100 =
(1 + I parcial)
Ejemplo:
En el primer semestre se incurrió en una inflación del 22% y se tiene una meta del 45% de
inflación anual. ¿Cuál será la inflación para el segundo semestre?
Inf. Rem. =
1.45 -1 100 = 18.85%
1.22
DETERMINACION DE UN INDICE DE INFLACION
Base para medir el impacto de la inflación sobre los precios.
Fórmula:
Ind. de Inf.= base x (1 +I)
Ejemplo:
El valor de la UDI el 4 de Abril de 1995 fue de $ 1.00, si la inflación del 5 al 30 de abril fue
de 4.9% ¿Cuál será el nuevo índice?
UDI = 1.00 (1.049) = 1.049
Si en mayo la inflación fue de 3.5% cuál será el índice al 31/V/95.
UDI = 1.049 x (1.035) = 1.085715
PORCIENTO DE INFLACION DE UN PERIODO A PARTIR DE UN INDICE
% de inflación =
Indice final -1
Indice anterior
x 100
Ejemplo:
Calcular la inflación del 94 si el INPC fue de:
1993
1994
% Inflación =
178.473
193.280
193.280 -1
178.473
x 100 = 8.30%
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PESOS CORRIENTES Y PESOS CONSTANTES
Cuando en un país la inflación es muy alta la información financiera que corresponde a
diferentes períodos deja de ser comparable.
Pesos corrientes: Cuando la información está expresada en pesos de poder adquisitivo
del año en que se reciben.
Pesos constantes: Cuando la información está expresada en pesos con poder adquisitivo
de un año en base.
Para convertir pesos corrientes en pesos constantes hay dos procedimientos: Actualizar y
Deflactar.
Actualizar una cifra es moverla de años anteriores a años actuales.
fórmula:
Actualización= Cifra x (1 + I)
En realidad es buscar el valor futuro de la cifra.
Deflactar una cifra es moverla hacia años anteriores descontando la inflación.
Deflactar = Cifra
(1 + I)
(Se usa el valor presente de la cifra).
Ejemplo:
Actualizar los siguientes valores tomando como año base 1995: (Datos al final del año)
92
Ingresos
Inflación 25%
93
400
Año
1992
1993
1994
1995
94
540
20%
95
600
10%
700
52.5%
400(1.20)(1.10)(1.525)
540(1.10)(1.525)
600(1.525)
700(1.00)
= 805.20
= 905.85
= 915.00
= 700.00
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Ejemplo:
Deflactar las mismas cifras tomando como base 1991(Diciembre). (Inicio de 1992)
92
93
94
95
= 400/1.25
= 540/1.20/1.25
= 600/1.10/1.20/1.25
= 700/1.525/1.10/1.20/1.25
= 320
= 360
= 363.64
= 278.19
UNIDAD DE INVERSION
(UDIS)
Es una unidad de cuenta de valor real constante en la que se podrán denominar Créditos,
Depósitos y otras operaciones financieras, excepto tarjetas de crédito y cuentas de
cheques. El valor inicial de la UDI se estableció el 4/IV/1995 en $ 1.00 y ha ido
evolucionando de acuerdo al índice nacional de precios al consumidor actualizándose y
publicándose en el Diario Oficial los días 10 y 25 de cada mes. En los principales
periódicos aparece su valor diariamente
VENTAJAS DE LOS UDIS EN INVERSION
1) El capital de las inversiones que se constituye en UDIS mantiene su valor real y no
es erosionado por la inflación.
2) Los intereses se pactan a tasa real y se denominan en UDIS.
3) El rendimiento efectivo de una inversión en UDIS siempre estará por arriba de la
inflación.
4) Alienta al ahorro interno en el país.
VENTAJAS DE LAS UDIS EN EL CREDITO
1) Al eliminarse la prima de riesgo bajará la tasa real de los intereses.
2) Se eliminan pagos enormes motivados por la inflación
3) El deudor sabrá el costo real de su crédito.
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4) Solo a la tasa pactada en UDIS es acumulable o deducible para efecto de ISR.
5) La actualización por inflación de la UDI, no genera ni ganancias ni pérdidas.
inflacionarias acumulables para efecto de ISR.
OBJETIVO DE LOS PROGRAMAS DE APOYO
1) Redocumentar créditos en UDIS
2) Otorgar plazos largos efectivos para el pago
3) Reducir el flujo de pagos en efectivo a cargo de los deudores en los primeros años.
4) Reducir la tasa real de interés que pagan los deudores.
Las operaciones de Inversión y Crédito en UDIS matemáticamente no cambian, la
metodología es igual a la de operaciones en pesos, lo único que se debe hacer es
convertir las UDIS en pesos al momento de cubrir un pago o cobrar una inversión de
acuerdo con su valor al día.
Ejemplo: de crédito en UDIS.
La Cía X, S.A. acuerda con su Banco reestructurar un crédito por $ 240,000 en UDIS y
cubrirlo con 6 pagos anuales, a una tasa del 10% en UDIS.
El crédito se reestructuró el 11/IX/95 cuando el valor de la UDI es de 1.235103 pesos.
La inflación anual durante los próximos 6 años se estima en:
30% al final del primer año
25% al final del segundo año
20% al final del tercer año
15% al final del cuarto año
15% al final del quinto año
15% al final del sexto año
Valor Estimada de la UDI al inicio de la operación = 1,235103
Al final del 1er. año:
Al final del 2o. año:
Al final del 3er. año:
1,235103 X 1.30 =
1,605634 X 1.25 =
2,007042 X 1.20 =
1.605634
2,007042
2.408451
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Al final del 4o. año:
Al final del 5o. año:
Al final del 6o. año:
64
2,408,451X 1.15 = 2,769718
2,769718 X 1.15 = 3.185176
3,185176 X 1.15 =
3,662953
Vamos a suponer que la empresa usa como método para cubrir su préstamo el de pagos
iguales vencidos.
La anualidad vencida se calcula en UDIS determinando las UDIS que a la fecha de
estructuración corresponda al valor del préstamo en pesos
Préstamo en pesos $ 240,000 entre 1,235103 Préstamo reestructurado en UDIS 194,316
Sobre 194,316 UDIS se calcula la anualidad vencida para cubrir el crédito con 6 pagos
iguales vencidas.
A = VP X
i
1-(1+I) -n
= 194,316 X
.10
1-(1.10)-6
A = 44,616 UDIS
El valor de los pagos iguales anuales que se determinaron en UDIS se convertirán en
pesos con el valor de la UDI en ese momento.
Pago 1
Pago 2
Pago 3
Pago 4
Pago 5
Pago 6
44,616
44,616
44,616
44,616
44,616
44,616
UDIS
UDIS
UDIS
UDIS
UDIS
UDIS
TOTAL DE PAGOS
X
X
X
X
X
X
1.605634
2.007042
2.408451
2.769718
3.185176
3.662953
=
=
=
=
=
=
$ 71,636.97
$ 89,546.19
$ 107,455.45
$ 123,573.74
$ 142,109.81
$ 163,426.31
$ 697,748.47
Para conocer la tasa efectiva en pesos que se cubrió en este préstamo basta calcular la
tasa interna de rendimiento, tomando el valor del préstamo como flujo negativo y los
pagos como flujos positivos ( o, al contrario)
T.I.R. = 35.32 % Esto significa que el préstamo cubierto en pesos costo un 35.32 %
anual.
La tabla de amortización se formula igual que la vista en el capítulo correspondiente a
amortización de créditos.
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EJEMPLO DE INVERSION EN UDIS
El cálculo del valor futuro de una inversión en UDIS, Así como su rendimiento usa la
misma metodología matemática.
Ejemplo:
El Sr. Rosas establece una inversión de $100,000 nominada en UDIS, el 11 de
septiembre de 1995, cuando el valor de la UDI era de 1,235103.
La tasa de interés ofrecida en UDIS es de un 4% con capitalización trimestral.
Si la inversión se deja un año y la tasa de inflación se estima para el 1er. trimestre en 11
% para el 2o. trimestre de un 8%, para el 3er. trimestre de un 6% y para el 4o. trimestre
de un 3%.
Cual será el valor futuro de la inversión en UDIS y en pesos. Cuál será el rendimiento
nominal y efectivo anual por la inversión.
Cálculos 100,000 / 1.235103 = 80,965 UDIS
V P(1+1)n
VF = 80,965 (1+.04 ) 4 = 84,253 UDIS = 80,965 UDIS
4
Cálculo del valor de la UDI:
Al final del 1er. trimestre:
Al final del 2o. trimestre:
Al final del 3er. trimestre:
Al final del 4o. trimestre:
1.235103 X 1.11 =
1.370964 X 1.08 =
1.480641 X 1.06 =
1.569480 X 1.03 =
1,370964
1,480641
1,569480
1.616564
Valor en pesos de la inversión en UDIS 84,253 UDIS X 1.616564 = $136,200.37
Rendimiento obtenido en pesos
136,200.37 - 100,000 = 36,200.37
% Rendimiento = 36,200.37 X 100 = 36.20% anual efectivo
100,000
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INFLACION
1.- Si la inflación durante los meses de enero a junio de 1995 fue de 2%, 2.8% ; 2.9%; 3%;
3.2% y 3.4% respectivamente ¿cuál fue la inflación acumulada al 30 de junio.
2.- La inflación anual en 1995 fue de un 52.5% ¿A qué inflación promedio mensual
correspondió?
3.- En el 1er semestre se ha incurrido en una inflación del 18% y se tiene como meta una
inflación anual del 32%
a) Qué inflación remanente quedaría para el 2º semestre?
b) Qué inflación promedio mensual correspondería al 2º semestre sin pasarse de la
meta’
c) Qué inflación promedio mensual se tuvo en el 1er semestre?
4.- Si la inflación en el mes de enero de 1996 fue de un 2.3%; Qué inflación acumulada
anual se podría esperar?
5.- En los trimestres 1 y 2 de un año las inflaciones fueron de 23% y 18%. A que inflación
anualizada corresponde cada trimestre?
6.- Si el valor de la UDI al 4 de Abril de 1995 inició en 1.00 y al 10 de enero de 1996 es de
1.349702. ¿Qué inflación hubo durante este período y a que inflación promedio diario
corresponde?
7.- Si el valor de la UDI al 10 de enero de 1996 es de 1.349702 y la inflación por los 30
días siguientes fuese de 2.8% ¿Cuál será el valor de la UDI el 9 de febrero?
8.- Actualiza las siguientes cifras formando como base el año 1995
Ingresos
Inflación
92
400
32%
93
500
28%
94
650
155
95
700
9%
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67
9.- Deflactar las mismas cifras y pasarlas a pesos constantes de diciembre de 1991.
10.- Si la inflación en el año de 1995 fue de un 52% a que inflación promedio mensual
correspondió?
11.- Si el Sr. Sánchez desea obtener en su inversión una tasa real del 30% anual y la
inflación se espera en 18% ¿Qué tasa de interés efectiva debe concertar?
12.- Calcular la tasa efectiva que pagan en 91 días un ajustabono si la tasa real nominal
es de 36.4% y la inflación en este período (91 días) es de 6.8%
13.- Un inversionista mexicano invierte $2’000,000 en un instrumento financiero en
dólares, en el cual le pagan el 9% a 60 días. Si la devaluación del peso en el período
fue de un 3%. ¿Cuál fue su rendimiento?
14.- Un inversionista americano invierte en la Bolsa Mexicana 1’000,000 de dólares y
gana 48% nominal en 10 meses y en este lapso la inflación fue de un 30%. ¿Cuál fue
su rendimiento efectivo durante el período y cuál fue su rendimiento nominal?
OPERACIONES CON UDIS
1.- La Sra. Contreras establece un fondo de inversión en UDIS, depositando $20,000 a 90
días a una tasa del 45 en UDIS, y deja su inversión un año. El valor de la UDI en el
momento de concertar su operaciones de 1.386592 y la inflación para los cuatro
períodos trimestrales se estima en : 5.2%; 5.8%; 65 y 6.2%
Determine:
a) El valor de la inversión al final del año en UDIS
b) El valor de la inversión en pesos
c) La tasa de rendimiento efectivo en UDIS
d) La tasa de rendimiento efectivo en pesos
e) La tasa nominal en pesos de la inversión
2.- La Sra. Sandoval desea saber cuanto recibirá si deja su inversión 6 meses,
suponiendo que la inflación para este período sea de un 22%.
a) ¿Qué rendimiento efectivo por el semestre tendrá?
b) ¿Qué rendimiento efectivo anual y tendría de conservarse las mismas condiciones
de inflación?
c) ¿Qué tasa nominal estaría ganando su inversión?
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3.- La Cía. Agendas Grandes S.A. reestructurará un crédito en UDIS con su banco por
300,000 para cubrirlo en 6 años con pagos anuales vencidos a una tasa en UDIS del
8% anual.
La fecha de reestructuración es el 29 de Enero de 1996 y el valor de la UDI es
1.386592. La inflación esperada para los próximos 6 años es de 35%; 30%, 28%, 25%,
20% y 15% .
Determine:
a) Valor del crédito a reestructurar en UDIS
b) valor de la UDI al final de cada año.
c) Valor del pago anual en UDIS.
d) Valor del pago anual en pesos.
e) % Costo efectivo en pesos.
4.- La Cía. Libretas Patito va a reestructurar un crédito por $40,000 en UDIS par cubrir en
5 pagos semestrales por el método de amortización de capital igual más intereses
sobre saldos insolutos al 8%. En la fecha de reestructuración del valor de la UDI era
de 1.263428 y la inflación estimada para los 5 semestres es de: 18%, 16%, 15%,
14.5% y 12%.
Determine:
a) valor del crédito a reestructurar en UDIS
b) Valor de la Udi al final de cada semestre
c) Tabla de amortización, con valor del pago en UDIS y moneda nacional
d) Costo efectivo semestral y anual
e) Tasa de Costo nominal
5.- La Cía. Las Chalupas S.A. desea reestructurar un crédito por $420,000 en UDIS, para
cubrirlo con 6 pagos trimestrales al 6.5% en UDIS, usando el método Ficorca de
intereses capitalizables.
En la fecha de reestructuración el valor de la UDI era de $ 1.386595 y la inflación
esperada: 5.8%, 5.5%, 5.2% 5.0% y 4.8% .
Determina:
a) valor del crédito a reestructurar en UDIS
b) valor de cada pago en UDIS y moneda nacional
c) Tasa de Costo efectivo en UDIS y moneda nacional
d) Tasa nominal de costo en moneda nacional.
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