Paridad de las funciones

Paridad de las funciones.
En matemáticas, se puede clasificar a las funciones según su paridad: Las funciones
pueden ser pares, impares o no tener paridad.
Aquellas funciones que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de
simetría, con respecto a sus funciones inversas aditivas (funciones inversas aditivas u
opuestas son funciones que al sumarlas el resultado es cero).
Función par: f ( − x ) = f ( x )
Función impar: f ( − x ) = − f ( x )
Las funciones pares e impares deben su nombre a la paridad de las potencias en las
funciones de potencias que satisfacen cada condición: La función f(x)=xn: es una
función par si n es un entero par, y es una función impar si n es un entero impar.
Ejemplos de funciones de x pares e impares:
120
120
100
100
80
80
60
x
6
x
cos(x)
-5
20
40
f(x)
f(x)
40
-10
60
2
0
-20
0
5
10
-10
x
-5
20
0
-20
-40
-40
-60
-60
-80
-80
-100
-100
-120
-120
0
5
10
x
3
x
5
x
sen(x)
Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y,
lo que quiere decir que su gráfica no se altera por una reflexión sobre el eje y. Una
función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo
que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados
alrededor del origen.
Propiedades de las funciones pares e impares:
- La única función que es tanto par e impar es la función cero (f(x) = 0 para todo x).
- La suma de una función par y una impar no es ni par ni impar, a menos de que una de
las funciones sea el cero.
- La suma de dos funciones par es una función par, y todo múltiplo de una función par
es una función par.
- La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo constante de
una función impar es una función impar.
- El producto de dos funciones pares es una función par.
- El producto de dos funciones impares es una función par.
- El producto de una función par y una función impar es una función impar.
- El cociente de dos funciones pares es una función par.
- El cociente de dos funciones impares es una función par.
- El cociente de una función par y una función impar es una función impar.
- La derivada de una función par es una función impar.
- La derivada de una función impar es una función par.
x 3·sen( x )
Ejemplo: Determinar la paridad de la función f ( x ) = 4
x + cos(2πx )
Integrales de funciones pares e impares:
- La integral de una función impar entre -A y +A es cero (donde la función no posee
ninguna asíntota vertical entre -A y A).
x4 ⎤
104 (− 10 )
Ejemplo: ∫ x dx =
=
−
=0
⎥
4
4
4
−10
⎦ −10
10
10
4
3
120
100
80
Area positiva
60
f(x)
40
-10
-5
20
0
-20
0
5
10
x
-40
-60
Area negativa
-80
-100
-120
-
La integral de una función par entre -A y +A es el doble de la integral entre 0 y
+A (la función no posee ninguna asíntota vertical entre -A y A).
10
x3 ⎤
103
103 (− 10)
Ejemplo: ∫ x dx =
=
−
= 2·
= 2·∫ x 2 dx
⎥
3
3 ⎦ −10
3
3
−10
0
10
10
3
2
120
100
80
Areas iguales
60
f(x)
40
-10
-5
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
x
5
10