0703 PERMUTACIONES

Permutaciones
Trabajo a realizar de este tema:
En Excel 2003 hoja 1, prepara un(os) cuadro(s) sinópticos o mapas
conceptuales o mapas mentales que sinteticen los capítulos: 0701 Análisis
combinatorio, 0702 Variaciones, 0703 Permutaciones y 0704 Combinaciones
que se entregará dos días después de terminar el tema 0704 Combinaciones.
El nombre del archivo deberá ser:
071234 ANALISIS APELLIDO NOMBRE
A mano, realizarás los problemas # y # de este tema, el cual se entregará de
acuerdo al protocolo indicado al principio de este periodo.
Se calificará de la siguiente manera:
+ Ortografía (2 puntos)
Protocolo de envío:
+ Asunto: mal anotado el 100% del trabajo
+ Nombre (1 punto)
+ Comentario (2 punto)
+ Nombre del archivo (1 punto)
+ Versión diferente a 2003 (7 puntos)
En el trabajo solución, tanto en Excel como el trabajo escrito:
Comentario o conclusión del trabajo
(2 punto)
Ortografía: (1 punto)
Nombre
Universidad
Carrera
Materia
Tema
Fecha
(La ausencia total o de alguna parte
restará 1 punto)
A continuación, y sin dejar hoja en blanco, el desarrollo del trabajo (1 punto
menos de no cumplirlo). Se calificará la realización de las síntesis.
PERMUTACIONES
0703 PERMUTACIONES.doc
1
Permutaciones
¿Que son las permutaciones?
Permutaciones sin repetición
Permutaciones circulares
Permutaciones con repetición
¿Que son las permutaciones?
[
=PERMUTACIONES(número, tamaño)]
Dada un conjunto de n objetos a1, a2, . . . , an, llamaremos permutación a
cualquier ordenación de los mismos. Por tanto, dos permutaciones serán distintas
si los objetos están colocados en orden diferente.
Ejemplo:
Encontrar el número de formas en que se pueden ordenar las letras a, b, c
Hay seis diferentes formas de ordenar tres letras y son las siguientes:
a b c
a c b
b a c
b c a
c b a
c a b
Un total de seis permutaciones
PERMUTACIONES
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2
Permutaciones sin repetición
El número de permutaciones de n objetos diferentes (sin repetición) lo
designaremos por Pn y su valor se calcula por:
Pn = n!
Donde:
Pn es el número de permutaciones posible
n es el número de elementos a permutar
Ejemplo:
En una actividad hay 3 niños y 2 niñas. ¿De cuántas maneras:
a. los niños y las niñas pueden sentarse en una fila?
b. pueden sentarse en fila si las niñas deben estar juntas y los niños
también?
c. pueden sentarse en fila si sólo las niñas se sientan juntas?
d. pueden sentarse en fila alternados?
Solución:
a. ¿De cuántas maneras los niños y las niñas pueden sentarse en una
fila?
Al no haber restricciones, el número total de formas en que pueden
sentarse en una fila son todas las ordenaciones posibles y esto puede
hacerse por
P5 = 5! = 120
b. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si las niñas deben estar
juntas y los niños también?
Se forman dos bloques, uno de niñas con tres elementos y otro de niños
con dos elementos, existen P2 formas de acomodar estos dos bloques en la
fila. Internamente el bloque de niñas se puede acomodar de P3 formas,
mientras que el de niños de P2 formas. Por el principio multiplicativo:
P2 • P3 • P2 = 2! • 3! • 2!= 24
PERMUTACIONES
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3
c. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si sólo las niñas se
sientan juntas?
Consideramos el bloque de niñas como un solo elemento, que junto con los
dos niños se puede ordenar de P3 formas, además, internamente el bloque
de niñas se puede ordenar de P3 formas. Por el principio multiplicativo
quedaría:
P3 • P3 = 3! • 3!= 36
d. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila alternados?
Observamos que al haber tres niñas y dos niños, para que se sienten
alternados las ordenaciones han de empezar y acabar con una niña.
Ordenamos, pues, las tres niñas de todas las formas posibles, lo cual
puede hacerse de P3 formas, y para cada una de ellas alternamos las P2
formas distintas en que pueden ordenarse niños. Por el principio de la
multiplicación, habrá
P3 • P2 = 3! • 2! = 12
Permutaciones circulares
Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", de modo que el
primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de
muestra.
El número de arreglos circulares de n elementos está dado por
PCn = ( n − 1 )!
Ejemplo
Si siete personas se reunen para cenar
a. ¿Cuántas maneras hay de que se sienten a la mesa?
b. ¿Cuántas maneras hay de que se sienten a la mesa si dos
insisten en sentarse juntas?
PERMUTACIONES
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4
Solución:
a. ¿Cuántas maneras hay de que se sienten a la mesa?
Se aplica la fórmula de permutaciones circulares
PC7 = (7 − 1)! = 6! = 720
b. ¿Cuántas maneras hay de que se sienten a la mesa si dos insisten en
sentarse juntas?
Formamos un bloque con los dos que se quieren sentar juntos, considerándolo
como un solo elemento y calculamos el número de permutaciones PC6,
internamente en el bloque calculamos el número de permutaciones entre los dos
que se sientan juntos mediante P2. Aplicamos el pricipio multiplicativo.
P2 • PC6 = 2! • (6 − 1)! = 2! • 5! = 240
Permutaciones con repetición
Sea una colección de n objetos entre los que hay n1 iguales entre sí, n2 iguales
entre sí pero distintos de los n1, hay n3 iguales entre sí, pero distintos de los n1 y
n2 y así sucesivamente hasta nr iguales entre sí, pero distintos de todos los
anteriores. Llamaremos permutaciones con repetición a las distintas formas de
ordenarlos.
El número de permutaciones con repetición de n elementos en las condiciones de
esta definición es:
PRnn1,n2,n3,...,nr =
n!
n1! • n2! • n3! • . . . • nr!
Ejemplo
Si un equipo de fútbol participa en 12 juegos en una temporada,
a. ¿Cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que
participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?
b. ¿Cuántas maneras hay de que además de lo anterior se inicie y
termine con derrota?
PERMUTACIONES
0703 PERMUTACIONES.doc
5
Solución:
a. ¿Cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que
participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?
Para obtener la cantidad de formas en que podemos acomodar las
victorias, los empates y las derrotas en una temporada de 12 juegos sin
ninguna restricción simplemente se aplica la fórmula
12!
PR127,3,2 =
= 7920
7! • 3! • 2!
b. ¿Cuántas maneras hay de que además de lo anterior se inicie y
termine con derrota?
Como todos los arreglos han de empezar y terminar con derrota, el
problema será equivalente a fijar una derrota al inicio y otra al final,
permutando con repetición el resto de los juegos
PR107,3 =
10!
= 120
7! • 3!
PERMUTACIONES
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6
PROBLEMAS
1 . Ca lc u la r la s p e rm u ta c io ne s de 6 e le m en t o s.
P 6 = 6 ! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7 20
2 . ¿ Cu án t o s n úm ero s d e 5 c if ra s d if e re n t e s s e p u ed e f o rm a r con
lo s d ígit o s : 1 , 2, 3 , 4 , 5.
m = 5
n = 5
S í e nt ra n t o do s los e le me n to s . De 5 d ígit o s e n t ra n só lo 3 .
S í imp o rt a e l o rden . S on núm e ro s d is t in t o s e l 1 23 , 23 1, 3 21 .
No s e re p ite n lo s e le me n to s . E l en un c ia d o no s p ide qu e la s
c if ra s se a n d if e rent e s .
3 . ¿ De c u án t a s f orm a s d is t in ta s pue d en s e n ta rs e o ch o p e rso n a s
e n un a f ila d e b ut ac a s ?
S í e n t ran t od o s lo s e le me n to s . T ien e n qu e s en t a rs e la s 8
p e rs o na s .
S í imp o rt a e l o rden .
No s e re p it e n los e le m en t o s. Un a p e rs o n a no s e p u ed e
re p e t ir.
4 . Ca lc u la r la s p e rm u ta c i o n e s c i rc u la r e s d e 7 e le me n to s .
P C 7 = (7 − 1 )! = 6 ! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7 20
PERMUTACIONES
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7
5 . ¿ De c u án t a s f orm a s d is t in ta s pue d en s e n ta rs e o ch o p e rso n a s
a lre d e do r d e u na m e s a re d on da ?
6 . Ca lc u la r la s p e rm u ta c i o n e s c o n re p e ti c i ó n d e :
.
7 . Co n la s c if ra s 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3, 4 , 4 ; ¿ c u á n to s n ú m e ro s de
n u e ve c if ra s s e p ue d en f o rm a r?
m = 9
a = 3
b = 4
c = 2
a + b + c = 9
S í e nt ra n t o do s los e le me n to s .
S í imp o rt a e l o rden .
S í s e rep it en lo s e le m en t o s.
PERMUTACIONES
0703 PERMUTACIONES.doc
8
8 . E n e l p a lo d e s eñ a le s d e un b a rc o s e p u ed e n iza r t re s b a n de ra s
ro ja s , d o s a zu le s y c u a t ro ve rd e s . ¿ Cu á n t a s s eñ a les d is t in t a s
p u ed e n in d ic a rs e co n la co lo c a c ión de la s nu e ve b an dera s ?
S í e nt ra n t o do s los e le me n to s .
S í imp o rt a e l o rden .
S í s e rep it en lo s e le m en t o s.
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9