ARITMETICA BINARIA Operaciones básicas con

ARITMETICA BINARIA
Operaciones básicas con sistema binario
Conversión de Decimal a Binario
Lo primero que debemos comprender es como convertir números decimales a binarios para realizar
este proceso existen 2 formas de hacerlo.
Forma #1
Si tenemos un número decimal cualquiera lo primero que debemos hacer es empezar a dividirlo entre
2 , la razón de dividirlo entre 2 es porque el sistema binario únicamente consta de 2 números (1 y 0), si
el residuo de esa división es mayor que 0 entonces, el numero se representara con 1 y por el contrario si
es igual a 0, el numero sera representado con 0.
ejemplo:
Convertiremos el número 650
Decimal
Cociente Bin.
650
325
162
81
40
20
10
5
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
Se representa como 1 ya que la división de 325
Es 162.5, quiere decir que queda un residuo de .5
en el siguiente paso únicamente se dividirá 162
Se representa como 1 ya que la división de 81 es 40.5,
quiere decir que queda un residuo de .5 al igual que el
caso de 325
Al igual que los 2 casos anteriores, queda un residuo
mayor que 0.
ahora la representación del numero binario se lee con el cociente de derecha a izquierda con la
siguiente tabla.
512 256 128
1
0
1
0
1
0
correcto
512
128
8
+
2
650
64
0
1
32
0
0
Octal
16
8
0
1
0
0
4
0
1
2
1
0
1
0
1
<-- forma correcta
<-- forma incorrecta
incorrecto
256
64
4
+
1
325
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Es imprescindible que la colocación en la tabla sea DE DERECHA A IZQUIERDA, como se ve en la
presentación al invertir el orden el significado del número cambia totalmente.
Forma #2
Utilizando la tabla octal deberemos realizar una serie de restas del numero que se nos solicita contra los
bits de la tabla octal, hasta conseguir una diferencia de 0, sucesivamente se irán encendiendo y
apagando todos los bits según el resultado de la operación.
Ejemplo:
Se convertirá el numero 1225 a binario.
1024 512 256 128
1
0
0
1
1225
1024
201
128
73
64
9
8
1
1
0
64
1
32
0
Octal
16
8
0
1
4
0
2
0
1
1
la sumatoria de los bits encendidos
es igual a 225
1
1
1024
128
64
8
1
1225
1
1
+
1
Claramente se observa que la tabla octal crecerá según sea el numero solicitado a convertir, en los 2
ejemplos anteriores hemos visto que ha tenido un incremento en un bit simultáneamente, si nos
topáramos con el caso que se nos solicita convertir un 2250 a binario nuestra tabla se incrementara en
un bit mas, cada uno de los bits esta representado por la elevación del numero 2 (porque el sistema
binario es de base 2) a la n, donde n es el numero de bits que se necesitan para cubrir el número.
La tabla de 2250 quedaría de la siguiente manera:
2048 1024 512 256 128
11
2
10
2
9
2
8
2
7
2
2
64
32
6
5
2
Octal
16
8
4
2
3
2
2
4
2
2
1
2
1
0
2
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Conversión de Binario a Decimal
La forma mas efectiva de convertir un binario a decimal es multiplicando cada uno de los bits por 2
elevado a la potencia en la que esta posicionado el bit dentro del numero en binario.
Esto se entiende mejor con el siguiente ejemplo:
2⁷
2⁶
1
1 x
1 x
1 x
1 x
1 x
1 x
decimal
2⁵
1
2⁴
1
2⁷
2⁶
2⁵
2³
2¹
2⁰
2³
0
=
=
=
=
=
=
2²
1
2¹
0
128
64
32
8
2
1
235
2⁰
1
1
todo numero elevado
a potencia 0 es = a 1
Si somos observadores nos daremos cuenta que únicamente se convirtieron los bits que están
encendidos (1) y la suma de todos ellos nos da el resultado en decimal de la expresión binaria.
Y la forma mas fácil de realizar esta conversión es utilizando directamente la tabla octal e
incrementarla tantos bits como nos sea solicitado.
Ejemplo:
Convertiremos a binario el número 100111011001
para tal efecto:
2048
1
+
1024 512 256 128
0
0
1
1
64
1
32
0
Octal
16
8
1
1
4
0
2
0
1
1
2048
256
128
64
16
8
1
2521
El binario convertido equivale a 2521 en sistema decimal.
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Operaciones Aritméticas con Binarios
De igual manera como realizamos operaciones como suma, resta, multiplicación y división con el
sistema decimal, también podemos realizarlas con el sistema binario, en este capitulo abarcaremos
únicamente 2 operaciones; la suma y la resta.
Suma con Binarios
Para la suma debemos cumplir con ciertas reglas que nos denota la siguiente tabla.
1
0
0
1
+
+
+
+
0
0
1
1
=
=
=
=
1
0
1
0
la razón por la cual 1+1 es 0, es análoga al hecho
Que 1+1 es 2 en sistema decimal y 2 en sistema
Binario = 10, es como decir que 1+1 = 0 y llevamos
1
Entonces comprendida la tabla anterior pasemos a un ejemplo practico.
Sumaremos 10101100 + 100101
Esto es igual a decir
+
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
<-- bits que se llevan de sumar 1+1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
Para comprobar nuestra suma en decimal podemos poner tanto los factores como el total en nuestra
tabla octal.
128
1
64
0
1
1
32
1
1
0
Octal
16
0
0
1
8
1
0
0
4
1
1
0
2
0
0
0
1
0
1
1
172
37
209
Es ideal que al momento de realizar la operación se utilicen todos los 0 a la izquierda, en la suma no es
completamente necesario pero en la resta sera un factor critico en la exactitud de la operación.
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Resta con Binarios
Al igual que en la suma hay algunas reglas que debemos seguir en la resta.
1
1
0
0
-
1
0
0
1
=
=
=
=
0
1
0
1
la razón por la cual 0-1 es igual a 1 es porque
2 -1 es igual a 1 y llevamos 1
Esto luce un tanto complicado ya que para utilizar este sistema dentro de una operación deberemos
correr el primer uno que tengamos disponible para prestarle al 0 y luego sumar un 1 que llevaremos al
bit siguiente.
-
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
<-- bits que se llevan de restar 0-1
0
1
1
1
0
1
La verdad es un método bastante enredado, y que tiende a crear bastante confusión por esta razón la
resta se simplificando utilizando el método de complemento a 2 del sustraendo.
Para calcular el complemento a 2 primero deberemos calcular el complemento a 1 el cual no es mas
que la negación del sustraendo.
minuendo
sustraendo
-
C¹
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
216
55
Como se observa el complemento a 1 (C¹) es el sustraendo
totalmente invertido
Ahora para calcular el complemento a 2 (C²) le sumamos 1 a C¹
C¹
+
C²
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
El complemento a 2 del sustraendo es igual a 11001001, ahora lo que deberemos hacer es una suma con
el minuendo y el nuevo sustraendo, los valores que están a la derecha de la tabla es la representación
decimal del binario.
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minuendo
C²
+
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
<-- bits que se prestan al sumar 1+1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
el ultimo bit que se desborda a la izquierda es llamado
bit de overflow y no se toma en cuenta en el resultado.
como se observa 10100001 es la diferencia de 216-55
Como se observa este es un método un poco mas largo pero bastante efectivo, y mucho mas fácil de
comprender que el anterior.
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