" r , INVESTIGADORES INDEPENDIENTES La logica operatoria de Piaget iDeLia Elsa Gonzdez Angeles* Introduccion En general, la Iogica operatoria propuesta por Jean Piaget ha sido,por un lado, ignorada -intencionadamente o no- por logicos y filosofos y, por otro, mal comprendida por parte de los psicologos. El contenido de este trabajo consiste en una exposicion explicativa, a muy grandes rasgos, de la estructura formal, explicitadapor Piaget, que corresponde al pensamiento natural deductivo del hombre en la ultima etapa del desarrollo psicogenetico de suinteligencia. El proposito de este es subsanar enalgunamedidaesa situacion y obtener una mejor interpretacion de las tesis piagetianas acerca de la relacion entre las estructuraslogicas y las estructurasde nuestropensamiento natural. Piagetubica el surgimientoy desarrollodel pensamiento logico enel nino en dos etapas sucesivas: fillaetapadelas operacionesconcretas (delos7 alos 11anos) y @lade operacionesproposicionaleso formales (de los 11o 12alos 140 15 anos). La evolucion de las dos etapas desemboca en la conformacion del pensamiento abstracto de la personaadulta, que constituye la plataforma de la creacion del conocimiento cientifico. La tesisgeneral piagetiana respecto de la Iogica operatoria consiste en que el nino, en su desarrollo psicogenetico, construye unas estructuras mentales que le posibilitan ciertos pensamientos formales, las cuales pueden ser capturadas y representadas en el marco de la Iogica (declases, de relaciones y proposicional. El material contenido en la obra mayor de Piaget en logica, su Tratado de log'ca,l consiste en la elaboracion de las estructuras formales que corresponden a las * Profesora-investigadoradelDepartaimentodeEducaciony Comunicacion,UAM-Xocbimilco. 1 Tr;ute dc lugrquc, P d s , A. Colin, 1949. Nueva edicion con el tituio Essai de logrquc opektoirc,Paris, Dunod, 1972. Traduccion al espanol: &sayo dclugr'ca operaton&Buenos Aires, Guadalupe, 1977. E D U C A C I ~ NY C O M U N I C A C I ~ N ANIJARIO 1997 estructuras conceptuales operatoias, construidas por el nino en el desarrollopsicogeniitico de su inteligencia. Piaget IlamaIogica "operatoria"al conjuntodeesas estructurasf o d e s p o r que ellas estrucman las operacionesmentales, reales, que efectivamenteusan los ninos y adultos en su pensamiento natural. La logica -dice Piaget- es el espejo del pensamientoy no alainversa.Y el pensamiento es un sistemadeaccion interiorizada que conduce a ciertas acciones particulares que el llama "'operaciones". La epistemologia genetica Antes de presentarlalogica - operatoria es conveniente considerar, muy brevemente, el papel que esta juega en la epistemologiapiagetiana. Hans Reichenbach trazo una distincion. aue vermeo la filosofia de la ciencia durante varias decadas,entre el contexto deldescubriiento delas teorias cientificas y el contexto de sujustificaciOn.2El primero alude ala cuestionde como surgen, se construyen y formulan las teorias cientificas. El segundo, en cambio, se refiere al problema de cuales criterios y. -procedimientos racionales justifican o validan a las ciencias. La tarea de la epistemologia -segun Reichenbach y el empirismo logicoconsiste en resolver las cuestiones del contexto de iustificacion. mientras que los problemas que suscitael contextodel descubrimiento son competenciade historiadores, sociologosy psicologos de la ciencia3 El anterior enfoque aplicado a la epistemologia -de hecho, un prejuicio filosofico- tuvo como efecto que el trabajo teorico y experimental de Piaget y sus colaboradores.ubicado en el contextodel descubrimiento,se considerara solo una psicologia con una perspectivagenetica del conocimiento;una psicologia que puede ser capaz de decimos como surgeny evolucionan ciertas estmcturascognoscitivas en la infancia, pero no una teoria que pudiera dar respuestaal problema de justificar o fundamentar el conocimiento cientifico. Pero los trabajos recientes de algunos historiadores y filosofos de la ciencia, principalmente el deThomas ~uhn,4hanechado por la b&daesadistincion, rnostrando aue si no se consideran los vroblemas del contexto del descubrimiento se obtieneuna imagen deformada de la investigacioncientificay de sus productos: las teorias cientificas. , A 2 En Exp&nce L and PrcdicIon, de 1938. 3 Respecto a esto vease 'Za qpistemologia genetica y los problemas fundamentales de la teoria del conocimiento"de Rolando Garcia, enJ. Piaget (et4. de las tcoris ciendfias,Buenos Aires, Paidos, 1986. 4 Vease su Bstnrcm delas uknaEcas,Mexico, FCE,1971: -INVESTIGADORES INDEPENDIENTES Si nosotros tambien nos desprendemos de la distincion senalada, podemos intentar situar en su justa dimension la teoria genetica del conocimiento de Piaget como una epistemologia. Pienso que esto es posible si vemos a la epistemologia piagetiana como una teoria que pretende dar respuesta al problema filosofico clasico acercadel origen del conocimiento. adquirimos el conocimiento?,~mediarite que facultades de la inteligencia es accesible el conocimiento? Las dos lineas de respuesta tradicionalesaese problema han divididoa la epistemologiamoderna entre empirismo y racionalismo. Laprimera linea sostiene que el conocimiento es adquiridoa traves de la experiencia, Gentras que la segunda Antiene que hay ciertas facultadesinnatas que hacen accesible el conocimiento. La epistemologiageneticapuede verse comouna teoria alternativaalempirismo y al racionalismo clasicos respecto de ese problema filosofico.La linea de respuesta de Piaget consiste en sostener que, como parte del proceso de adaptacion a nuestro ambiente, las personas construimos ciertas estructuras cognoscitivas-fisicas y logicas-que nosvan conformandogeneticamente como sujetos epistemicos. Ese proceso tiene su raiz en la interioruzacionde lasinteracciones que se dan entre el sujeto y los objetos, sean concretos o abstractos.5 Piaget distingue entre el sujeto psicologico "centrado sobre ei yo conciente y cuyopapel funcional es incuestionable,pero que no es fuente de ninguna estructura general deconocimientos:'y el sujeto epistemico"oparte comun a todos los sujetos del mismo desarrollo, cuyas estructuras cognoscitivasse derivan de los m%canismos mas generales de la coordinacion de acciones".6Ahorapodemos decir que, segun Piaget, la constitucion genetica del sujeto epistemico -S el objeto de estudio de la epistemologia. El sujetoepistemico es el sujeto que haconstruido, enel procesogenetico de conformacion de su inteligencia, las estructuras cognoscitivas que le posibilitan, principalmente, pensar deductivamente a partir de hipotesis e interactuar con el mundo realizandoinvestigaciones sistematicasque puedengenerar nuevos conocimientos. De tal manera,ofreceruna explicaciondelaconstitucion del suieto epistemico es,de acuerdo con Piaget, dar una respuestaal problema epistemologicodel origen del conocimiento. En ese tenor,Piaget defineala epistemologia como la disciplina que "se propone interpretar la ciencia en calidad del resultado de laactividad mental del hombre o-cosa que viene a ser lo mismo- explicar como puede el pensamiento Cfr. J. Piaget. PSicoJuga dcla inrch&ncia, Buenos Aires, Morata, 1981. J. Piaget y E. W. Beth. EpjstcmoIogia matcmauca ypsicologi, Barcelona, Grijalbo, 1980,pp. 332-33. Respecto aesta distincion vease B. Inheldery G . Cellerier (comp.). Losscndcrvs dclos dcscubrimicntosdclninu, Barcelona, Paidos, 1996, pp. 27 y ss. 5 -EDUCACIONY COMUNlCAClbN iANUARIO 1997 real del hombre producir la ciencia como sistema coherente de conocimientos objetivos.7 La tesis genetico-constructiva de Piaget sobre el origen del conocimiento se apartatanto del empirismo como del racionalismo. Se distingue dei primero porque e1tipo de experienciasque e n t m en juego en la conformaciongeneticade las estructuras cognoscitivas fisicas-v. gr.acercadelespacioy lacausalidad- son interacciones con objetos concretosy no el tipo de experiencias contemplativaso de espectador -que postulael empirismo-mediante las cuales adquirimosideas o nociones acerca de los objetos. Y es distinta del racionalismo porque Piaget no postula que las estructuras cognoscitivasque conforman nuestrainteligencia sean innatas, sino mas bien son construidascon base en estructurasprecedentesynuestrainteraccioncon el ambiente.Ademas, como arguye - . Rolando Garcia, a diferencia de esas dos posiciones hlosoficas sobre nuestro conocimientodel mundo,la epistemologiagenetica encuentra ciertavalidacionde sus tesis en los experimentospsicologicos sobre el surgimientoy desarrollode la inteligenciaque han llevado a cabo ~ i a g eyt sus colegas.8 En el contextode laepistemologiagenetica, podernos interpretarlapropuesta de Piaget de la logica operatoria como un intento por dar cuenta de como el pensamiento natural del hombre se constituye como un pensamiento logico capaz de generar sistemascientificos. 0,en otras palabras, con su enfoquepsicogeneticoPiaget intenta explicar como surgen y se conforman en e] sujeto epistemico las estmcturas formales deductivas que hacen posible que produzcamoslos sistemas teoricos, aplicables al mundo real, que llamamos teorias cientificas. De tal suerte, el papel que juega la logica operatoria en la epistemologiapiagetiana es central, puesto que esa logica se ocupa precisamente de las estructuras formaies que nos permiten pensar deductivamentey construirlossistemas hipotetico-deductivosque conforman las ciencias. Estructuras proposicionales El primerestadioen el que se desarrollael pensamiento formaise caracterizaporque en 61el pensamiento esta referido a objetos concretos,presentes, con los cuales el nino actua, por ejemplo, manipulandolos.En este surgeny se conforman ocho estructuras logicasque Piaget llama agrupamientos;cuatro se refieren a clases y cuatro a relaciones. Un caso de las primeras son las clasificacionesdicotomicas que el nino hace, de acuerdo con la presencia o ausencia de alguna propiedad de los objetos, y uno de las segundas son agrupamientos aditivos, formados por desigualdades 7 Ibidcm, pp. 329-30. 8 Rolando Garaa, op. cit iINVESTIGADORES INDEPENDIENTES entre pares de objetos cuando uno es menor (o mayor) que el otro respecto aalgun atributo. Pero el espacio es insuficientepara presentarlasaqui. En la siguienteetapa, yultima en el desarrollopsicogeneticode la inteligencia, surge y se constituyeuna estructura formal de pensamiento abstractohipoteticodeductivo. En esta el nino no requiere ya de la referencia a objetos concretos: "El nuevo rasgo que marca la aparicion de este cuarto periodo es la capacidad de razonarpor hipotesis.En elpensamientoverbal este razonamientohipotetico-deductivo se caracteriza,entre otras cosas,por laposibilidadde aceptar cualquier tipo de dato como puramente hipotetico y razonar correctamente apartir de el. Las consecuencias de esta nueva actitud son las siguientes.En primer lugar, el pensamiento ya no procede de lo real a10 teorico, sino que pacte de la teoria para establecer o verificar relaciones reales entre cosas. En lugar de iiitarse a coordinar hechos acerca del mundo real, el razonamiento hipotetico-deductivo deduce las implicaciones de enunciados posibles y de este modo alcanza una sintesis unica de lo posible y lo necesario. De esto se siguequelalogicadel sujetono seocupaahorasolode objetos, sino tambien de proposiciones. Se constituye entonces un grupo de operaciones proposicionales".9 Enlo anterior estan expresadas dos tesis principales de Piaget acercadelpensamiento logico abstracto.Primero,que el sujeto epistemicoposee la capacidad de razonar deductivamente apactir de suponer comohipoteticas unas proposiciones contingentes,i. e.,proposiciones quepueden serverdaderaso falsas; de esto podemos ver que el pensamiento logico natural del hombre, referido al mundo real, es bivalente. Segundo,que el sujeto epistemico formaunaestructuralogicadeoperaciones entre proposiciones que constituyen ungrupoen sentido matematico. En lo que sigue de este trabajo exhibire ese grupo de operaciones. El planteamiento mas simple consiste en considerar dos proposicionesp y q como hipoteticas, i. e., considerar que es posible tanto que p sea verdadera como que sea fdsa e igual para la proposicion q. Si contemplarnos ademas las dos operaciones binarias de laiogicaproposicional, llamadas conjuncion y disyuncion (no excluyente), obtenemos dos cuaternos de posibilidades compuestas: i) p es verdadera y q es verdadera, o equivalentemente: 2)p es verdadera y q es falsa: 3) p es falsa y q es verdadera: 4) p es falsa y q es falsa: @Y$ @ Y ~ O $ * ( ~ O P Y ~ (no~~no$ 9J.Piaget. "Logicay psicologia",en A. Deano yJ. Delval (comp.). Estudiossobrclagica ypslcoIo~Iia,Madrid, A.U., 1982, pp. 53-54. 5) p es verdadera o q es verdadera (a ambas cosas): 6 ) p es verdadera o q es falsa: 7) p es falsa o q es verdadera: 8) p es falsa o q es falsa: (Po$ @onoq) ( ~ O 0P4 (noponoq) Este conjunto basico de proposicioneses fundamental porque ademas de que es el unico cuyas inversas,reciprocay correlativas distintas entre si existen, son "estas ocho operacioneslas que desempenaran el papel decisivo (es decir, constructivo) en la deduccion"."J Laasercion de Piaget en el sentido de que el sujeto epistemico construye un grupo de operaciones proposicionalespuede interpretarse en terminos de que esas ocho proposiciones compuestas constituyen un conjunto basico S en el que se pueden definir cuatro transformaciones para formarungrupo.11Esas transformaciones son: la identica 1, lainversa N, la reciproca R y la correlativa C. Esas transformaciones se aplican al conjunto S de esas ocho proposiciones, generando las siguientes correspondencias (que escribimos como pares ordenados): La transformacion identica 1nos da: La transformacion inversa N. <l,8>, <2,7>, <3,6>, <4,5>, <5,4>, <6,3>, <7,2>, <8,1>. La transformacion reciproca R: <1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>, <5,8>, <6,7>, <7,6>, <8,5>. La transformacion correlativa C: <1,5>, <2,6>, <3,7>, <4,8>, <5,1>, <6,2>, <7,3>, <8, 4>. Como puede nomrse, cualquiera de esas cuatro transformaciones, aplicada a un elemento de S, nos arroja un elemento de S y solo uno. Esto significa que esas transformaciones son cerradas en el conjunto S y que las correspondencias que establecen son uno auno. Ademas, las funcionesinversasde esas transformaciones, en sentido matematico, son iguales a ellas mismas;la funcion inversa de 1es igual a 1, la funcion inversa de N es N misma, etcetera. 10 J. Piaget y E. W. Beth. Ensayc~df IugCa opmtorja, op. ut,p. 299. 11 Como es conocido,de cualquierade esos dos cuaternos de proposiciones se pueden definir las otras operaciones bmarias usuales de la logca. - Por ejemplo, el condicional (si p entonces4 es equivalente alanegacionde la segunday elbicondicional@si y solo siq) es igual a la negacion de la segunda en conjuncion con la negacion de la tercera. INVESTIGADORES INDEPENDIENTES Para explicar que las transformaciones INRC constituyen un grupo conmutativo, como lo muestra Piaget en su Traradodelo@Ca,es necesario pi-imero introducir esanocion matematica."Ungrupo - . G es un sistemade elementos cerrado para una operacion binariauniforme y asociativa;ademas,con relacionaesta operacion, G contieneun elemento neutro (llamado tambien identidad o unidad) que satisface a la ley identica, y para cada elemento en G se encuentra otro (llamado) su inverso satisfaciendo a la ley de inversa L.. ] Si la operacion del grupo satisface a la ley conmutativa, el grupo se llama conmutauvo o grupo abeliano7'.12 En otraspalabras, un conjunto G g una operacion binaria, o llamada compoconmutativo si para toda x, y, z en G: sicion, forman un 1)la composicion de x y y esta en G, Le., (x o y) = z, con z en G; 2) la operacion o es asociativa, Le., (x o y) o z = x o (y o z): 3)existe un elemento neutro u tal que (x o u) = x; 4) existe un elemento inverso x', para cada x en G, tal que (x o x3 = u; y 5/ la operacion o es conmutativa, Le., (x o y) = (y o x). Como ejemplos matematicos de grupos conmutativos tenemos: el conjunto de los numeros enteros Z, la operacion de adicion +, el elemento neutro O y el conjunto de los numeros enteros negativos; (u) el conjunto de los numeros reales positivos R+, la operacion de multiplicacionx ,el elemento neutro 1 y el conjunto de los numeros 1/ n,donde nes cualquiernumero real positivo;puede constatarse que esos casos songrupos conmutativos en el sentido recien definido. Ahora, Piaget afirma que las transformaciones INRC forman un p p o conmukativoprecisamenteen elanterior sentido matematico. En este caso, el conjunto G es igual al conjunto formado por INRC; la operacion binaria es la operacion de composicion de funciones (quePiaget usa implicitamenteconcatenando las iniciales de las transformaciones;p. ej. RC parala composicion de Ry C);el elemento neutro es la transformacion identica1; y, por ultimo, los elementos inversos de las transformaciones son ellas mismas. De tal manera, decir que INRC es un grupo conmutativo equivale a afirmar que el conjunto de transformaciones INRC, referidas al conjunto basico de las ocho proposiciones compuestas, anotadas con la operacion 12 (2. Birkhoffy S. MacLane. 21/gcbmmudcrna,Barcelona,Vicens-vives, 1954,pp. 137- 138. EClUCAC16N Y C O M U N I C A C I ~ N ANUARIO - 1997 decomposicionde hnciones,ciimplen conlas condiciones (1)-(5)de ladefinicion de gmpo conmutativo. Piaget muestraloanterior, comoun teorema: 'TeoremaIV. -El conjunto de las cuatro transformaciones I,N, R y C constituyeun grupo conmutativoen relacion a su composicion", especificado en la siguiente tabla: N N 1 C R R R C I N C C R N 1 y aclarando que "Esta tabla permite asegurar que: (1) La composicion de dos elementosdel conjunto es siempre un elemento del conjunto. (2) La composicion es asociativa. (3) Cadaelementotieneuninverso (que es elmismo). (4) Existeun elemento neutro (que es 1). (5) La composicion es conmutativa".l3 De las doce composicionesbinarias representadasen latablaanterior,Piaget suele destacar solo tres: NR = C, NC = R y CR = N (que significan, por ejemplo, que la composicionde lainversay lareciprocaesigualalacorrelativa).~4Estascomposiciones efectivamente se cumplen en el conjunto basico de proposiciones 1-8. Solopondre como ejemplos las referentesa la proposicion 1, (p y q). Tenemos que: NR=C,significa:NR@yq)=N(nopynoq)=@oq)=C@y$; NC=R,significa:NC@yq)=N@oq)=(nopynoq)=R@yq); CR=N,significa:CR(py q ) = C ( n o p y n o $ = ( n o p o n o q ) = N @ y q). Laresolucionde estos tres tipos decomposicionesdelas transformacionesN, R y C, aplicadas a las otras siete proposiciones del conjunto basico se realiza de manera similar y pueden computarse, con base en las correspondencias especificadas, por los pares ordenados en las defmiciones extensionales de esas transformaciones. dekjgka opcratotia, op. cit,p. 317. Notese que solo estas tres composiciones arrojan un resultado distinto a las transfomiaciones que intervienen; son las Unicas que realmente efectuan una ''transfomacion", salvo RN = C, CN = R y RC = N que son iguales a sus companeras porque el p p o es conmutativo. 13 & s a p 14 iINVESTIGADORES INDEPENDIENTES La otra composicion (ternaria) que Piaget destaca, que no esta reflejada en la tabla, es NRC = 1. Esta composicion de transformaciones significa, aplicada a @ Y q): Asi,pues, se obtienenlas transformacionesde las operacionesproposiciondes, que Piaget considera que representan operacioneslogicas, entreproposicionesque se construyen en la cuarta etapa del desarrollopsicogenetico de la inteligencia. La importancia de estas transformaciones radica en que, segun Piaget, son una parte centid de la formacion del sujeto epistemico. En ellas encontramos dos tipos de transformacionesreversibles,'lainv&sa y la reciproca, hecho que para ~ i a g & "expresa lo esencial de las transformacionesreversibles del sistema y fundamenta asila 1s Ibidcm, p. 31.