Estimación del movimiento del terreno en valles aluviales mediante

Estimación del movimiento del terreno
en valles aluviales
mediante un método variacional
Víctor José Palencia Gómez

RESUMEN
El Método de Proyección Variacional (VPM, por sus siglas en inglés) es una vía alternativa para calcular en
forma aproximada la respuesta sísmica de valles aluviales someros tanto en dos como en tres dimensiones.
La solución está basada en una formulación variacional de Galerkin de forma débil para el problema de un
estrato irregular de geometría suave que sobreyace a un semiespacio elástico. La formulación de Galerkin se
aplica mediante una familia de funciones de prueba que se utilizan para establecer la dependencia respecto a
la profundidad. Las ecuaciones diferenciales parciales de la elasticidad dinámica que gobiernan el problema
se proyectan al plano horizontal en la superficie, donde se resuelven usando un esquema seudoespectral: las
ecuaciones son resueltas con diferencias finitas para las derivadas en el tiempo y mediante la transformada
rápida de Fourier para las derivadas horizontales en el espacio. La irradiación de energía al semiespacio se
aproxima al usar como solución de referencia la respuesta unidimensional en cada sitio. Se dan ejemplos del
comportamiento del método y de su exactitud para modelos de valles someros. Se discute la importancia de
mejorar el método, en particular en las condiciones de frontera en la base del modelo.
PALABRAS CLAVE
Propagación de ondas. Movimiento del terreno. Efectos de sitio. Modelado analítico. Métodos numéricos.
LAND MOVEMENT ESTIMATION IN ALLUVIAL VALLEYS THROUGH A VARIATIONAL METHOD
The Variational Projection Method (VPM) is an alternative approximation method to estimate the seismic
response of shallow alluvial valleys in both two, and three dimensions. The solution is based on a weak
Galerkin variational formulation for the problem of an irregular stratum of soft geometry that overlies an
elastic semi space Galerkin formulation is applied through a family of test functions that are used to establish the dependence in relation to depth. The partial differential equations of dynamic elasticity that rule
the problem are projected to the horizontal plane on the surface, where they are solved using a pseudo
spectral scheme. The equations are solved with finite differences for the derivatives in time and through the
quick Fourier transform for the horizontal derivatives in space. The irradiation of energy to the semi space
approximates by using the unidimensional answer in each space as a reference solution. Examples of the
method performance are given, as well as examples of the accurateness of the method for models of shallow
valleys. The importance of improving the method is argued, particularly in the frontier conditions on the
basis of the model.
KEY WORDS
Wave propagation. Land movement. Space effects. Analytical modeling. Numerical methods.
93
I
Uno de los primeros terremotos donde se observaron los efectos de la geología local sobre el
movimiento sísmico fue el de Andalucía de 1885,
en el cual se llegaron a observar intensidades
iguales a X en la escala de Mercalli. Este terremoto fue estudiado por Taramelli y Mercalli, quienes
observaron de manera cualitativa una estrecha
relación entre el grado de daños producidos y el
tipo de suelo (Taramelli y Mercalli, 1886).
Ha habido multitud de terremotos donde se
han evidenciado estos efectos locales. En 1985 el
terremoto de Michoacán de magnitud 8.1 originado a más de 400 km de la ciudad de México
produjo más de 10,000 muertes oficiales y cuantiosas pérdidas económicas en la ciudad. Sin embargo en otras zonas más próximas al epicentro
los daños fueron menores. Hay que recordar que
el tipo de suelo en la ciudad de México es lacustre
y todavía permanece parte del lago que hace apenas pocos siglos inundaba casi todo el valle. Otro
es el terremoto de Loma Prieta de 1989 en Estados Unidos, de magnitud 7.1, donde se perdieron
De manera general, los factores que influyen en
el movimiento sísmico en un sitio determinado
son tres: 1) la fuente sísmica, 2) el camino o trayectoria que recorren las ondas desde la fuente al
lugar de interés y 3) la geología local, la cual se ha
observado que puede producir importantes cambios en el movimiento del terreno (Fig. 1).
El mecanismo de la fuente controla la distribución de energía radiada en el espacio y el
tiempo. Esta energía se esparce en forma de ondas sísmicas a través de la tierra, ondas que son
afectadas por las diferentes propiedades mecánicas de los medios que atraviesan, produciendo
fenómenos de reflexión, refracción y difracción.
Además, cuando las ondas sísmicas viajan en la
cercanía de la superficie pueden sufrir grandes
cambios en sus propiedades espectrales y temporales. Estos procesos difieren para cada punto en
la superficie y dependen de las condiciones específicas locales de cada lugar.
Fig. 1. Factores que influyen en el movimiento sísmico.
94
En las últimas décadas se han realizado esfuerzos significativos que han ayudado a la caracterización de los efectos de sitio (véanse
Sánchez-Sesma, 1987; Aki, 1988; Luco et al.,
1990). Los trabajos más importantes al respecto
han estado concentrados en el problema bidimensional. Esto ofrece algunas explicaciones a
las observaciones empíricas. Sin embargo es deseable que en el modelado se tome en cuenta la
naturaleza tridimensional del problema. La variabilidad espacial y la polarización del movimiento
del suelo observadas en la ciudad de México han
sido interpretadas como efectos 3D (Pérez-Rocha
et al., 1991).
Se han propuesto varios métodos para estudiar la propagación de ondas sísmicas en valles
aluviales en 2D y 3D. Un muy completo sumario se
puede encontrar en Sánchez-Sesma et al. (2002).
En términos generales el Método de Elementos
de Frontera () permite obtener resultados
confiables y resulta muy útil para calibrar otros
procedimientos. Entre sus principales limitaciones se encuentra su restricción al tratamiento de
medios homogéneos pues, salvo por algunos casos (Sánchez-Sesma et al., 2001), no se cuenta en
general con las funciones de Green para medios
heterogéneos. Los métodos de elementos finitos
y diferencias finitas permiten tratar materiales
heterogéneos y pueden manejar virtualmente
cualquier configuración geométrica. En realidad,
las simulaciones más realistas hasta ahora son las
efectuadas con el método de diferencias finitas.
El estudio de Frankel (1993) de la respuesta del
valle de San Bernardino en California y las simulaciones de Olsen et al. (1995) y Bao (1996, 1998)
para las cuenca de Los Ángeles y San Fernando,
ilustran bien este hecho. La desventaja de estas
metodologías radica en su alto costo pues requieren de cuantiosos recursos de cómputo para su
solución. Las soluciones rigurosas (Horike et al.,
1990) y aproximadas (Graves y Clayton, 1992)
para estructuras del basamento elásticas y acústicas, respectivamente, también ilustran la complejidad del problema.
En cualquier caso las simulaciones exactas
pueden resultar muy dif íciles aun con el empleo
de supercomputadoras. Por ello, un aspecto in95
MATEMÁTICAS E INGENIERÍA
más de 6 mil millones de dólares. Aquí de nuevo
se observaron mayores amplitudes en el interior
de cuencas sedimentarias en relación con las señales registradas sobre roca dura. Fenómenos similares se observaron en Kobe en 1995.
A partir del siglo pasado se han desarrollado
múltiples trabajos sobre la influencia del tipo de
suelo en el nivel de daños producido por un terremoto. Se ha observado que para suelos compactos o muy duros el incremento de la intensidad es
casi nulo, mientras que para suelos formados por
rellenos artificiales o zonas lacustres se producen
incrementos de hasta 4 grados en la intensidad
esperada en la zona (Tienemann, 1992).
Las características de los registros sísmicos
dentro y fuera de cuencas sedimentarias son distintas. En el interior se observan fuertes amplificaciones en todas las componentes del movimiento,
así como incidencias múltiples de frentes de ondas reflejados y/o refractados en las fronteras de
la cuenca o en las irregularidades de la misma.
En la actualidad las bases f ísicas del problema de la amplificación son bien conocidas (véase
Singh et al., 1995). En ingeniería sísmica resulta
de gran relevancia el estudio del movimiento del
terreno en el rango de frecuencias de 0.1 Hz a 20
Hz. Más aún, debe tomarse en cuenta que las velocidades de propagación de las ondas sísmicas
cerca de la superficie toman valores entre 200 m/
s y 2000 m/s. Esto significa que las longitudes de
onda asociadas a estos movimientos varían entre 10 m y unos 20 km. Cuando las estructuras
geológicas superficiales, tales como valles aluviales, montañas, cañones, etc., tienen dimensiones
comparables con las longitudes de onda predominantes pueden presentarse cambios importantes
en el movimiento sísmico en las irregularidades y
en los sitios próximos a ellas.
Por consiguiente, las condiciones locales deben tomarse en cuenta en los estudios de riesgo
sísmico o de microzonificación y en el diseño de
estructuras. En particular, estas condiciones desempeñan un papel muy importante en la respuesta sísmica de grandes estructuras como puentes,
presas, instalaciones de producción de energía,
construcciones de interés social y otras de magnitud similar.
teresante de la innovación y mejoramiento de las
técnicas de simulación, consiste en el empleo de
métodos más o menos novedosos o poco convencionales para la resolución de las ecuaciones
de la elastodinámica que gobiernan el problema.
Así, por ejemplo, Paolucci (2000) ha desarrollado
una técnica basada en el uso de redes neuronales
para simular la respuesta sísmica en un valle aluvial 2D.
En este trabajo se describe la propuesta de
un procedimiento práctico simplificado para el
cálculo de los efectos de sitio en valles aluviales
someros. En esta propuesta se considera un método para simular aproximadamente la respuesta
sísmica de valles aluviales someros en 3D. Este
método se aplicó por primera vez en el cálculo de
la respuesta sísmica tridimensional para algunas
zonas del valle de Osaka, Japón, durante el sismo
de Kobe del 17 de enero de 1995 (Sánchez-Sesma
et al., 1996). La aproximación trata de vencer las
dificultades mencionadas antes. El diseño toma
en cuenta una estructura fina como la observada en la respuesta en frecuencia de los modelos
2D de los valles aluviales (Sánchez-Sesma et al.,
1993), la cual nos recuerda que existe un fuerte
acoplamiento entre la respuesta 1D y las ondas
superficiales generadas localmente en este tipo
de configuraciones. Se propone una aproximación experimental que usa expansiones de modos locales (Ávila-Carrera et
al., 1993) y una formulación
variacional de Galerkin de
forma débil. Se ha observado
que las formulaciones del tipo Galerkin son eficientes y
exactas para los problemas
de propagación de ondas
(véanse Fix y Marín, 1993;
Faccioli et al., 1996) y se han
usado también como base
de un método riguroso en
el dominio de la frecuencia
llamado Método de Solución
Directa (, en inglés) (Geller et al., 1990).
P  
Considérese un valle aluvial somero tridimensional sobre la superficie de un semiespacio elástico,
como se muestra en la Fig. 2. El material de los
sedimentos es elástico y tiene una forma arbitraria pero suave, descrita por el espesor h(x,y). Se
asume que los sedimentos son mucho más blandos que el semiespacio que los subyace.
Las ecuaciones de campo en ausencia de
fuerzas de cuerpo pueden escribirse, para los sedimentos, por medio de la ley de Newton:
σ ij
xj
2
=ρ
ui
;
t2
i = 1,...,3.
(1)
donde σi es el tensor de esfuerzos, ui el vector de
desplazamiento, xi las coordenadas cartesianas, ρ
la densidad de masa y t el tiempo. En lo que sigue se pueden usar las siguientes equivalencias:
x1 = x, x2 = y, x3 = z, y u1 = u, u2 = v, u3 = w.
Adicionalmente, el tensor de esfuerzos está dado
por la ley de Hooke:
σ ij = C ijk l
uk
(2)
xl
donde cijkl es el tensor elástico (para materiales
isótropos cijkl = λijkl + μ(ikjl + iljk)).
Fig. 2. Valle aluvial
sometido a la incidencia
de una onda plana
96
ui (x , y , z , t ) = ui(
0)
(x, y , z, t ) + u ' (x, y , z, t )
i
Esta ecuación puede ser vista como la forma
fuerte del método de Galerkin para las ecuaciones elásticas a lo largo de una línea vertical con
longitud h (x,y). Para expresar la ec. (8) en la forma de un operador débil se integra por partes y
se escribe
(3)
donde ui(0)(·) es un movimiento de referencia
conocido en la interfaz h (x,y) y u’i (·) es el movimiento adicional que se busca en el estrato.
Sustituyendo la ec. (3) en la ec. (1) se puede escribir
σ ij
xj
2
+ fi = ρ
u 'i
h
0
σ ij(
0)
2
−ρ
xj
ui(
t2
0)
(5)
que es el campo forzante debido al movimiento
de referencia, ui(0) (·).
La condición de frontera libre de esfuerzos en
la superficie z = 0 puede aproximarse como
σ z j = σ z(j ) + σ 'z j = 0
0
(6)
Nótese que σzj(0) depende sólo de x, y y t.
El campo de desplazamiento buscado se escribe ahora como
u 'i (x , y , z , t ) =
N
U in (x , y , t ) ϕ n (z )
u 'i m
ϕm
ϕ ( z ) − (σ 'z i + σ z( i0 ) )
t2
z
(9)
dz
h
0
=0
porque σzi(0) no depende de z. De acuerdo con la
ec. (6) la única contribución del segundo término
en la ec. (9) proviene de z = h si φm(h) ≠ 0.
Si φm(h) = 0, entonces ui’(·) = 0 y el movimiento de referencia ui0(·) puede considerarse como el
movimiento real de la interfaz valle-basamento.
Si estos movimientos son dados y corresponden
a la solución unidimensional en la interfaz, la solución en los primeros tiempos de respuesta concuerda efectivamente con la condición ui’(·) = 0
en z = h. Para tiempos de respuesta posteriores la
frontera es totalmente reflejante y corresponde a
una base rígida.
Entre las diversas familias de funciones completas en el intervalo (0,h) se puede seleccionar la
bien conocida familia de cosenos
con
fi =
2
+ (σ 'z i + σ z( i0 ) )ϕ m ( z )
(4)
t2
σ 'y i
σ 'x i
+
+ fi − ρ
x
y
ϕ n (z ) = cos λn z
(10)
con λn(2n + 1) π/2h. Es claro que φm(h) = 0. Más
aún, estas funciones y sus derivadas (con respecto a z) forman, respectivamente, sendos conjuntos ortogonales en el intervalo de interés, esto es
(7)
n =1
donde uin(·) son funciones de las coordenadas horizontales (x,y) y del tiempo, mientras φn(z) son
funciones de prueba dadas de la profundidad. La
ec. (7) expresa la solución u’i(·) en términos de la
combinación lineal de las funciones de prueba.
h
ϕ m ϕ n dz =
0
F 
h
0
h
δmn
2
(11)
ϕm ϕn
h
dz = λm2 δ m n
2
z
z
(12)
Considérese ahora el operador de Galerkin
h
0
σ 'ij
xj
2
+ fi − ρ
u 'i
ϕ m (z ) dz = 0
t2
m
h
ϕ m dz =
(8)
0
97
h 4 (−1)
2 π 2m + 1
(13)
MATEMÁTICAS E INGENIERÍA
El campo de desplazamiento elástico en los sedimentos se propone con la forma
h
ϕn
dz = a m n
z
ϕm
0
Estas propiedades son útiles para simplificar
la “proyección” de las ecuaciones de campo de la
elasticidad sobre el plano horizontal en la superficie z = 0.
(14)
donde δmn es la delta de Kronecker (δmn = 1 si m
= n; δmn = 0 si m ≠ n) y
−
amn =
1
2
m +n
−
si
m = n,
si
m
L  “”
Introduciendo la ec. (7) en la ec. (9), considerando las ecs. (2) y (3) y tomando en cuenta que, aun
cuando h sea función de x y de y, se desprecian
las derivadas de h, se puede escribir:
m −n
1 − (−1)
2n + 1 1 + (−1)
−
4
m + n +1
m−n
n.
(15)
U ttm − α 2U xmx − β 2U ymy + β 2 λm2 U m − (α 2 − β 2 )V xmy − ((α 2 − 2β 2 )a m n − β 2 a m n ) W xn
=
2
h
(16)
1 4 ( −1)m
2 (0 )
f1
σ zx ,
+
ρ π 2m + 1 ρ h
V ttm − β 2V xmx − α 2V ymy + β 2 λm2 V m − (α 2 − β 2 )U xmy − ((α 2 − 2β 2 )a m n − β 2 a m n ) W yn
2
h
(17)
1 4 ( −1)m
2 0
σ zy ,
= f2
+
ρ π 2m + 1 ρ h
W ttm − β 2 W xmx − β 2 W ymy + α 2 λm2 W m + ((α 2 − 2β 2 )a m n − β 2 a m n ) U xn + V yn
=
1 4 ( −1)m
2 (0 )
+
f3
σ zz ,
ρ π 2m + 1 ρ h
2
h
(18)
que es un grupo de ecuaciones diferenciales parciales acopladas y “proyectadas”. Aquí u1n = un,
u2n = vn, u3n = wn y los subíndices de u, v y w
significan derivadas parciales. Las derivadas espaciales se calculan usando la transformada de
Fourier mediante el algoritmo . La matriz amn
resulta de la integral de φm(z) y de su derivada,
como se indica en las ecs. (14) y (15).
Puede verificarse que el acoplamiento entre
las funciones horizontales en varios órdenes (n =
0, 1,..., N) surge después de la primera derivada
variacional con respecto a z. Por otra parte, la se98
2
U ttn =
Un
+ 2γ
t2
2
Un
+ γ 2U n
t
(19)
C   
y, discretizando, en el tiempo j queda
(U ttj ) =
1
1 + γ∆t + γ 2 ∆t 2 U nj + 1 − 2U nj
2
Si se escoge un conjunto de funciones de prueba
tales que φm(h) ≠ 0 es posible introducir condiciones de frontera absorbente aproximadas en
términos de una sustitución apropiada del esfuerzo en profundidad. La familia de cosenos
(20)
1
+ 1 − γ∆t + γ 2 ∆t 2 U nj −1 ∆t − 2
2
ϕ n ( z ) = cos
Puede mostrarse que γ ≈ π fp/Q para un factor de
calidad Q en la vecindad de la frecuencia fp. De la
ec. (20) y sus equivalentes para vtt y wtt, es posible
calcular las funciones u, v y w en los puntos de
la malla horizontal en el tiempo j + 1 en función
de sus valores en el tiempo j - 1 y las derivadas
espaciales en el tiempo j.
nπ
z
h
(21)
cumple con las condiciones de ortogonalidad y es
completa en (0,h). En z = h su valor es (-1)n.
La solución es relativamente sencilla en el
dominio de la frecuencia. Supóngase un medio
estratificado como el de la Fig. 3, sometido a un
campo incidente de ondas planas .
Fig. 3. Medio estratificado sometido a la incidencia de un campo de onda plana  (izq.).
Familia de funciones de prueba utilizadas para fronteras absorbentes (der.).
99
MATEMÁTICAS E INGENIERÍA
El cálculo de las derivadas horizontales se lleva a cabo con el algoritmo  usando todos los
puntos de la malla, esto es, en un esquema global.
Este enfoque seudoespectral requiere, por lo menos, entre 2 y 3 puntos en la malla por longitud
de onda mínima (las diferencias finitas pueden
requerir hasta 8 puntos para obtener la misma
exactitud). Finalmente, las ecs. (3) y (7) permiten
calcular los desplazamientos en la superficie.
gunda derivada de, por ejemplo, um respecto a z
está dada por el producto -λm2um.
Con objeto de introducir amortiguamiento, la
forma más sencilla consiste en tomar el operador
/ t + γ en lugar de la derivada en el tiempo.
Por ejemplo, bajo esta consideración, la segunda
derivada uttn puede leerse como
El campo está dado por
que es un sistema cerrado en forma débil en el
cual las derivadas parciales de V en z = h son
(22)
v ( i ) = v 0 (ω )e − ik x e + iη E z e + i ω t
donde
µ
k =
ω
βE
s e nγ
y
ηE =
ω
cos γ ,
βE
(23)
(
)
i
(24)
+ iη z
(i )
es decir, V
= v 0 (ω )e E y V(z) como el desplazamiento que será calculado utilizando una
formulación de Galerkin de forma débil, en la
cual se incluye a las funciones de prueba de la ec.
(21). De esta manera, V(z) se escribe como
An φ n ( z )
V (z ) =
(25)
n =0
Recordando la ecuación en el dominio de la frecuencia, se tiene que
µ
x
v
v
+
µ
+ ρω 2 v = 0
x
z
z
(26)
y, adoptando un esquema de Galerkin de forma
fuerte, sustituyendo la ec. (24) en la ec. (26) y
operando las derivadas queda
h
−k 2 µ (V ( i ) + V )+
(27)
0
z
µ
= −iωρE βE V h
V ( i ) (z )
V
+µ
z
z
+ ρω 2 (V ( i ) + V
)
ϕ m ( z ) dz = 0
la cual es una integral sólo en la dirección vertical, que se resuelve por partes e incluye los valores de los coeficientes An de la ec. (25), los cuales
son las incógnitas del sistema dado por
h
−k 2 µ
(28)
An ϕ n ϕ m − µ
An ϕzn ϕzm + ρω 2
An ϕ n ϕ m
dz + µ
0
h
= +k 2 µV ( i )ϕ m dz + µ
0
(29)
h
La ec. (28) representa un sistema de m por n
ecuaciones que se resuelve numéricamente. Cabe resaltar que esta ecuación contiene la información detallada de cada estrato en cuestión y
que la responsabilidad de la reconstrucción de
las ondas reflejadas y transmitidas se deja únicamente a las funciones de prueba. Así se tiene una
representación aproximada de los coeficientes de
reflexión y transmisión en cada intervalo del medio estratificado y, a su vez, una buena aproximación de las fronteras absorbentes en la base del
modelo.
Un ejemplo de la aplicación de estas fronteras
se da en la Fig. 4, donde se muestra la función de
transferencia del desplazamiento para un modelo
de 3 estratos con las mismas propiedades (prueba
de transparencia), ante incidencia vertical de ondas . En la Fig. 4 se realiza la comparación de
la formulación propuesta contra la solución exacta. Como se puede observar, la aproximación es
buena. Esto corrobora que la base de funciones
es la correcta y que con un orden no mayor a n
= 20 se puede obtener una buena representación
de los desplazamientos en el tiempo, además de
que posiblemente pueden suprimir la condición
de base rígida del .
siendo k el número de onda horizontal y ηE el
número de onda vertical; ω es la frecuencia angular y βE la velocidad de fase de las ondas  en
el semiespacio E. Si se define al desplazamiento
como un movimiento de referencia conocido,
V(i), debido solamente al campo incidente, más
un desplazamiento, V(z), dado, en función de la
profundidad, se puede escribir:
v = V ( ) + V (z ) e − ik z e + i ω t
V
z
h
h
V
z
ϕ m (h )
h
V (i )
V (i ) m
(h )ϕ m (h ) + µ
ϕz dz − ρω 2V ( i )ϕ m dz
z
z
0
0
100
MATEMÁTICAS E INGENIERÍA
Fig. 4. Función de transferencia del desplazamiento para 3 estratos con las mismas propiedades
ρ/ρE = 0.4, β/ β E = 0.4 y h = 400 m. El método propuesto con línea discontinua y con línea continua
la solución exacta
funciones de la ec. (10). Sin embargo, aun bajo
esta condición la aproximación del método es
notable y los sismogramas sintéticos obtenidos
se comparan muy satisfactoriamente con los que
se pueden calcular mediante el método anteriormente señalado, incluyendo la propagación de
las ondas de Love generadas por las esquinas del
depósito. Para el caso de las ondas de Rayleigh el
 logra reproducir el modo fundamental y el
primer modo superior. Las principales limitaciones se presentan cerca de los límites de estabilidad del método (Condición de Courant) y como
consecuencia de la falta de absorción en el modelo de base rígida.
R
Se han realizado algunas pruebas y comparaciones en el caso bidimensional, para verificar el
comportamiento numérico, los tiempos de cálculo y la exactitud del método propuesto, los cuales
pueden consultarse en Ávila et al. (2002). Para
ello se tomaron como referencia otras técnicas de
solución como las correspondientes a las funciones de Green en el modelo de un valle en forma
trapezoidal propuesto por Kawase y Aki (1989)
para el caso 2D (Fig. 5). Los resultados mostrados
en ese artículo corresponden a la formulación
original con base rígida, que utiliza la familia de
Fig. 5. Modelo de valle trapezoidal 2D.
101
misma estación de trabajo, el  realizó los cálculos en cerca de una milésima parte del tiempo
requerido por el  para el caso 3D.
También se realizaron algunas comparaciones
con los resultados obtenidos con un método de
elementos de frontera () para el caso tridimensional de un modelo como el de la Fig. 6, que
consiste en un valle aluvial somero de forma irregular, ante la incidencia de ondas , propuesto
por Sánchez-Sesma y Luzón (1995), quienes enfatizan la buena resolución y calidad de los resultados. En los sismogramas sintéticos obtenidos el
 representa correctamente la onda incidente
y su respuesta unidimensional al entrar en contacto con el valle, así como una buena correlación con la emisión tardía de pulsos difractados
mostrados por el . A su vez, las simulaciones dinámicas en diferentes tiempos de visualización permiten observar los efectos locales que
afectan a la propagación de ondas dentro del
medio de interés. Sin embargo, la reproducción
de las ondas superficiales de Love resultó más
compleja debido a la concentración de energía
por la geometría del valle y la formulación rígida
del método.
La importancia del  consiste en la rapidez y economía con que se procesa. Utilizando la
C
La rapidez de cálculo del  sobrepasa por mucho a la de otros métodos y su aproximación es
aceptable para la mayoría de los casos estudiados
hasta la fecha. Por ello se considera que el 
puede representar una alternativa viable respecto
a métodos matemáticos, numéricos y analíticos
disponibles actualmente para llevar a cabo simulaciones con recursos de cómputo reducidos.
Se espera que el  se pueda aplicar con éxito en el futuro en casos de valles más complejos,
preferentemente correspondientes a casos realistas como podría ser, eventualmente, el de México. Con esto se pretende aprovechar las ventajas
de formulación y facilidad de operación del 
ante el modelado sísmico de un problema real.
Sin embargo, la investigación en este campo
es aún incipiente. Se requiere, mediante el uso
de los correspondientes operadores de interfaz,
Fig. 6. Modelo de valle tridimensional.
102
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103
MATEMÁTICAS E INGENIERÍA
revisar las aproximaciones que pueden proporcionar diversas familias de funciones de prueba.
Un estudio utilizando como funciones de prueba
a polinomios de Laguerre en lugar de la familia
de cosenos no produjo resultados aceptables.
Es necesario, también, adecuar el problema en
el dominio del tiempo para el caso de fronteras
absorbentes o dinámicas mejorando la aproximación de las condiciones de frontera para simular
la irradiación de energía al semiespacio.
Esta investigación se enmarca en el campo del
modelado analítico aplicado a problemas de la ingeniería y la geof ísica. En la solución del modelo
se emplean técnicas numéricas que requieren su
implantación mediante programas de cómputo
desarrollados a propósito para ello. Los beneficios
de los resultados trascienden a una mejor comprensión de los fenómenos de la naturaleza para
el mejoramiento de las condiciones de vida de los
seres humanos, al proporcionar estimaciones válidas que permiten ayudar a evitar consecuencias
desastrosas ante la aparición de terremotos en
zonas densamente pobladas, como es el caso de
la ciudad de México.
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V J P G es maestro en ingeniería por la . Se desempeña como profesor titular
“C” tiempo completo definitivo en la  Acatlán, especializado en áreas como álgebra lineal, cálculo avanzado y sistemas dinámicos.
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