Ejemulo 2: C(s) Kp R(s) s(s+lXs+5)+Kp

Ejemulo 2:
Considereel sistemamostradoa continuación:
t
C(s)
.1("+ IX" + S)
PID
Como la plantatiene un integrador, seempleael siguientemétodo
Haciendo Ti
C(s)
-=
R(s)
= 00 y
Td = O, seobtienela FTLC :
Kp
s(s+lXs+5)+Kp
Fig 2.1 Respuestatemporaldel sistemacon Kp=1 ante un escalónunitario
.
-.
Cálculo de Kcr
criterio de Routh
La ecuac
SJ
1
52
6
SJ+6S2+5s+Kp=O
Kcr
30 - Kp
Si
SO
JD
6
Kp
2
1.8
..
1.4
12
,
1
0.8
o.e
O."
02
O
O
5
10
tiempo
15
20
Fig 2.2 Respuestatemporal del sistemacon Kp=30 anteun escalónunitario
SistemaCríticamenteestable.
.
Cálculo de la frecuencia de oscilación sostenida
Sereemplazas = jw en la ecuación característica
(jw)J + 6(jW)2+ S(jw) + 30 = O
de donde: W2= 5
...
~ w
-
2/r - 21r
= 2,81
Pcr=-W""¡:J "s
=.,f5
6(5-w2) + jW(5-W2) = o
.
Cálculo de Kp,Ti, Td.(Ziegler
-
Kp
Ti
Td
0,6 Kcr
0,5 Pcr
O,125Pcr
- Nichols)
-
18
1,405
0,35124
:. Gc = 1
~1+ 1,~5.S +0,35124,5)
.
Cálculo de la FfLC y respuestatemporal
e = 8.
R
6.3223.5%
+ 18.8+12,811
+11,3223.8%
+18.5+12,111
+6.13
1~
~
1.8
1.4
1.2
1
~0.8
r(t)
0.8
0.4
0.2
O
O
5
10
15
20
tiempo
Fig 2.3 Respuestatemporaldel sistemacontroladocon un PID anteun escalónunitario.
Representaciónen variables de estado(facilitala respuestatemporalcomputacional)
Xt=C
X2=
X4=X3 '+
=
19t9338
o
o
o
XI
.
,
XJ = X2
,
u=r
o XI
O Xl
1
-6
XI
Y = [1 O O O X2
X3
x.
-6,3223u
.
~
o
6,3223
+ -19,9338 u
x3
x.
t
60,8308
y = e = Xl
[¡emulo 3 :
Considereal sistemamostradoen la figura 1, dondeun motor DC mueveuna válvula de
control lo cual supleun flujo a una máquinahidráulica, corrienteabajode la válvula
Figura 1 : Control de flujo
En estadoestacionarioVR=6mAparaun requerimientode 20 gaVrnin f: 5%. Cuandoel
requerimientoes de 100gal/min ::t2%, VR=14mA.
El escalónde 6-14 mA es muy rápido, lo que implica una respuestarápidadel sistema
Las características de la válvula puedenasumirselinealesen la medidaque la rata de
flujo a travésde ella varía directamentecon el desplazamiento
del vastago. 100%
abierta ~ 150gpm. La carreradel vástagoes de 1,5".
Para el amolificador/controlador:
Este
Este maneja señalesestandaren un rango de 4~v. CuandoVM
la salidadel controlador VSC = +48V, y
Medidor de nuio:
es un transductor e
l1entaa 20 mA
VSC = -48V
raíz
.r
Este produce: 4 mA si el flujo es de O ~
valor nuncase alcanzaporqueel máximo
Válvula de Control:
La válvula abre
vástagoa una velocidadde 1 pulglseg.
moviendoseel
respuestaeu
en lieR.1f)O
tieJD4i>O
lteslJuestade la velocidad del motor de la válv..la. La respuesla
.c6d
-
.
~ del
del equipo
equipo es
es de
de trtr = 5S!
5500
conjunto ptOlor-válvula, obtenida de las especificaciones
550
niseg.
v
-
9OK
-
----tr= tiempo tomado por el vástago para
tr= tiempo tomadopor el vástagop..a
-
pasardel
del10%
10% - 90%
90%de
desu
sumáx.
máx.
pasar
velocidad.
velocidad.=55Omseg
=550mseg
11M
O
t
t;;z
figura :2
Velocidaddel vástago
Velocidaddel vástago
550 mIes.
-trEsuecificacionesde control
I-Se deseaque el sistemapasede 20gpma lOOgpm, (80gpl11=8mA).
La válvula deberá
permitir a lo mástardar de I seBoun nujo de 100gpm ,lo que implica que t. es llteIIOro
igual que 1seB.
22- t,:s 7oom.reg 3-
Mp(%):S10%
4-
fJ :S200m.feg.
5- A1F~ 60°
Donde tcl: tiempo para alcanzarel 50% del valor en estadoestacionario.
t...: lien~popara alcanzarel 100% de1'
valorenestadoestacionario.
ts: tiempo de estalJlecimielllo.
.
.11
/.
.
/' /1
10
.
.
I
':
J
1.
41
.
/
20
10
-
.
/
/
.
'
I
f
I
:0.1
~td
.
.
I
.
I
00
.
.
I
i1
1.5
2
U
..:~
-,.r
~
.
t.
tt
If*,~
U!*'~
tt\~
\~
c.,.tu~ e..~
("~t4nto
SOLUC~
Figura 3: Diagramade bloquesde control de flujo
Los pasossiguientesseavocanal cálculo de cadauna de las funcionesde transferencia
del diagramade bloquesde la figura 3.
Ganancia Kc.Kl del amplificador- controlador (span)
E\~fI'plificador/controlador serepresentapor el producto de gananciasKc.KI. La
ganada del amplificador Kc, secalculasegúnla ecuaciónque se muestraa
continuación:
48
Kc
o
= 16mA
48V -- 3V/
/mA
4
La gananciadel controladorK 1, sedejaigual a K 1 = 1 por los momentos.
Parámetros del motor
.
Ganancia del motor
Kmv -
.
lpulgl ses o 020833pulg/
48V
l/V
48V'
7V. .seg
Cálculo de Tm : seobtienea partir de la fig ura 2 dondetr = 550 mseg.
En h la respuestadel sistemaes : para90%
En tila respuestadel sistemaes: para 10%
1- e-11//T..
1- e-11;'
i'r..
Relacionandoa ambas
1/9= e-(11-11)I Tm
O 111 = e~U.sITm
,
entonces
Tm=O,25seg.
Parámetros de la válvula
.
Cálculo de Kr : serelacionael desplazamientodel vastagocon la rata de flujo de
salida.
Kr=
150gpm
=.100
1,5plllg
gpm/pulg
Parámetros del transductor diferencial de presión
.
Cálculo de KT : gananciadel medidorde flujo
16mA = 0,1 mA/gpm
KT= 160gpm
Sustituyendotodos los parámetrsoencontrados,seconstruyeel diagramade bloquesde
control mostrado en la figura 4.
Q(I)
Figura 4. Diagrama de bloques de control
Función de transferencia de lazo abierto (FILA)
..
0,624
FTLA: G(jw) H(jw)= jw(O,25jw + 1)
(1)
Función de transferencia de lazo cerrado (FfLC)
25
FTLC: Q(s)
(2)
Respuestatemporal a lazo cerrado
R(s) =8/s por)o que
200
Q(s)=
=
S(S2+4s+2,5)
200
~~s+O,775)(s+3,225)
q.(t)= 80+25,31e-3,22St-lO5,3e.o.77s
(3)
(4)
.
q(t)=
q (t)+
20gpm.
Step
(5)
Auto-Scale
Graph
Figura 6 : Respuestatemporaldel sistemaa lazo cerradocon KI = 1
Situaciónde los parámetros, obtenidos de las figuras 5 y 6.
DISEÑO DE CONTROLADORES
Se debedecidir qué tipo de controlador se emplearáde manerade alcanzarlas
especificaciones: P?
PI? PD? PID?
Análisis:
- EliminamosPI
porque el sistemaen estudio es del Tipo 1 y excitamoscon un escalón,
por lo que ess=O
- Empezamoscon control Proporcional (P)
De los datosanterioresse deduceque tenemosa un sistemalento, por lo tanto
aumentandola gananciaaumentamosla velocidadde respuestadel sistema.
Retornandolas ecuacionesdel sistemaen estudio:
R(s)=8/s
O,(;z,tpK,
FTLC=
o
2512
+
S +
200K.
:. Q(s) = s(S2 +4s+2,SK.)
O,624K,
,
w.
=.J2,SK. rarseg
y
4
~= .JlOKt
-DebemosevaluarK¡:. paravarios valoresde KI calculamosWn y
-Sabemosque ~ optimos estánen el rango 0,4< ~ <0,8
~
Figura 7. Respuestatemporalparavarios valoresde Kl.
De la figura 7 se extraeque si aumenta Kl disminuye tr yaumenta Mp.
-ts se excededel valor especificado.
Si se construye el Bode de la FTLA=
6~S
se encuentra que el
jw(O,2Sjw+ 1)
MF ==42° lo cual incumple con las especificaciones,entoncesnecesitamosun
control adicional al P paraalcanzarespecificaciones.
Se seleccionael P+D.
Sedejaa K,=10 ya que el efecto derivativo D tiende a estabilizarel sistema.
Figura 9: Diagrama de bloques de control con PD
Recalculandolas correspondientesfuncionesde transferenciade lazo abierto y cerrado
correspondientes,
se obtiene:
(6) FTLA GHc= O,832k](s+ 3kt / k)
s(5+4)
(7) FfLC= 1 8,32k)(S+ 3k1/ k])
s + (4 + 8,32k3)5+ 2,5k,
(8)
Wn= ..j23k.-5
(9)
~=
4 + O,833K)
2~2,5k1
Queremoscalcular kJ=T,¡/ /
Paraello decimosque el cero de FTLA es s=a donde a= -3kdk3 => a=-30/k]
:. ~=
4-2,5k,/a -- 4-2.Sk,/a
. "2~2.Sk,
.JlOO :O.4-2,5/a
(11)
Si suponemos ~=O,704 e igualamosa (11) encontramosque
a ~ -.8,14 Y kJ ~ 3,7
Si graficamosla respuestaen tiempo con estosresultadosencontramos:
una
escalónde magnitud8 Y Kl=lO.
De la figura 10 seextraenlos parámetros:
t~O,2seg
tr<O,7seg Mp<lO%
.
ts>lseg.
Se intenta mejorar la respuestatemporal,de manerade ajustarsea las especificaciones,
de maneraque los parámetrosquedancomo:
Td=K3=5.5
td = 0.12 seg.
tr= 0.59 seg.
ts = 1 seg.
Mp = 1.8470
a = - 5.45 rad/seg.
~ = 0.86
120
100
p
E
O-
,960
:S-
u.
40
Sistema Original
20
O
O
1
2
3
4
5
6
Tiempo
Fig 11. Comparacióndel sistemasin compensar,con controladorP y controladorPD