Una recta es el conjunto de puntos del plano alineados con dos dados

Departamento de Matemáticas
FORMAS DE EXPRESAR UNA RECTA EN EL PLANO.
Una recta es el conjunto de puntos del plano alineados con dos dados.
FORMA VECTORIAL
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→
→
Puntos dados A y B, P es un punto de la recta r si AP = k ⋅ AB, k ∈ R ⇔ AP = k ⋅ v , a v se
le llamará el vector director.
FORMA PARAMÉTRICA
Se expresan A, B y P en coordenadas cartesianas:
A = ( a1 , a 2 ) ⎫
⎪
B = ( b1 , b 2 ) ⎪
→
→
x = a1 + k ⋅ v1 ⎫
⎪
⇒ AP = k ⋅ AB, k ∈ R ⇔
⎬
⎬
P = ( x, y )
y = a 2 + k ⋅ v2 ⎭
⎪
→
⎪
AB = ( v1 , v 2 ) ⎪⎭
→
x = 3 − 7k ⎫
Ejemplo:
⎬ ⇒ A = ( 3, 2 ) y v = ( −7,5 )
y = 2 + 5k ⎭
FORMA CONTINUA
Despejando k de las dos igualdades de la forma paramétrica e igualando.
x − a1 y − a 2
=
v1
v2
→
x + 2 y−3
=
⇒ A = ( −2,3) y v = ( −4, 0 )
−4
0
Observación: el cero del denominador NO ESTÁ DIVIDIENDO, indica la ordenada del
vector director.
Ejemplo:
FORMA PUNTO-PENDIENTE
De la igualdad de las fracciones en la forma continua se sigue
x − a1 y − a 2
v
=
⇒ ( y − a 2 ) ⋅ v1 = ( x − a1 ) ⋅ v 2 ⇔ y − a 2 = 2 ⋅ ( x − a1 ) ⇔ y − a 2 = m ⋅ ( x − a1 )
v1
v2
v1
v
Al cociente 2
se le llama pendiente de la recta y se denota con la letra m. Representa la
v1
tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas. Si se conoce la pendiente se
conoce un vector director y viceversa.
→
7
si v = (2, 7) ⇒ m =
2
→
⎛ 3⎞
si m = 3 ⎜ = ⎟ ⇒ v = (1,3)
⎝ 1⎠
Ejemplo: y + 2 = 4(x + 3) ⇒ A = ( −2, −3) y m = 4
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FORMA EXPLÍCITA
Reordenando la forma punto-pendiente
y − a 2 = m ⋅ ( x − a1 ) ⇔ y = m ⋅ ( x − a1 ) + a 2 ⇔ y = m ⋅ x + ( m ⋅ a1 + a 2 ) ⇒ y = mx + n
Al número n se le llama ORDENADA EN EL ORIGEN, y representa la ordenada del punto
de corte de la recta con el eje de ordenadas, es decir, la recta pasa por el punto (0,n)
Ejemplo:
⎧m = −1
y = −x + 3 ⇒ ⎨
⎩n = 3 ⇒ A = (0,3)
FORMA IMPLÍCITA O GENERAL
→
→
Si n es un vector PERPENDICULAR a v , la forma vectorial de la recta se puede expresar
→
→
→ →
como AP ⊥ n ⇒ AP⋅ n = 0 , expresando esta igualdad en coordenadas
(x − a1 , y − a 2 ) ⋅ (− v 2 , v1 ) = 0 ⇔ − v 2 ⋅ ( x − a1 ) + v1 ⋅ ( y − a 2 ) = 0
⇔ − v 2 ⋅ x + v1 ⋅ y + ( v 2 ⋅ a1 − v1 ⋅ a 2 ) = 0
⇔ Ax + By + C = 0
Los coeficientes A y B se interpretan como las coordenadas de un vector normal a la recta
→
→
Ejemplo: 2x − 3y + 12 = 0 ⇒ n = (2, −3) ⇒ v = (3, 2)
Un punto se obtiene dando valores a x ó y: x = 0 ⇒ −3y + 12 = 0 ⇒ y = 4 ⇒ A = (0, 4) .
FORMA SEGMENTARIA
Partiendo de la forma general
Ax + By −C
=
−C
−C
x y
=1⇔ + =1
p q
Ax + By + C = 0 ⇔ Ax + By = −C ⇔
⇔
Ax By
x
+
=1⇔
−C
− C −C
+
A
y
−C
B
p y q se interpretan como coordenadas de los puntos de la recta con los ejes de coordenadas:
(p, 0) y (q, 0)
Ejemplo:
→
→
⎧A = (2, 0)
x y
+
=1⇒ ⎨
⇒ v = AB = (−2, −5)
2 −5
⎩B = (0, −5)
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Ejercicio:
De las siguientes rectas calcula dos puntos, un vector director, un vector normal, la
pendiente de la recta y el ángulo que forma con el eje de abscisas. Haz un dibujo de las
mismas.
A
B
m
n
α
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r1 : x + y = 0
r5 : y = 6 .
r2 : x = y
r6 : y = 0
r3 : x = −3
r7 : x + 1 = 0
3
r4 : x = 0
r8 : y = x
→
→
v
n