Sistemas de control - Departamento de Matematica

Qué es la Teorı́a Matemática de Control
Constanza Sánchez de la Vega
Departamento de Matemática, Facultad de Cs. Exactas y Naturales,
Universidad de Buenos Aires.
21 de Octubre de 2009
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manera
de alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivos
que incorporan distintas técnicas matemáticas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanos
máquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentran
entre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CD
autos
o en la industria
robótica
aeronavegación (pilotos automáticos)
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manera
de alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivos
que incorporan distintas técnicas matemáticas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanos
máquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentran
entre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CD
autos
o en la industria
robótica
aeronavegación (pilotos automáticos)
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manera
de alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivos
que incorporan distintas técnicas matemáticas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanos
máquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentran
entre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CD
autos
o en la industria
robótica
aeronavegación (pilotos automáticos)
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manera
de alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivos
que incorporan distintas técnicas matemáticas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanos
máquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentran
entre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CD
autos
o en la industria
robótica
aeronavegación (pilotos automáticos)
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manera
de alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivos
que incorporan distintas técnicas matemáticas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanos
máquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentran
entre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CD
autos
o en la industria
robótica
aeronavegación (pilotos automáticos)
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manera
de alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivos
que incorporan distintas técnicas matemáticas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanos
máquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentran
entre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CD
autos
o en la industria
robótica
aeronavegación (pilotos automáticos)
Un ejemplo sencillo - El tanque de agua
Tenemos un cilindro
• 3 metros de altura (H = 3)
• 2 metros de diámetro (r = 1)
Si le ponemos agua a razón de 1 litro cada 30 segundos, es decir 120
litros por hora .
La altura h de agua alcanzada en el tanque está controlada por la
cantidad de agua que dejamos entrar en el tanque.
El volumen del cilindro viene dado por Vol = π · r 2 · h.
Un ejemplo sencillo - El tanque de agua
Tenemos un cilindro
• 3 metros de altura (H = 3)
• 2 metros de diámetro (r = 1)
Si le ponemos agua a razón de 1 litro cada 30 segundos, es decir 120
litros por hora .
La altura h de agua alcanzada en el tanque está controlada por la
cantidad de agua que dejamos entrar en el tanque.
El volumen del cilindro viene dado por Vol = π · r 2 · h.
Un ejemplo sencillo - El tanque de agua
Tenemos un cilindro
• 3 metros de altura (H = 3)
• 2 metros de diámetro (r = 1)
Si le ponemos agua a razón de 1 litro cada 30 segundos, es decir 120
litros por hora .
La altura h de agua alcanzada en el tanque está controlada por la
cantidad de agua que dejamos entrar en el tanque.
El volumen del cilindro viene dado por Vol = π · r 2 · h.
Un ejemplo sencillo - El tanque de agua
Tenemos un cilindro
• 3 metros de altura (H = 3)
• 2 metros de diámetro (r = 1)
Si le ponemos agua a razón de 1 litro cada 30 segundos, es decir 120
litros por hora .
La altura h de agua alcanzada en el tanque está controlada por la
cantidad de agua que dejamos entrar en el tanque.
El volumen del cilindro viene dado por Vol = π · r 2 · h.
El tanque de agua
Recordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cúbico equivale a 1.000 litros.
1 hora → 120 litros → Vol = 0, 12m3 →
h=
10 horas → 1200 litros → Vol = 1, 2m3 →
72 horas → 8640 litros → Vol = 8, 64m3 →
0,12
π
h=
h=
≈ 0,0382 m.
1,2
π
≈ 0, 382m.
8,64
π
≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la
cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del
sistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =
C (t)
1000 · π
El tanque de agua
Recordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cúbico equivale a 1.000 litros.
1 hora → 120 litros → Vol = 0, 12m3 →
h=
10 horas → 1200 litros → Vol = 1, 2m3 →
72 horas → 8640 litros → Vol = 8, 64m3 →
0,12
π
h=
h=
≈ 0,0382 m.
1,2
π
≈ 0, 382m.
8,64
π
≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la
cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del
sistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =
C (t)
1000 · π
El tanque de agua
Recordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cúbico equivale a 1.000 litros.
1 hora → 120 litros → Vol = 0, 12m3 →
h=
10 horas → 1200 litros → Vol = 1, 2m3 →
72 horas → 8640 litros → Vol = 8, 64m3 →
0,12
π
h=
h=
≈ 0,0382 m.
1,2
π
≈ 0, 382m.
8,64
π
≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la
cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del
sistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =
C (t)
1000 · π
El tanque de agua
Recordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cúbico equivale a 1.000 litros.
1 hora → 120 litros → Vol = 0, 12m3 →
h=
10 horas → 1200 litros → Vol = 1, 2m3 →
72 horas → 8640 litros → Vol = 8, 64m3 →
0,12
π
h=
h=
≈ 0,0382 m.
1,2
π
≈ 0, 382m.
8,64
π
≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la
cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del
sistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =
C (t)
1000 · π
El tanque de agua
Recordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cúbico equivale a 1.000 litros.
1 hora → 120 litros → Vol = 0, 12m3 →
h=
10 horas → 1200 litros → Vol = 1, 2m3 →
72 horas → 8640 litros → Vol = 8, 64m3 →
0,12
π
h=
h=
≈ 0,0382 m.
1,2
π
≈ 0, 382m.
8,64
π
≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la
cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del
sistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =
C (t)
1000 · π
El tanque de agua
Recordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cúbico equivale a 1.000 litros.
1 hora → 120 litros → Vol = 0, 12m3 →
h=
10 horas → 1200 litros → Vol = 1, 2m3 →
72 horas → 8640 litros → Vol = 8, 64m3 →
0,12
π
h=
h=
≈ 0,0382 m.
1,2
π
≈ 0, 382m.
8,64
π
≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la
cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del
sistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =
C (t)
1000 · π
El tanque de agua
Recordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cúbico equivale a 1.000 litros.
1 hora → 120 litros → Vol = 0, 12m3 →
h=
10 horas → 1200 litros → Vol = 1, 2m3 →
72 horas → 8640 litros → Vol = 8, 64m3 →
0,12
π
h=
h=
≈ 0,0382 m.
1,2
π
≈ 0, 382m.
8,64
π
≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la
cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del
sistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =
C (t)
1000 · π
El tanque de agua
Recordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cúbico equivale a 1.000 litros.
1 hora → 120 litros → Vol = 0, 12m3 →
h=
10 horas → 1200 litros → Vol = 1, 2m3 →
72 horas → 8640 litros → Vol = 8, 64m3 →
0,12
π
h=
h=
≈ 0,0382 m.
1,2
π
≈ 0, 382m.
8,64
π
≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la
cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del
sistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =
C (t)
1000 · π
El tanque de agua
Recordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cúbico equivale a 1.000 litros.
1 hora → 120 litros → Vol = 0, 12m3 →
h=
10 horas → 1200 litros → Vol = 1, 2m3 →
72 horas → 8640 litros → Vol = 8, 64m3 →
0,12
π
h=
h=
≈ 0,0382 m.
1,2
π
≈ 0, 382m.
8,64
π
≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la
cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del
sistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =
C (t)
1000 · π
El tanque de agua
Recordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cúbico equivale a 1.000 litros.
1 hora → 120 litros → Vol = 0, 12m3 →
h=
10 horas → 1200 litros → Vol = 1, 2m3 →
72 horas → 8640 litros → Vol = 8, 64m3 →
0,12
π
h=
h=
≈ 0,0382 m.
1,2
π
≈ 0, 382m.
8,64
π
≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la
cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del
sistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =
C (t)
1000 · π
El concepto de Optimización
Si pienso que la cantidad de agua que sale de la canilla depende del
esfuerzo que se haga, entonces entre todas las formas que tengo de
llenar el tanque hasta una cierta altura prefijada, puedo buscar la que
produzca menor esfuerzo en un tiempo dado, o la que tarde menos
tiempo.
Figura: Bomba manual de agua
El concepto de Controlabilidad
Fijados un tiempo en el que quiero que se llene el tanque y una altura
hasta donde quiero llenarlo, puedo preguntarme si hay alguna manera de
llenarlo de manera de cumplir con esos requisitos.
Si la cantidad máxima de agua por minuto que puedo poner en el
tanque es de 5 litros. ¿Podré llenarlo hasta la altura máxima en 1 dı́a?
Recordemos que:
La altura del tanque es de 3 metros.
El Volumen total del tanque es 3 · π m3 ≈ 9, 4m3 = 9400 lts.
24 horas equivalen a 1440 minutos y 1440 · 5 = 7200.
Si ahora la cantidad máxima de agua por minuto que puedo poner en el
tanque es de 7 litros, vemos que hay muchas maneras de llenar el
tanque hasta el tope en 1 dı́a (1440 · 7 = 10080).
El concepto de Feedback o Retroalimentación
Si el tanque tuviera un flotador, éste mide en todo momento la altura
del agua en el tanque y corta el ingreso de agua cuando ésta llega a la
altura máxima. Este mecanismo, observa el estado del sistema en cada
momento, a partir de lo cual se decide cómo determinar el control.
Si el tanque tuviera una pérdida o un exceso de agua ingresando por
alguna falla, el flotador permitirı́a mantener el nivel de agua deseado, en
contraposición con un control predeterminado que fuera programado
para llenar el tanque sin la existencia de un flotador.
En este caso el control se determina en cada momento y permite
corregir las desviaciones del comportamiento deseado.
Los acueductos romanos
Figura: El acueducto de Segovia
Los romanos diseñaron un sistema de esclusas (un dispositivo por el que el agua
fluye por debajo de una puerta) para mantener el nivel de agua constante.
Regulador de velocidad
Las necesidades para la navegación tuvieron una fuerte influencia en los
cientı́ficos y las investigaciones tecnológicas durante los siglos XVII y
XVIII.
En el siglo XVIII, se construyeron unos molinos de viento para controlar
la velocidad de navegación.
La idea fue utilizar dos pelotas enganchadas en un eje que giraba junto
con el molino de viento, de manera que la fuerza centrı́fuga hiciera que
se elevaran. Este movimiento de elevación hacı́a desplazar un eje que
afectaba la posición de las velas.
Máquina de vapor
Durante la Revolución Industrial, con la adaptación de James Watt en 1769
de los controladores de velocidad a las máquinas de vapor, los mecanismos
de control se hicieron muy populares.
Figura: Máquina a vapor de Watt
Modelo económico
En 1928, Frank P. Ramsey, matemático inglés, desarrollo un modelo
económico que lleva su nombre. En este modelo se asume que
k es el capital
c es el consumo
f (k) es la producción a partir de un capital k
Por lo tanto, si dejo pasar un perı́odo de tiempo desde t = t0 hasta
t = t1 = t0 + 1, la relación entre el consumo y el capital viene dado por
k(t1 ) = k(t0 ) + f (k(t0 )) − c(t0 ).
O dicho de otra manera, la variación del capital es:
dk
= f (k) − c.
dt
Es decir, el consumo controla el estado del capital.
Modelo económico
El modelo de Ramsey, planteaba que una persona busca maximizar su
consumo intertemporalmente y por lo tanto dado un capital inicial, se
preguntaba como debı́a ser el mejor consumo en cada momento en un cierto
perı́odo de tiempo.
Aterrizaje de un cohete
Queremos aterrizar un cohete suavemente, es decir, con velocidad 0, en una
cierta superficie.
h(t) es la altura del cohete respecto de la superficie.
u(t) es la propulsión instantánea hacia arriba producido por el
encendido de los motores.
g es la fuerza de gravedad.
m(t) es la masa del cohete.
Aterrizaje de un cohete
Como el combustible se consume con el encendido de los motores, la masa
del cohete va decreciendo, asumimos que en forma proporcionalmente
negativa a la propulsión. Es decir, la variación de la masa respecto del
tiempo viene dada por
dm
= −k · u.
dt
Por otro lado, sabemos que la velocidad v (t) es la variación de la posición,
en este caso la altura h(t). Y la aceleración a(t) es la variación de la
velocidad. Luego por la Ley de Newton, se tiene que
m(t) · a(t) = Fuerza = u(t) − g · m(t)
Aterrizaje de un cohete
El sistema queda descripto por las ecuaciones
dh
=
v,
h(0) = h0
dt
dv
u
= −g + m
, v (0) = v0
dt
dm
= −k · u, m(0) = m0
dt
El estado del sistema en cada momento, que en este caso viene dado por la
masa m(t) y la altura h(t) están controlados por la propulsión del motor
u(t).
Se busca determinar la propulsión de los motores necesario para que el
cohete aterrice en la superficie suavemente en un cierto tiempo tf de manera
que se consuma la menor cantidad de combustible posible.
Es decir, se quiere determinar el control u de manera que h(tf ) = 0,
v (tf ) = 0 y la pérdida de masa del cohete: m(0) − m(tf ) sea mı́nima.
Se puede tomar tf dado o libre.
Algunas aplicaciones
Robótica: procesos de control que permiten que un robot camine o
tome un objeto.
Industria aeroespacial:
control activo en las alas de los aviones para volver el perfil más
aerodinámico.
mecanismos de feedback para el piloto automático.
Medicina:
diseño de mecanismos de suministro de insulina equipados de chips de
control.
control de la intensidad de una cierta terapia a utilizar para minimizar una
función que mide la patologı́a del tumor.
Tecnologı́a: mecanismos de control en los reproductores de CD que
permite alcanzar altas velocidades de rotación sin afectar la estabilidad
del disco.
GRACIAS!