Clase 18 Transiciones de fase

Clase 18
Transiciones de fase
Las transiciones de fase son bastante conocidas de la experiencia diaria: por ejemplo el
agua se evapora, se congela y solidifica. Casi todos los materiales muestran estas caracterı́sticas, hierven, se solidifican o se derriten. En general, todos los materiales se exhiben en varias
formas, que están caracterizadas por diferentes propiedades fı́sicas tales como la densidad,
viscosidad o estructura molecular. Un sistema que se encuentra bajo condiciones de presión y
temperatura constantes (condiciones bajo las que generalmente ocurren todas las transiciones
de fase) se describe mejor en términos de la energı́a libre de Gibbs. Dos fases en equilibrio,
justamente sobre la lı́nea de coexistencia tienen igual energı́a libre de Gibbs. Sin embargo, si
alguna variable del sistema cambia, el resto de los parámetros no necesariamente se adapta
a este cambio y el sistema no asume inmediatamente el estado de energı́a de Gibbs más bajo
posible, por lo tanto, el sistema se queda atorado en un mı́nimo local del potencial de Gibbs,
como se muestra en la figura 18.1.
Por ejemplo, si se enfrı́a agua lentamente por debajo del punto de congelación, ésta no
se congela inmediatamente y cae en el mı́nimo local. Un fenómeno similar ocurre con el
agua supercalentada, la cual puede burbujear súbitamente en un vaso [4]. Debido a que los
parámetros del sistema fluctúan, la barrera entre los dos mı́nimos es pequeña y el sistema
eventualmente saltará al mı́nimo global de la derecha. Podemos inducir esta transición golpeando al contenedor en el caso del agua sobreenfriada, donde los fonones proveen la energı́a
suficiente para remontar la barrera mostrada en la figura 18.1. En general, estos mı́nimos
local y global dependen de la temperatura, figura 18.2(a), y corresponden a las fases sólida
y lı́quida, respectivamente de la sustancia en consideración. Cuando el sistema está en equilibrio, siempre tomará el valor más bajo en la energı́a libre de Gibbs. Es ilustrativo dibujar
la posición de los mı́nimos como función de la temperatura, véase la figura 18.2(b).
Estas curvas pueden extenderse en la dirección de la presión. La proyección resultante
de estas superficies en el plano p − T , resultan en un diagrama de fase. Dos diagramas de
fase tı́picos se muestran en la figura 18.3, el de la izquierda corresponde a la mayorı́a de las
sustancias, el de la derecha ilustra el comportamiento del agua. Nótese que ambas figuras 18.3
muestran que a una temperatura y presión particulares, las fases sólida, lı́quida y gaseosa
están en equlibrio. A este punto se le llama punto triple y define una única temperatura para
cada material.
Cuando el sistema esta en equilibrio, su energı́a cumple con el siguiente criterio de estabilidad,
1
2
CLASE 18. TRANSICIONES DE FASE
Figura 18.1: Potencial de Gibbs: El mı́nimo de la izquierda corresponde a una fase con
densidad más alta que el mı́nimo de la derecha.
Figura 18.2: (a) Dependencia en el volúmen de la energı́a libre de Gibbs a diferentes temperaturas. (b) Mı́nimo de la función de Gibbs como función de la temperatura.
∂U
=0
∂x
∂ 2U
> 0.
∂x2
(18.1)
Supongamos un sistema termodinámico, controlado por cierto parámetro x. Cuando el
parámetro x se acerca al punto crı́tico xc el sistema está en un estado de equilibrio estable
Σ1 , una vez que x alcanza o excede xc , el estado Σ1 se vuelve inestable, y ocurre en el sistema
una transición a otro estado estable Σ2 . El principio básico, es que existem fluctuaciones en
el sistema que llevan a desviaciones de los estados de equilibrio, y el proceso de transición de
fase es un comportamiento dinámico.
El principio de Le Chatelier, dice que para un estado de equilibrio estable Σ de un sistema,
cuando el sistema se desvı́a de Σ por una pequeña perturbación o fluctuación, habrá una
fuerza restauradora que regrese al sistema al estado estable Σ.
18.1. CALOR LATENTE
3
Figura 18.3: Diagramas de fase de sustancias tı́picas (a) y del agua (b).
18.1.
Calor latente
Cuando ocurre en un sistema una transición de fase, la energı́a de Gibbs toma el valor
más bajo mientras se varı́a la temperatura,
G = H − T S.
(18.2)
Una sustancia en la fase sólida, si comparamos con un gas ideal bajo condiciones equivalentes, tiene una entalpı́a más negativa debido a las fuerzas de enlace entre las moléculas. Sin
embargo, la entropı́a es muy pequeña porque las moléculas están ordenadas. Es decir, la fase
sólida tiene una energı́a de Gibbs más pequeña y es la fase estable a bajas temperaturas.
A temperaturas altas, la fase gaseosa tiene poca entalpı́a pero una entropı́a grande, por lo
tanto, es la fase estable. Esto se ilustra mejor en la figura 18.4.
Figura 18.4: Energı́a de Gibbs como función de la temperatura. El diagrama esquematiza el
valor de G conforme el sistema sufre transiciones de fase.
4
CLASE 18. TRANSICIONES DE FASE
18.2.
Fronteras en las fases
En la figura 18.5 se muestra una curva de coexistencia o diagrama p − T entre dos fases,
lı́quido y gas de una sustancia. La pendiente de la curva está directamente determinada
por las propiedades de las fases. A continuación derivaremos una expresión que relaciona la
pendiente de la curva con el calor latente y el cambio en el volúmen que ocurre en el sistema.
Figura 18.5: Curva de coexistencia de las fases lı́quida y gaseosa de una sustancia.
18.2.1.
Ecuación de Clausis-Clapeyron
Los potenciales quı́micos de los estados A y A’, ası́ como los de B y B’ en la figura
18.5, están en equilibrio. Suponemos que las diferencias en la presión y temperatura entre
los estados A y B son infinitesimales, de tal forma que dP = PB − PA y dT = TB − TA . La
pendiente de la curva es dP
, y los potenciales quı́micos en ambos lados de la frontera de la
dT
fase son iguales,
µA = µA 0
µB = µB 0
(18.3)
µB − µA = µB 0 − µA 0
(18.4)
pero ambos lados pueden escribirse como,
µB − µA = dG = vdP − sdT
µB 0 − µA0 = dG0 = v 0 dP − s0 dT
(18.5)
en donde s y s0 son las entropı́as molares y v y v 0 los volúmenes molares en cada fase.
Sustituyendo las ecuaciones 18.5 en 18.4, obtenemos,
18.2. FRONTERAS EN LAS FASES
5
s0 − s
∆s
dP
= 0
=
.
dT
v −v
∆v
(18.6)
en donde ∆s y ∆v son las discontinuidades en las entropı́as molares y volúmenes molares
asociadas con la transición de fase. Como ` = ∆h = T ∆S, obtenemos,
dP
l
=
.
dT
T ∆v
(18.7)
Podemos obtener la ecuación 18.7 a partir de la ecuación de Gibbs-Duhem,
X
Nj dµj = −SdT + V dP.
(18.8)
j
Utilizaremos nuevamente una sustancia que consiste en dos fases, como la mostrada en
la figura 18.5 y nos interesa encontrar las condiciones bajos las que estas fases existen en
equilibrio. Hemos dicho ya, que en una transición de fase, el sistema alcanza el equilibrio de
tal forma que la energı́a libre de Gibbs toma el valor mı́nimo posible y para que esto ocurra
la energı́a de Gibbs debe tener el mismo valor en ambos lados de la curva de coexistencia. Si
N partı́culas cruzan en un punto dado la curva de equilibrio, tenemos a partir de la ecuación
18.8,
dµ = −sdT + vdP
dµ = vdP.
(18.9)
Integrando desde el punto A al B,
Z
B
µB − µA =
vdP.
(18.10)
A
Un criterio de estabilidad más restrictivo, lo obtenemos del principio de Le ChatelierBraun: consideremos un sistema que se aleja del equilibrio debido a alguna acción o fluctuación. De acuerdo al principio de Le Chatelier la perturbación induce directamente un
proceso que atenua la perturbación. Sin embargo, indirectamente también se inducen varios
procesos secundarios. El principio de Le Chatelier-Braun dice que estos proces inducidos
indirectamente también actúan para atenuar la perturbación inicial.
En el espacio tridimensional s, u, v la condición global de estabilidad requiere que la
superficie de la entropı́a s(u, v, · · · ) yazca sobre planos tangentes. Para ∆u y ∆v arbitrarios,
s(u + ∆u) − s(u − ∆u) ≥ 0
suu svv − 2suv ≥ 0
uvv uss − 2uvs ≥ 0
(18.11)
donde los subı́ndices indican las derivadas con respecto a la variable en cuestion. La concentración de lı́quido-gas,
6
CLASE 18. TRANSICIONES DE FASE
(xD + x0 ) = xD vD + x0 v0
vD − vT
x0
=
,
xD
vT − v0
(18.12)
ver puntos en las figuras 18.6(b-c). Con esto podemos concluir que hay una discontinuidad
en v y consecuentemente también en s, por lo tanto, podemos escribir el calor latente,
` = T (sD − s0 ).
(18.13)
Considerando,
P
∂S
dv = dv
ds =
∂V T
T
Z
1
∆P ∆v
∆s =
∆P dv ≈
T
∆T
(s − s0 )dT = (v − v 0 )dP
(18.14)
(18.15)
(18.16)
Con lo que, de igual manera llegamos a la ecuación de Clausius-Clapeyron,
`
dP
=
.
dT
T ∆v
18.2.2.
(18.17)
Isotermas inestables y ecuación de van der Waals
Recordemos que la distinción entre lı́quido y vapor no puede hacerse por encima de la
presión y temperatura crı́ticas. Consideremos el calor latente de vaporización,
∂g
(18.18)
∆hvap = Tvap ∆svap = −Tvap ∆
∂T p,N
y el cambio en el volumen molar,
∆
∂g
∂p
= ∆v.
(18.19)
T,N
Notemos que si el calor latente y el cambio en el volumen son cero por encima del punto
crı́tico, las superficies de energı́a libre de Gibbs G para la fase lı́quida no se intersectan. En
lugar de esto el sistema pasa continuamente a lo largo de una superficie G. Queremos saber
cómo ocurre esta transición entre dos superficies de G, por debajo del punto crı́tico a una
única superficie por encima del punto crı́tico. Usaremos el fluido ideal de van der Waals para
ilustrar esto, véase la figura 18.6(a).
Por encima de la temperatura crı́tica y para un cierto intervalo p − T , la ecuación de van
der Waals,
p=
RT
a
− 2,
(v − b) v
(18.20)
18.2. FRONTERAS EN LAS FASES
7
Figura 18.6: Isotermas de Van der Waals.
satisface los criterios de estabilidad,
∂ 2U
∂
=
2
∂V
∂V
∂U
∂V
∂ 2U
≥0
2
∂V
∂p
=−
≥0
∂V T,N
∂p
≤ 0.
∂V T,N
T,N
(18.21)
Esto criterios se violan en la región MLKJF de la figura 18.6(b-c). Debido a esto, esta
sección del diagrama de fases no puede describir un sistema fı́sico real. Otros procesos pueden
reemplazar la isoterma en esta región, estos procesos son fluctuaciones entre las fases de vapor
y lı́quido.
La forma de la isoterma dibujada en las figuras 18.6 determina el potencial molar de
Gibbs (potencial quı́mico). Podemos integrar la relación de Gibbs-Duhem,
dµ = −sdT + vdP
(18.22)
para obtener el potencial quı́mico,
Z
µ=
v(p)dp + f (T )
(18.23)
donde f (T ) denota una constante de integración. Si nos fijamos en la figura 18.6(c), la
diferencia entre la energı́a de Gibbs en A y B es,
Z
B
µB − µA =
v(p)dp.
(18.24)
A
Ignoremos por un momento la región MLKJF, e integremos la isoterma desde A a lo largo de
la curva v(p), el potencial molar de Gibbs resultante para cada temperatura es una función
de la presión, como se muestra en la figura 18.7.
8
CLASE 18. TRANSICIONES DE FASE
Figura 18.7: Potencial de Gibbs para las isotermas de van der Waals.
El potencial se incrementa cuando integramos de A a F. Siguiendo la trayectoria de
integración hasta M, el potencial de Gibbs se reduce cuando la presión disminuye. Desde M
a S el potencial es una función monótonamente creciente de nuevo. Es importante notar que
la pendiente de esta rama es distinta a la pendiente en el rango A a F. Un sistema real en
equilibrio, asumirá siempre los valores mı́nimos en el intervalo, entonces el sistema siempre
procederá al punto D (idéntico al punto O). Incrementando aún más la presión resulta que
el sistema se mueve en la trayectoria OQRS, entonces, en la intersección de los puntos D-O
la pendiente cambia discontinuamente. Esta es la caracterı́stica principal de una transición
de fase de primer orden.
18.3.
Sistemas multicomponentes
La ecuación fundamental para un sistema multicomponente es,
U = U (s, x1 , x2 , · · · , xt )
(18.25)
sustituyendo,
u=
U
xt
x0 =
s
xt
xj =
xJ
xt
obtenemos a la ecuación 18.25, en forma molar,
u = u(x0 , x1 , x2 , · · · , xt−1 ).
(18.26)
Ya que la suma de las fracciones molares igual a uno, sólo t − 1 variables son independientes.
En equilibrio, todos los potenciales, la energı́a interna, la entalpı́a, la energı́a libre de Gibbs
y la energı́a libre de Helmholtz son funciones convexas de las fracciones molares. Si, no
se satisfacen los criterios de estabilidad en un sistema multicomponente, pueden ocurrir
18.3. SISTEMAS MULTICOMPONENTES
9
transiciones de fase. La compocisión quı́mica, la entalpı́a o el volumen molar pueden diferir
en cada fase. Las condiciones que debe cumplir la ecuación 18.26 son,
u00 > 0
u(P0 )11 > 0
u(P0 , P1 )2 > 0
..
.
(18.27)
(18.28)
donde Pi = ∂U/∂xi son las fuerzas generalizadas. Cada transformada de Legendre dará un
criterio de estabilidad. Calculado en diferendial d(du),
2
d u=
t−1
X
ujk dxj dxk
(18.29)
j,k=0
y el primer diferencial de P0 ,
dP0 = u00 dx0 +
t−1
X
u0k dxk .
(18.30)
k=1
Separando la sumatoria de la ecuación 18.29 obtenemos,
d2 u = u00 (dx0 )2 +
t−1
X
u0k dxk dx0 +
t−1
X
ujk dxj dxk
(18.31)
j,k=1
k=1
Elevando la ecuación 18.30 al cuadrado,
(dP0 )2 = u200 (dx0 )2 + 2u00
t−1
X
u0k dx0 dxk +
k=1
t−1
X
u0j u0k dxj dxk
(18.32)
j,k=1
Comparando términos, podemos expresar d2 u de la siguiente manera,
t−1 X
(dP0 )2
u0j u0k
d u=
+
ujk −
dxj dxk .
u00
u00
j,k=1
2
(18.33)
Sea ψ 0 la transformada de Legendre,
ψ 0 ≡ u − P0 x 0 ,
(18.34)
∂ 2ψ0
u0j u0k
0
= ψjk
= ujk −
.
∂xj ∂xk
u00
(18.35)
entonces,
Similarmente, definimos la transformada inversa como,
10
CLASE 18. TRANSICIONES DE FASE
0
0
ψjk
= ψjk
−
0
ψij0 ψik
.
ψii0
(18.36)
Por lo tanto, podemos escribir la energı́a,
ψ 1 = u − P0 x0 − P1 x1 = u(P0 , P1 , x2 , · · · , xt−1 )
(18.37)
t−1
1X 1
2
du =
j−1 dPj
2 j=0 ψjj
2
(18.38)
Pi xi = u(P0 , P1 , · · · , Pk , xk+1 , · · · )
(18.39)
donde,
j−1
=u−
uψjj
k
X
i=0
j−1
ψjj
=
∂Pj
∂xj
>0
∀j
(18.40)
Cuando alguna de estas condiciones no se satisface, hay una transición de fase. Cada fase
es un sistema simple y entre ellas pueden intercambiar número de partı́culas.
18.3.1.
Transiciones de fase entre las fases sólida y lı́quida
Ejemplo: En un sistema de dos componentes
Consideremos un contenedor mantenido a la temperatura T y presión P , que contiene
una mezcla de dos componentes. Se observa al sistema en dos fases: una lı́quida y otra sólida.
Nuestro objetivo es encontrar la composición de cada fase. El potencial de Gibbs para cada
fase está dado por,
G(T, P, N1 , N2 ) = N µ
T P
, , x1
N N
(18.41)
denotamos el potencial quı́mico de la primer componente en la fase lı́quida con µL1 y su fase
sólida como µS1 . Las condiciones de equilibrio con respecto a la transferencia de la primer
componente (1) y la segunda componente (2) de fase a fase son,
µL1 (T, P, N1 , N2 ) = µS1 (T, P, xS1 )
µL2 (T, P, N1 , N2 ) = µS2 (T, P, xS1 ),
(18.42)
respectivamente, donde x1 + x2 = 1 en cada fase. Estas dos ecuaciones determinan xL1 y xS1
Por lo tanto hay que resolver dos ecuaciones con dos incógnitas xL1 , xS1 , que corresponden a la
cantidad de la sustancia que se transforma de lı́quido a gas. Supongamos que se observan tres
18.3. SISTEMAS MULTICOMPONENTES
11
fases coexistiendo en el sistema anterior, denotadas con I, II y III, por lo tanto, tenemos
para la primer componente,
III
III
II
µI1 (T, P, xI1 ) = µII
1 (T, P, x1 ) = µ1 (T, P, x1 )
(18.43)
y un par de ecuaciones similares para la segunda componente. Por lo tanto, tenemos cuatro
III
ecuaciones con tres incógnitas:xI1 , xII
1 y x1 . Por lo tanto, no podemos especificar T y
P a priori, pero si especificamos T entonces las cuatro ecuaciones determinan P, xI1 , xII
1 y
III
x1 . Aunque es posible seleccionar tanto T como P de manera arbitraria para encontrar un
estado de dos fases, un estado de tres fases sólo puede existir para una presión particular si
se especifica la temperatura.
18.3.2.
La regla de las fases de Gibbs
La regla de las fases nos dice cuántas fases son posibles en un sistema de N componentes,
lo que está relacionado con el número de grados de libertad, en términos del número de fases
diferentes y el número de constituyentes quı́micos del mismo. Fué deducida en términos de
principios termodinámicos por J. W. Gibbs.
Los grados de libertad f son el número de variables independientes intensivas que se
necesitan para determinar totalmente el estado de un sistema, entre ellas se encuentran la
temperatura, presión, concentración, etc.
Una fase puede contener distintos componentes quı́micos, que pueden o no estar presentes
en las otras fases. El número de fases en el sistema se representa por M . Los componentes
quı́micos se representan por los distintos compuestos (o elementos) involucrados en las ecuaciones del sistema. Si algunos de estos componentes permanecen en equilibrio entre sı́, sin
importar el estado del sistema, deben considerarse como un único constituyente. El numero
de componentes se representa con r.
En un sistema con r componentes, los potenciales quı́micos en la primera fase son funciones de T, P, xI1 , xI2 , · · · , xIr−1 . Los potenciales quı́micos en la segunda fase son funciones de
II
II
T, P, xII
1 , x2 , · · · , xr−1 Si tenemos M fases, el conjunto completo de variables independientes
consiste de T, P y M (r − 1) fracciones molares, en total 2 + M (r − 1) variables. Hay M − 1
ecuaciones de igualdad del potencial quı́mico para cada componente, o un total de r(M − 1)
ecuaciones. Por lo tanto, el número f de variables que pueden asignarse arbitrariamente es
[2 + M (r − 1)] − r(M − 1) o,
f = r − M + 2.
(18.44)
la cual es la regla de las fases de Gibbs. Para un sistema de una sóla componente, r = 1
y f = 0, si M = 3. Esto está de acuerdo con el hecho de que el punto triple es el único
estado para un sistema de una sóla componente. De manera similar, para un sistema de dos
componentes, cuatro fases pueden existir en un único punto, f = 0, r = 2 y M = 4, y la
temperatura puede ser asignada arbitrariamente para un sistema de tres fases, f = 1, r = 2,
y M = 3, y que ambas, T y P pueden asignarse arbitrariamente para un sistema con dos
fases, f = 2, r = 2 y M = 2.
12
18.3.3.
CLASE 18. TRANSICIONES DE FASE
Diagramas de fases para sistemas binarios
La regla de las fases de Gibbs, provee las bases para el estudio de los diagramas de fases.
Para un sistema de una componente, la función de Gibbs por mol es una función de la
temperatura y la presión, como se muestra en la figura 18.8. El diagrama de fases en el plano
P − T , como los mostrados en las figuras 18.3, es una proyección de la curva de intersección
de la superficie µ consigo misma en el plano P − T .
Figura 18.8: Dependencia funcional de potencial molar de Gibbs.
Equilibrio entre las fases lı́quida-sólida de un sistema binario
Una caracterı́stica tı́pica de la solidificación de una fase lı́quida es que la composición
quı́mica del sólido es diferente que la composición quı́mica del lı́quido. El lı́quido es homogéneo debido a la movilidad de sus componentes. En contraste, el sólido generalmente es
inhomogéneo como resultado de cambio en la composición del material que se solidifica. En
contraste con la transición de fase sólido-lı́quido de las sustancias puras, el proceso de solidificación se extiende sobre un intervalo muy grande de temperaturas. En la figura 18.9(a),
graficamos el potencial quı́mico para las fases sólida y lı́quida de un sistema binario.
Le mezcla de la figura 18.9 (a) se separará espontáneamente en dos fases x` y xs . El
diagrama corresponde a sistemas en los que el punto de licuefacción de B es mayor que el de
A. La parte superior de la figura corresponde a una temperatura intermedia en el intervalo de
solidificación. La lı́nea tangente (negra) indica el equilibrio entre las fases lı́quida y sólida de
composiciones x` y xs respectivamente. Si graficamos las posiciones de x` y xs como función
de T obtenemos la figura inferior. La curva roja superior se llama liquidus, ya que el lı́quido
es estable para todas las temperaturas por encima de esta curva. Similarmente, la fase sólida
es estable para temperaturas por debajo del solidus.
Consideremos una mezcla con una composición inicial x1` . La mezcla se enfria desde la
temperatura T0 por encima del liquidus a la temperatura T1 en el liquidus, que se muestra en
la figura 18.9 (b). A las temperaturas entre el liquidus y solidus para una composición inicial
dada x1` , la mezcla espontáneamente se separa en dos fases con fracciones molerares x1` y
x1s . Las fases lı́quida y sólida tienen diferentes composiciones. La fase sólida es más rica en
la sustancia B que la lı́quida. Consecuentemente, el lı́quido va careciendo de la sustancia B.
Cuando la temperatura baja aún más, las fracciones molares de ambas fases decaen cómo se
18.3. SISTEMAS MULTICOMPONENTES
13
Figura 18.9: (a) Equilibrio entre las fases sólida y lı́quida de un sistema binario. (b) Proyección
bidimensional del diagrama de fases en 3D de una sistema binario lı́quido-sólido tı́pico.
indica con las flechas azules, en la figura 18.9 (b). El lı́quido y sólido tienen composiciones
iguales únicamente a las temperaturas TmA y TmB .
18.3.4.
Diagramas de fase eutécticos: Aleaciones
En este caso, los diagramas de fase pueden ser más complicados que el mostrado en la
figura 18.9. En este caso las fases lı́quida y sólida pueden tener un gap de solubilidad1 . Puede
haber más de una fase sólida, por lo tanto, las aleaciones tendrán una fase lı́quida homogénea
debido a la movilidad de los átomos. Sin embargo, varias estructuras cristalinas pueden existir
con diferentes composiciones quı́micas. El potencial de Gibbs para estos sistemas se muestra
en la figura 18.10(a).
A altas temperaturas el potencial quı́mico del lı́quido es más bajo que el potencial quı́mico
de la fase sólida, que puede verse en términos de que el lı́quido es menos ordenado que el
sólido. Mientras la temperatura disminuye, el potencial quı́mico del sólido B se traslapa con
el del lı́quido. Las fases se separan a lo largo de la tangente 1. A temperaturas aún más
bajas, occure una separación adicional de fases a lo largo de la tangente 2. Dependiendo de
las composiciones iniciales de las fases sólida y lı́quida A o B están en equilibrio con el lı́quido.
Cuando la temperatura decae aún más, las tangentes rotan (tangentes 3 y 4) hasta que se
únen en la tangente 5. Esta temperatura define una temperatura mı́nima única en la cual el
lı́quido puede existir. Esta es la temperatura eutéctica. A temperaturas más bajas todavı́a,
sólo ocurren transiciones de fase entre las fases sólidas. El diagrama eutéctico correspondiente
se muestra en la figura 18.10(b).
El punto eutéctico es en el que la fase lı́quida y la sólida tienen la misma composición
1
Un gap de solubilidad ocurre en un sistema de dos componentes cuando hay una energı́a de mezclado
positiva y cuando la temperatura es lo suficientemente baja de tal forma que la contribución de la energı́a de
mezclado a la energı́a libre ’gana’ sobre la contribución de entropı́a de mezclado.
14
CLASE 18. TRANSICIONES DE FASE
Figura 18.10: (a) Potencial de Gibbs para aleaciones. (b) Diagrama de fases eutéctico.
xeu .
Referencias
[1] Thermodynamics and an introduction to thermostatistics
Herbert Callen
Wiley
[2] Equilibrium Statistical Physics, Phases of matter and Phase Transitions
Marc Baus and Carlos F. Tejero
Springer 2008
[3] Statistical Mechanics
R. K. Pathria and Paul D. Beale
Ed. Elsevier
[4] https://youtu.be/DpiUZI_3o8s
https://youtu.be/2FcwRYfUBLM
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