Lecturas 5, 6 y 7 Conceptos básicos y equivalencia del dinero a

Lecturas 5, 6 y 7
Conceptos básicos y equivalencia del dinero a través del tiempo.
1 Conceptos básicos y representación gráfica de los flujos de efectivo
En cualquier tipo de entidad, ya sea física o moral, siempre se presenta el movimiento de dinero.
Una persona física económicamente activa, percibirá dinero por su trabajo y gastará todo o parte de ese
dinero comprando satisfactores que le permitan vivir. En una persona moral, empresas o instituciones, el
movimiento del dinero es más evidente, su actividad diaria implica el movimiento de dinero, comprará
materias primas o servicios, los transformará y a su vez venderá esos productos o servicios a otras
empresas o a personas físicas. Cualquier de esas actividades implica el uso de dinero, hacia adentro de la
organización, si es que percibe dinero por la venta de sus productos o servicios, o hacia fuera de la
organización si está pagando cualquiera de los insumos que ha consumido o va a necesitar para la
elaboración de productos o elaboración de servicios.
El gran problema que siempre ha existido con el manejo del dinero es que cambia su valor con el
paso del tiempo, por cambio de valor se quiere decir cambio de poder adquisitivo. Es muy sencillo
comprobar esto. Tenga a la mano $1 000 unidades de su moneda local, llámese pesos, australes, reales,
dólares, euros, etc., y compre en un mercado cierta cantidad de productos, por ejemplo, n kg de carne, n
litros de leche, etc. Deje pasar unos meses, regrese con las mismas $1 000 unidades monetarias y es
seguro que podrá comprar una cantidad menor, respecto de aquellas cantidades que compro de los
mismos productos inicialmente. Cambió el poder adquisitivo del dinero. Este cambio va a ser
proporcional a la llamada inflación que haya prevalecido en el periodo considerado en la economía de
aquel país.
Aunque para muchas organizaciones la entrada o salida de dinero, a la cual se le llamará flujo de
efectivo, el cual será positivo si entra dinero a la organización, y negativo si es que sale de ella, como
cuando paga por los insumos, se produce a diario, los administradores encargados de la contabilidad de
las organizaciones, acostumbran ha realizar, a expresar y a declarar estos flujos de efectivo de forma
mensual, y para efectos fiscales, en forma anual. Recordando el hecho de que el dinero cambia su valor
con el paso del tiempo, se requiere entonces el contar con técnicas, primero para representar los flujos de
efectivo en diferentes periodos de tiempo, y además, contar con técnicas para poder calcular el cambio del
valor del dinero a través del tiempo. Para hacer la presentación formal de los conceptos de la Ingeniería
Económica, considérese el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1 Supóngase que una persona va a una pequeña tienda que vende artículos para el hogar
en la localidad donde vive, y que quiere comprar una TV, cuyo costo de contado es de $12 000. El
comprador no tiene esa cantidad disponible, por lo que solicita al vendedor que haga un plan de compra a
crédito a seis meses. El vendedor le contesta que el plan que le puede ofrecer es el pago de seis
mensualidades iguales, la primera se haría al final del primer mes después de la compra, y que el interés
que se cobra en la tienda es de 3 % mensual.
El comprador pide al vendedor que haga el cálculo del valor de cada pago mensual, con lo que el
vendedor muestra el siguiente cálculo:
$12 000 x 0.03 x 6 meses = $2 160 sólo de interés
Si la deuda inicial es de $12 000 + $2 160 de interés, el total es de $14 160 que dividido entre 6
meses arroja una mensualidad de $2 360.
Ante estas cifras, el comprador dice no estar de acuerdo, ya que el cálculo supone que
cada mes él esta debiendo $12 000, ya que el interés se carga seis veces sobre la misma deuda total, por
tanto, considera injusta la forma de cálculo, ya que considera que con el pago de cada mensualidad, la
deuda remanente disminuye. En contraposición, el comprador le propone el siguiente cálculo al vendedor:
Deuda total $12 000 dividida entre seis meses, arroja un deuda mensual de $2 000, sobre la cual
se debería cobrar el interés de 3 % mensual, con lo cual, el interés mensual es de $2 000 x 0.03 = $60, y el
pago mensual es de $2 000 + 60 = $2 060.
Ante este cálculo, ahora protesta el vendedor y dice que está mal, ya que el procedimiento
considera que desde el primero mes se deben sólo $2 000, lo cual es falso, ya que al final del primer mes,
antes de hacer el primer pago, el comprador debe $12 000, más el interés acumulado que son $360, por
tanto, el cálculo le perjudica en su ganancia.
Después de discutir un buen tiempo, deciden que es imposible llegar a un cálculo válido para
ambos, si no cuentan con un criterio que satisfaga a los dos. Analizan el hecho de que es tan injusto
considerar que se deben cada mes, todos los meses, $12 000, como injusto es considerar que cada mes,
1
todos los meses, se deben solo $2 000. Discutiendo por más tiempo, llegan a una conclusión que satisface
plenamente a ambos, a la cual le llaman criterio de pago justo y la declaran con las siguientes palabras:
Sólo se deben pagar intereses sobre saldos insolutos, es decir, sobre la deuda no pagada o
deuda pendiente.
Sin embargo, su problema es ahora que no saben como hacer el cálculo correcto, y menos
pueden comprobar si haciendo determinado cálculo, la cifra obtenida para el pago mensual es la correcta.
2 Conceptos básicos
Una de las principales ventajas que tiene la Ingeniería Económica es que puede comprobarse que
el resultado obtenido en cualquier problema es correcto (o incorrecto). Del ejemplo anterior, es evidente
que ambos cálculos están mal. Una forma de comprobar el error es tomando como base la declaración del
criterio de pago justo, haciendo un cálculo, periodo a periodo, de cual es el saldo insoluto que va
quedando luego de hacer el pago mensual correspondiente, y calcular el interés sobre ese saldo insoluto:
Periodo
Interés
0
Saldo
Total
Pago
Nuevo saldo
12 000
1
12 000(0.03)
=360
+ 12 000
= 12 360
- 2 360
= 10 000
2
10 000(0.03)=
10 300
+ 10 000
=10 300
- 2 360
= 7 940
3
7 940(0.03)=
238.2
+ 7 940
=8 178.2
- 2 360
= 5 818.2
4
5 818.2(0.03)=
174.54
+5 818.2
=5 992.74
-2 360
= 3 632.75
5
3 632.75(0.03)
=108.98
+ 3 632.75
=3 741.73
- 2 360
= 1 381.73
6
1 381.73(0.03)
= 41.45
+ 1 381.73
= 1 423.18
- 2 360
= -936.82
Tabla 1.- Método de comprobación de resultado
El saldo final debería ser cero, si el cálculo fuera el correcto. En este caso, como se supuso que
cada mes, en todos los meses siempre se debían $12 000, entonces el resultado es que se pagaría de más,
en vez de pagar solo $1 423.18 en el último mes, se estaría cobrando los $2 360 de la mensualidad
acordada, en caso de aceptar el plan de pago del vendedor. Obsérvese como el interés siempre se carga
sobre la cantidad que va quedando en cada periodo como saldo insoluto, lo cual corresponde al renglón
inferior. De esta misma forma, cuando se obtenga la solución correcta, se podrá comprobar la validez del
resultado y el saldo deberá ser cero. El estudiante podrá comprobar que el otro plan de pago tampoco
conduce a la solución correcta.
3 Desarrollo de la fórmula que rige a la Ingeniería Económica.
Para resolver no solo este, sino casi cualquier tipo de problema planteado por la Ingeniería
Económica, se requiere de una fórmula que considere el cambio del valor del dinero a través del tiempo.
Se va a desarrollar esta fórmula con un ejemplo.
Ejemplo 2.- Una persona deposita $100 en un Banco que paga un interés de 10 % anual. No se
retira dinero. ¿Cuánto se acumula en el Banco al final de tres años?
Solución:
Llámese P a la cantidad depositada en el presente ($100).
Llámese i al interés cobrado por periodo (10 % anual)
Llámese F a la cantidad acumulada en el futuro.
Llámese n al periodo de tiempo necesario para ganar (o cobrar) un interés, un año en el caso del
ejemplo.
Cantidad acumulada al final del periodo 1:
F1 = 100 + 100(0.1) = 110
Como no se retira dinero, el periodo dos empieza con una cantidad acumulada de $110, sobre la
cual se ganará el nuevo interés:
F2 = 110 + 110(0.1) = 121
De la misma forma, el tercer año se inicia con $121 y sobre esa cantidad se va a ganar interés:
F3 = 121 + 121(0.1) = 133.1
La respuesta al problema es entonces $133.1
Para desarrollar la fórmula se resuelve el mismo problema, pero sólo con literales:
F1 = P + Pi = P(1+i)1
La cantidad acumulada al final del periodo 1 es (P + Pi) y sobre esa cantidad se gana un interés:
F2 = P + Pi * i(P +Pi) = P + Pi + Pi + Pi2 = P(1 + 2i + i2) = P(1 + i)2
2
El estudiante podrá comprobar este resultado si hace la operación:
(1 +i)(1 + i) = 1 + 2i + i2
De manera similar para el tercer periodo se tiene:
F3 = P + Pi + Pi + Pi2 + i(P + Pi + Pi + Pi2) = P + Pi + Pi + Pi2 + Pi + Pi2 + Pi2 + Pi3 =
= P(1 + 3i + 3i2 + i3) = P(1 + i)3
El estudiante podrá comprobar el resultado multiplicando:
(1+ i)(1 +i)(1 +i) = 1 + 3i + 3i2 + i3
De los resultados obtenido se puede observar que el periodo coincide con el exponente, es decir,
para el periodo 1, se obtuvo F = P(1 +i)1, para el periodo 2, se obtuvo F = P(1 + i)2 y para el periodo 3 se
obtuvo F = P(1 + i)3. Lo primero que hay que comprobar es que utilizando la fórmula se obtienen los
mismos resultados numéricos que ya se tenían:
F1 = 100(1 + 0.1)1 = 110
F2 = 100(1 + 0.1)2 = 121
F3 = 100(1 + 0.1)3 = 133.1
Como los resultados son idénticos, esto permite hacer una generalización de la fórmula como:
F = P(1 + i)n
1
O su inversa
P=
F
(1 + i ) n
Donde: F = cantidad acumulada en el periodo n
P = cantidad depositada en el presente
i = interés cobrado o ganado por periodo
n = periodo que debe transcurrir para ganar o cobrar un interés o periodo de capitalización del
interés.
La fórmula 1 recibe cualquiera de estos tres nombres:
- Fórmula de interés capitalizado.- Esto significa que el interés se convierte en capital, por tanto,
para el siguiente periodo va a ganar un interés. Esto se puede observar en los resultados. Al final
del primer periodo, se acumulan $110, donde $10 es el interés ganado en el primer periodo. Para
el segundo periodo, se acumulan $121, y el $1, es el interés ganado sobre el interés del periodo
previo, es decir $10(0.1) = $1. En el tercer periodo, desde luego, pasa lo mismo, pero aquí ya no
es tan evidente a partir del resultado obtenido.
- Fórmula de equivalencia del valor del dinero a través del tiempo.- Se puede decir que $100
en el presente, son equivalentes a $133.1 dentro de tres años, siempre que el interés anual sea de
10 %:
F = 100(1 + 0.1)3 = 133.1
Lo que significa equivalencia del dinero es que si Ud. va a comprar un conjunto de bienes en este
momento y tiene $100, anota la cantidad comprada, por ejemplo, n litros de leche y n kg de carne, si la
tasa de interés del mercado (o la inflación) fuera de 10 % en cada uno de los próximos 3 años, y Ud.
quisiera volver a comprar exactamente la misma cantidad de litros de leche y cantidad de carne que hace
3 años, necesitaría tener $133.1 para hacerlo. La equivalencia significa mismo poder adquisitivo en
diferentes periodos de tiempo. De la misma forma, se puede decir que $133.1 dentro de 3 años, son
equivalente a $100 el día de hoy, siempre que la tasa de interés sea de 10 % en cada uno de los 3 años.
Por tanto, se debe declarar también, como un requisito indispensable para comparar flujos de
dinero que aparecen en diferentes periodos de tiempo que:
Para comparar correctamente flujos de efectivo (dinero) que se encuentra diferentes periodos,
hay que hacer la comparación en el mismo periodo y al valor equivalente de esos flujos de efectivo, esto
es, el dinero se puede pasar a su valor equivalente hacia el futuro, multiplicando por (1+ i)n, o bien, se
puede pasar del futuro hacia el presente a su valor equivalente dividiendo entre (1 + i)n.
- Fórmula básica.- A la fórmula 1.1 también se le llama fórmula básica de la Ingeniería
Económica, pues con ella se pueden resolver prácticamente todos los problemas planteados en
Ingeniería Económica. De hecho en muchos ejemplos se demostrará esta aseveración.
4 El diagrama de flujo de efectivo
Para resolver el ejemplo planteado inicialmente, falta contar con una herramienta diagramática
que ayude a visualizar como fluye el dinero a través del tiempo. A esta herramienta se le llama diagrama
de flujo de efectivo, donde el tiempo o periodo de análisis del problema se representa como una línea
horizontal, el inicio se considera en el extremo izquierdo y el final en el extremo derecho de la línea. El
3
dinero se representa con flechas hacia arriba y hacia abajo. Una flecha hacia arriba siempre va a
representar ganancia, ahorro, beneficio, ingreso, etc., en tanto que una flecha hacia abajo siempre va a
representar inversión, gasto, desembolso, pérdida, costo, etc. Hay que decir que en cualquier transacción
económica siempre hay dos partes, un comprador y un vendedor, un prestador y un prestatario, etc., y que
los diagramas de flujo de efectivo de ambos participantes son imágenes de espejo.
En la gráfica 1 se puede observar el diagrama de flujo del vendedor. La flecha hacia abajo en el
periodo cero, indica que él ha hecho una venta y que sus inventarios han bajado por $12 000. A cambio
de eso, el recibirá 6 pagos iguales mensuales. La notación de la letra A para representar los pagos
mensuales, obedece a una razón histórica, ya que los estadounidenses le asignaron esa letra para denotar
un pago anual (del inglés annuity), pero pasado el tiempo, no importa si el pago es mensual, semanal, etc.,
se le sigue asignando la letra A, por tanto, a partir de este momento, la A va a denotar un pago uniforme o
igual a lo largo de n periodos de tiempo.
A
A
A
A
A
A
1
2
3
4
5
6
0
P = 12 000
Gráfica 1.- Diagrama de flujo del vendedor del ejemplo 2.1
Es sencillo imaginar que el diagrama de flujo para el comprador del mismo ejemplo, es una
imagen de espejo de la gráfica. 1, ya que el comprador llega a la tienda sin dinero y, una vez hecha la
compra sale de la tienda con una artículo con valor de $12 000, lo cual se representaría como una flecha
hacia arriba; a cambio de eso, va a tener que hacer 6 pagos mensuales iguales, lo cual se representaría con
flechas hacia abajo. En estos problemas existe un periodo cero que denota el inicio del periodo de
análisis, ya que si al final del primer mes se le llama mes1, al mes anterior se le debe llamar mes cero o
periodo cero.
Solución del ejemplo.
El ejemplo 1 está aún sin resolver, aunque ahora ya se cuenta con elementos suficientes para
hacerlo. Para resolver cualquier casi problema de Ingeniería Económica, se debe hacer uso de lo que se
puede llamar el axioma o declaración básica de Ingeniería Económica, que dice lo siguiente: la cantidad
de dinero que se debe, es igual a la cantidad de dinero que se va a pagar, siempre que ambas cantidades,
de deuda y pago, se comparen a su valor equivalente en el mismo instante de tiempo.
Supóngase que en el mismo ejemplo 1 la compra se hace de contado. Obviamente la cantidad de
dinero que debe pagarse es $12 000, ya que la cantidad de deuda y la cantidad de pago están el mismo
instante de tiempo, y no hay necesidad de obtener el valor equivalente de una ellas en otro instante. Ahora
supóngase que se hace la misma compra, pero se acuerda pagar toda la deuda un mes después de haber
hecho la compra. Sin necesidad de saber Ingeniería Económica, se puede calcular la respuesta, pues al
final del primer mes, se debería la cantidad inicial, $12 000, más el interés acumulado durante un mes que
es 12 000 (0.03) = 360, por tanto, la respuesta es $12 360. Sin embargo, si se plantea la solución
formalmente se tiene:
4
A
0
1
P = 12 000
Gráfica 2.- Compra para pagar en un mes.
Expresando el resultado con la única fórmula que se tiene hasta este momento:
F = 12 000(1.03)1 = 12 360
Obsérvese que lo que se hizo en realidad, fue pasar a su valor equivalente a un mes, el valor del
periodo cero. Si se hace uso de la declaración fundamental, se diría: lo que se debe en el presente, es igual
a lo que se va a pagar dentro de un mes, siempre que ambas cantidades se comparen a su valor
equivalente en el mismo instante de tiempo, si se toma como punto de comparación al periodo cero,
entonces se tiene que pasar el pago que se hace al final del primer mes, a su valor equivalente en el
presente:
F
12000 =
(1.03)1
Como se observa, es exactamente la misma fórmula, sin embargo, la forma de razonar y abordar
el problema es distinta. Ahora supóngase que la compra se hace para liquidar la deuda en dos
mensualidades iguales, que se pagarían al final de los meses 1 y 2. El diagrama de flujo es el siguiente:
A
A
1
2
0
12 000
Gráfica 3- Pago de la deuda en dos mensualidades iguales
Obsérvese que ahora la solución de este problema es muy sencillo, si se plantea desde el punto
de vista de la declaración fundamental: la cantidad que se debe es igual a la cantidad que se va a pagar,
siempre que ambas cantidades se compren a su valor equivalente en el mismo instante de tiempo.
También obsérvese que ahora a las mensualidades ya se les denota como A. Por tanto, habrá que pasar, a
su valor equivalente, las dos A al presente:
12 000 =
A
(1.03)
1
+
A
(1.03) 2
A = 6 271.330049
Para resolver el ejemplo 1, el cual planteaba el pago de 6 mensualidades iguales, se utiliza la
gráfica 1 y la solución es:
12 000 =
A
(1.03)
1
+
A
(1.03)
2
+
A
(1.03)
3
+
A
(1.03)
4
+
A
(1.03)
5
+
A
(1.03) 6
2
5
A = 2 215.170005
Para verificar que este resultado es la solución correcta, ya se tiene el método de comprobación
(Tabla. 1), y además, ya se sabe que el saldo debe ser cero:
0
12 000
1
12 000(1.03)=
12 360
- 2 215.170005
=10 144.83000
4
6 265.855037(1.03)=
6 453.830688
- 2 215.170005
= 4 238.660683
2
10 144.830(1.03)=
10 449.17490
- 2 215.170005
= 8 234.004895
3
8 234.004895(1.03)=
8 481.025042
- 2 215.170005
= 6 265.855037
5
4 238.660683(1.03)=
4 365.820503
- 2 215.170005
= 2 150.650498
6
2 150.650498(1.03)=
2 215.170013
- 2 215.170005
= 0.000008
Tabla 2
Hay que observar que en la declaración básica no dice que el instante de comparación del dinero
deba ser el presente o periodo cero. Para resolver el ejemplo 1 se consideró como punto de comparación
al presente, pero el dinero a su valor equivalente puede ser comparado en cualquier otro instante de
tiempo. En las soluciones que se muestran, se tomaron diferentes periodos de referencia:
A
A
A
A
A
t1
12 000(1.03)1 = A +
+
+
+
+
1
2
3
4
(1.03)
(1.03)
(1.03)
(1.03)
(1.03) 5
t2
t3
t6
12 000(1.03) 2 = A(1.03)1 + A +
A
(1.03)
1
+
A
(1.03)
12 000(1.03) 3 = A(1.03) 2 + A(1 + 03)1 + A +
2
+
A
(1.03)
1
A
(1.03)
+
+
3
A
(1.03)
2
A
(1.03) 4
+
A
(1.03) 3
12 000(1.03) 6 = A(1.03) 5 + A(1 + 03) 4 + A(1.03) 3 + A(1.03) 2 + A(1.03)1 + A
Si se calcula la A en cada una de las soluciones anteriores, el resultado siempre será exactamente
A = 2 215.170005. Incluso las soluciones posibles no son sólo 7 sino n, ya que la declaración básica no
dice que el instante de referencia deba estar dentro del diagrama de flujo que representa al problema. Se
recomienda al estudiante calcular la A para los periodos 4 y 5, pero además podrá hacer el cálculo para
los instantes de tiempo -10 y + 20, o cualesquiera otros periodos que seleccione.
5 Los pagos uniformes y el presente.
Existe una fórmula muy sencilla para resolver el ejemplo 2.1:
 (1 + i ) n − 1 
P = A
n 
 i (1 + i ) 
y su inversa
 i (1 + i ) n 
A = P

n
 (1 + i ) − 1 
3
A la fórmula 3 se le conoce como aquella que relaciona los pagos uniformes y el presente.
Aunque se puede utilizar cualquiera de las formas de la fórmula 2.3 para resolver el problema, no es lo
mismo, desde el punto de vista del enfoque de solución. Si se quiere calcular directamente la A entonces:
 0.03(1.03) 6 
A = 12 000
 = 2 215.170005
6
 (1.03) − 1 
6
Sin embargo, aunque el cálculo es directo, la fórmula por si misma no explica que sucede detrás
de ella. Si se quiere utilizar la declaración básica utilizando la fórmula 3, entonces para iniciar la solución
se dice: la cantidad que se debe, que son $12 000, es igual a la cantidad que se va a pagar que son seis
pagos uniformes (mensualidades), siempre que las cantidad se comparen a su valor equivalente en el
mismo instante:
 (1.03) 6 − 1 
12 000 = A
6 
 0.03(1.03) 
Aquí el instante en que se está haciendo la comparación es el presente ¿Cómo se sabe esto?
Porque la deuda de $12 000 está en el presente y no fue modificada o pasada a su valor equivalente a
algún otro instante de tiempo, y esto se sabe porque no está multiplicada o dividida por algún factor.
Obsérvese que cuando se calculó la A tomando como referencia instantes distintos al presente, la A
siempre fue multiplicada por un factor que enviaba los $12 000 a su valor equivalente al instante de
referencia. Pero ¿Cómo es que esta A resuelve el ejemplo 1 directamente?
De la fórmula 3 que es la solución del ejemplo 1, se hará una manipulación algebraica a fin de
simplificar el cálculo y encontrar una fórmula que permita resolver problemas para cualquier n. Imagínese
la enorme ecuación que se tendría que plantear si en un problema n = 40. A la ec. 2 multiplíquese ambos
1
lados por
1+ i
 1
12000
1
1
1
1
1 
= A
+
+
+
+
+
4

2
3
4
5
6
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i ) 7 
 (1 + i )
Restar 2.4 – 2.2:
 A
 A
12000
A   A
A 
A   A
A 
− 12000 = 
−
+
−
+
.....
+
−
+
−







2
6
(1 + i )
(1 + i )   (1 + i ) 3 (1 + i ) 2 
(1 + i ) 5   (1 + i ) 7 (1 + i ) 6 
 (1 + i )
 (1 + i )
Simplificando la ec. anterior:
 1
 1

1 
12000 
− 1 = A
−
5

7
(1 + i ) 
 (1 + i ) 
 (1 + i )
Si se quiere comprobar que tanto la resta de ecuaciones y su simplificación son correctas, basta
considerar que i = 3 %, hacer los cálculos, calcular A, y en ambos casos se comprobará que: - 349.51456
= -A0.15778227 y despejando A = 2 215.170005 que es el resultado del ejemplo 1.
Siguiendo con la manipulación algebraica, se sabe que:
1
1
1+ i
−i
−1 =
−
=
(1 + i )
(1 + i ) 1 + i 1 + i
Nuevamente si se quiere comprobar la veracidad de la igualdad anterior, sustituya i = 3 % y
compruébese el resultado. Finalmente, multiplíquese ambos lados de la ec. 5 por – (1+i):

(1 + i )
1+ i 
P (i ) = A  −
+

− 6 −1
1 + i 
 (1 + i )
 (1 + i ) 6 − 1 
12000 = A
6 
 i (1 + i ) 
Analizando la ec. obtenida, se observará que es la fórmula 3, de forma que se puede generalizar
el resultado para toda P y para toda n, ya que la n = 6 obtenida, es la n del ejemplo 2.1, es decir, la 3 es
válida para resolver este tipo de problemas.
La fórmula 3, a la que se le puede llamar fórmula condensada que relaciona al presente con
pagos uniformes, se le puede utilizar de dos formas. Una es la ya mostrada en el ejemplo 1, donde se
calcularon los pagos uniformes que deberían de hacerse si se contrae una deuda. La otra forma es:
7
Ejemplo 2: Se vende un aparato eléctrico a crédito bajo las siguientes condiciones: pagar 6
mensualidades iguales de $2 215.170005 cada una, empezando a pagar un mes después de hacer la
compra. El interés que se cobra es 3 % mensual ¿Cuál es el precio de contado?
Solución:
Utilizando la fórmula 2.3:
 (1 + i ) n − 1 
 (1.03) 6 − 1 
P = A
=
2
215
.
170005
= 12 000


n
6
 i (1 + i ) 
 0.03(1.03) 
Obsérvese un punto muy importante en los ejemplos 1 y 2, el primer pago siempre se hace al
final del primer periodo (fin del primer mes). Esto lleva a definir las restricciones de uso de la fórmula 3:
1.- La primera A siempre está en el periodo 1.
2.- La última A siempre está en el periodo n.
3.- Los pagos (o depósitos) no se interrumpen.
Ahora obsérvese como se deberá utilizar la fórmula 3 si no se cumplen las restricciones
mencionadas.
Ejemplo 3.- Un aparato eléctrico que tiene un precio de contado de $12 000, se compra a crédito
bajo las siguientes condiciones: interés mensual 3 %, pago de 6 mensualidades iguales, pagando la
primera mensualidad al final del quinto mes después de hacer la compra, por lo que la última mensualidad
se paga al final del mes 10. Calcular el valor de cada una de las 6 mensualidades.
Solución:
En este problema se están violando las restricciones 1 y 2. El diagrama de flujo del ejemplo es:
A
A
A
A
A
A
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
P
Gráfica 4
El ejemplo se puede resolver, al menos, de dos formas distintas. Si se utiliza la fórmula básica y
la declaración: la cantidad que se debe es igual a la cantidad que se va a pagar, siempre que ambas
cantidades se comparen a su valor equivalente en el mismo instante, y si se toma al tiempo presente como
punto de comparación, entonces:
12 000 =
A
(1.03)
5
+
A
(1.03)
6
+
A
(1.03)
7
+
A
(1.03)
8
+
A
(1.03)
9
+
A
(1.03)10
Es la misma solución del ejemplo 1, pero cada una de las A hay que llevarlas a su valor
equivalente unos pocos periodos más. El resultado es:
A = 2 493.193312
Para comprobar que el resultado es correcto, utilice el mismo método de comprobación del
resultado del ejemplo 1. Recuérdese que el saldo final debe ser cero. Para resolver el ejemplo con la
fórmula 3, debe quedar claro como funciona esta fórmula. Si
 (1 + i ) 6 − 1 
12000 = A
6 
 i (1 + i ) 
y
12 000 =
A
(1.03)
1
+
A
(1.03)
2
+
A
(1.03)
3
+
A
(1.03)
4
+
A
(1.03)
5
+
A
(1.03) 6
8
producen exactamente el mismo resultado numérico para A, como ya ha sido demostrado, entonces lo que
hace la fórmula:
 (1 + i ) n − 1 
P = A
n 
 i (1 + i ) 
es sumar una serie de cantidades uniformes (A) a su valor equivalente y depositar la suma un periodo
antes de la primera A. Con este conocimiento se aborda la solución del ejemplo 3 y se sabrá que
aplicando dicha fórmula al pago de las mensualidades, las va a sumar a su valor equivalente y las va a
depositar en el periodo 4, es decir, un periodo antes de la primera A, pero recordando que un requisito
básico para la solución de problemas es comparar el dinero un mismo instante, se tienen dos soluciones:
comparar el dinero en el tiempo cero y comparar el dinero en el tiempo 4:
 (1.03) 6 − 1   1 
12 000 = A
6 
4
 0.03(1.03)   (1.03) 
comparando el dinero en t0
comparando el dinero en t4
 (1.03) 6 − 1 
12 000(1.03) 4 = A
6
 0.03(1.03) 
Por supuesto que es un simple despeje, pero la forma de razonamiento es distinta, ya que cambia
el punto de comparación en el tiempo. Se podrá comprobar que ambos planteamientos llevan a la misma
solución de A = 2 493.193312. Es necesario aclarar que en la fórmula condensada en este tipo de
problemas, la n es el número de pagos (cobros) y no es la n de todo el horizonte de análisis, es decir, el
horizonte de análisis es 10 años, pero sólo hay seis periodos donde existen flujos de efectivo en la forma
de pagos, por lo que la n de la fórmula es 6 y no 10.
Una cuarta forma de solución, consiste en considerar que se están pagando 10 mensualidades, de
los meses 1 a 10, y restar las mensualidades que no se pagan, es decir, restar las mensualidades 1, 2, 3 y 4.
 (1.03)10 − 1 
 (1.03) 4 − 1 
 (1.03)10 − 1 
A
A
A
A
12000 = A
−
A
=
A
−
−
−
−




10
4
10 
1
2
3
(1.03)
(1.03)
(1.03) 4
 0.03(1.03)  (1.03)
 0.03(1.03) 
 0.03(1.03) 
En tanto que la fórmula inversa:
 i (1 + i ) n 
A = P

n
 (1 + i ) − 1 
lo que hace es calcular una serie uniforme de cobros (o pagos) a su valor equivalente, de los
periodos 1 a n, conociendo la cantidad que se debe o se va a cobrar, y que debe estar un periodo antes
del primer pago (cobro). Esa cantidad no necesariamente debe estar en el presente.
Ejemplo 4.- Un aparato eléctrico que tiene un precio de contado de $12 000, se compra a crédito
bajo las siguientes condiciones: interés mensual 3 %, pago de 6 mensualidades iguales, las primeras tres
mensualidades se pagan al final de los meses 1, 2 y 3, se suspenden los pagos en los meses 4, 5, 6 y 7,
pagando las últimas tres mensualidades al final de los meses 8, 9 y 10. Calcular el valor de cada una de
las 6 mensualidades iguales.
Solución:
En este ejemplo se están violando las restricciones 2 y 3, ya que la primera A está en el periodo
1. El diagrama de flujo es:
9
A
A
A
1
2
3
A
A
A
8
9
10
0
4
5
7
6
P
Gráfica 5
La primera solución es con la fórmula básica:
A
A
A
A
A
A
12 000 =
+
+
+
+
+
1
2
3
8
9
(1.03)
(1.03)
(1.03)
(1.03)
(1.03)
(1.03)10
La segunda solución es con la fórmula condensada, pero ahora hay que observar que se tienen
dos series uniformes de tres A cada serie. Si se toma al tiempo cero como punto de comparación del
dinero, se tiene:
 (1.03) 3 − 1 
 (1.03) 3 − 1   1 
12 000 = A
+
A


3
3 
7 
 0.03(1.03) 
 0.03(1.03)   (1.03) 
Una tercera solución es comparar el dinero en el tiempo cero, considerar que se pagan diez mensualidades
y restar aquellas que no se pagan:
 (1.03)10 − 1 
 (1.03) 4 − 1   1 
12000 = A
A
−
=


10
4 
3
 0.03(1.03) 
 0.03(1.03)   (1.03) 
 (1.03)10 − 1 
A
A
A
A
A
−
−
−
−
10 
4
5
6
(1.03)
(1.03)
(1.03) 7
 0.03(1.03)  (1.03)
En todos los casos se comprobará que A = 2 339.851202. Como siempre el estudiante tiene el método
para comprobar que este resultado es correcto, tal y como se hizo en la Tabla 2
6 El futuro y las series uniformes.
Ejemplo 5.- Una persona deposita $1 000 cada mes de los meses 1 a 6, en un banco que paga un
interés de 2 % mensual a sus ahorradores. No retira dinero ¿Cuánto se acumula en el banco al momento
de hacer el sexto depósito?
Solución:
Datos: A = 1 000; i = 2 % mensual; n = 6; F =?
El diagrama de flujo del ejemplo es:
F=?
0
1
2
3
4
5
1000
1000
1000
1000
1000
6
1000
Gráfica 6
Obsérvese que no hay cantidad en el periodo cero, puesto que el ejemplo declara que los
depósitos se van a hacer del los periodos 1 a 6. Se va a resolver el ejemplo sin conceptos de Ingeniería
Económica:
10
Periodo
CFP
Depósito (D)
D + CFP
Interés ganado i(D +CFP)
Cantidad de fin de periodo
(CFP)
1
2
3
4
1 000
1 000
20
1 020
1 020.0
1 000.0
2 020.0
40.4
2 060.4
2 060.400
1 000.000
3 060.400
61.208
3 121.608
3 121.60800
1 000.00000
4 121.60800
82.43216
4 204.04020
5
6
4 204.0402
1 000.0000
5 204.0402
104.0808
5 308.1210
5 308.121
1 000.000
6 308.121
Tabla 3
Se puede utilizar la misma declaración básica inicial, ahora considerando que son depósitos. La
cantidad que se deposita es igual a la cantidad que se puede retirar, siempre que ambas cantidades, de
depósitos y de retiros, se comparen a su valor equivalente en el mismo periodo de tiempo. Ahora se
resuelve el ejemplo con la fórmula básica. El periodo de tiempo en que se compara el dinero es el futuro,
o el último periodo del horizonte de análisis del problema:
F = 1 000(1.02)5+1 000(1.02)4+1 000(1.02)3+1 000(1.02)2+1 000(1.02)1+1 000 = 6 308.121
t1
t2
t3
t4
t5
t6
A esta solución se le llamará fórmula 6. Hay que observar que el primer depósito del periodo 1,
permanece sólo 5 periodos depositado, ganando 2 % mensual, por eso el primer término tiene un
exponente de 5, en tanto que el depósito del periodo 6 no gana interés, porque el enunciado del ejemplo
pregunta la cantidad acumulada al momento de realizar el sexto depósito. Debajo de cada término de la
ecuación de solución, se anotó el periodo a que corresponde cada uno de los términos de la ecuación.
También aquí existe una fórmula condensada que resuelve el problema directamente:
 (1 + i ) n − 1 


i
F = A
o su inversa
A = F
7


n
i


 (1 + i ) − 1 
Sustituyendo valores:
 (1.02) 6 − 1 
F = 1 000 
 = 6 308.121
 0.02 
La fórmula 7 se desarrolla mediante una manipulación algebraica de la solución por fórmula
básica, a la cual se le llamó fórmula 6. Obsérvese que:
F = A[ (1.02)6-1 + (1.02)6-2 + (1.02)6-3 + (1.02)6-4 + (1.02)6-5 + (1.02)6-6]
8
Multiplíquese la ec. 8 por (1 + i):
F (1+.02) = A[(1+.02)6 + (1+.02)5 + (1+.02)4 + (1+.02)3 + (1+.02)2 + (1+.02)1]
Restar (8 – 7) y sustituir números por literales:
F(1 + i – 1) = A[(1+i)6 – 1]
Simplificando y despejando F:
 (1 + i ) 6 − 1 
F = A

i


Se dejó deliberadamente la n = 6 para poder generalizar la aplicación de la fórmula, es decir, si
mediante la manipulación hecha, resultó que la n tiene un valor de 6 y la n del ejemplo 5 es 6, entonces se
puede hacer una generalización resultando la fórmula 7. Sin embargo, el uso de esta fórmula también
tiene restricciones de uso y son:
1.- La primera A está en el periodo 1.
2.- La última A está en el periodo n.
3.- Los depósitos (pagos) no se interrumpen.
11
Como el ejemplo 5 se elaboró para que se apegara exactamente a estas restricciones, fue posible
utilizar directamente la fórmula para resolver el problema. Ahora se presentan ejemplos donde los datos
no se ajustan a las restricciones, para observar como se resuelve el ejemplo con el uso de la fórmula 7.
Ejemplo 6.- Se depositan $1 000 cada mes de los meses 1 a 6, en un banco que paga un interés
de 2 % mensual. No se retira dinero ¿Cuánto se acumula en el banco al final del noveno mes?
Solución:
Obsérvese que el ejemplo es muy similar al ejemplo 2.5, excepto que se hace el sexto depósito al
final del sexto mes y el dinero acumulado se deja depositado 3 meses más. Esto viola la restricción 2, ya
que la n del ejemplo es 9, en tanto que sólo se hacen 6 depósitos. El diagrama del ejemplo es:
F=?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1000 1000 1000 1000 1000 1000
Gráfica 7
La primera solución es con la fórmula básica. Obsérvese que el depósito del mes 1, permanece
depositado 8 meses, ganando cada mes el 2 % de interés, y el último depósito correspondiente al mes 6,
se queda depositado solo 3 meses.
F = 1000(1.02)8+1000(1.02)7+1000(1.02)6+1000(1.02)5+1000(1.02)4+1000(1.02)3= 6694.22847
Si se quiere utilizar la fórmula 7 en la solución se debe tener claro como actúa o qué hace la
fórmula. Lo que hace es sumar una serie uniforme a su valor equivalente y depositar la suma en el último
periodo de la serie, haciendo énfasis que el último depósito (pago) de la serie no gana interés. En el
ejemplo esto significa que la fórmula va a sumar los 6 depósitos de $1 000 a su valor equivalente y los va
a depositar al final del periodo 6, es decir, en el último periodo de la serie de 6 depósitos. Una vez que se
ha acumulado cierta cantidad al final del periodo 6, el dinero se deja depositado tres meses más, ganando
el 2 % de interés mensual.
 (1.02) 6 − 1 
3
F = 1 000 
 (1.02) = 6 694.22847
 0.02 
Hay que observar nuevamente en este problema, que la n de la fórmula no es la n de todo el
horizonte de análisis del problema que son 9 periodos, sino que la debe ser 6, por que es el número de
depósitos que se realizan obedeciendo las restricciones de uso de la fórmula condensada.
Una tercera solución implica considerar que se hacen 9 depósitos y luego restar aquellos meses donde no
se deposita. Recordando como trabaja la fórmula, se restan los últimos 3 depósitos, de la forma indicada,
porque la fórmula dice que en el periodo n, que en este caso se supone que es 9, hay un depósito que ya
no gana interés.
 (1.02) 9 − 1 
2
1
0
F = 1 000 
 − 1 000(1.02) − 1 000(1.02) − 1 000(1.02) = 6 694.22847
0
.
02


Ejemplo.7.- Una persona realiza 6 depósitos de $1 000 cada uno en un banco que paga un interés
de 2 % mensual. Hace 3 depósitos al final de los meses 1, 2 y 3. Suspende los pagos en los meses 4, 5 y 6,
haciendo los 3 últimos depósitos al final de los meses 7, 8 y 9. No se retira dinero ¿Cuánto se acumula en
el banco al momento de hacer el último depósito al final del noveno mes?
Solución:
El ejemplo es similar al 5, excepto que ahora se están violando la restricción de que los pagos
(depósitos) no deben suspenderse. El diagrama de flujo es el siguiente:
12
F=?
1
3
2
4
5
6
1 000 1 000 1 000
8
7
9
1 000 1 000 1 000
Gráfica 8
La primera solución es con la fórmula básica:
F = 1000(1.02)8+1000(1.02)7+1000(1.02)6+1000(1.02)2 +1000(1.02)1+1000 = 6 506.907467
En la segunda solución, se considera que existen dos series uniformes, la primera está en los
periodos 1, 2 y 3, y la segunda serie está en los periodos 7, 8 y 9. Utilizando la fórmula 7 se tiene:
 (1.02) 3 − 1 
 (1.02) 3 − 1 
6
F = 1 000 
 (1.02) + 1 000
 = 6 506.907467
 0.02 
 0.02 
La tercera forma de solución es suponiendo una vez más que se hacen 9 depósitos, y luego restar,
a su valor equivalente, aquellos depósitos que no se hacen:
 (1.02) 9 − 1 
 (1.02) 3 − 1 
3
F = 1 000 
 − 1 000 
 (1.03) = 6 506.907467
0
.
02
0
.
02




o bien hacer la resta de las mensualidades una a una:
 (1.02) 9 − 1 
5
4
3
F = 1 000 
 − 1 000(1.02) − 1 000(1.02) − 1 000(1.02) = 6 694.22847
 0.02 
La validez del resultado se puede comprobar utilizando una tabla similar a la 3, tomando en
cuenta los periodos en que el dinero se queda depositado ganando interés, pero sin depósitos adicionales
en esos periodos.
Ejemplo 8.- De los flujos de efectivo que aparecen en la gráfica 8 calcular el valor de P, con un
interés de 10 % por periodo.
10
10
10
10
10
1
2
3
4
5
20
20
20
20
20
6
7
8
9
10
0
P= ?
Gráfica 9
Solución:
El cálculo de P se hará de varias formas para demostrar la aplicación y flexibilidad que tienen las
fórmulas mostradas hasta ahora.
Por la fórmula básica:
P=
10
(1.1)
1
+
10
(1.1)
2
+
10
(1.1)
3
+
10
(1.1)
4
+
10
(1.1)
5
+
20
(1.1)
6
+
20
(1.1)
7
+
20
(1.1)
8
+
20
(1.1)
9
+
20
(1.1)10
13
Considerando dos series, una serie de 5 pagos uniformes de 10 cada uno, y otra serie de 5 pagos
uniformes de 20 cada uno:
 (1.1) 5 − 1 
 (1.1) 5 − 1   1 
+
P = 10 
20


5
5 
5
 0.1(1.1) 
 0.1(1.1)   (1.1) 
Considerando que la serie es de 10 en cada término y sumar otra serie de 10, de los periodos 6 a
10.
 (1.1)10 − 1 
 (1.1) 5 − 1   1 
P = 10 
+
10

10 
5 
5
 0.1(1.1) 
 0.1(1.1)   (1.1) 
Considerar una serie de 10 términos, con un valor de 20 cada término y restar una serie de 5
términos de 10 de los 5 primeros periodos:
 (1.1)10 − 1
 (1.1) 5 − 1 
P = 20 
−
10


10
5 
 0.1(1.1) 
 0.1(1.1) 
Todas las determinaciones anteriores se han hecho considerando al tiempo cero como punto de
comparación del dinero. Ahora considérese a t5 como punto de comparación:
 (1.1) 5 − 1
 (1.1) 5 − 1 
P(1.1) 5 = 10 
 + 20 
5
 0.1 
 0.1(1.1) 
Ahora considérese a t10 como punto de comparación del dinero
 (1.1) 5 − 1 
 (1.1) 5 − 1 
5
P(1.1)10 = 10 
(
1
.
1
)
+
20



 0.1 
 0.1 
Se encontrará que en todas las formas propuestas de solución P = 84.98347442.
7 Series gradiente y el presente.
En Ingeniería Económica se le llama serie gradiente a un diagrama de flujo que presenta la
característica de que a partir del segundo periodo y por n periodos sucesivos, hay un incremento de una
cantidad igual cada periodo, respecto de la cantidad que aparece en el primero periodo. A la cantidad en
que se incrementa cada periodo el flujo de efectivo se le llama gradiente y se denota por G.
Ejemplo 9.- Una persona compró un automóvil; espera que los costos de mantenimiento sean de
$150 al final del primer año y que en los subsecuentes aumente a razón de $50 anuales. Si la tasa de
interés es de 8 % capitalizada cada año ¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos durante un
periodo de 6 años?
Solución:
Los datos del ejemplo son: P = ?; i = 8 %; primer pago = 150; G = 50. El diagrama de flujo es:
150
1
200
2
250
3
300
4
350
5
400
6
P= ?
Gráfica 10
14
Como siempre, la primera opción de solución es por la fórmula básica:
P=
150
(1.08)
+
1
200
(1.08)
2
+
250
(1.08)
3
+
300
(1.08)
4
+
350
(1.08)
5
+
400
(1.08) 6
= 1 219.5956
El diagrama de la gráfica 10 puede descomponerse en dos diagramas, los cuales al sumarse, den
como resultado el diagrama original:
150
150
150
150
150
150
0
1
2
4
3
5
6
50
1
2
100
3
150
4
200
250
5
6
P''
P'
Gráfica 11
+
Gráfica 12
Desde luego que P = P’ + P’’
Se observa que la suma de los dos diagramas produce el diagrama original. El diagrama de la
gráfica 11 es una serie uniforme, cuya solución da origen a P’:
P' =
150
(1.08)1
+
150
(1.08) 2
+
150
(1.08) 3
+
150
(1.08) 4
+
150
(1.08) 5
+
 (1.08) 6 − 1 
150
= 693.4319496
=

6
(1.08) 6
 0.08(1.08) 
150
El diagrama de la gráfica 12 que da origen a P’’, se puede resolver con la fórmula básica:
0
50
100
150
200
250
P' ' =
+
+
+
+
+
= 526.1636504
1
2
3
4
5
(1.08)
(1.08)
(1.08)
(1.08)
(1.08)
(1.08) 6
o bien con la siguiente fórmula condensada:
P=
G
i
 (1 + i ) n − 1   1 
− n 

n 
i
  (1 + i ) 

9
sustituyendo valores en 9:
P' ' =

50  (1 + 0.08) 6 − 1  
1
− 6 

 = 526.1636897
6
0.08 
0.08
  (1 + 0.08) 
como P = P’ + P’’ = 693.4319496 + 526.1636897 = 1 219.5956
La derivación de la fórmula 2.9 obedece también a una manipulación y simplificación algebraica
como sigue:
De la solución numérica de P’:
 1
2
3
4
5 
P' = 50 
+
+
+
+
10

2
3
4
5
(1.08)
(1.08)
(1.08)
(1.08) 6 
 (1.08)
Para eliminar el aparente problema que representa el que la serie dentro de los corchetes empiece
con el exponente 2, multiplíquese ambos lados de la ec. 10 por (1+i), es decir, por (1.08):
 1
2
3
4
5 
P' (1.08) = 50 
+
+
+
+
11

1
(1.08) 2 (1.08) 3 (1.08) 4 (1.08) 5 
 (1.08)
Restar 10 –11:
15
 1
 6 
1
1
1
1 
P' (0.08) = 50 
+
+
+
+
− 50 
1
2
3
4
5
6
(1.08)
(1.08)
(1.08)
(1.08) 
 (1.08)
 (1.08) 
Si se observa, la primera expresión entre corchetes es una serie uniforme con A = 50 y n = 5, lo
cual lleva directamente a la fórmula 3 que ya había sido deducida, por tanto:
50  (1.08) 6 − 1
n 
−
P' =


6
0.08  0.08(1.08)
((1.08) 6 
multiplicando ambos lados de la ec. por (1.08) y simplificando:
50  (1.08) 6 − 1   1 
P' =
− 6 

6
0.08  0.08
  (1.08) 
esta última ec. es la que llevó a la solución del ejemplo 9 y de ahí se puede generalizar sustituyendo los
números por literales, para obtener la fórmula 9. Sin embargo, hay que observar dos cosas importantes en
la fórmula 9:
1.- En una serie gradiente, el valor del periodo 1 es cero, a pesar de esto, la n que se considera en la
fórmula siempre es la n de la serie uniforme del problema. Con referencia al ejemplo 9, la n = 6; cuando
se descompone la solución en dos partes, se observa de la solución de P’, que la n = 6, y que en la
solución de P’’ con la fórmula de gradiente, la n vuelve a ser 6, a pesar de que el valor del periodo 1 es
cero, cuando se dibuja el diagrama de la serie gradiente, gráfica 12.
2.- Lo que hace o la forma en que funciona la fórmula 9 para resolver series gradientes, es que suma todos
los gradientes a su valor equivalente y deposita la suma dos periodos antes del primer gradiente. Con
referencia a la solución de P’’ en el ejemplo 9 con la fórmula fundamental, esto se hace evidente, ya que
el primer gradiente está en el periodo 2.
P' ' =
0
(1.08)1
+
50
(1.08) 2
+
100
(1.08) 3
+
150
(1.08) 4
+
200
(1.08) 5
+
250
(1.08) 6
=
50  (1.08) 6 − 1   1 
− 6 

6
0.08  0.08
  (1.08) 
Para mayor claridad, se presenta el diagrama 12 con literales:
G
2G
3G
4G
5G
0
0
1
2
3
4
5
6
P''
Gráfica 13
Se analizó un ejemplo con gradiente positivo o creciente, es decir, que las cantidades del
gradiente se suman a la serie uniforme, ahora se presenta un ejemplo donde el gradiente se resta:
Ejemplo 10.- Una comercializadora vende computadoras personales bajo las siguientes
condiciones: se realiza un primer pago de $900 un mes después de la fecha de adquisición y nueve pagos
adicionales mensuales, cada uno de los cuales disminuye en $50 el pago del mes anterior, es decir, en el
segundo mes se pagarán $850, al final del tercer mes se pagarán $800, etc. Si el interés que cobra la
comercializadora es de 1 % mensual ¿Cuál será el valor a pagar de contado por la compra de la
computadora?
Solución:
Los datos son: A = 900; G = 50; i = 1 %; n = 10. El diagrama de flujo es el que se representa en
la gráfica 14:
16
900
850
800
2
1
750
3
700
4
650
5
6
600
7
550
500
450
8
9
10
P= ?
Gráfica 14
P=
900
(1.01)
1
+
850
(1.01)
2
+
800
(1.01)
3
+
750
(1.01)
4
+
700
(1.01)
5
+
650
(1.01)
6
+
600
(1.01)
7
+
550
(1.01)
8
+
500
(1.01)
9
+
450
(1.01)10
P = 6 431.999345
De forma simplificada el cálculo es:
 (1.01)10 − 1  50  (1.01)10 − 1
 1 
−
− 10 
= 6 431.999345
P = 900 
10  0.01 
10 
 0.01(1.01) 
 0.01
  (1.01) 
8 Series gradiente y el futuro
Así como en los ejemplos 9 y 10 se utilizaron el gradiente, positivo y negativo, para calcular un
valor en el presente, también se puede calcular un valor en el futuro con series gradiente. Véase el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 11.- Una persona depositó $100 en un banco al final del primer mes, y los depósitos
sucesivos se incrementaron en $50 cada uno, es decir, en el mes 2 depositó $150, en el mes 3 depositó
$200, etc. Si el banco paga a sus ahorradores un interés de 2 % mensual ¿Cuánto se va a acumular en el
banco al momento en que se haga el sexto depósito?
Solución:
Datos: A = 100; G = 50: i = 2 %; n = 6. El diagrama de flujo del ejemplo es:
F=?
1
100
2
3
4
5
6
150
200
250
300
350
Gráfica 15
Como en todos los casos, la primera solución es con la fórmula básica:
F = 100(1.02)5+150(1.02)4+200(1.02)3+250(1.02)2+300(1.02)1+350(1.02)0= 1 401.1145030
Si se divide el diagrama de la gráfica 15 en dos, cuya sumatoria resulte en el diagrama original,
entonces tales diagramas son los numerados como las gráficas 16 y 17.
17
F' = ?
1
2
3
4
5
100
100
100
100
100
6
100
Gráfica 16
El diagrama de la gráfica 16 es una serie uniforme donde se calcula la cantidad que se acumula
en el futuro, a partir de haber hecho una serie uniforme de depósitos (pagos), y la determinación se hace
al momento de realizar el pago (depósito) n, y este ejemplo se resuelve con la fórmula 7
 (1.02) 6 − 1 
F ' = 1 00 
 = 630.8120963
 0.02 
Para la solución de F’’del diagrama de la gráfica 17 se utilizan los mismos principios que se
argumentaron en la fórmula 9, excepto que ahora en vez de calcular una cantidad en el presente, se
calcula una cantidad en el futuro:
F'' = ?
1
0
3
2
4
5
6
50
100
150
200
250
Gráfica 17
Obsérvese de la fórmula 9, como el último término entre corchetes es lo que hace que la
cantidad calculada sea enviada a su valor equivalente al presente:
P=
G
i
 (1 + i ) n − 1   1 
− n 

n 
i

  (1 + i ) 
9
De forma que eliminando ese término, se tiene la fórmula para enviar una serie gradiente
al futuro.
G  (1 + i ) n − 1 
− n
12

i 
i

Esta fórmula tiene los mismos principios que la fórmula 9, es decir, a pesar de que el
gradiente en el periodo 1 es cero, la n que se aplica en la fórmula es la n de la serie uniforme; lo que hace
o la forma en que funciona la fórmula 12, es que suma la serie gradiente a su valor equivalente y deposita
la suma al momento de hacer el último depósito (pago) del gradiente, es decir, en el periodo n.
Resolviendo F’’ del ejemplo 11:
F=
F'' =
50  (1 + 0.02) 6 − 1 
− 6 = 770.302378

0.02 
0.02

F = F’ + F’’ = 630.8120963 + 770.302378 = 1 401.114474
Lo cual se puede considerar un resultado igual a aquel obtenido por la fórmula básica,
debiéndose la diferencia al redondeo que hacen las calculadoras. Evidentemente la fórmula de series
gradiente para calcular una cantidad en el futuro, funciona para gradientes positivos y negativos
18
(ascendentes y descendentes), tal y como funciona cuando se calculan cantidades en el presente a partir de
gradientes.
Ejemplo 12.- Calcule P del siguiente diagrama utilizando exclusivamente fórmulas de
gradiente y para una i = 10 % por periodo.
90
80
70
2
1
60
3
50
4
40
7
6
5
70
60
50
8
9
90
80
10
11
P= ?
Gráfica 18
Solución:
La forma más sencilla y segura de resolver este ejemplo es mediante la fórmula básica:
P=
90
(1.1)
1
+
80
(1.1)
2
+
70
(1.1)
3
+
60
(1.1)
4
+
50
(1.1)
5
+
40
(1.1)
6
+
50
(1.1)
7
+
60
(1.1)
8
+
70
(1.1)
9
+
80
(1.1)
10
+
90
(1.1)11
=
P = 440.8548472
Resolviendo el problema de acuerdo al enunciado, se pueden tener tres planteamientos distintos: a).- el
primero es tomar una serie gradiente descendente de los periodos 1 a 6, y el resto como una serie
ascendente y comparar el dinero en t0; b).- el segundo planteamiento es considerar una serie gradiente
descendente de los periodos 1 a 5, y el resto considerarlo como una serie ascendente, comparando el
dinero en t0; c).- el tercer planteamiento es comparar el dinero en t5 o t6, en este caso se tomará como
punto de comparación a t6:
a). (1.1) 6 − 1 10  (1.1) 6 − 1   1    (1.1) 5 − 1  10  (1.1) 5 − 1   1   1
P = 90 
−
− 6 
+ 50
+
− 5 


6 
6   
5 
5 
6
 0.1(1.1)  0.1  0.1
  (1.1)    0.1(1.1)  0.1  0.1
  (1.1)   (1.1)
b). (1.1) 5 − 1  10  (1.1) 5 − 1   1    (1.1) 6 − 1  10  (1.1) 6 − 1   1   1
P = 90 
−
− 5 
+ 40
+
− 6 


5 
5  
6 
6 
5
 0.1(1.1)  0.1  0.1
  (1.1)    0.1(1.1)  0.1  0.1
  (1.1)   (1.1)
 (1.1) 6 − 1  10  (1.1) 6 − 1 
 (1.1) 5 − 1 10  (1.1) 5 − 1   1 
c).- P(1.1) 6 = 90 
− 6 + 50 
+
− 5 
−


5
5
 0.1  0.1  0.1

 0.1(1.1)  0.1  0.1
  (1.1) 
 (1.1) 6 − 1 
 (1.1) 5 − 1  10  (1.1) 5 − 1 
10  (1.1) 6 − 1 
5
d).- P(1.1)11 = 90 
− 6 (1.1) 5 + 50 
− 5
 (1.1) −

+

0.1  0.1
 0.1 

 0.1  0.1  0.1

Resolviendo, en todos los planteamientos se encuentra el mismo resultado. Se podrá observar que
existen al menos seis soluciones al problema, pues además de las cuatro mostradas, existe una variante en
las últimas dos soluciones, consistente en tomar la primera serie de cinco términos (del los periodos 1 a
5), en vez de tomarla de seis términos (de los periodos 1 a 6), como se hizo..
9 Interés nominal e interés efectivo.
En el mundo de los negocios y de los impuestos, un año ha sido y es el periodo en que se dan
cifras totales. En los negocios se habla de declaraciones anuales, utilidad anual, etc., aunque las
declaraciones financieras puedan calcularse en periodos menores de un año, la referencia siempre va a ser
un periodo anual. Lo mismo sucede con los impuestos, aunque haya declaraciones parciales, ya sean
mensuales o trimestrales, al final el pago, o la devolución de impuestos, siempre tendrá una base anual.
19
Con el manejo cotidiano del dinero es igual. Si se pide prestado o deposita dinero en cualquier
banco, o se compra a crédito cualquier artículo, la tasa que se cobra siempre tiene una base anual, aunque
los pagos (cobros), normalmente se realizan en intervalos más pequeños de tiempo, trimestres, meses e
incluso semanas. Esta forma en que se maneja el dinero, ha dado origen a los conceptos de interés
nominal e interés efectivo. Véase el siguiente ejemplo:
Ejemplo 13.- Una persona pide un préstamo a un banco por $10 000 por el que se cobra un
interés de 24 % anual. Las condiciones son que el capital deberá ser pagado al final de un año. Determinar
la cantidad de dinero que acumula en banco si:
a).- El interés se paga una sola vez a fin de año.
Solución:
Interés = 10 000(0.24) = 2 400
Cantidad acumulada a fin de año = 10 000 + 2 400 = $12 400
b).- El interés de 24 % anual se paga en dos partes: la primera al final del primer semestre por $1 200 y la
segunda parte por la misma cantidad al final del año, lo cual es equivalente a pagar un interés de 12 %
semestral.
Aquí está el enfoque que tiene un hombre de negocios y una persona normal con una deuda. Para
la persona que debe, probablemente sea indiferente pagar $2 400 a fin de año, que dos veces $1 200, sin
embargo, para el banco o para los hombres de negocios, no es igual. En todo caso, si se supone que el
banco recibe el primer pago y lo gurda en la caja fuerte, entonces para el banco también sería igual, pero
es obvio que no es así. Cualquier dinero que recibe el banco, de inmediato lo vuelve a prestar, pues ese es
su negocio, o en todo caso lo reinvierte en otra opción, pero nunca lo deja inmóvil. El diagrama de flujo
de esta operación es:
F=?
0
1 semestre
1 200
2 semestre
1 200 + 10 000
Gráfica 19
En este caso, el pago que recibe el banco al final del primer semestre lo vuelve a prestar a
la misma tasa semestral de 12 %, por lo que gana el 12 % sobre $1 200 que ha recibido. Los datos del
problema no dan más elementos para suponer que el banco pudiera prestar la cantidad de $1 200 que ha
recibido al final del primer semestre, a otra tasa de interés. La suposición es que repite exactamente la
misma operación con otro cliente. La cantidad acumulada a fin de año es:
F = 1 200 + 1 200(0.12) + 1 200 + 10 000 = $12 544
c).- El interés de 24 % anual se paga en cuatro partes iguales: se pagan $600 al final de los trimestres 1, 2,
3 y 4, lo cual es equivalente a pagar un interés de 6 % trimestral. El diagrama de flujo es:
Se hace la misma suposición que en el inciso b), es decir, que cada vez que el banco
recibe un pago, lo vuelve a prestar a la misma tasa de 6 % trimestral. La cantidad acumulada a fin de año
es:
F = 600(1.06)3 + 600(1.06)2 + 600(1.06)1 + 600 + 10 000 = $12 624.7696
El diagrama de flujo de este inciso es:
20
F=?
0
1 trim
2 trim
600
600
3 trim
4 trim
600 600+10 000
Gráfica 20
O bien utilizando la fórmula 7 que calcula una cantidad en el futuro a partir de una serie uniforme de
pagos:
 (1.06) 4 − 1 
F = 600 
 + 10 000 = 12 624.7696
 0.06 
La cantidad que queda como excedente de los $10 000 del préstamo a fin de año, de hecho es la
tasa de ganancia anual. Por ejemplo, en el inciso a), el porcentaje de ganancia fue de 24 %, en el inciso b),
fue de 25.44 % y en el inciso c), fue de 26.247696 %. Obsérvese como al reducir el periodo en el cual se
cobra el interés, se acumula más dinero a fin de año, a pesar de que en todos los incisos se está
cobrando un interés anual de 24 %. Esto lleva a decir que el 24 % es la tasa de interés nominal anual,
en tanto que la ganancia neta anual, expresada como porcentaje de ganancia es el interés efectivo anual,
que en este caso fue de 25.44 % para el inciso b) y de 26.247696 para el inciso c).
Existe una fórmula que hace el cálculo directo de la tasa de interés efectiva anual:
n
i

i efectivaanual = 1 +  − 1
13
 n
donde: i = interés nominal anual
n = periodos de capitalización del interés menores de un año.
Obsérvese que la fórmula 13 es la misma fórmula básica desarrollada en un principio, excepto
que el interés se divide por un número entero, que es el periodo de capitalización, dando lugar a la tasa de
interés por periodo menor de un año. Con la fórmula 2.13 se van a recalcular los incisos a), b) y c) del
ejemplo 13 y se va a seguir disminuyendo el periodo de capitalización del interés. Véase la siguiente
tabla:
Interés
nominal
anual
Periodo de
capitalización menor
de un año
Interés por periodo
menor de un año
Interés efectivo anual
24 %
Anual
24 %
 0.24 
1 +
 − 1 = 0.24
1 

24 %
Semestral
0.24
= 0.12
2
 0.24 
1 +
 − 1 = 0.2544
2 

24 %
Trimestral
0.24
= 0.06
4
 0.24 
1 +
 − 1 = 0.26247696
4 

24 %
Mensual
0.24
= 0.02
12
 0.24 
1 +

12 

24 %
Semanal
0.24
= 0.00461538
52
0.24 

1 +

52 

52
24 %
Diario
0.24
= 0.00065753
365
 0.24 
1 +

365 

365
1
2
4
12
− 1 = 0.2682418
− 1 = 0.27054745
− 1 = 0.27114878
21
24 %
Cada hora
----------
0.24 

1 +

365
x 24 

365 x 24
− 1 = 0.27124207
Tabla 4
10 Interés contínuo
Se observa que el interés efectivo anual se incrementa con cada disminución del periodo
de capitalización. Se puede seguir disminuyendo ese periodo, pero hay un límite. El límite que se está
buscando es:
n
i

lim n →∞ 1 +  = e i
n


De esta expresión se obtiene la fórmula de interés continuo:
i contínuo = e ni − 1
14
donde: e = base de logaritmos naturales
n = periodos de capitalización menores de un año
i = interés nominal anual.
Calculando el interés continuo para un interés nominal anual de 24 % se tiene:
i continuo = e 0.24 x1 − 1 = 0.27124915
Se observa que el resultado es ligeramente mayor que aquel obtenido cuando se capitalizó el
interés cada hora. En el último cálculo la n = 1 debido a que para que el resultado pudiera ser comparable
con los resultados de la tabla 4, es necesario calcular el interés efectivo anual, tal y como se hizo en la
columna de la derecha de la tabla.
¿Tiene alguna utilidad práctica calcular interés con capitalización continua? Supóngase que
usted compra algún instrumento de inversión como los Cetes que se venden en México), los cuales se
adquieren en una Casa de Bolsa y tienen vencimientos en múltiplos de 7 días, siendo el plazo más corto
de 7 días. Usted adquiere un lote de Cetes a un plazo de 7 días, un lunes y tendrá que esperar hasta el
siguiente lunes para haber ganado un interés, y tendrá todo el día para poder cobrar el interés que ha
ganado. Lo mismo sucede con los demás instrumentos y plazos que se contratan, lo cual significa que son
periodos discretos.
A su vez, esto significa que debe haber ciertos instrumentos de inversión o ciertas formas de
manejar el dinero, donde el precio (costo) del dinero, cambie muy frecuentemente. Tales instrumentos son
las llamadas opciones1. En 1973, los norteamericanos Black y Schöles, desarrollaron una fórmula para
calcular el precio de las opciones en la Bolsa de Valores de Nueva York, y para ello utilizaron el interés
continuo. El resultado práctico de esto, es que el precio de tales opciones, cambia de un momento a otro y
muchas veces durante una sola jornada de la Bolsa, es decir, el precio al cual se compran las acciones, es
mucho más real de lo que era en el pasado, pues su precio refleja casi al instante las condiciones del
mercado.
Todas las fórmulas hasta ahora presentadas, se pueden expresar con capitalización continua.
Para obtenerlas, basta sustituir (1 + i)n por ein en cada una de las fórmulas de interés discreto, tal y como
se muestra en la siguiente tabla:
Capitalización discreta
F = P(1 + i)n
 (1 + i ) n − 1 
P = A
n 
 i (1 + i ) 
Capitalización continua
F = Pein
 e in − 1 
P = A in i 
 e (e − 1 
1
Las opciones pertenecen a los llamados instrumentos derivados, que son instrumentos utilizados para
especular y para cubrir riesgos financieros en las empresas. Para mayor información puede consultarse un
texto de Ingeniería Financiera.
22
 (1 + i ) n − 1 
F = A

i


 e in − 1 
F = A i

 e − 1 
Tabla 5
11 Interés en periodos menores de un año.
Es conveniente enfatizar que en el adecuado manejo del interés nominal y el interés efectivo,
el concepto importante es el periodo de capitalización del interés, el cual es el lapso de tiempo que debe
transcurrir para ganar (pagar) un interés. Lo que la tabla 4 muestra es que el interés efectivo anual es
mayor conforme disminuye el periodo de capitalización, llegando a su límite con el interés continuo. El
efecto que se genera fue el mostrado en el ejemplo 13, es decir, para una capitalización semestral del
interés, hay que esperar un semestre para ganar un interés, para un mes hay que esperar un mes para ganar
el interés, etc., pero cada vez que se gana un interés, el dinero se vuelve a reinvertir, y para el siguiente
periodo se ganará interés no solo sobre el capital inicial, sino también sobre el interés o los intereses
ganados en los periodos previos, es decir, sobre el interés que ya se volvió capital o interés capitalizado,
por tanto, a menor periodo de capitalización, se van generando más rápido intereses que se convierten en
capital con la misma rapidez.
Se puede construir otra tabla que muestre como se pueden calcular tasas de interés efectivo en
periodos menores de un año:
Interés
Periodo de Interés por
Interés
nominal
capitalizaperiodo
efectivo
anual
ción
anual
24 %
Anual
0.24
24 %
24 %
Semestral
0.12
(1.12)2
24 %
Trimestral
0.06
(1.06)4
24 %
Bimestral
0.04
(1.04)6
24 %
Mensual
0.01
(1.01)12
24 %
Semanal
0.0046153 (1.0046)52
N.C.- No calculable o incorrecto si se calcula.
Interés
efectivo
semestral
N.C.
0.12
(1.06)2
(1.04)3
(1.01)6
(1.004)26
Interés
efectivo
trimestral
N.C.
N.C
0.06
N.C.
(1.01)3
(1.004)13
Interés
efectivo
bimestral
N.C
N.C
N.C.
0.04
(1.01)2
(1.004)8
Interés
efectivo
mensual
N.C
N.C
N.C.
N.C.
0.01
(1.004)4
Interés
efectivo
semanal
N.C
N.C
N.C.
N.C.
N.C.
0.00461
Tabla 6
Hay dos aspectos importantes que se deben resaltar de la tabla 6. La primera es la anotación
NC o no calculable o incorrecto si se calcula. Esto significa que si se tiene una tasa, por ejemplo, de 24 %
anual capitalizada semestralmente, teóricamente no tiene sentido calcular un interés efectivo en periodos
menores a seis meses, ya que es necesario esperar seis meses para ganar un interés, y a esto se debe que
cuando el periodo de capitalización es una semana sea posible calcular tasas de interés efectivas para
cualquier periodo mayor a una semana. También, obsérvese que todos los exponentes de cualquier
cálculo que aparece en la tabla 6, son el número de veces que el periodo de capitalización está contenido
en el periodo mayor al cual se quiere calcular el interés efectivo, por ejemplo, se quiere calcular la tasa de
interés efectiva semestral a partir de una tasa cuyo periodo de capitalización es mensual, el exponente es 6
porque hay 6 meses en un semestre, aunque hay también 26 semanas en un semestre, ya que el año tiene
52 semanas.
Ejemplo 14.- Una persona ahorra $1 000 cada año de los años 1 a 5, en un Banco que paga un
interés de 12 % anual. No se retira dinero. Calcular la cantidad que se acumula en el banco al momento
de hacer el depósito número 5, si:
a).- El interés se capitaliza anualmente:
Solución:
Este ejemplo es similar al ejemplo 5 y solo se calcula para fines de comparación. El diagrama
de flujo es:
23
F=?
1
2
3
4
1000
1000
1000
1000
5
1000
Gráfica 21
 (1.12) 5 − 1
F = 1 000 
 = 6 352.84736
 0.12 
b).- El interés se capitaliza semestralmente.
Solución:
La solución a este inciso puede plantearse en semestres o en años. Si es en semestres, habrá
que calcular el interés semestral. Como se está pasando de un interés capitalizado de un periodo mayor
(12 % anual), a un periodo menor (6 meses), el interés anual se divide entre el número de semestres que
tiene un año, 0.12/2 = 0.06. Con un planteamiento de la solución en semestres, es imposible utilizar la
fórmula condensada. El diagrama de flujo es el siguiente, donde s significa semestres:
F=?
1s
1000
2s
3s
1000
4s
5s
1000
6s
7s
1000
8s
1000
Gráfica 22
Obsérvese que los $1 000 que se depositan en el año 1 se quedan depositados 8 semestres,
ganando cada semestre un interés de 6 %, el segundo depósito se queda en el banco 6 semestres, etc.
Obsérvese que el interés es semestral y el exponente de cada término también son semestres.
F = 1 000(1.06)8 + 1 000(1.06)6 + 1 000(1.06)4 + 1 000(1.06)2 + 1 000 = 6 398.444147
Si se desea encontrar el resultado trabajando en años, entonces se deberá considerar un interés
efectivo anual, ya que la tasa se capitaliza semestralmente y los depósitos son anuales. El diagrama de
flujo es similar al que se muestra en la gráfica 21:
2
i efectivo
anual
 0.12 
= 1 +
 − 1 = 0.1236
2 

 (1.1236) 5 − 1
F =1 000
 = 6 398.444147
 0.1236 
Obsérvese que la n de la fórmula condensada es el número de depósitos y no el número de periodos de
capitalización del interés. Así como en la solución en semestres el interés era semestral y el exponente de
cada término eran semestres (aunque los depósitos sean anuales, en este caso, en la fórmula condensada,
los depósitos son anuales, el interés es anual, (efectivo anual ya que hay periodos de capitalización del
interés menores de un año) y la n es el número de depósitos.
c).- El interés se capitaliza mensualmente.
Solución:
Al igual que en el inciso anterior, aquí también se puede encontrar una solución en meses y
otra en años. Para la solución en meses el diagrama de flujo es:
24
F=?
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1000
46 47
48
1000
1000
Gráfica 23
Como la solución es en meses y la tasa se capitaliza mensualmente, es necesario trabajar con
un interés mensual.
0.12
= 0.01
i mensual =
12
Obsérvese de la figura 23 como el primer depósito se queda en el banco 48 meses, ganando cada mes el 1
% de interés. El segundo depósito se queda 36 meses, etc.
F = 1 000(1.01)48 + 1 000(1.01)36 + 1 000(1.01)24 + 1 000(1.01)12 + 1 000 = 6 439.554538
Si se desea encontrar la solución en años, se deberá trabajar con el interés efectivo anual:
i efectivo
anual
 0.12 
= 1 +

12 

12
− 1 = 0.12682503
 (1.12682503) 5 − 1 
F =1 000
 = 6 439.554538
 0.12682503 
Es digno de observarse en este ejemplo, que la cantidad que se acumula en el banco al
momento de hacer el depósito número 5, se incrementa conforme disminuye el periodo de capitalización
del interés, lo cual era de esperarse de acuerdo a las razones expuestas.
Ejemplo 15.- Una persona deposita $10 000 en un Banco que paga un interés de 12 % anual. Desea hacer
cinco retiros iguales al final de los años 1 a 5. Determínese el valor de cada uno de los 5 retiros iguales,
de forma que con el último retiro se agote totalmente el depósito, si:
a.)- El interés se capitaliza anualmente.
Solución: Este problema tiene una solución directa por que los retiros y el interés tienen una
base anual.
A
A
A
A
A
1
2
3
4
5
12 000
Gráfica 24
Si se aplica la declaración básica de Ingeniería Económica se diría: la cantidad que se deposita es igual a
la cantidad que se puede retirar, siempre que ambas cantidades, de depósito y de retiros se comparen a
su valor equivalente en el mismo periodo de tiempo. Si se toma al presente como punto de comparación y
resolviendo por la fórmula básica, entonces:
A
A
A
A
A
10 000 =
+
+
+
+
1
2
3
4
(1.12)
(1.12)
(1.12)
(1.12)
(1.12) 5
Resolviendo por fórmula condensada:
25
 (1.12) 5 − 1 
10 000 = A
5
 0.12(1.12) 
Con ambas soluciones es resultado es:
A = 2 774.097319
b).- El interés se capitaliza semestralmente.
Solución:
Se pueden plantear dos soluciones: una en semestres y otra en años. La solución en semestres es:
A
A
1s
2s
3s
A
5s
4s
A
A
6s
8s
7s
9s
10 s
12 000
Gráfica 25
En la gráfica 25 las s son semestres. Si se plantea así la solución, es imposible utilizar la fórmula
condensada, de forma que la única solución es por medio de la fórmula básica, utilizando un interés
0.12
semestral de i semestral =
= 0.06 :
2
10 000 =
A
(1.06)
2
+
A
(1.06)
4
+
A
(1.06)
6
+
A
(1.06)
8
+
A
(1.06)10
Si se quiere resolver por fórmula condensada, se utiliza el diagrama de la gráfica 2.25 y un interés
2
 0.12 
capitalizado anualmente cuyo valor es i efectivoanual = 1 +
 − 1 = 0.1236 :
2 

 (1.1236) 5 − 1 
10 000 = A
5
 0.1236(1.1236) 
En ambos casos el resultado es exactamente A = 2 798.879939.
Se dijo en el enunciado del problema que los retiros deberían ser tales, que realizando el último, se
agotaría totalmente el depósito. La comprobación de que la solución es correcta es la siguiente:
26
0
10 000
1 sem
1.06
10 600
1.06
2 sem
11 236
-2 798.879939
8 437.120061
1.06
3 sem
8 943.347265
4 sem
1.06
9 479.948101
- 2 798.879939
6 681.068162
1.06
5 sem
7 081.932252
6 sem
1.06
7 506.848187
- 2 798.879939
4 707.968248
1.06
7 sem
4 990.446343
1.06
8 sem
5 289.873124
-2 798.879939
2 490.993185
1.06
9 sem
2 640.452776
1.06
10 sem
2 798.879943
- 2 798.879939
0.00004
Tabla 7
Se puede observar de la tabla 7 que en los semestres nones no hay retiro y en los semestres pares es
cuando se retira la anualidad, lo cual coincide con las indicaciones del diagrama de la gráfica 25. Desde
luego que el resultado final obtenido como saldo no es cero absoluto debido al redondeo que hacen las
calculadoras, pero se puede considerar como tal. También obsérvese que para pasar de los semestres 0 a
2, 2 a 4, etc., la cantidad que existe como saldo se multiplica dos veces por 1.06 que es el interés
semestral, con lo que se obtiene (1.06)(1.06) – 1 = 0.1236. Esto explica por que en la solución con
fórmula condensada se utiliza un interés de 12.36 %.
c).- Interés capitalizado mensualmente.
Solución:
Con razonamientos similares a aquellos hechos en los problemas 14 y 15 b), se presentan las
soluciones en meses y en años, obteniéndose el mismo resultado.
Solución en meses, i mensual =
10 000 =
A
(1.01)
12
012
= 0.01
12
+
A
(1.01)
24
+
 0.12 
Solución en años i efectivo anual = 1 +

12 

A
(1.01)
36
+
A
(1.01)
48
+
A
(1.01) 60
12
− 1 = 0.12682503
27


(1.12682503) 5 − 1
10 000 = A
5
 0.12682503(1.12682503) 
A = 2 821.152747
16.- Un mueble que tiene un precio de contado de $10 000 se compra a plazos. El trato es pagar 24
mensualidades iguales, realizando el primer pago al final del primer mes. El interés que se cobra es 3 %
mensual. Inmediatamente después de pagar la mensualidad número 10, la empresa informa al comprador
que el interés ha disminuido a 2 % mensual. Determinar el valor de cada una de las últimas 14
mensualidades que se deberán hacer para pagar totalmente la deuda.
Solución.
En este tipo de problemas, como no sabe que va a suceder en el futuro con las tasas de interés, el primer
paso en la solución es calcular las 24 mensualidades con las que se pagaría la deuda, si no cambia el
interés en el futuro.
 (1.03) 24 − 1 
10 000 = A
24 
 0.03(1.03) 
A = $590.4741595
NOTA.- En este problema, como es un ejemplo de solución, los cálculos se hacen con siete cifras
decimales para efectos de demostración. En general, la solución deberá contener sólo dos cifras decimales
redondeando el último decimal.
Continuando con la solución, ahora el problema consiste en determinar cuál es la deuda pendiente
después de haber pagado 10 mensualidades, y éste cálculo se puede realizar de cuatro formas distintas.
Solución a:
¿Cuánto se ha pagado con 10 mensualidades?
 (1.03)10 − 1 
P = 590.4741595
= 5 036.864350
10 
 0.03(1.03) 
Esta es la cantidad que se ha pagado, pero comparando el dinero en t0. El saldo insoluto o deuda restante
se obtiene restando a la deuda en t0 que son $10 000, la cantidad que se ha pagado:
10 000 – 5 036.8643502 = 4 963.1356508
Esta cantidad es la cantidad que se debe en t0, pero en el problema interesa conocer cuál es la cantidad
que se debe al final del mes 10:
4 963.1356508(1.03)10 = 6 670.0392913
Si esta es la nueva deuda, entonces el valor de cada una de las últimas 14 mensualidades, ahora con un
interés de 2 % mensual es:
 (1.02)14 − 1 
6 670.0392913 = A
14 
 0.02(1.02) 
A = $550.9583866
Solución b:
Se hace una comparación similar, pero se toma como el periodo de comparación el final del mes 10:
Saldo insoluto o deuda pendiente al final de t10 sin haber efectuado algún pago:
10 000(1.03)10 = 13 439.1638
Cantidad que se ha pagado de la deuda, con la aportación de 10 mensualidades de $590.4741595:
 (1.03)10 − 1 
F = 590.4741595
 = 6769.124501
 0.03 
La resta de ambas cantidades, lo que se debe menos lo que se ha pagado, determinará directamente el
saldo insoluto o deuda pendiente al final de t10 :
13 439.1638 – 6 769.124501 = 6 670.039299
La diferencia con el resultado anterior se debe al redondeo de cifras. Con esta cantidad se calcula el valor
de cada una de las 14 mensualidades restantes:
 (1.02)14 − 1 
6 670.039299 = A
14 
 0.02(1.02) 
28
A = $550.9583873
Solución c:
Una solución más directa es traer a su valor equivalente las 14 mensualidades que no se han pagado, lo
cual determinará directamente cuál es el saldo insoluto después de haber pagado 10 mensualidades. En
este cálculo todavía se utiliza una i = 3 % mensual, puesto que solo determina el saldo insoluto y aún no
intenta calcular la nueva mensualidad:
 (1.03)14 − 1 
P10 = 590.4741595
= 6 670.039293
14 
 0.03(1.03) 
Con este resultado se vuelve a calcular el valor de cada una de las 14 mensualidades restantes con el
nuevo interés de 2 % mensual, las cuales arrojan un valor de A = 550.9583868. Como se podrá observar,
los resultados son casi idénticos, mostrando variación de resultados hasta el sexto decimal.
Solución d:
Una solución mucho más sencilla, pero mucho más laboriosa, es ir determinando mes a mes, cual es el
saldo insoluto que queda después de pagar esa mensualidad, tal y como se ha mostrado en la parte teórica.
Si se sigue este procedimiento haciendo el cálculo para 10 meses, se llegará a resultados idénticos que en
las tres soluciones anteriores.
17 Se tiene una deuda por $10 000 para pagar en 24 mensualidades iguales, empezando a pagar al final
del primer mes después de adquirir la deuda. Se cobra un interés de 12 % anual con capitalización
mensual. Inmediatamente después de realizar el pago al final del mes 8, se le informa al deudor que el
interés del préstamo disminuyó a 9 % anual. Determinar el valor de cada una de las últimas 16
mensualidades que se deben pagar para saldar totalmente la deuda.
DATOS:
P = 10 000; n = 24; i = 12 % anual capitalizado mensualmente; imensual =0.12/12 = 0.01
Solución.
Este tipo de problemas se resuelve en dos partes. La primera es, desde luego, calcular el valor de cada una
de las 24 mensualidades iniciales. Es decir, si el estudiante se sitúa en el lugar del deudor, al adquirir la
deuda, nadie sabe lo que va a pasar en el futuro, de forma que inicialmente se calculan las 24
mensualidades, y es hasta el final del octavo mes en que cambian las condiciones del problema, lo cual se
convierte en la segunda parte de la solución.
Cálculo de 24 mensualidades iguales:
 (1.01) 24 − 1 
10 000 = A
24 
 0.01(1.01) 
A = $470.7347222
En este problema se utilizarán siete cifras decimales para efectos de demostración. En un problema
propuesto normal, la solución sería simplemente $470.73.
Ahora supóngase que han transcurrido ocho meses desde que se realizó el primer pago, y se le informa al
deudor que la tasa de interés del préstamo disminuyó a 9 % anual con capitalización mensual. La primera
pregunta que se debe contestar en esta segunda parte del problema es ¿Cuál es la nueva deuda después de
haber pagado ocho mensualidades?
La respuesta se puede obtener, al menos de tres formas distintas, dependiendo del periodo en que se
quiera comparar el dinero a su valor equivalente. Estos periodos son t0, t8 y t24.
Comparación del dinero en t0:
Pasar a su valor equivalente a t0 los ocho pagos que se han realizado:
 (1.01) 8 − 1 
P = 470.7347222 
= 3 601.910401
8
 0.01(1.01) 
Se tiene una deuda inicial de $10 000 en t0 y se han pagado $3 601.910401. La nueva deuda en t0 es:
10 000 – 3 601.910401 = 6 398.089599
Pero en realizad lo que interesa es conocer esta deuda a su valor equivalente en t8, que es el periodo donde
cambia el interés:
6 398.089599 (1.01)8 = $6 928.214189
Comparación en t8:
La deuda de 10 000 se lleva a su valor equivalente a t8:
10 000 (1.01)8 = 10 828.5671
También los ocho pagos que se han hecho se llevan a t8 a su valor equivalente:
29
 (1.01) 8 − 1 
F = 470.7347222 
 = 3 900.352831
 0.01 
Se resta la cantidad que se debe menos la cantidad que se ha pagado, el resultado será la nueva deuda
después de pagar 8 mensualidades:
10 828.5671 – 3 900.352831 = $6 928.214269
La diferencia entre los resultados obtenidos comparando el dinero en t0 y en t8 es de tan solo 0.00008, lo
cual por el efecto de redondeo de las calculadoras, se considera que es exactamente el mismo resultado.
Otra forma de cálculo, también tomando como periodo de comparación a t8, es llevar a su valor
equivalente a t8 todos los pagos que no se han efectuado, es decir 16 pagos. Directamente calcular el valor
presente en t8, de los pagos que no se han hecho es equivalente a calcular la deuda pendiente después de
realizar 8 pagos:
 (1.01)16 − 1 
P = 470.7347222 
= 6 928.214225
16 
 0.01(1.01) 
Este resultado difiere de los dos resultados anteriores en exactamente 0.000044, de manera que se
consideran resultados iguales. Se deja al alumno hacer el mismo tipo de cálculos, pero ahora tomando
como punto de comparación del dinero a t24. Existe una cuarta forma de llegar al mismo resultado, y esta
consiste en calcular mes por mes, cual es el saldo insoluto o deuda pendiente, es decir, se está hablando
de un procedimiento similar a aquel mostrado en la Tabla 2.1
Cualquiera que se el método utilizado, y habiendo obtenido la deuda pendiente o saldo insoluto después
de pagar 8 mensualidad iguales, cuyo valor es $6 928.214225, se calcula el valor de la nueva
mensualidad, restando propagar solo 16 mensualidades. Ahora el nuevo interés es de
0.09
i mensual =
= 0.0075
12
 (1.0075)16 − 1 
6 928.214225 = A
16 
 0.0075(1.0075) 
A =$461.1335244
Concepto de Valor Presente Neto (VPN) y Tasa Interna de Rendimiento (TIR).
Para explicar este tema, primero es necesario preguntar ¿Para que invierte una persona? Si alguien
invierte es porque le sobra un poco (o un mucho) de dinero. Si le sobra ese dinero, inicialmente esa
persona tiene dos opciones: o gastar ese dinero o invertirlo. Si lo gasta en el presente y ya no invierte,
generalmente va a haber un consumo de algo, de bienes o servicios, ese consumo le va a proporcionar una
satisfacción y en términos formales, una utilidad. Si decide invertir en vez de gastar, entonces lo que
espera es que el consumo en el futuro sea mayor que en el presente, por tanto, espera que en el futuro el
consumo, la satisfacción y la utilidad sean mayores que el consumo, la satisfacción y la utilidad que
obtendría en el presente por consumir.
Una vez que en las secciones anteriores se ha mostrado la forma en que el dinero cambia su valor a través
del tiempo, ahora supóngase que se presenta una propuesta de inversión con las siguientes características:
260
1
310
330
400
505
2
3
4
5
1000
Gráfica 26
La pregunta es ahora ¿cuál decisión debe tomar el inversionista, invertir o no invertir? Desde luego que
debe tener algunos criterios para tomar tal decisión. El primer criterio es fijar la llamada tasa mínima
aceptable de rendimiento (TMAR), es decir, una tasa que el inversionista debe fijar su valor basado en el
riesgo que corre en la inversión. En este momento solo ha aparecido un diagrama de flujo de efectivo,
pero no se sabe el tipo de inversión que es, puede ser una inversión en una empresa productiva de
cualquier sector de la economía, incluyendo servicios tales como turismo, telefonía celular, etc., o bien
30
puede ser una inversión especulativa como invertir en un portafolio en la Bolsa de Valores. Como quiera
que sea, lo primero que debe saber el inversionista potencial es el tipo de negocio en el que va a invertir
para asignar un valor a la TMAR. El valor de la TMAR está determinado inicialmente por el riesgo de la
inversión. No es lo mismo invertir para elaborar refrescos envasados, que producir maquinaria industria,
que un hotel en una playa turística. Los riesgos de cada inversión son distintos y por tanto, la TMAR para
cada alternativa de inversión también debe ser distinta.
El segundo criterio que ya sabe el inversionista es que para comparar el dinero adecuadamente, se debe
llevar o trasladar a su valor equivalente a un solo instante en el tiempo, que normalmente es el presente.
El tiempo presente es un instante muy utilizado para comparar dinero, ya que es el único momento en que
se sabe cuál es el verdadero poder adquisitivo del dinero. Cualquier otro instante en el futuro siempre
presentará incertidumbre. Por tanto, los flujos de efectivo mostrados en el diagrama habrá que llevarlos al
presente de la siguiente forma:
260
310
330
400
505
VPN = −1000 +
+
+
+
+
1
2
3
4
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i ) 5
Se le llama Valor Presente Neto (VPN), porque obsérvese que si solo se suman los flujos de efectivo de
las ganancias probables que está prometiendo la inversión, se estaría calculando el valor presente de esas
ganancias, pero al momento en que se resta la inversión inicial ($1,000), entonces el resultado que se
obtenga va a ser la cantidad neta restante, que se tiene después de haber recuperado la inversión inicial.
De acuerdo al criterio señalado a la pregunta ¿Por qué se invierte?, parece claro que para aceptar una
inversión el VPN debe ser mayor que cero, ya que implicaría haber recuperado la inversión original y
ganar una cantidad extra. En caso de ser negativo el VPN, implicaría que a la tasa de referencia, ni
siquiera es posible recuperar la inversión inicial, por tanto, si el VPN es menor que cero habría que
rechazar la inversión.
Como ya ha sido comentado, la TMAR la fija el inversionista, con base en el riesgo que él haya analizado
que tiene la inversión que pretende realizar; el análisis de riesgo puede ser cualitativo, es decir, que el
inversionista lo está percibiendo con base en su experiencia, o bien puede ser cuantitativo. Como quiera
que esto sea, supóngase que hay seis diferentes inversionistas para invertir en esta propuesta de inversión
y que cada uno de ellos tiene diferente percepción del riesgo, por tanto, ha asignado diferente TMAR a la
inversión, y por tanto, cada uno de ellos obtiene un VPN diferente. En la tabla 8 se muestran los
resultados:
Inversionista
1
2
3
4
5
6
TMAR
5%
10 %
15 %
20 %
25 %
30 %
$VPN
538.62
327.26
157.24
18.76
- 95.32
- 190.30
Tabla 8
La primera pregunta es ¿Cuál de todos los inversionistas gana más? Si se observa la forma en
que está calculado el VPN, el resultado está expresado en dinero. El inversionista 1 podría decir que el
resultado que obtuvo es equivalente a que él invierta $1 000, gane el 5 % cada año durante 5 años (que es
el horizonte de análisis), y que además, el banco o sitio donde invirtió, le diera $538.62 al momento de
hacer la inversión. El inversionista 4 diría que a pesar de que su resultado es equivalente a ganar cada año
durante 5 años el 20 % sobre su inversión, solamente le darían al momento de invertir $18.76 extras, y
por último, los inversionistas 5 y 6 dirían que ellos en vez de ganar, perderían, dado el resultado obtenido
en su VPN ¿Es esto cierto?
Obsérvese que se ha utilizado la expresión su resultado es equivalente a, y lo cierto es que todos
están ganando lo mismo. Esto puede comprobarse fácilmente observando que los flujos de efectivo de la
gráfica 26 no cambian para ninguno de ellos, por tanto, todos ganarían lo mismo. Entonces ¿Qué
interpretación debe darse a los VPN obtenidos?
El VPN, tal y como se calcula, simplemente indica si el inversionista está ganando, más o menos
del porcentaje de ganancia que él mismo fijo como mínimo aceptable, esto es, para los inversionistas 1, 2,
3 y 4, que solicitaron una ganancia al menos de 20 % para aceptar invertir, el proyecto del ejemplo,
definitivamente ofrece un rendimiento superior al 20 %, en tanto que los inversionistas 5 y 6, no es que
pierdan si invierten, sino que la interpretación es que el proyecto no proporcionará la ganancia que ellos
31
están solicitando como mínima para realizar la inversión, es decir, el proyecto no rinde ni el 25 % y
menos el 30 %. Por eso es que los criterios para tomar una decisión con el VPN son:
- Si VPN > 0 aceptar invertir, ya que se estaría ganando más del rendimiento solicitado.
- Si VPN<0, rechazar invertir porque no se estaría ganando el rendimiento mínimo solicitado.
VPN
600
500
400
300
200
100
0
5
10
15
25
20
i
- 100
-200
Gráfica 27
Obsérvese la gráfica 27 donde la curva se construyó con los datos obtenidos de la Tabla 8. En
realidad, la curva es una curva de equivalencia del VPN. Esto significa que es equivalente el VPN que
gana el inversionista 1 al 5 % que es su TMAR, que lo que ganan los demás inversionistas a sus
respectivas TMAR. Nuevamente se repite que todos ganan lo mismo puesto que los flujos de efectivo de
cada año, no cambian para ninguno de ellos. Y todas estas ganancias equivalentes de cada uno de ellos
son equivalentes a ganar la tasa anual de rendimiento que genera la inversión por si misma.
La tasa interna de rendimiento (TIR)
La ganancia anual que tiene cada inversionista se puede expresar como una tasa de rendimiento o
de ganancia anual llamada tasa interna de rendimiento. De la gráfica 27, se puede observar que, dado que
la tasa de interés, que en este caso es la TMAR, la fija el inversionista, conforme esta aumenta, el VPN se
vuelve más pequeño, hasta que se hace cero en determinado valor y en ese punto se encuentra la TIR
Definición 1
TIR es la tasa de descuento que hace el VPN = 0
VPN = 0 = − P +
FNE1
(1 + i )
1
+
FNE
(1 + i )
2
+
FNE
(1 + i )
3
+
FNE
(1 + i )
4
+
FNE
(1 + i ) 5
Al igualar el VPN a cero, la única incógnita que queda es la i. Esta tasa se puede obtener por
iteración o gráficamente, aunque con los modernos métodos de cálculo que ahora existen, este es el
menor de los problemas. Obsérvese de la gráfica 27 que la curva cruza el eje horizontal a un valor
aproximado a 21 %. El valor de la TIR para el ejemplo es exactamente 20.76006331 %.
Definición 2
TIR es la tasa de descuento que hace que la suma de los flujos descontados sea igual a la inversión
inicial.
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P=
FNE1
(1 + i )
1
+
FNE
(1 + i )
2
+
FNE
(1 + i )
3
+
FNE
(1 + i )
4
+
FNE
(1 + i ) 5
Esta definición, aunque es un simple despeje de P de la fórmula anterior, lo que está diciendo es
que la tasa de ganancia que genera la inversión, es aquella que iguala, a su valor equivalente, las suma de
las ganancias a la inversión que les dio origen.
Definición 3
La TIR es la tasa de interés que iguala el valor futuro de la inversión con la suma de los valores futuros
equivalente de las ganancias, comparando el dinero al final del periodo de análisis.
P(1+i)5 = FNE1(1+i)4+FNE2(1+i)3+FNE3(1+i)2+FNE4(1+i)1+FNE5
Esta definición lo que aprovecha es la facultad que tiene el dinero de que para ser comparado de forma
válida, se haga en el mismo instante de tiempo a su valor equivalente, lo cual significa que si en la última
igualdad se substituye i = 0.2076006331, casi se cumplirá la igualdad. El casi se debe a que todavía es
posible agregar más dígitos al resultado para hacer que la igualdad se cumpla exactamente.
Cuando el VPN = 0, en realidad no es que ni se gane ni se pierda, todo lo contrario. Cuando el
VPN = 0, se está teniendo una ganancia equivalente a la que tuvieron los seis inversionistas del ejemplo,
es decir, si se invierten $1 000, es lo mismo tener una ganancia anual de 20.76006331 % cada año durante
5 años, que ganar el 5 % sobre la inversión cada año más $538.32 al momento de hacer la inversión.
Como la TMAR la fija el inversionista, y se supone que 20.76 % la fijó el inversionista, entonces cuando
el VPN = 0, se debe aceptar invertir, ya que se estaría ganando exactamente la TMAR, por eso se le llama
tasa mínima aceptable. Por tanto, el criterio para tomar decisiones utilizando el VPN es aceptar invertir
cuando VPN ≥ 0.
Por otro lado, mientras el VPN cumpla esta condición de ser mayor o al menos igual a cero, se
sabe que se estará ganando más o al menos la tasa que se fijo como mínima aceptable, por tanto, el
criterio para tomar decisiones con la TIR es:
Si TIR ≥ TMAR aceptar invertir
Si TIR < TMAR rechazar inversión
Dicho con palabras llanas, si el rendimiento que genera el proyecto por si mismo es mayor, o al
menos igual, a la tasa de ganancia que está solicitando el inversionista, se debe invertir, en caso contrario,
es decir, que la inversión no genere ni siquiera el mínimo de ganancia que se está solicitando, entonces se
deberá rechazar la inversión.
De esto se deduce que el punto crítico al tomar decisiones de inversión, no es el cálculo en si
mismo, sino la correcta determinación de la TMAR En el ejemplo, invirtiendo en una misma empresa, un
inversionista puede percibir menor riesgo si conoce el ramo y ya tiene cierta experiencia produciendo y
comercializando productos similares, en tanto que el mismo proyecto para un inversionista que es la
primera vez que incursiona en ese sector de mercado, puede parecer muy riesgoso, por lo que cada uno
podrían asignar una TMAR muy distinta, pero además, los flujos de efectivo del ejemplo, suponiendo que
fueran reales, son solo expectativas de ganancia y nada garantiza que se esos flujos de efectivo se van a
obtener exactamente en esa cantidad y en esos periodos, por lo que, otro aspecto muy importante de la
toma de decisiones, es la forma en que se han realizado las estimaciones de ganancia para el futuro de la
inversión.
La ganancia esperada, ya sea que se exprese como un VPN o como una TIR, se van a obtener,
siempre que se proceda a realizar la inversión y a operar las instalaciones, exactamente como se ha
planeado, y que los métodos de planeación sean los adecuados en tipo y en la forma en fueron aplicados;
aún así, los valores de VPN y TIR, siguen siendo solo una expectativa de ganancia.
Preguntas.
1.- En términos del poder adquisitivo del dinero ¿Qué significa equivalencia del valor del dinero a través
del tiempo?
2.- Mencione una definición de valor presente neto (VPN).
3.- Mencione una definición de tasa interna de rendimiento (TIR).
4.- Cuando se grafica la tasa de interés contra el VPN, se dice que la curva obtenida es una curva de
indiferencia ¿En que sentido es una curva de indiferencia?
5.- Mencione los criterios para aceptar o rechazar una inversión si ésta se evalúa con el VPN.
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6.- Mencione los criterios de aceptación o rechazo cuando una inversión se evalúa con la TIR.
7.- ¿Por qué una persona a la que le sobra dinero prefiere invertir en vez de preferir gastar ese dinero?
8.- Ud. hace la evaluación económica de una inversión y obtiene un resultado de VPN = 0 ¿Acepta o
rechaza invertir? Justifique su respuesta.
9.- Mencione la diferencia entre interés nominal e interés efectivo.
10.- Mencione que es la TMAR y como se determina su valor.
11.- ¿Por qué se considera que esta determinación es muy importante en la evaluación económica de
inversiones?
12.- ¿Qué significa que una tasa de interés se capitalice mensualmente?
13.- ¿Cuál es la forma correcta de comparar el dinero que se cobra, se percibe o se paga en diferentes
periodos de tiempo?
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