10. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON N GRADOS DE LIBERTAD

10. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON N
GRADOS DE LIBERTAD
10.1. Matrices de rigidez, inercia y amortiguamiento
Se puede demostrar que las ecuaciones lineales del movimiento de un sistema discreto
de N grados de libertad sometido a pequeños desplazamientos, con coordenadas generalizadas representadas por el vector q de dimensión N × 1 , se pueden escribir como
M q + Cq + K q = f
(9.124)
donde M, C y K son matrices de tamaño N × N y se denominan matrices de inercia,
amortiguamiento y rigidez, respectivamente. Las matriz M es simétrica y positivo definida. La matriz K también es simétrica pero puede ser positivo definida o positivo
semidefinida. La matriz C no goza, en general, de ninguna de las propiedades anteriores.
Ejemplo 10.1-1
Obtener las ecuaciones del movimiento e identificar las matrices de masas, rigidez y amortiguamiento para el sistema de dos grados de libertad de la Figura 10.1.
x1
k1
x2
k2
k3
f1(t)
c1
m1
f2(t)
m2
c2
c3
Figura 10.1.
k1x1
..
m1x1
.
c1x1
k2(x2-x1)
f1(t)
. .
c2(x2-x1)
k2(x2-x1)
..
m2x2
. .
c2(x2-x1)
k2x2
.
c2x2
Figura 10.2.
Para hallar las ecuaciones de este sistema, basta con aplicar las ecuaciones de
equilibrio a cada una de las dos masas. La Figura 10.2 muestra los diagramas de sólido libre, con todas las fuerzas actuantes. Sumando las fuerzas e igualando a cero se
llega a:
m1 x1 + c1 x1 − c2 ( x2 − x1 ) + k1 x1 − k2 ( x2 − x1 ) = f1 (t )
m2 x2 + c2 ( x2 − x1 ) + c3 x2 + k2 ( x2 − x1 ) + k3 x2 = f2 (t )
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).
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Cap. 10: Vibraciones en sistemas con N grados de libertad
Reordenando términos, estas dos ecuaciones se pueden poner de forma matricial
como
m1 0   x1  c1 + c2

 + 
 0 m2  x2   −c2
−c2   x1  k1 + k2
 + 
c2 + c3   x2   −k2
−k2   x1   f1 (t ) 

 = 
k2 + k3   x2   f2 (t ) 
Identificando con la ecuación (9.124), las matrices M, C y K resultan ser:
c + c
C= 1 2
 −c2
0 
m
M= 1

 0 m2 
−c2 

c2 + c3 
k + k2
K= 1
 −k2
−k2 

k2 + k3 
10.2. Vibraciones libres de sistemas no amortiguados
Particularizando la ecuación (9.124) para el caso de las vibraciones libres ( f = 0 ) en
sistemas no amortiguados (C=0), se tiene
Mq + Kq = 0
(9.125)
sujeto a las condiciones iniciales q ( 0 ) = q0 y q ( 0 ) = q0 .De forma análoga a lo que se
hizo en el caso de las vibraciones con un grado de libertad, asumimos una solución
armónica de la forma
q (t ) = A e st
(9.126)
donde A es un vector de amplitudes. Sustituyendo la ecuación (9.126) en la (9.125),
resulta:
(s M + K ) A e
2
st
=0
(9.127)
Puesto que ni A ni e st pueden ser nulos, ya que si no obtendríamos la solución
trivial nula, se deduce que
(s M + K ) A = 0
2
(9.128)
10.2.1. Frecuencias naturales
Para calcular los valores de s y A, debemos resolver la ecuación (9.128), que representa un problema de valores y vectores propios generalizado. Como es sabido, esta ecuación tiene solución distinta de la trivial nula si y sólo si la matriz de coeficientes es
singular o, lo que es lo mismo, si su determinante es nulo.
s2 M + K = 0
(9.129)
Se puede demostrar que si la matriz M es positivo definida y K es positivo definida o positivo semidefinida, todos los valores propios s2 son reales y negativos o nulos.
Por ello, para manejar cantidades positivas es costumbre realizar el cambio de variables
s2 = −ω2
(9.130)
que equivale a
s = ± ωi
(9.131)
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).
Cap. 10: Vibraciones en sistemas con N grados de libertad
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Con este cambio, la ecuación (9.129) se convierte en
K − ω2 M = 0
(9.132)
con valores propios ω12 , ω22 ,… , ω2N positivos o nulos. A las raíces cuadradas de estos valores se les denomina frecuencias naturales del sistema.
10.2.2. Modos de vibración
Asociado con cada valor propio ωi2 hay un vector propio de dimensión N, que se puede
obtener de la ecuación
(K − ω M ) A
2
i
i
=0
(9.133)
Este sistema de ecuaciones homogéneo tiene una matriz de coeficientes que es
singular, por lo que tiene solución distinta de la trivial nula. Esta solución no trivial,
con módulo indeterminado, se obtiene dando valor arbitrario a una de las componentes del modo de vibración y calculando el resto. Estos vectores propios reciben el nombre de modos de vibración.
La solución general a las vibraciones libres se puede escribir como una combinación lineal de las soluciones de la forma dada por la ecuación (9.126) encontradas. Es
decir,
(
)
(
q (t ) = A1 β11 eiω1t + β12 e −iω1t + … A N β N1 eiωN t + β N 2 e −iωN t
)
(9.134)
donde las constantes β se puede obtener a partir de las condiciones iniciales. Se puede
demostrar fácilmente que esta ecuación puede también escribirse mediante funciones
armónicas simples de la forma
q (t ) = B1 A1 cos ( ω1t − ψ1 ) + … BN A N cos ( ωN t − ψ N )
(9.135)
donde, de nuevo, las constantes Bi y ψi se determinan de las condiciones iniciales.
Como se puede ver en la ecuación (9.135), la respuesta a las vibraciones libres es
una combinación lineal de los modos de vibración. Cada coeficiente viene dado por una
función armónica desfasada cuya frecuencia de vibración es, precisamente, la frecuencia de vibración correspondiente al modo.
10.2.3. Propiedades de los modos de vibración
Ortogonalidad de los modos de vibración
Una propiedad de gran importancia en el estudio de las vibraciones es la ortogonalidad de los modos. Gracias a ella, podemos desacoplar las ecuaciones del movimiento
convirtiéndolas en N ecuaciones diferenciales independientes por medio del cambio de
variables conocido como transformación modal que veremos más adelante.
Basándonos en la ecuación (9.133), particularizada para las frecuencias naturales
ωi , ω j y sus modos correspondientes A i y A j , podemos escribir
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Cap. 10: Vibraciones en sistemas con N grados de libertad
K Ai = ωi2 M Ai
(9.136)
K A j = ω2j M A j
(9.137)
Premultiplicando la ecuación (9.136) por el vector A j transpuesto y la ecuación
(9.137) por el vector A i transpuesto, obtenemos
ATj K Ai = ωi2 ATj M Ai
(9.138)
ATi K A j = ω2j ATi M A j
(9.139)
Restando ambas ecuaciones término a término y teniendo en cuenta que tanto M
como K son simétricas, obtenemos
(ω
2
i
)
− ω2j ATi M A j = 0
(9.140)
Si ωi y ω j son valores propios distintos, concluimos que
ATi M A j = 0
para i ≠ j
ATi M A j ≠ 0
para i = j
(9.141)
Es decir, los vectores propios asociados con valores propios distintos son ortogonales
respecto a la matriz de masas. Debido a que la matriz de masas es positivo definida
queda garantizado que el producto ATi M Ai no es nulo excepto en el caso en que A i
sea nulo. Por ello, podemos escribir
ATi M A j = 0
para i ≠ j
ATi M A j = mi para i = j
(9.142)
donde mi es un término escalar, positivo y constante. Los modos de vibración también
son ortogonales respecto a la matriz de rigidez. La prueba es evidente a partir de la
ecuaciones (9.138)-(9.139) y de la ecuación (9.142), lo que conduce a
ATi K A j = 0
para i ≠ j
ATi K A j = mi ωi2 = ki
para i = j
(9.143)
siendo ki otro término escalar, positivo o nulo y constante.
Independencia lineal de los modos de vibración
La propiedad de ortogonalidad recién vista se puede utilizar para probar que los modos de vibración son linealmente independientes. Como es sabido, el conjunto de vectores A1 , A 2 ,… , A N es linealmente independiente si la relación
c1 A1 + c2 A 2 + … + cN A N = 0
(9.144)
se cumple sólo cuando las constantes c1 , c2 ,..., cN son nulas. Premultiplicando la ecuación (9.144) por ATi M resulta
ci mi = 0
(9.145)
Como mi es distinto de cero, se concluye que
ci = 0
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).
(9.146)
Cap. 10: Vibraciones en sistemas con N grados de libertad
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es decir, los vectores son linealmente independientes.
Probando la ortogonalidad de los modos de vibración hemos asumido que los valores propios ωi2 y ω2j eran distintos. En algunos casos particulares pueden aparecer
valores propios repetidos. En un problema de valores propios general, los vectores
propios asociados con valores propios repetidos pueden ser independientes o no serlo.
Supongamos un valor propio ω2r con multiplicidad s, de manera que ω2r , ω2r +1 ,… , ω2r + s −1
son iguales. Si todos los demás vectores propios son independientes entre sí, el rango
de la matriz K − ω2r M es igual a N-s, y se puede demostrar que el sistema de ecuaciones
(K − ω M ) A
2
r
r
=0
(9.147)
tiene s soluciones no triviales A r , A r +1 ,… , A r + s−1 que son linealmente independientes.
En el caso de que el rango de la matriz fuese superior a N-s, esta propiedad no se verificaría. Afortunadamente, se puede demostrar que si las matrices M y K son reales y
simétricas, como ocurre en el caso de los sistemas mecánicos, los vectores propios asociados a valores propios repetidos son linealmente independientes.
Ejemplo 10.2.3.2-1
Calculemos las frecuencias y modos de vibración del ejemplo 10.1-1 para los valores m1 = m2 = 1 Kg , c1 = c2 = c3 = 0 y k1 = k2 = k3 = 1 N/m . Particularizando, las ecuaciones del movimiento para el caso de las vibraciones libres, resulta:
1 0   x1   2 −1  x1  0 
0 1  x  +  −1 2   x  = 0 

 2 
 2  
Las frecuencias naturales se calculan de la ecuación característica dada por la
ecuación (9.132), que para este caso es
 2 −1
2 1 0 
4
2
 −1 2  − ωi 0 1  = ω − 4 ω + 3 = 0




La solución a esta ecuación bicuadrática es
ω2 =
4 ± 2 1 
= 
2
3
de manera que ω12 = 1 y ω22 = 3 . Para calcular el primer modo de vibración, particularizamos la ecuación (9.133). Para el primer modo, la ecuación se convierte en
  2 −1
1 0  
 1 −1
0 
A1 =  
−1 
 
 A1 = 



0 1  
 −1 1 
0 
  −1 2 
Dando arbitrariamente a la primera componente de A1 el valor de 1, resulta
1
A1 =  
1
Análogamente, para el segundo modo podemos escribir
  2 −1
1 0  
 −1 −1
0 
A2 =  
−3
 
 A 2 = 



0 1  
 −1 −1
0 
  −1 2 
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).