1 La derivada como velocidad de crecimiento

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La derivada como velocidad de crecimiento
• El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 2
cm/s.Hallar la velocidad dee crecimiento del área y del volumen de la
esfera en el instante en que su radio es de 1 m
4
Ayuda: El volumen de una esfera es V = πr3 y la superficie es S = 4πr2
3
donde r es el radiode èsta.
4
dV
dV dr
V = πr3 
→Por
la
regla
de
la
cadena
=
·
Si
3
dt
dr dt
r = r(t) 
4
dr
dr
dV
= · 3πr2 ·
= 4πr2 ·
dt
3
dt
dt
(a)
dV
dr
es la velocidad de crecimiento del volumen y
es la velocidad de
dt
dt
crecimiento del radio
dr
= 2 cm/s y radio r = 1 m = 100cm
Los datos del problema son
dt
Sustituyendo en la relación (a) tendremos:
dV
= 4π1002 · 2cm3 /s = 80000 · π cm3 /s
dt
S = 4πr2
Si
r = r(t)
)
→Por la regla de la cadena
dS dr
dS
=
·
dt
dr dt
dS
dr
dr
= 4 · 2πr ·
= 8πr ·
dt
dt
dt
(b)
dS
dr
es la velocidad de crecimiento del área y
es la velocidad de crecdt
dt
imiento del radio
dr
= 2cm/s y radio r = 1m = 100cm
Los datos del problema son
dt
Sustituyendo en la relación (b) tendremos:
dS
= 8π100 · 2cm2 /s = 1600 · πcm2 /s
dt
• El lado de un cubo (tiene las dos tapas) crece uniformemente con una
velocidad de 2 cm/s.Hallar la velocidad de crecimiento del área y del
volumen del cubo en el instante en que su lado es de 5 cm
1
Ayuda: El volumen de un cubo de lado x es V = x3 y la superficie es
S = 6x2
)
dV dx
dV
V = x3
=
·
Si
→Por la regla de la cadena
x = x(t)
dt
dx dt
dx
dV
= 3x2 ·
dt
dt
(c)
dV
dx
es la velocidad de crecimiento del volumen y
es la velocidad de
dt
dt
crecimiento del lado
dx
= 2 cm/s y lado x = 5 cm
Los datos del problema son
dt
Sustituyendo en la relación (c) tendremos:
dV
= 3 · 52 · 2 cm3 /s = 150 cm3 /s
dt
S = 6x2
Si
x = x(t)
)
→Por la regla de la cadena
dS dx
dS
=
·
dt
dx dt
dS
dx
= 12x ·
dt
dt
(d)
dx
dS
es la velocidad de crecimiento del área y
es la velocidad de crecdt
dt
imiento del lado
Sustituyendo en la relación (d) los datos tendremos:
dS
= 12 · 5 · 2cm2 /s = 120cm2 /s
dt
• La longitud del lado de un cuadrado crece uniformemente a razón de 3
cm/s.Hallar la velocidad de crecimiento del área en el instante en que
su lado es de 15 cm
Ayuda: la superficie
de un cuadrado de lado x es S = x2
)
dS dx
dS
S = x2
=
·
Si
→Por la regla de la cadena
x = x(t)
dt
dx dt
dx
dS
= 2x ·
dt
dt
2
(d)
dS
dx
es la velocidad de crecimiento del área y
es la velocidad de crecdt
dt
imiento del lado.
dx
= 3 cm/s y lado x = 15 cm.
Los datos del problema son
dt
Sustituyendo en la relación (d) tendremos:
dS
= 2 · 15 · 3 = 90 cm2 /s
dt
• Sobre un montón cónico de arena, ésta cae a razón de 10 dm3 / min .El
radio de la base siempre es constantemente igual a la mitad de la altura.
¿ A qué velocidad crece la altura de la pila cuando ésta tiene 5 dm de
altura.?
1
Ayuda: El volumen de un cono es V = πr2 h donde r es el radio de la
3
base y h es la altura. 
1

à !2

V = πr2 h 
1
h
1
3
→V = π
h = 12
πh3
Como
h

3
2


r=
2
dV dh
dV
=
·
Por la regla de la cadena
dt
dh dt
dV
3
1
dh
dh
= πh2 ·
= πh2 ·
dt
12
dt
4
dt
Los datos del problema son
en la relación (e)
(e)
dV
= 10 dm3 / min y altura h = 5 dm.Sustituyendo
dt
10 = 14 π · 52 ·
dh
dt
Con lo que la velocidad de crecimiento de la altura es
40
8
dh
=
dm/ min
=
2
dt
π·5
5·π
• La presión barométrica p sufre alteraciones al variar la altura h de
acuerdo con la función
3
Ã
!
p
c · h = ln
donde p0 es la presión normal y c es una constante. A la
po
altura de 5540 m la presión alcanza la mitad de la normal. Hallar la velocidad
de variación de la presión barométrica en función de la altura cuando ésta
es de 5540 m.
à !
à !
p
p
Como c · h = ln
→ c · h = loge
po
po
p
Por la definición de logaritmo; tendremos
= ec·h .
po
Aislando la presión p obtendremos:
p = p0 · ec·h
(1)
Derivando con respecto a la altura h; tendremos:
dp
= p0 · ec·h · c
dh
dp
cuando la altura es de 5540 m. Concluimos que:
Nos piden
dh
Ã
dp
dh
!
h=5540 m
= p0 · ec·5540 · c
Como nos indican que si h = 5540 m la presión p =
(1) calcularemos el valor de la constante c
(2)
p0
sustituyendo en
2
1
= ec·5540 c = − 1 ln 2
p0
c·5540
= p0 · e
→2
→
5540
2
Que sustituido en (2) nos dará la velocidad de crecimiento de la presión
con respecto a la altura, cuando ésta es de 5540 m.
Ã
dp
dh
!
h=5540 m
= p0 ·
´
1 ³ 1
· − 5540 ln 2 ≈ −6. 2558 × 10−5 p0
2
• La ordenada del punto que describe la circunferencia x2 + y 2 = 25
decrece con una velocidad de 1, 5 cm/s. ¿ A qué velocidad varía la
abcisa del punto cuando la ordenada llega a ser igual a 4 cm y su
abcisa es positiva?
4
)
(
x2 + y 2 = 25
3
→ P (3, 4)
→ x2 + 16 = 25 → x2 = 9 → x =
y=4
−3
Si derivamos implicitamente la expresión x2 + y 2 = 25 con respecto a la
variable x; tendremos:
2x + 2y ·
dy
dy
x
=0→
= − con y 6= 0
dx
dx
y
En virtud de la regla de la cadena; sabemos que
tuyendo la relación (3) en esta última tendremos:
(3)
dy dx
dy
=
·
y sustidt
dx dt
dy
x dx
=− ·
dt
y dt
dy
Como nos dicen que
= −1, 5 cm/s y que el punto es P (3, 4) ; entonces
dt
podemos concluir
dx
3 dx
→
= 2 cm/s
−1, 5 = − ·
4 dt
dt
La velocidad de crecimiento de la abcisa es de 2 cm/s.
• La abcisa del punto que describe la circunferencia y 2 = 12x crece con
una velocidad de 2 cm/s. ¿ A qué velocidad varía la ordenada del punto
cuando la abcisa sea de 3 cm y su ordenada es positiva?
)
(
y 2 = 12x
6
→ y 2 = 36 → y 2 = 36 → y =
→ P (3, 6)
x=3
−6
Si derivamos implicitamente la expresión y 2 = 12x con respecto a la
variable x; tendremos:
2y ·
dy
dy
6
= 12 →
= con y 6= 0
dx
dx y
En virtud de la regla de la cadena; sabemos que
tuyendo la relación (4) en esta última tendremos:
6 dx
dy
= ·
dt
y dt
5
(4)
dy
dy dx
=
·
y sustidt
dx dt
dx
Como nos dicen que
= 2 cm/s y que el punto es P (3, 6) ; entonces
dt
podemos concluir
à !
dy
6
dy
= ·2→
= 2 cm/s
dt P
6
dt
La velocidad de crecimiento de la ordenada es de 2 cm/s.
• ¿ En qué punto de la elipse 16x2 + 9y 2 = 400 la ordenada decrece con
la misma velocidad con que crece la abcisa?
Ã
!
Ã
!
dx
dy
=−
Nos piden los puntos de la elipse P (x0 , y0 ) tales que
dt P
dt P
2
2
Si derivamos implicitamente la expresión 16x + 9y = 400 con respecto
a la variable x; tendremos:
32x + 18y ·
dy
dy
16x
=0→
=−
con y 6= 0
dx
dx
9y
En virtud de la regla de la cadena; sabemos que
tuyendo la relación (4) en esta última tendremos:
(4)
dy
dy dx
=
·
y sustidt
dx dt
16x dx
dy
=−
·
dt
9y dt
dx
dy
Como nos indican en el enunciado que
= − ; entonces la relación
dt
dt
que han de verificar los puntos de la elipse es:
16x dy
16x
dy
=
·
→1=
con y 6= 0
dt
9y dt
9y
Se trata de determinar los puntos de la elipse cuya recta tangente tenga
una inclinación de 135o .Para calcularlos, resolveremos el siguiente sistema

µ ¶2
9y

9y
x=
→ 16
+ 9y 2 = 400 →
16 2

2
16
16x + 9y = 400 (
16
y= 3 →x=3
225 2
y = 400 →
16
y = − 16
→ x = −3
3
P (3, 16
)
3
16
0
Los puntos de la elipse que verifican esta condición son P (−3, − 3 )
6